Определение опорных реакций из уравнений равновесия

Как определить реакции опор или найти опорные реакции: для балки или рамы

Что такое реакция опоры или опорная реакция?

Реакция опоры или опорная реакция – это силовой фактор, возникающий в опоре, от действия на конструкцию внешней нагрузки. В опорах, как правило, возникают реактивные силы, которые для удобства ручного расчета раскладываются на две составляющие: вертикальную и горизонтальную проекции. В жестких заделках, которые ограничивают все степени свободы конструкций, в том числе поворот сечений, также могут появляться реактивные моменты.

Зачем определять реакции опор?

На элементы конструкций всегда наложены какие-то связи, в виде опор, жестких заделок, стержней, которые ограничивают степени свободы конструкций. Под действием внешней нагрузки в этих связях возникают реакции. И эти реакции опор нужно обязательно учитывать при расчетах на прочность, жесткость и т. д., так как они являются внешними нагрузками. Практически любая задача по сопромату начинается с нахождения реакций связей, именно поэтому статья будет одной из первых на этом сайте.

Пример определения опорных реакций для балки

Давайте рассмотрим пример, на котором я покажу как определяются реакции опор. Причем, постараюсь объяснить максимально просто, буквально на пальцах.

Возьмем простую балку, загруженную сосредоточенной силой F, под действием которой в опорах появляются реакции R_A и R_B. Также сразу вводим систему координат x, y:

Чтобы узнать численное значение эти реакций, воспользуемся первой формой уравнений равновесия:

Первое уравнение равновесия

Записываем первое уравнение. Так как оси x не параллельна ни одна из сил, то соответственно сумма проекций сил на эту ось будет равна нулю:

Таким будет первое уравнение для этой расчетной схемы.

Второе уравнение равновесия

Второе уравнение, связанно с проекциями на вертикальную ось. Здесь все намного лучше, все силы параллельны этой оси, а значит дадут проекции. Вопрос только с каким знаком, каждая сила пойдет в уравнение. Если направление силы, совпадает с направлением оси, то в уравнение она пойдет со знаком «плюс» (R_A и R_B). Если же сила направленна в противоположную сторону, как F, в нашем случае, то в уравнении будем записывать ее с минусом. Таким образом, получим второе уравнение равновесия:

Как видите, во втором уравнении у нас находится 2 неизвестные реакции. Чтобы, наконец, решить задачу, давайте запишем третье уравнение равновесия.

Третье уравнение равновесия

Это уравнение отличается от первых двух, так как тут речь идет о моментах. Напомню, момент – это произведение силы на плечо. В свою очередь, плечо – это перпендикуляр, опущенный от центра момента до линии действия силы. То есть это кратчайшее расстояние от центра момента до силы. В качестве центра моментов у нас назначена точка A, по условию сумма моментов всех сил должна быть равна нулю относительно этой точки.

Начинаем рассуждать и записывать уравнение. Реакция R_A не дает момента, относительно точки А, так как линия действия этой силы пересекает эту точку и соответственно плечо равно нулю. А там, где нет плеча, нет и момента.

Сила F, относительно точки А, создает момент равный:

Обратите внимание, плечо в данном случае равно 2 метрам. Кроме того, важен знак момента, для этого традиционно используется правило, которое продвинутым студентам известно еще с теоретической механики:

• Если сила, относительно произвольного центра, поворачивает ПРОТИВ часовой стрелки, то момент силы положительный;
• Если сила, относительно произвольного центра, поворачивает ПО часовой стрелке, то момент силы отрицательный.

Для силы F, как видите, момент отрицательный:

Реакция опоры — R_B, создает момент равный R_B · 4, так как сила поворачивает против часовой стрелки, то в уравнение записываем его со знаком плюс:

Вычисление реакций опор

Вот собственно и все, все уравнения составлены. Теперь осталось только решить их и найти искомые значения реакций опор (F=2 кН):

В этой статье, мы рассмотрели достаточно простой пример. Если вы хотите развить свои навыки по определению реакций опор, узнать различные хитрости по их нахождению, научится определять реакции, когда на конструкцию действуют силы под различными углами, учитывать в уравнениях сосредоточенные моменты и распределенную нагрузку, приступайте к изучению статьи – как определить реакции опор для балки.

