Определение окружности и ее уравнение

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

В данной публикации мы рассмотрим определение и свойства одного из основных геометрических объектов – окружности. Также приведем формулы, с помощью которых можно найти ее радиус, диаметр и длину.

Определение окружности

Окружность – это замкнутая кривая на плоскости, состоящая из точек, равноудаленных от определенной точки. Данная точка называется центром окружности.

Радиус окружности (R) – это отрезок, соединяющий любую точку, лежащую на окружности, с ее центром.

Диаметр окружности (d) – это линия (хорда), проходящая через центр окружности и соединяющая две противоположные точки, лежащие на ней.

Примечание: Не стоит путать окружность с кругом, т.к. круг – это множество точек плоскости, ограниченных окружностью (т.е. лежащих внутри окружности).

Свойства окружности

Свойство 1

Через три точки на плоскости, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, причем только одну.

Свойство 2

Точка касания двух окружностей (C) лежит на одной прямой (AB), которая проходит через их центры.

Свойство 3

Изопериметрическое неравенство: Из всех замкнутых кривых одинаковой длины окружность ограничивает область с самой большой площадью.

Формулы

1. Диаметр окружности (d):

Геометрия. Урок 5. Окружность

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Определение окружности

• Отрезки в окружности

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности .

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Дуга в окружности

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .

Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна 360 ° .

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ A C B – вписанный.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Длина окружности, длина дуги

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .

Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 ∘ ⋅ α

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

Окружность и ее уравнения

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности.

Построим уравнение окружности. Для этого, согласно определению, зададимся центром окружности и R – радиусом окружности L (рис.1). Возьмем произвольную точку M(x, y), которая по определению должна принадлежать окружности, следовательно, согласно определению, удовлетворять соотношению

. (2)

Запишем это выражение в координатах

.

Окончательно получим уравнение окружности в каноническом виде

. (3)

2.1. Исследование окружности

1. Если , то выражение (3) примет вид .

2. Если , то выражение (3) примет вид .

3. Если , то выражение (3) примет вид .

Приведем уравнение (3) к общему виду (1). Для этого раскроем скобки и умножим обе части равенства на число .

.

Введем обозначения: ; ; . Подставим эти обозначения и получим уравнение окружности в общем виде

. (4)

Признаки окружности:

— коэффициенты при квадратах текущих координат равны;

— отсутствует член, содержащий произведение текущих координат « ».

2.2. Последовательность перехода от общего

к каноническому виду

Для этого разделим все члены уравнения на коэффициент при и выделим полные квадраты с x и y.

Задано уравнение второго порядка: .

Построить кривую согласно.

Поскольку коэффициенты при квадратах одинаковы (=4) и отсутствует член , то можно сказать, что это окружность.

Это окружность (рис. 2) с радиусом R=4 и центром в точке C(1, -1.5).

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Зададим в декартовой системе координат фокусы F₁и F₂(рис. 3). Возьмем произвольную точку M(x, y), которая по определению должна принадлежать эллипсу. Проведем отрезки F₁M и F₂M (рис. 3). Согласно определению рассмотрим сумму этих отрезков

, (5)

где – некоторое число.

Обозначим , тогда из или . Фокусы имеют координаты и , причем – эллипс. Представим выражение (1) в координатах:

.

Перенесем второе слагаемое в правую часть и возведем обе части равенства в квадрат:

.

Раскроем скобки и сократим одинаковые члены равенства в левой и правой частях:

.

Возведем обе части равенства в квадрат:

.

Раскроем скобки и сократим одинаковые члены равенства в левой и правой частях:

,

.

Перенесем слагаемые с x и y в правую часть, остальные – в левую. Вынесем за скобки x 2 и a 2 :

. (6)

Отметим, что . Обозначим . Запишем выражение (6) через введенные обозначения

, . (7)

Выражение (7) есть уравнение эллипса в каноническом виде.

4. Исследование формы и расположения эллипса

по его каноническому виду

Рассмотрим выражение (7) и заметим следующее.

1. Так как текущие координаты входят в уравнение только в квадратах, то эллипс симметричен относительно осей координат – осей симметрии.

Если , то и .

Начало координат – центр симметрии. Плоскость, в которой лежат фокусы эллипса, называется фокальной плоскостью.

2. Эллипс L (7) пересекается с осями координат.

a) Пересечение с осью .

, . Из выражения (7) => . То есть точки и . Эти точки – вершины эллипса. – большая ось эллипса. Отметим эти точки на оси (рис. 4).

б) Пересечение с осью .

, . Из выражения (7) => . То есть, точки и . Две точки и – также вершины эллипса. – малая ось эллипса. Отметим эти точки на оси (рис. 4).

3. Из уравнения (7) найдем y

. (8)

Для I четверти выражение (8) имеет вид . При увеличении x от 0 до a (при x=a y=0) значение y уменьшается от b до 0. Поскольку эллипс симметричен относительно начала координат, то аналогичным образом, сохраняя симметрию, эллипс будет вести себя в остальных четвертях плоскости.

1. В частности, при из (7) имеем , (окружность – частный случай эллипса).

2. Если центр эллипса лежит не в начале координат, а в точке , то уравнение эллипса примет вид

. (9)

Эксцентриситетом называется величина, равная отношению расстояния между фокусами к длине большой оси.

, . (10)

Чем ближе эксцентриситет к 0 ( ), тем более округлую форму эллипс имеет, и наоборот, чем ближе эксцентриситет к 1 ( ), тем эллипс более вытянут вдоль оси .

Последовательность перехода от общего к каноническому виду для эллипса аналогична последовательности перехода для окружности. Для этого вынесем за скобки коэффициент при и выделим полный квадрат с x . Также вынесем за скобки коэффициент при и выделим полный квадрат с y.

В лекции изучены понятия «окружность» и «эллипс» в общем виде, показано, как строить графики этих функций. По общему виду уравнения второго порядка можно судить о виде кривой. Отметим:

— параметры R, a и b в выражении (3) определяют соответственно радиус и координаты центра окружности;

— от уравнения общего вида к каноническому переходят путем выделения полных квадратов;

— эксцентриситет эллипса ;

— эксцентриситет эллипса определяет его вытянутость;

— окружность – частный случай эллипса;

— фокусы эллипса могут быть найдены из выражения .

1. Бермант А.Ф. и др. Краткий курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 2001.

2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.

3. Шипачев В.С. Основы высшей математики. — М.: Высшая школа,1998.