Определение показательного уравнения корень энной степени

Показательные уравнения

О чем эта статья:

6 класс, 7 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.

Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:

Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.

С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a

Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.

Как решать
показательные уравнения?

Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Это поможет решить задания №5, 13 и 15 из профильного уровня математики.

Одна из их разновидностей – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие переменной \(х\) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:

Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:

Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение \(х\). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.

И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:

И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением. Кроме самой показательной функции в уравнении могут быть любые другие математические конструкции – тригонометрические функции, логарифмы, корни, дроби и т.д. Если вы видите степень, значит перед вам показательное уравнение.

Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.

Простейшие показательные уравнения

Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:

Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо \(х\) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:

Значит, если \(х=3\), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.

Решим что-нибудь посложнее.

Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:

Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:

Теперь наше уравнение будет выглядеть так:

Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны \(3\), только вот степени разные – слева степень \((4х-1)\), а справа \((-2)\). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:

Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.

Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.

Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что \(125=5*5*5=5^3\), а \(25=5*5=5^2\), подставим:

Воспользуемся одним из свойств степеней \((a^n)^m=a^\):

И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:

И еще один пример:

Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить \(2\) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.

Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.

Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.

Общий метод решения показательных уравнений

Пусть у нас есть вот такой пример:

Где \(a,b\) какие-то положительные числа. (\(a>0, \; b>0\).

Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.

Слева у нас уже стоит \(a^x\), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число \(b\), которое нужно попытаться представить в виде \(b=a^m\). Тогда уравнение принимает вид:

Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:

Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:

Замечаем, что \(16=2*2*2*2=2^4\) это степень двойки:

Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:

$$x=4.$$
Пример 6 $$5^<-x>=125 \Rightarrow 5^<-x>=5*5*5 \Rightarrow 5^<-x>=5^3 \Rightarrow –x=3 \Rightarrow x=-3.$$
Пример 7 $$9^<4x>=81 \Rightarrow (3*3)^<4x>=3*3*3*3 \Rightarrow(3^2)^<4x>=3^4 \Rightarrow 3^<8x>=3^4 \Rightarrow 8x=4 \Rightarrow x=\frac<1><2>.$$

Здесь мы заметили, что \(9=3^2\) и \(81=3^4\) являются степенями \(3\).

Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:

\(3\) и \(2\) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число \(b>0\), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице \(a>0, \; a \neq 1\):

Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим \(2\) в виде \(3\) в какой-то степени, где \(a=3\), а \(b=2\):

Подставим данное преобразование в наш пример:

Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:

Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.

Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.

Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.

Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:

Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.

И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\).

Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:

Решение показательных уравнений при помощи замены

Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.

Здесь это сделать легко, замечаем, что \(9=3^2\), тогда \(9^x=(3^2)^x=3^<2x>=(3^x)^2\). Здесь мы воспользовались свойством степеней: \((a^n)^m=a^\). Подставим:

Обратим внимание, что во всем уравнении все \(х\) «входят» в одинаковую функцию — \(3^x\). Сделаем замену \(t=3^x, \; t>0\), так как показательная функция всегда положительна.

Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:

Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:

И второй корень:

И еще один пример на замену:

Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание \(3\). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Но если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член \(3=2+1\) и вынести общий множитель \(2\):

Подставим в исходное уравнение:

Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:

Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:

И второе значение \(t\):

Тут у нас две показательные функции с основаниями \(7\) и \(3\), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на \(3^x\):

Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:

Разберем каждое слагаемое:

Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:

Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену \(t=(\frac<7><3>)^x\):

Сделаем обратную замену:

И последний пример на замену:

Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:

Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:

Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны — отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!

И последнее слагаемое со степенью:

Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:

Теперь можно сделать замену \(t=2^x\) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель \(2^x\)):

Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера. Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.

И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут

Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании \(2\), \(5\) и \(10\). Очевидно, что \(10=2*5\). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:

Воспользуемся формулой \((a*b)^n=a^n*b^n\):

И перекинем все показательные функции с основанием \(2\) влево, а с основанием \(5\) вправо:

Сокращаем и воспользуемся формулами \(a^n*a^m=a^\) и \(\frac=a^\):

Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.

Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!

Показательные уравнения

Разделы: Математика

Цели урока:

• изучение основных методов решения показательных уравнений; формирование навыков решения показательных уравнений;
• развитие мыслительной деятельности, математической речи, потребности к самообразованию, творческой деятельности учащихся, умения находить наиболее рациональный способ решения;
• воспитание познавательной активности; чувства ответственности; грамотности речи, аккуратности.

Методическая цель: продемонстрировать применение мультимедиа технологий для дифференцированного разноуровневого обучения.

Оборудование: классная доска, цветные мелки; компьютерный класс; проектор, экран.

Подготовка к уроку:

Урок проводится в профильном информационно-технологическом классе, учащиеся которого хорошо знакомы с информационными технологиями. Поэтому некоторые учащихся за неделю до урока получают задания оформить по одному из методов решения показательных уравнений в виде слайдов в MS PowerPoint. Группа экспертов, включающая учителя и ребят, занимающихся в научном обществе, прорабатывала весь материал и составляла вопросы повторения, слайды из серии “Проверь себя!” и разрабатывала карточки и инструкции для слабоуспевающих.

Структура урока:

1. Организационный момент (3мин).
2. Актуализация знаний (15 мин)
3. Изучение нового материала (30 мин).
4. Закрепление материала (30 мин).
5. Домашнее задание (2 мин).
6. Подведение итогов урока (10 мин).

Вопросы повторения:

• а) Что называется уравнением?
• б) Что значит решить уравнение?
• в) Что называется корнем уравнения?
• г) Способы решения любого уравнения.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Вступление. При решении алгебраических задач, довольно часто приходится отыскивать показатель степени, в которую нужно возвести число, чтобы получить результат. Не всегда это возможно сделать устно, поэтому необходимо знать методы решения показательных уравнений, т.e. уравнений, неизвестные которых представляют собой показатели степеней. С методами решения таких уравнений мы и познакомимся на сегодняшнем семинаре.

II. Актуализация опорных знаний

1.Работа по карточкам повторения: (2 человека)

1. В одной системе координат построить графики функций: y = 2 x , y= 5 x , y = 0.	1.В одной системе координат построить графики функций: y = () x , y=(1/3) x , y = -2 х .
2. Какие значения принимает функция y = 5 x — 2? Рассмотреть различные способы.	2. Найти область значений функции y = 1 — () x .

2. Устный счет (слайд № 2)

Найти область определения выражения: а) х; б) (х – 1); в) х +6.

Сравните числа: а) () и 2 -0,2 ; б) 5 · 0,4 1,4 и 2 · 2,5 -0,5 .

Вычислить: а) 16; б) 243 0,2 ; в) ( ) ; г) · 2 4/3 : 3 1/6 ; д) · () 8/3 · () 7/6 .

3. Фронтальный опрос по отработке определения показательной функции: Какую функцию зададут выражения из первого задания? Какая функция называется показательной? Чем отличаются степенная и показательная функции? Где применяется показательная функция? Как называется график показательной функции? Почему a > 0? Почему a ? 0? Почему a ? 1? Как ведет себя показательная функция при a > 1?

1. Какие из перечисленных ниже функций являются показательными:

а) y = 2 x ;

б) y = x 2 ;

в) y =(-3) x;

г) y =() x ;

д) y = x;

е) y =(x — 2) 3 ;

ж)y = x ;

з)y = 3 -x .

2. Какие из перечисленных показательных функций являются возрастающими:

а) y = 5 x ;

б) y = (0,5) x ;

в) y =() x ;

г) y = 10 x ;

д) y = x ;

е) y = (?) x ;

ж) y = 49;

з) y =(14 cos()) -x .

3. Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга? Рассмотреть случаи х > 0, х

3. Программированный контроль по отработке свойств показательной функции. Учащиеся, отвечая на вопросы, ставят “+”, если утверждение верно или “-” если оно неверно.

Верно ли, что показательная функция: а) задана на всей числовой прямой; б) является монотонной; в) имеет экстремумы; г) принимает значение, равное 0; д) принимает значение равное 1; е) является четной; ж) является нечетной; з) принимает только положительные значения.

