Определение вида функции приближенного уравнения регрессии

Регрессионный анализ определение, виды, этапы и основы метода, примеры уравнений, коэффициент регрессии, интерпретация результатов, как сделать регрессионный анализ в excel

Один из методов, которые применяются для исследования влияния одной или нескольких независимых переменных на зависимую, называют регрессионным анализом. Терминология, используемая для обозначения компонентов анализа, классифицирует их на критериальные и регрессоры (предикторы). Эти наименования не отражают причинно-следственные отношения, а лишь указывают на математическую зависимость.

Общая информация

Метод моделирования пар данных и исследования их свойств представляет собой раздел математической статистики, который используют для выявления статистических закономерностей, объединяющих ряд величин. При этом некоторые данные являются случайными. Анализируя зависимости, исследователь может построить модель регрессии.

Полученные данные — основа регрессионного анализа и база для дальнейшего изучения, которое основывается на том, что между числами всегда существуют известные или скрытые связи. Первые получаются путём вычислений с помощью формул, а вторые необходимо прогнозировать и объяснять, иначе не получится изменять их так, как нужно для решения различных задач. Корреляционно-регрессионный анализ позволяет обнаружить скрытые зависимости и представить их в виде математических выражений. Цели, для которых используются формулы:

  • управление;
  • предсказание;
  • объяснение.

С помощью аналитики выводят коэффициент корреляции, который означает силу связей. Чем она существеннее, тем легче создать регрессионную модель. В статистике этот метод является основным. Этапы регрессионного анализа располагаются в таком порядке:

  • собирают данные;
  • подвергают их предварительной обработке;
  • выбирают вид уравнения;
  • рассчитывают коэффициент;
  • строят функцию;
  • проверяют правильность расчётом с помощью наблюдений.

Метод проведения

В теории описать уравнение регрессии можно только при условии, что известен закон, по которому распределяются результативные значения функции y при заданных параметрах аргумента x. На практике учёные не располагают знанием такой закономерности, поэтому приходится подбирать подходящие варианты аппроксимаций (близких значений) для неизвестной функции.

Взаимоотношение между истинной функцией, модельной регрессией и её оценкой можно рассмотреть на примере. Для этого нужно сделать допущение. Пусть показатель и аргумент связаны следующим образом: у=2х 1,5+o. В этой формуле o представляет собой случайное значение величины, распределяемой в соответствии с нормальным законом. Необходимо сделать ещё 2 допущения: d o- o 2 и M o= 0.

Тогда уравнение, описывающее функцию регрессии, примет такой вид: f (х) = М (у/х) = 2х i 1,5+ o. Чтобы при наличии исходных данных получить максимально точные значения функции регрессии и результирующего показателя, используют метод наименьших квадратов. При вычислениях минимизируют квадрат величины, на которую результативное значение отклоняется от модельного. Получают такое выражение: o (y i) — f (х i)2 > min. Это среднеквадратичная регрессия.

Дальнейшие действия проводят с использованием метода наименьших модулей. Получают следующее выражение: y-f (xj) — min. Оно описывает медианную регрессию.

Работа в таблицах Ms Excel

В информатике анализ данных позволяет разрабатывать и исследовать алгоритмы и методы, с помощью которых добывается информация из сведений, полученных экспериментальным путём. Исследования удобно проводить в Ms Excel, однако нужно учитывать, что работать в режиме онлайн с этим приложением не получится. Средства, которые можно использовать для анализа с помощью этого инструмента:

  • построение сводных таблиц;
  • объединение данных;
  • частичное и полное суммирование;
  • подведение итогов в автоматическом режиме;
  • структуризация данных, представленных на отдельных листах;
  • проверка значений в книгах и листах на ошибки;
  • применение карт;
  • создание диаграмм;
  • обработка значений с использованием функций и формул;
  • выборочный анализ разными способами, включая сценарии, поиск решения, выбор параметра и другие.

Инструменты, встроенные в Microsoft Excel, позволяют решать инженерные и статистические задачи высокого уровня сложности. Чтобы выполнить анализ, указывают входные данные и задают нужные параметры. Программа анализирует значения, применяя ту макрофункцию, которая подходит в этой ситуации. Результаты отображаются в специальных ячейках. Затем, применяя другие инструменты, данные можно вывести в виде графиков или диаграмм.

