Определение потерь энергии по уравнению дарси вейсбаха

Определение потерь энергии по уравнению дарси вейсбаха

Документальные учебные фильмы. Серия «Физика».

Гидравлические потери или гидравлическое сопротивление — безвозвратные потери удельной энергии (переход её в теплоту) на участках гидравлических систем (систем гидропривода, трубопроводах, другом гидрооборудовании), обусловленные наличием вязкого трения. Хотя потеря полной энергии — существенно положительная величина, разность полных энергий на концах участка течения может быть и отрицательной (например, при эжекционном эффекте).

Гидравлические потери принято разделять на два вида:

• потери на трение по длине — возникают при равномерном течении, в чистом виде — в прямых трубах постоянного сечения, они пропорциональны длине трубы;
• местные гидравлические потери — обусловлены т. н. местными гидравлическими сопротивлениями — изменениями формы и размера канала, деформирующими поток. Примером местных потерь могут служить: внезапное расширение трубы, внезапное сужение трубы, поворот, клапан и т. п.

Гидравлические потери выражают либо в потерях напора в линейных единицах столба среды, либо в единицах давления : , где — плотность среды, g — ускорение свободного падения.

Формула Дарси — Вейсбаха

Во многих случаях приближённо можно считать, что потери энергии при протекании жидкости через элемент гидравлической системы пропорциональны квадрату скорости жидкости. По этой причине удобно бывает характеризовать сопротивление безразмерной величиной ?, которая называется коэффициент потерь или коэффициент местного сопротивления и такова, что

То есть в предположении, что скорость w по всему сечению потока одинакова, ?=?p/e_торм, где e_торм = ?w?/2 — энергия торможения единицы объёма потока относительно канала. Реально в потоке скорость жидкости не равномерна, в справочной литературе в данных формулах принимается среднерасходная скорость w=Q/F, где Q — объёмный расход, F — площадь сечения, для которого рассчитывается скорость. Таким образом, средняя энергия торможения потока обычно несколько больше ?w?/2, см. Среднее квадратическое.

Для линейных потерь обычно пользуются коэффициентом потерь на трение по длине (также коэффициент Дарси) ?, фигурирующего в формуле Дарси — Вейсбаха

,

где L — длина элемента, d — характерный размер сечения (для круглых труб это диаметр). Иначе в единицах давления

;

таким образом, для линейного элемента относительной длины L/d коэффициент сопротивления трения ?_тр=?L/d.

Определение потерь энергии по уравнению дарси вейсбаха

Потери энергии (уменьшение гидравлического напора) можно наблюдать в движущейся жидкости не только на сравнительно длинных участках, но и на коротких. В одних случаях потери напора распределяются (иногда равномерно) по длине трубопровода — это линейные потери; в других — они сосредоточены на очень коротких участках, длиной которых можно пренебречь, — на так называемых местных гидравлических сопротивлениях: вентили, всевозможные закругления, сужения, расширения и т.д., короче всюду, где поток претерпевает деформацию. Источником потерь во всех случаях является вязкость жидкости.

Следует заметить, что потери напора и по длине и в местных гидравлических сопротивлениях существенным образом зависят от так называемого режима движения жидкости.

При наблюдении за движением жидкости в трубах и каналах, можно заметить, что в одном случае жидкость сохраняет определенный строй своих частиц, а в других — перемещаются бессистемно. Однако исчерпывающие опыты по этому вопросу были проведены Рейнольдсом в 1883 г. На рис. 4.1 изображена установка, аналогичная той, на которой Рейнольдс производил свои опыты.

Установка состоит из резервуара А с водой, от которого отходит стеклянная труба В с краном С на конце, и сосуда D с водным раствором краски, которая может по трубке вводиться тонкой струйкой внутрь стеклянной трубы В.