Записать координаты точек необходимых для построения графика показательной функции.

Самопроверка (слайд № 4, № 5)

x	— 1	0	1
y		1	а

1. D (y) = R, непрерывна на R 2. E (y) = R₊ = (0; +?), ограничена снизу прямой у = 0
2. у ни четная, ни нечетная
3. у = 0 нет
4. y > 0 на R
5. у возрастает на R
6. экстремумов нет
7. выпукла вниз
8. 9. дифференцируема на R
9. у убывает на R

III. Изучение нового материала

Создание проблемной ситуации:

По графикам, построенным на доске определить абсциссы точек их пересечения:

а)y = 2 x и y = 0;

б)y = () x и y = -2.

Абсциссы точек пересечения графиков функций y = x и y = b являются решением простейших показательных уравнений. Вводится определение простейшего показательного уравнения как уравнения вида x = b, где >0 и ?1. При b?0 уравнение корней не имеет,

при b > 0 показательное уравнение имеет единственный корень. Записывается на доске.

С использованием слайда № 6 вводится определение показательных уравнений вида:

f (x) = g (x) как уравнение такого вида и сводящиеся к нему.

Приводятся примеры: 2 2х-4 =64; () 2х+5 = () -1 ; 5 х-3 = 5 3х-8 .

1. Простейшие показательные уравнения.

Простейшие показательные уравнения решают либо с помощью графика, либо способом приведения к общему основанию. Рассмотрим функционально-графический метод решения простейших показательных уравнений x = b. При построении графика функции целесообразно использовать информационные технологии и производить при помощи табличного процессора MS EXEL.

Построение графика функции: 2 х = 2 на промежутке от -2 до 2, с шагом 0,2.

1.1 Заполнение таблицы:

• заголовок
• значения аргумента
• значения функции

1.2 Построение графика функции:

а) Построить таблицу значений функции

Заметим, что ряд аргументов представляет собой последовательность из 21 числа с одинаковым расстоянием 0,2 между ними. Это свойство можно использовать для быстрого ввода чисел этого ряда.

Введите в ячейку А3 число -2, в А4 – число -1,8. Выделите эти ячейки. У ячейки А4 ухватите маркер автозаполнения и протяните его до ячейки А21. Весь ряд заполнится нужными числами, т. е. числами от -2 до 2 с шагом 0,2.

Теперь введите формулу для функции в ячейку B3. Щелкните по ней. Введите: =2^A2

После ввода закройте ячейку клавишей Enter.

Найдите маркер автоподбора ячейки B1 и протяните его до ячейки B21.

В окончательном виде таблица значений аргумента x и соответствующих им значений функции y(x) показана на

б) Построение графика. Щелкните по ячейке вне таблицы. Запустите Мастер диаграмм.

В окне первого шага щелкните по закладке Нестандартные, затем по строке Гладкие графики.

В окне второго шага укажите расположение рядов в столбцах. Щелкните на кнопке строки Диапазон и выделите вычисленные значения функции (ячейку заголовка не выделяйте). Снова щелкните по кнопке диапазона. Окно распахнется. Щелкните на закладке Ряд. Теперь щелкните по кнопке строки Подписи оси X: и выделите ряд значений аргумента (в столбце x).

На третьем шаге на закладке Заголовки внесите название График функции. На закладке Линии сетки поставьте галочки опций основные линии по обеим осям. На закладке Легенда снимите галочку опции Добавить легенду.

Закройте Мастер диаграмм. Отрегулируйте шрифты и положение графика на подложке.

Диаграмма примет вид, показанный на рис.1.

Учащиеся на местах, при помощи MS EXEL строят графики функций: 5 х =1 ; 5 х =5; 0,3 х =1; 0,3 х =3.

Ученик выходит к экрану, на который спроектировано решение уравнений (слайд № 7) и поясняет их решение: 5 х =1 и 5 х =5; 0,3 х =1 и 0,3 х =3.

Ученики записывают их решение в тетрадь и задают вопросы.