Как определить реакции в опорах?

Привет! В этой статье, предлагаю поговорить о реакциях опор, еще известных как опорные реакции. Для успешного освоения курса – «сопротивление материалов», каждый студент должен уметь определять реакции в опорах, и этому уделяют особое внимание на термехе. А курс термеха, по традиции, читают до сопромата. Для тех, кто проспал механику на первом курсе, я подготовил данную статью, чтобы каждый желающий мог приобрести навыки по расчету опорных реакций.

Что такое реакция опоры?

Реакция опоры – это та сила, которая возникает в опоре от действия внешней нагрузки. В зависимости от конструкции опоры и ее назначения, в ней может появляться разное количество реакций, это может быть как сила, так и момент.

В начале этой статьи, расскажу о том, что должен уже уметь читатель, для успешного освоения данного урока. Если у Вас есть проблемы по поднятым вопросам на старте статьи, переходите по ссылкам на другие материалы на нашем сайте, после чего возвращайтесь к нам на чай реакции. Во второй части статьи, посмотрим, как вычисляются реакции на простейшем примере – балки, загруженной по центру сосредоточенной силой. Тут я покажу, как пользоваться уравнениями равновесия статики, как их правильно составлять. Дальше по плану, научу учитывать распределенную нагрузку, на примере той же балки. И завершать данный урок, будет пример определения реакций для плоской рамы, загруженной всевозможными типами нагрузок. Где применим уже все фишки, о которых я буду рассказывать по ходу урока. Что же, давайте начнем разбираться с реакциями!

Что вы должны уже уметь?

В этом блоке статье, я расскажу, как и обещал, что Вы должны УЖЕ уметь, чтобы понять то, что я буду докладывать дальше, про реакции опор.

Должны уметь находить сумму проекций сил

Да, это то, что Вам когда-то рассказывали на термехе, как собственно, и опорные реакции. Если Вы шарите немного в этих проекциях, то можете смело переходить к следующему пункту. Если же нет, то специально на этот случай, у меня есть другая статья, про проекции сил. Переходите, просвещайтесь, после чего, обязательно, возвращайтесь сюда!

Должны уметь составлять сумму моментов относительно точки

Немного теории! Познакомимся для начала с самим понятием момент силы. Момент силы — это произведение силы на плечо. Где плечо — это кратчайшее расстояние от точки до силы, то есть перпендикуляр. Проиллюстрирую написанное:

На изображении показано, как определить момент силы F, относительно точки O.

Так же, для моментов, нужно задаться каким-то правилом знаков. Сила относительно точки может поворачивать как по часовой стрелке, так и против нее. Я в своих уроках буду придерживаться такого правила:

• Если сила относительно точки крутит ПРОТИВ часовой стрелке, то момент положительный.
• Если она крутит ПО часовой стрелки, то соответственно момент отрицательный.

Причем, это правило условно! Какое правило Вы будете использовать совсем не важно, результат получите тот же самый. В теоретической механике, к примеру, делают также как я рассказываю.

Должны разбираться в основных видах опор

Теперь поговорим о самих опорах. В этой статье, будем работать с двумя типами опор: шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной.

Шарнирно-подвижная опора препятствует вертикальному перемещению элементу конструкции, в связи с чем, в ней, под действием внешней нагрузки возникает вертикальная реакция. Обозначают ее обычно как R_i, где i — точка крепления опоры.

Шарнирно-неподвижная опора имеет две реакции: вертикальную и горизонтальную. Так как препятствует перемещению в этих двух направлениях.

Вообще-то способов закрепления элементов конструкций и их условных обозначений достаточно много, но в рамках этой статьи их рассматривать не будем.

Примеры определения сил реакций опор

Вроде, всю подготовительную информацию дал, теперь будем рассматривать конкретные примеры. И начнем с простейшей расчетной схемы балки.

Определение реакций опор для балки

Возьмем балку на двух опорах, длиной 2 метра. Загрузим ее, посередине пролета, сосредоточенной силой:

Для этой расчетной схемы, выгодно записать такое условие равновесия:
То есть, будем составлять две суммы моментов относительно опорных точек, из которых можно сразу выразить реакции в опорах. В шарнирно-неподвижной опоре горизонтальная реакция будет равна нулю, ввиду того, что горизонтальные силы отсутствуют. Последним уравнением, взяв сумму проекций на вертикальную ось, сможем проверить правильность нахождения опорных реакций, это сумма должна быть равна нулю.