Графический вид удобен тем, что позволяет быстро обнаружить ошибки: они отображаются как нетипичные отклонения кривых. В таблицах найти неточности бывает сложно, так как списки бывают довольно большими. Кроме того, графики дают возможность не только проиллюстрировать информацию, но и проконтролировать корректность исходных данных. В некоторых случаях только графическое отображение позволяет правильно интерпретировать, обобщить и проанализировать информацию.

Множественный анализ

Общее назначение этого метода состоит в том, чтобы определить, как изменяется зависимая переменная, когда на неё воздействуют несколько факторов. Это легко понять на примере. Цена товара изменяется, подвергаясь влиянию ряда индикаторов. В виде равенства это можно представить так: изменение цены = a * RSI + b * MACD + с. Выражение будет корректным только в том случае, если между независимым и зависимыми значениями есть корреляция.

Компоненты выражения связаны между собой, поэтому при удалении одного значение остальных может измениться. Коэффициенты a и b применяются для демонстрации вклада каждого независимого значения.

Уравнение показывает, как взаимодействуют его части в идеале. На практике реальные показатели отличаются от прогнозируемых, а разницу между ними именуют остатком. С помощью множественного анализа исследуют количественные показатели, причём их может быть сколько угодно. Для определения и изучения качественных значений, у которых нет переходных параметров, применяют другие инструменты.

Этапы и виды

Множественный анализ выполняют в несколько этапов. Сначала формулируют задачу и разрабатывают гипотезы с учётом специфики анализируемых явлений. Дальнейшая работа ведётся в таком порядке:

  • Определяют объясняющие и зависимые переменные.
  • Собирают статистическую информацию отдельно для каждого компонента, участвующего в анализе.
  • Формулируют гипотезу, допускающую, какой будет связь: линейной, множественной, простой, нелинейной.
  • Рассчитывают числовые значения для тех компонентов уравнения, относительно которых это возможно.
  • Оценивают степень точности анализа.
  • Выполняют интерпретацию результатов и сравнивают их с гипотезой. Оценивают, насколько полученные значения являются правдоподобными и корректными.
  • Прогнозируют, какие значения может принимать зависимый компонент.

Метод регрессионного анализа позволяет не только прогнозировать величины, но и классифицировать их. Предполагаемые значения вычисляются так: в уравнение на место независимых переменных подставляются числовые параметры, которые заведомо известны.

Классификация результатов

Для классификации результатов проводят линию регрессии. Она разделяет множество на 2 части: в одной находятся значения, которые больше нуля, в другой — меньше. Так данные на шкале распределяются по 2 классам. В свою очередь, регрессия подразделяется на несколько видов:

  • Парная. Так называется регрессия, в которой, наряду с незначимыми, есть доминирующий фактор x. Пример регрессионного анализа: в каждом регионе есть некоторое количество занятых людей (x) и собирается некоторая сумма налогов (y). Y зависит от доминирующего компонента x. Присутствуют и другие факторы, но их значимость гораздо ниже.
  • Обратная. Она заключается в том, что сначала составляют максимально полное уравнение, а затем последовательно исключают из него отдельные члены, каждый раз оценивая, насколько уменьшилась остаточная дисперсия. В итоговом уравнении останутся только те компоненты, которые оказали наиболее весомый вклад на её уменьшение.
  • Нелинейная. Этот вид анализа применяется, когда зависимость одной переменной от других не является линейной. Пример: засолённость почвы до определённого предела не оказывает влияния на урожайность культур. После достижения определённых значений это влияние начинает проявляться нелинейно. Зависимость можно представить в виде функции. Их существует несколько видов: показательные, логарифмические, тригонометрические, степенные, гауссова и кривые Лоренца.
  • Множественная. Бывает необходима, когда нужно рассчитать влияние множества независимых переменных на результативный признак. При этом присутствует фактор E — стохастический параметр, включающий влияние неучтённых компонентов.
  • Линейная. Используется для анализа эластичности спроса, прогнозирования загруженности веб-сервисов, стоимости ценных бумаг, объёмов продаж и т. д.
  • Логарифмически линейная. Применяется при моделировании реальных социально-экономических процессов, которые невозможно описать через линейную функцию.
  • Гиперболическая. Она имеет вид у=b+а/х. В экономике её применяют для выявления зависимости объёма выпускаемой продукции от затрат топлива, сырья и материалов, а также для других целей. Классический пример — кривая Филлипса. График оказывает связь между приростом заработной платы и уровнем безработицы.