Кроме графического существует и аналитический метод решения простейших показательных уравнений – уравнивания показателей.

а) Уравнения вида решаются так: показатель степени приравнивают к нулю и находят корни уравнения f(x) = 0.

Поступая так, пользуются определением: a 0 = 1. Поэтому уравнение a f(x) = 1 равносильно уравнению a f(x) = a 0 , а оно в свою очередь равносильно уравнению f(x) = 0, f(x) – некоторая функция.

Разбор с места: 8 x – 5 = 1, самостоятельно 2 3-x = 1.

Решение уравнения ()x – 5x + 6 = 1 показывает ученик на доске: x – 5x + 6 = 0, по теореме Виета находит корни х₁= 2, х₂= 3.

Для решения уравнения 49 x+0,5 • 7 x-2 =1 воспользуемся свойствами степеней и “соберем” в левой его части выражение вида 7 f (x) : 7 2х+1 •7 х-2 = 1; 7 3х-1 = 1; 3х-1 = 0; х = . Все уравнения заранее записаны на центральной части доски и стираются по мере решения.

б) При b ? 1. Уравнения вида a x = b решают способом приведения к общему основанию. Следует помнить, что показательная функция монотонная и непрерывна т. е. принимает каждое свое значение только один раз при одном значении аргумента и поэтому если Х1 = Х2 , то Х₁ = Х₂.

Устно разбор уравнений на слайде № 6.

Для закрепления материала устно решаются уравнения из учебника № 1357 — № 1360.

2. Функционально – графический метод

Следующий учащийся поясняет решение графическим методом при помощи табличного процессора MS EXEL уравнения этого вида 2 -х =3 0,5х . Так как все показательные функции принимают при х = 0 значение равное 1, то их графики пересекаются в точке (0;1).

Вывод: показательные уравнения вида a f (x) = b g (x) имеют 1 корень = 0. (слайд № 8, № 9). Графический способ стараются применять только тогда, когда алгебраический весьма затруднен. Например, необходимо решить уравнение a f (x) = g(x). При этом нужно отметить, что построение графиков многих функций – очень непростая задача, и здесь также уместно применение информационных технологий (MS EXEL).

Для закрепления материала учащиеся решают графически задание из учебника № 1371 — № 1372 (в, г), одна группа учащихся — в тетрадях, другая группа — используя электронные таблицы.

Кроме графического существует и аналитический метод решения показательных уравнений – уравнивания показателей.

2. Метод уравнивания показателей

Решая показательное уравнение необходимо привести их к простейшим.

С использованием слайда № 10 сформулировать и доказать теорему:

показательное уравнение a f (x) = a g (x) (где a >0, a ?1) равносильно уравнению f (x) = g(x). Доказательство записать на доске. Учащимся предлагается с применением теоремы решить уравнения а) на разворотах доски (уравнения записаны снизу вверх и убираются по мере решения):

() 3х-1 = () 5х-9 и () 2х + х — 0,5 = . Ответы ? = 1, ? = -1, ? = .

Самостоятельно решить по вариантам № 1362 (I – a), б); II – в), г)).

а) Показательные уравнения вида a f (x) = b f (x) сводятся к виду a f(x) = 1. Выражение, стоящее в левой части, делиться на правую часть (или наоборот). Так как показатели степеней равны, частное степеней есть степень частного, а справа (или слева) остается единица.

Ученик разъясняет классу решение уравнения 2 0,5x = 3 0,5x (слайд № 11).

3 0,5x > 0, () 0,5x = 1, 0,5х = 0, х = 0. Ответ: х = 0.

Учащимся предлагается: а) самостоятельно решить уравнение, записанное на доске: 5 x-5 = 3 x-5 . Ответ: х = 5.

б) оформить на доске и тетрадях решение следующего уравнения: = . Ответ: х = — 2. Какие свойства степени применялись при решении уравнений?