Первый случай движения жидкости. Если немного приоткрыть кран С и дать возможность воде протекать в трубе с небольшой скоростью, а затем с помощью крана Е впустить краску в поток воды, то увидим, что введенная в трубу краска не будет перемешиваться с потоком воды. Струйка краски будет отчетливо видимой вдоль всей стеклянной трубы, что указывает на слоистый характер течения жидкости и на отсутствие перемешивания. Если при этом, если к трубе подсоединить пьезометр или трубку Пито, то они покажут неизменность давления и скорости по времени. Такой режим движения называется ламинарный.

Второй случай движения жидкости. При постепенном увеличении скорости течения воды в трубе путем открытия крана С картина течения вначале не меняется, но затем при определенной скорости течения наступает быстрое ее изменение. Струйка краски по выходе из трубки начинает колебаться, затем размывается и перемешивается с потоком воды, причем становятся заметными вихреобразования и вращательное движение жидкости. Пьезометр и трубка Пито при этом покажут непрерывные пульсации давления и скорости в потоке воды. Такое течение называется турбулентным (рис.4.1, вверху).

Если уменьшить скорость потока, то восстановится ламинарное течение.

Итак, ламинарным называется слоистое течение без перемешивания частиц жидкости и без пульсации скорости и давления. При ламинарном течении жидкости в прямой трубе постоянного сечения все линии тока направлены параллельно оси трубы, при этом отсутствуют поперечные перемещения частиц жидкости.

Турбулентным называется течение, сопровождающееся интенсивным перемешиванием жидкости с пульсациями скоростей и давлений. Наряду с основным продольным перемещением жидкости наблюдаются поперечные перемещения и вращательные движения отдельных объемов жидкости. Переход от ламинарного режима к турбулентному наблюдается при определенной скорости движения жидкости. Эта скорость называется критической υ _кр.

Значение этой скорости прямо пропорционально кинематической вязкости жидкости и обратно пропорционально диаметру трубы.

Входящий в эту формулу безразмерный коэффициент k, одинаков для всех жидкостей и газов, а также для любых диаметров труб. Этот коэффициент называется критическим числом Рейнольдса Re_кр и определяется следующим образом:

Как показывает опыт, для труб круглого сечения Re_кр примерно равно 2300.

Таким образом, критерий подобия Рейнольдса позволяет судить о режиме течения жидкости в трубе. При Re Re_кр течение является турбулентным. Точнее говоря, вполне развитое турбулентное течение в трубах устанавливается лишь при Re примерно равно 4000, а при Re = 2300…4000 имеет место переходная, критическая область.

Режим движения жидкости напрямую влияет на степень гидравлического сопротивления трубопроводов.

В некоторых случаях при движении жидкости в закрытых руслах происходит явление, связанное с изменением агрегатного состояния жидкости, т.е. превращение ее в пар с выделением из жидкости растворенных в ней газов.

Наглядно это явление можно продемонстрировать на простом устройстве, состоящим из трубы, на отдельном участке которой установлена прозрачная трубка Вентури (рис.4.2). Вода под давлением движется от сечения 1-1 через сечение 2-2 к сечению 3-3. Как видно из рисунка, сечение 2-2 имеет меньший диаметр. Скорость течения жидкости в трубе можно изменять, например, установленным после сечения 3-3 краном.

При небольшой скорости никаких видимых изменений в движении жидкости не происходит. При увеличении скорости движения жидкости в узком сечении трубки Вентури 2-2 появляется отчетливая зона с образованием пузырьков газа. Образуется область местного кипения, т.е. образование пара с выделением растворенного в воде газа. Далее при подходе жидкости к сечению 3-3 это явление исчезает.

Это явление обусловлено следующим. Известно, что при движении жидкой или газообразной среды, давление в ней падает. Причем, чем выше скорость движения среды, тем давление в ней ниже. Поэтому, при течении жидкости через местное сужение 2-2, согласно уравнению неразрывности течений, увеличивается скорость с одновременным падением давления в этом месте. Если абсолютное давление при этом достигает значения равного давлению насыщенных паров жидкости при данной температуре или значения равного давлению, при котором начинается выделение из нее растворимых газов, то в данном месте потока наблюдается интенсивное парообразование (кипение) и выделение газов. Такое явление называется кавитацией.