Введем систему координат, пустим ось х вдоль балки, а ось y вертикально. Обозначим реакции в опорах как R_A и R_B:

Запишем уравнение моментов, относительно точки А. Сила F поворачивает ПО часовой стрелки, записываем ее со знаком МИНУС и умножаем на плечо. Сила R_B поворачивает ПРОТИВ часовой стрелки, пишем ее со знаком ПЛЮС и умножаем на плечо. Все это приравниваем к нулю:

Из полученного уравнения выражаем реакцию R_B.

Первая реакция найдена! Вторая реакция находится аналогично, только теперь уравнение моментов записываем относительно другой точки:

После нахождения реакций, делаем проверку:

Определение реакций опор для балки с распределенной нагрузкой

Теперь рассмотрим балку, загруженную распределенной нагрузкой:

Перед тем как посчитать реакции опор, распределенную нагрузку нужно свернуть до сосредоточенной силы. Если умножить интенсивность q на длину участка, на которой действует нагрузка, получим силу Q. Сила Q будет находиться ровно посередине балки, как и сила F в нашем первом примере:

Подробно комментировать нахождение реакций в опорах здесь, не буду. Просто приведу решение:

Определение опорных реакций для плоской рамы

Теперь, после освоения азов по расчету реакций, предлагаю выполнить расчет плоской рамы. Для примера, возьмем раму, загруженную всевозможными видами нагрузок:

Проводим ряд действий с расчетной схемой рамы:

• заменяем опоры на реакции;
• сворачиваем распределенную нагрузку до сосредоточенной силы;
• вводим глобальную систему координат x и y.

Для такой расчетной схемы, лучше использовать следующую форму условий равновесия:

Составив первое уравнение, относительно точки A, сразу найдем реакцию в опоре B:

Записав второе уравнение, сумму проекций на ось х, найдем горизонтальную реакцию H_A:

И, наконец, третье уравнение, позволит найти реакцию R_A:

Не пугайтесь отрицательного значения реакции! Это значит, что при отбрасывании опоры, мы не угадали с направлением этой силы.

Расчет же показал, что R_A, направленна в другую сторону:

В итоге, получили следующие реакции в опорах рамы:

Осталось проверить наши расчеты! Для этого предлагаю записать уравнение моментов, относительно точки B. И если, эта сумму будет равна нулю, то расчет выполнен верно:

Как видим, расчет реакций выполнен правильно!

На этом заканчиваю данный урок. Если у Вас остались какие-то вопросы по нахождению опорных реакций, смело задавайте их в комментариях к этой статье. Обязательно на все отвечу!

Спасибо за внимание! Если понравилась данная статья, расскажите о ней своим одногруппникам, не жадничайте 🙂

Также рекомендую подписаться на наши соц. сети, чтобы быть в курсе обновлений материалов проекта.

Методы определения реакций опор твердого тела

Как определить реакции опор твердого тела

Чтобы определить реакции опор твердого тела нужно выполнить следующие шаги.

• Вместо связей в опорах приложить силы реакций.
• Если есть распределенная нагрузка, то заменить ее равнодействующей силой. Ее величина равна площади эпюры нагрузки. Точка приложения находится в центре тяжести эпюры. Так для равномерно распределенной на отрезке нагрузки, ее равнодействующая приложена к середине этого отрезка.
• Выбрать систему координат. Ее начало желательно выбрать в точке крепления одной из опор.
• Составить уравнения равновесия.
  Векторная сумма всех действующих на тело сил (включая реакции опор) равна нулю:
  (1) .
  Векторная сумма моментов этих сил относительно начала системы координат O равна нулю:
  (2) .
• Составить проекции уравнений равновесия (1) и (2) на оси системы координат.
  Суммы проекций сил на оси координат равны нулю:
  (1.x) ;
  (1.y) ;
  (1.z) .
  Суммы моментов сил относительно координатных осей равны нулю:
  (2.x) ;
  (2.y) ;
  (2.z) .
• Для трехмерной задачи мы получим систему из шести уравнений, решая которую, определяем шесть неизвестных проекций реакций опор.
• Для плоской задачи, в которой все действующие силы направлены вдоль осей x и y, получаем три уравнения равновесия: (1.x), (1.y) и (2.z). Из них определяем три неизвестные проекции реакций опор.
• Для упрощения расчетов, иногда бывает полезно спроектировать уравнения равновесия (1) и (2) на другие оси, и составить дополнительные уравнения для моментов относительно других точек. См. Три формы уравнений равновесия твердого тела
• Если полученная система не имеет решения, то при такой схеме закрепления тела равновесие не возможно.
• Если число неизвестных превышает число линейно независимых уравнений, то задача имеет бесконечно много решений, она статически неопределима. Такую задачу можно решить только методами сопротивления материалов. Пример: плоское тело с четырьмя опорами.