б) Уравнения вида: А_1a mx+p1 + A₂ a mx+p2 + … + A_{n a} mx+pn = B, где А₁, А₂, …, А_n, p₁, p₂, … , p_n – числовые коэффициенты, решаются следующим образом: среди степеней с основанием a , как правило, выбирается степень с наименьшим показателем и выносится за скобки, затем вычисляется сумма, которая осталась в скобках. После этого число В, стоящее в левой части, следует разделить на эту сумму. В итоге уравнение сводится к виду a f (x) = a g (x) . Ученик поясняет решение уравнения этого типа на примере: 4 х+1 + 4 х = 320, 4 х (4 + 1) = 320, 4 х = 64, х = 3. (слайд № 11)

Затем двое учащихся решают уравнения б) на развороте доски

Вывод: при решении уравнений методом уравнивания показателей, необходимо привести обе части уравнения к одному основанию, применяя либо свойства степени, либо разложение на множители, либо почленное деление на выражение a f(x) , где a f(x) > 0.

3. Метод введения новой переменной

а) Уравнения вида Аa 2х + Вa х + С = 0. Эти уравнения сводятся к квадратным путем замены выражения a х новой переменной. После решения получившегося квадратного уравнения возвращаются к старой переменной и решают простейшие показательные уравнения. Учащийся комментирует решение на приготовленном им слайде: 4 х + 2 х+1 – 24 = 0, (слайд № 11). 2 2х +2 • 2 х -24 = 0. Сделав замену 2 х на t, где t > 0, получим t 2 + 2t – 24 = 0. Корни полученного квадратного уравнения 4 и -6. -6 — посторонний корень. Решив уравнение 2 х = 4, имеем х=2. Один ученик решает уравнение в) на левом развороте доски: 4

От чего зависит количество корней данного уравнения? При каком условии данное уравнение не имеет решения?

О.Д.З.: х ? 2 2 = с, с>о, с 2 – 10с +16 = 0, с = 2 и с = 8, 2 = 2 и 2 = 8, = 1 и = 3. Решив простейшие иррациональные уравнения получим два корня: х₁ = 3 и х₂ = 11.

б) Метод введения новой переменной используется и при решении следующего уравнения:

3 х + 3 3-х = 12. (слайд № 12)

Один ученик разъясняет решенное им уравнение.

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выделить выражение

3 х : 3 х + 3 3 • 3 -х = 12.

Затем, обозначив 3 х за у (у>0), получим что 3 -х = .

Умножив, обе части уравнения у + — 12 = 0 на у получим:

Вычислив корни квадратного уравнения, переходим к совокупности простейших показательных:

3 х = 3 и 3 х = 9.

Следующий учащийся разбирает аналогичное уравнение в) на правой части доски: () 1-х — () х = 4.96. Какую другую замену можно сделать при решении этого уравнения? Почему t >0?

Пусть () х = t, t > 0. • () -х — () х = 4, • — t = 4, t 2 + 4t — = 0, t = — 5 (пост) и t = , () х = , х = 2.

Можно выделить три основных метода решения показательных уравнений (слайд № 14):

Функционально – графический (графические иллюстрации);

Уравнивания показателей (a t = a s );

Введения новой переменной.

IV. Закрепление материала

Для закрепления материала я сначала прошу ребят провести классификацию по методам решения уравнений, представленных в учебнике под № 1363- № 1370. Работа идет в форме беседы. Затем используется раздаточный материал – карточки-инструкции, Приложение 2 на которых представлены показательные уравнения. Каждый ученик получает четыре задания, по одному на метод. При этом они могут задавать вопросы консультантам, которые выступали на семинаре. Консультанты выполняют решение уравнений г) и д), записанных на доске.

Дальше классу предлагается разобрать по учебнику пример № 4, оформить его решение в тетрадях. Аналогичное уравнение решается на доске.

V. Домашнее задание

Для выполнения домашнего задания предлагаю слабоуспевающим учащимся решить уравнения г) и д) с доски и а) из № 1363- № 1370 (по одному на каждый из методов решения).

Для группы, хорошо усвоивших материал решить шесть уравнений из сборника Сканави и приготовить по одному слайду с их решением.

Уравнение из сборника Сканави:

а) 2 х-3 • 5 х-3 = 0,01• (10 х-1 ) 3 ; б) 10 + 25