При дальнейшем движении жидкости к сечению 3-3, пузырьки исчезают, т.е. происходит резкое уменьшение их размеров. В то время, когда пузырек исчезает (схлопывается), в точке его схлопывания происходит резкое увеличение давления, которое передается на соседние объемы жидкости и через них на стенки трубопровода. Таким образом, от таких многочисленных местных повышений давлений (гидроударов), возникает вибрация.

Таким образом, кавитация — это местное нарушение сплошности течения с образованием паровых и газовых пузырей (каверн), обусловленное местным падением давления в потоке.

Кавитация в обычных случаях является нежелательным явлением, и ее не следует допускать в трубопроводах и других элементах гидросистем. Кавитация возникает в кранах, вентилях, задвижках, жиклерах и т.д.

Кавитация может иметь место в гидромашинах (насосах и гидротурбинах), снижая при этом их коэффициент полезного действия, а при длительном воздействии кавитации происходит разрушение деталей, подверженных вибрации. Кроме этого разрушаются стенки трубопроводов, уменьшается их пропускная способность вследствие уменьшения живого сечения трубы.

Как показывают исследования, при ламинарном течении жидкости в круглой трубе максимальная скорость находится на оси трубы. У стенок трубы скорость равна нулю, т.к. частицы жидкости покрывают внутреннюю поверхность трубопровода тонким неподвижным слоем. От стенок трубы к ее оси скорости нарастаю плавно. График распределения скоростей по поперечному сечению потока представляет собой параболоид вращения, а сечение параболоида осевой плоскостью — квадратичную параболу (рис.4.3).

Уравнение, связывающее переменные υ и r, имеет следующий вид:

где P1 и P2 — давления соответственно в сечениях 1 и 2.

У стенок трубы величина r = R, , значит скорость υ = 0, а при r = 0 (на оси потока) скорость будет максимальной

Теперь определим расход жидкости при ламинарном течении в круглой трубе. Так как эпюра распределения скоростей в круглой трубе имеет вид параболоида вращения с максимальным значением скорости в центре трубы, то расход жидкости численно равен объему этого параболоида. Определим этот объем.

Максимальная скорость дает высоту параболоида

Как известно из геометрии, объем параболоида высотой h и площадью ρR 2 равен

а в нашем случае

Если вместо R подставить диаметр трубы d, то формула (4.4) приобретет вид

Расход в трубе можно выразить через среднюю скорость:

Для определения потерь напора при ламинарном течении жидкости в круглой трубе рассмотрим участок трубы длиной l, по которому поток течет в условиях ламинарного режима (рис.4.3).

Потеря давления в трубопроводе будет равна

Если в формуле динамический коэффициент вязкости μ заменить через кинематический коэффициент вязкости υ и плотность ρ ( μ = υ ρ ) и разделить обе части равенства на объемный вес жидкости γ = ρ g, то получим:

Так как левая часть полученного равенства равна потерям напора h_пот в трубе постоянного диаметра, то окончательно это равенство примет вид:

Уравнение может быть преобразовано в универсальную формулу Вейсбаха-Дарси, которая окончательно записывается так:

где λ — коэффициент гидравлического трения, который для ламинарного потока вычисляется по выражению:

Однако при ламинарном режиме для определения коэффициента гидравлического трения λ Т.М. Башта рекомендует при Re 2 обозначается греческой буквой ζ (дзета) и называется коэффициентом потерь, таким образом

2. Постепенное расширение русла. Постепенно расширяющаяся труба называется диффузором (рис.4.10). Течение скорости в диффузоре сопровождается ее уменьшением и увеличением давления, а следовательно, преобразованием кинетической энергии жидкости в энергию давления. В диффузоре, так же как и при внезапном расширении русла, происходит отрыв основного потока от стенки и вихреобразования. Интенсивность этих явлений возрастает с увеличением угла расширения диффузора α.