Далее мы рассмотрим вопросы, связанные с определением реакций опор твердого тела более подробно и разберем пример решения задачи.

Методы определения реакций опор твердого тела

Рассмотрим некоторое твердое тело, на которое действуют заданные внешние силы. Пусть оно определенным образом закреплено в некоторых точках – опорах, и находится в состоянии равновесия. Эти точки закрепления также называются связями. Это могут быть шарниры, заделки, поверхности и т. п.

Отбросим опоры, и приложим вместо них силы. Они называются силами реакций опор. Их направления определяются устройствами соответствующих опор. В некоторых опорах реакции возникают в виде пары сил, которые задаются значением момента пары. Нам нужно найти такие значения сил реакций, чтобы при их действии на тело, оно покоилось, как это происходит в закрепленном состоянии.

Воспользуемся двумя законами, которые выполняются, если тело находится в покое.
1) Векторная сумма всех действующих на тело внешних сил равна нулю:
(M.1) .
2) Векторная сумма моментов всех внешних сил относительно любой точки O равна нулю:
(M.2) .
Эти законы называются уравнениями равновесия. В них также включены силы (пары сил) реакций опор.

Самый простой способ составления уравнений равновесия

Разберем самый простой способ составления уравнений равновесия. С его помощью можно гарантированно получить значения сил реакций опор или определить, что схема закрепления тела в опорах является статически неопределимой.

Выберем прямоугольную систему координат с началом в любой точке. Часто за начало системы координат удобно выбрать точку крепления одной из опор, но это не обязательно. Итак, пусть мы выбрали систему координат Oxyz с началом в точке O .

Спроектируем (M.1) на оси этой системы. В результате мы получим три уравнения, связывающие проекции сил на оси xyz :
(M.1.x) ;
(M.1.y) ;
(M.1.z) .
Здесь – n сил, действующих на тело. В их состав также включены и силы реакций опор.

Составим уравнения равновесия (M.2) для моментов, относительно осей Ox , Oy , Oz системы координат:
(M.2.x) ;
(M.2.y) ;
(M.2.z) .
Заметим, что эти уравнения являются проекциями векторного уравнения (M.2) на оси Ox , Oy и Oz .

Уравнения (M.1.x), (M.1.y), (M.1.z) и (M.2.x), (M.2.y), (M.2.z) представляют собой полную систему уравнений равновесия твердого тела. Если мы попытаемся добавить сюда еще одно уравнение, то оно будет являться линейной комбинацией уже существующих уравнений, и никак не повлияет на численные значения определяемых реакций опор. Например, мы можем выбрать еще одну ось, и спроектировать на нее уравнение (M.1) для сил. Или мы можем составить уравнение для моментов (M.2) относительно другой точки, отличной от начала координат. В результате получим дополнительные уравнения, но число линейно независимых уравнений от этого не изменится.

Таким образом, для одного тела, методами статики, мы можем составить максимум шесть независимых уравнений равновесия. В некоторых случаях их число может быть еще меньше.