Кроме того, в диффузоре имеются и обычные потери на терние, подобные тем, которые возникают в трубах постоянного сечения. Полную потерю напора в диффузоре рассматривают как сумму двух слагаемых:

где k — коэффициент смягчения, при α= 5…20°, k = sinα.

Учитывая это полную потерю напора можно переписать в виде:

откуда коэффициент сопротивления диффузора можно выразить формулой

Функция ζ = f(α)имеет минимум при некотором наивыгоднейшем оптимальном значении угла α, оптимальное значение которого определится следующим выражением:

При подстановке в эту формулу λ_Т =0,015…0,025 и n = 2…4 получим α_опт = 6 (рис.4.11).

3. Внезапное сужение русла. В этом случае потеря напора обусловлена трением потока при входе в более узкую трубу и потерями на вихреобразование, которые образуются в кольцевом пространстве вокруг суженой части потока (рис.4.12).

Полная потеря напора определится по формуле ;

где коэффициент сопротивления сужения определяется по полуэмпирической формуле И.Е. Идельчика:

в которой n = S₁/S₂ — степень сужения.

При выходе трубы из резервуара больших размеров, когда можно считать, что S₂/S₁ = 0, а также при отсутствии закругления входного угла, коэффициент сопротивления ζ_суж = 0,5.

4. Постепенное сужение русла. Данное местное сопротивление представляет собой коническую сходящуюся трубу, которая называется конфузором (рис.4.13). Течение жидкости в конфузоре сопровождается увеличением скорости и падением давления. В конфузоре имеются лишь потери на трение

где коэффициент сопротивления конфузора определяется по формуле

в которой n = S₁/S₂ — степень сужения.

Небольшое вихреобразование и отрыв потока от стенки с одновременным сжатием потока возникает лишь на выходе из конфузора в месте соединения конической трубы с цилиндрической. Закруглением входного угла можно значительно уменьшить потерю напора при входе в трубу. Конфузор с плавно сопряженными цилиндрическими и коническими частями называется соплом (рис.4.14).

5. Внезапный поворот трубы (колено). Данный вид местного сопротивления (рис.4.15) вызывает значительные потери энергии, т.к. в нем происходят отрыв потока и вихреобразования, причем потери тем больше, чем больше угол δ. Потерю напора рассчитывают по формуле

где ζ_кол — коэффициент сопротивления колена круглого сечения, который определяется по графику в зависимости от угла колена δ (рис.4.16).

6. Постепенный поворот трубы (закругленное колено или отвод). Плавность поворота значительно уменьшает интенсивность вихреобразования, а следовательно, и сопротивление отвода по сравнению с коленом. Это уменьшение тем больше, чем больше относительный радиус кривизны отвода R / d рис.4.17). Коэффициент сопротивления отвода ζ_отв зависит от отношения R / d, угла δ, а также формы поперечного сечения трубы.

Для отводов круглого сечения с углом δ= 90 и R/d 1 при турбулентном течении можно воспользоваться эмпирической формулой:

Все выше изложенное относится к турбулентному движению жидкости. При ламинарном движении местные сопротивления играют малую роль при определении общего сопротивления трубопровода. Кроме этого закон сопротивления при ламинарном режиме является более сложным и исследован в меньшей степени.

Основы гидравлики

Гидравлические сопротивления и их расчет

Виды гидравлических сопротивлений

При движении жидкости в трубе между нею и стенками трубы возникают дополнительные силы сопротивлении, в результате чего частицы жидкости, прилегающие к поверхности трубы, тормозятся. Это торможение благодаря вязкости жидкости передается следующим слоям, отстоящим далее от поверхности трубы, причем скорость движения частиц по мере удаления их от оси трубы постепенно уменьшается.
Равнодействующая сил сопротивления Т направлена в сторону, противоположную движению жидкости, и параллельна направлению движения. Это и есть силы гидравлического трения (сопротивления гидравлического трения) .

Для преодоления сопротивления трения и поддержания равномерного поступательного движения жидкости необходимо, чтобы на жидкость действовала сила, направленная в сторону ее движения и равная силе сопротивления, т. е. необходимо затрачивать энергию. Энергию или напор, необходимый для преодоления сил сопротивления, называют потерянной энергией или потерянным напором.
Потери напора, затрачиваемые на преодоление сопротивления трения, носят название потерь напора на трение или потерь напора по длине потока (линейные потери напора) и обозначаются обычно h_тр .

Однако трение является не единственной возможной причиной, вызывающей потери напора. Резкое изменение сечения также оказывает сопротивление движению жидкости (так называемое сопротивление формы) и вызывает потери энергии. Существуют и другие причины, вызывающие потери напора, например внезапное изменение направления движения жидкости.
Потери напора, вызываемые резким изменением конфигурации границ потока (затрачиваемые на преодоление сопротивления формы) , называют местными потерями напора или потерями напора на местные сопротивления и обозначаются через h_м .

Таким образом, потери напора при движении жидкости складываются из потерь напора на трение и потерь на местные сопротивления, т. е.:

Потери напора при равномерном движении жидкости в трубах

Найдем общее выражение для потерь напора на трение при равномерном движении жидкости в трубах, справедливое как для ламинарного, так и для турбулентного режимов.

При равномерном движении величина средней скорости и распределение скоростей по сечению остаются неизменными по всей длине трубопровода. Поэтому равномерное движение возможно лишь в трубах постоянного сечения S , так как в противном случае будет изменяться средняя скорость в соответствии с уравнением:

v = Q/S = const .

Равномерное движение имеет место в прямых трубах или в трубах с очень большим радиусом кривизны R (прямолинейное движение) , так как в противном случае средняя скорость может изменяться по направлению.
Кроме того, условие неизменности характера скоростей жидкости по живому сечению можно записать в виде α = const , где α – коэффициент Кориолиса. Последнее условие может быть соблюдено лишь при достаточном удалении рассматриваемого участка потока от входа в трубу.

Если выделить на участке трубы с равномерно текущей жидкостью два произвольных сечения 1 и 2, то потери напора при перемещении жидкости между этими сечениями можно описать при помощи уравнения Бернулли:

где:
z₁ и z₂ – перепад высот между центрами соответствующих сечений;
p₁ и p₂ – давление жидкости в соответствующих сечениях;
γ – удельная плотность жидкости, γ = gρ ;
h_тр – величина потерянной энергии (потери на трение).

Из этой формулы выразим величину потерянной энергии h_тр :

Это выражение называют уравнением равномерного движения жидкости в трубопроводе. Если труба расположена горизонтально, т. е. перепад высот между ее сечениями отсутствует, то уравнение примет упрощенный вид:

Формула Дарси-Вейсбаха для равномерного движения жидкости в трубах

При равномерном движении жидкости в трубах потери напора на трение по длине h_л определяют по формуле Дарси-Вейсбаха , которая справедлива для круглых труб, как при турбулентном, так и при ламинарном режиме. Эта формула устанавливает зависимость между потерями напора h_л , диаметром трубы d и средней скоростью потока жидкости v:

h_л = λ v 2 /2gd ,

где:
λ – коэффициент гидравлического трения (величина безразмерная);
g – ускорение свободного падения.

Для труб произвольного сечения в формуле Дарси-Вейсбаха используют понятие приведенного или эквивалентного диаметра сечения трубы по отношению к круглому сечению.