Так, в случае плоской системы сил, у нас будет всего три независимых уравнения. Чтобы в этом убедиться, выберем систему координат, у которой оси Ox и Oy лежат в плоскости действия сил. Ось Oz перпендикулярна. Тогда проекции всех сил на ось Oz равны нулю. Поэтому уравнение (M.1.z) выполняется автоматически, и его можно вычеркнуть. В уравнениях (M.2.x) и (M.2.y) все силы или пересекают оси Ox и Oy, или параллельны им. Поэтому их моменты относительно этих осей равны нулю. Тогда и уравнения (M.2.x) и (M.2.y) выполняется автоматически. Их также можно вычеркнуть. Остаются три уравнения равновесия (M.1.x), (M.1.y) и (M.2.z).

Неизвестными в уравнениях равновесия являются проекции сил реакций опор на оси координат, или проекции пар сил. При решении этих уравнений могут возникнуть следующие случаи.

1. Число неизвестных совпадает с числом линейно независимых уравнений. Тогда задача статически определима, и мы можем получить значения неизвестных реакций, решив линейную систему уравнений.
2. Число неизвестных меньше числа линейно независимых уравнений и система не имеет решений – при такой схеме закрепления тела равновесие не возможно.
3. Число неизвестных превышает число независимых уравнений – система имеет бесконечное множество решений. Выбрать единственное решение, используя только методы статики, нельзя. Задача является статически неопределимой. Такие задачи решаются методами сопротивления материалов. Например, если балка имеет четыре опоры, то у нас минимум четыре неизвестные величины и три уравнения равновесия (для плоской системы сил). В этом случае, для определения реакций, необходимо учитывать возникающие в балке деформации и напряжения.

Эффективные способы составления уравнений равновесия

Уравнений (M.1) и (M.2) достаточно для определения опорных реакций, но иногда бывает удобным дополнить их другими уравнениями, из которых можно определить реакции более легким способом.

Один из способов заключается в соответствующем выборе начала системы координат. Так, если за ее начало взять точку крепления одной из опор тела, то сила реакции в этой опоре будет пересекать начало координат, и поэтому ее момент будет равен нулю (это не относится к паре сил). Тогда компоненты этих сил реакций не будут входить в уравнения для моментов (M.2.x), (M.2.y), (M.2.z).

Спроектировав уравнение равновесия для сил на ось AD, находим реакцию R_B

Уравнения (М.1.x) – (М.1.z) представляют собой проекции векторного уравнения (М.1) на оси координат. Но это уравнение можно спроектировать на любую ось. Тогда в него не войдут силы, перпендикулярные выбранной оси. На рисунке слева изображено тело ADB. Реакция в скользящей заделке A состоит из силы R_A и пары сил с моментом M_A; в опоре на катках B – из силы R_B. Для определения только одной реакции R_B, мы можем спроектировать уравнение для сил на ось AD (см. рисунок). Поскольку реакция перпендикулярна этой оси, то ее проекция на AD равна нулю. Равномерно распределенная нагрузка q, и ее равнодействующая Q также перпендикулярна AD. В результате получим уравнение, содержащее только одну реакцию R_B:
;
;
.
Отсюда сразу определяем R_B:
.

Поскольку в равновесии сумма моментов сил равна нулю относительно любой точки, то можно выбрать дополнительную точку, и относительно нее составить уравнение для моментов:
.
Число линейно независимых уравнений при этом не изменится, но мы можем дополнить систему более простым уравнением. См. Три формы уравнений равновесия твердого тела.

Вернемся к нашему примеру ⇑. Пусть нам нужно определить только момент . Тогда можно выбрать точку O₂ на пересечении линий действия сил и . Поскольку эти силы пересекают O₂, то их моменты относительно этой точки равны нулю. Составим уравнение для моментов:
.
Спроектируем его на ось z, перпендикулярную плоскости рисунка:
;
;
.
Отсюда находим :
.

Для трехмерного распределения сил, уравнения (M.2.x), (M.2.y) и (M.2.z) являются проекциями векторного уравнения для моментов (M.2) на оси координат. Но это уравнение можно спроектировать на любую ось, не обязательно параллельной одной из осей системы координат, как мы делали для сил.

Далее приводится подробно разобранный пример решения задачи, в котором требуемая реакция определяется из одного уравнения за счет соответствующего выбора оси, относительно которой вычисляются суммы моментов сил.
Определение реакций опор твердого тела — решение задачи

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 30-10-2017 Изменено: 06-01-2022