В некоторых случаях используют также формулу

h_л = v 2 l/C 2 R ,

где:
v – средняя скорость потока в трубе или канале;
l – длина участка трубы или канала;
R – гидравлический радиус потока жидкости;
С – коэффициент Шези, связанный с коэффициентом гидравлического трения λ зависимостью: С = √(8g/λ) или λ = 8g/С 2 . Размерность коэффициента Шези – м 1/2 /с.

Для определения коэффициента гидравлического трения при различных режимах и условиях движения жидкости применяют различные способы и эмпирические зависимости, в частности, график И. И. Никурадзе , формулы П. Блазиуса , Ф. А. Шевелева (для гладких труб) и Б. Л. Шифринсона (для шероховатых труб) . Все эти способы и зависимости опираются на критерий Рейнольдса Re и учитывают состояние поверхности труб.

Потери напора из-за местных сопротивлений

Как уже указывалось выше, местные потери напора обусловлены преодолением местных сопротивлений, создаваемых фасонными частями, арматурой и прочим оборудованием трубопроводных сетей, а также изменением направления потока жидкости (изгибы труб, колена и т. п.) .
Местные сопротивления вызывают изменение величины или направления скорости движения жидкости на отдельных участках трубопровода, что связано с появлением дополнительных потерь напора.
Движение в трубопроводе при наличии местных сопротивлений является неравномерным.

Потери напора в местных сопротивлениях h_м (местные потери напора) вычисляют по формуле Вейсбаха :

h_м = ξ v 2 /2g ,

где:
v – средняя скорость в сечении, расположенном ниже по течению за местным сопротивлением;
ξ – безразмерный коэффициент местного сопротивления, определяемый для каждого вида местного сопротивления по справочным таблицам или установленным зависимостям.

Потери напора при внезапном расширении трубопровода находят по формуле Борда :

h_вн.р. = ( v ₁ – v ₂) 2 \2g = ξ_вн.р.1 v ₁ 2 /2g = ξ_вн.р.2 v ₂ 2 /2g ,

где v₁ и v₂ – средние скорости течения до и после расширения.

При внезапном сужении трубопровода коэффициент местного сопротивления определяется по формуле:

где ε — коэффициент сжатия струи, определяемый, как отношение площади сечения сжатой струи в узком трубопроводе к площади сечения узкой трубы. Этот коэффициент зависит от степени сжатия потока n = S₂/S₁ и может быть найден по формуле А. Д. Альтшуля: ε = 0,57 + 0,043/(1,1 — n) .
Значение коэффициента ε при расчетах трубопроводов берут из справочных таблиц.

При резком повороте трубы круглого поперечного сечения на угол α коэффициент сопротивления можно найти по формуле:

где:
ξ_90˚ — значение коэффициента сопротивления для угла 90˚, которое для точных расчетов принимается по справочным таблицам, а для приближенных расчетов принимается равным ξ_90˚ = 1.

Аналогичными методами осуществляют подбор или расчет коэффициентов сопротивления для других видов местных сопротивлений – резкое или постепенное сужение (расширение) трубопровода, повороты, входы и выходы из трубы, диафрагмы, запорные устройства, сварочные швы и т. п.

Приведенные выше формулы применимы для турбулентного режима движения жидкостей с большими числами Рейнольдса, когда влияние вязкости жидкости незначительно.
При движении жидкости с малыми числами Рейнольдса (ламинарный режим) величина местных сопротивлений мало зависит от геометрических характеристик сопротивления и скорости потока, на их величину большее влияние оказывает величина числа Рейнольдса.
В таких случаях для расчета коэффициентов местных сопротивлений применима формула А. Д. Альтшуля :

где:
А – нестесненное сечение трубопровода;
ξ_экв – значения коэффициента местного сопротивления в квадратичной области;
Re — число Рейнольдса.

Значения параметра А и некоторых местных сопротивлений приводятся в справочных таблицах и используются при практических расчетах трубопроводов, предназначенных для движения жидкостей в ламинарном режиме.