Регрессионный анализ позволяет с максимальной эффективностью и наименьшими усилиями использовать накопленный теоретико-прикладной потенциал, выдвигать и обосновывать идеи, ставить и решать задачи.

Уравнение регрессии. Уравнение множественной регрессии

Во время учебы студенты очень часто сталкиваются с разнообразными уравнениями. Одно из них – уравнение регрессии — рассмотрено в данной статье. Такой тип уравнения применяется специально для описания характеристики связи между математическими параметрами. Данный вид равенств используют в статистике и эконометрике.

Определение понятия регрессии

В математике под регрессией подразумевается некая величина, описывающая зависимость среднего значения совокупности данных от значений другой величины. Уравнение регрессии показывает в качестве функции определенного признака среднее значение другого признака. Функция регрессии имеет вид простого уравнения у = х, в котором у выступает зависимой переменной, а х – независимой (признак-фактор). Фактически регрессия выражаться как у = f (x).

Какие бывают типы связей между переменными

В общем, выделяется два противоположных типа взаимосвязи: корреляционная и регрессионная.

Первая характеризуется равноправностью условных переменных. В данном случае достоверно не известно, какая переменная зависит от другой.

Если же между переменными не наблюдается равноправности и в условиях сказано, какая переменная объясняющая, а какая – зависимая, то можно говорить о наличии связи второго типа. Для того чтобы построить уравнение линейной регрессии, необходимо будет выяснить, какой тип связи наблюдается.

Виды регрессий

На сегодняшний день выделяют 7 разнообразных видов регрессии: гиперболическая, линейная, множественная, нелинейная, парная, обратная, логарифмически линейная.

Гиперболическая, линейная и логарифмическая

Уравнение линейной регрессии применяют в статистике для четкого объяснения параметров уравнения. Оно выглядит как у = с+т*х+Е. Гиперболическое уравнение имеет вид правильной гиперболы у = с + т / х + Е. Логарифмически линейное уравнение выражает взаимосвязь с помощью логарифмической функции: In у = In с + т* In x + In E.

Множественная и нелинейная

Два более сложных вида регрессии – это множественная и нелинейная. Уравнение множественной регрессии выражается функцией у = f(х1 , х2 . хс)+E. В данной ситуации у выступает зависимой переменной, а х – объясняющей. Переменная Е — стохастическая, она включает влияние других факторов в уравнении. Нелинейное уравнение регрессии немного противоречиво. С одной стороны, относительно учтенных показателей оно не линейное, а с другой стороны, в роли оценки показателей оно линейное.

Обратные и парные виды регрессий

Обратная – это такой вид функции, который необходимо преобразовать в линейный вид. В самых традиционных прикладных программах она имеет вид функции у = 1/с + т*х+Е. Парное уравнение регрессии демонстрирует взаимосвязь между данными в качестве функции у = f (x) + Е. Точно так же, как и в других уравнениях, у зависит от х, а Е — стохастический параметр.

Понятие корреляции

Это показатель, демонстрирующий существование взаимосвязи двух явлений или процессов. Сила взаимосвязи выражается в качестве коэффициента корреляции. Его значение колеблется в рамках интервала [-1;+1]. Отрицательный показатель говорит о наличии обратной связи, положительный – о прямой. Если коэффициент принимает значение, равное 0, то взаимосвязи нет. Чем ближе значение к 1 – тем сильнее связь между параметрами, чем ближе к 0 – тем слабее.

Методы

Корреляционные параметрические методы могут оценить тесноту взаимосвязи. Их используют на базе оценки распределения для изучения параметров, подчиняющихся закону нормального распределения.

Параметры уравнения линейной регрессии необходимы для идентификации вида зависимости, функции регрессионного уравнения и оценивания показателей избранной формулы взаимосвязи. В качестве метода идентификации связи используется поле корреляции. Для этого все существующие данные необходимо изобразить графически. В прямоугольной двухмерной системе координат необходимо нанести все известные данные. Так образуется поле корреляции. Значение описывающего фактора отмечаются вдоль оси абсцисс, в то время как значения зависимого – вдоль оси ординат. Если между параметрами есть функциональная зависимость, они выстраиваются в форме линии.

В случае если коэффициент корреляции таких данных будет менее 30 %, можно говорить о практически полном отсутствии связи. Если он находится между 30 % и 70 %, то это говорит о наличии связей средней тесноты. 100 % показатель – свидетельство функциональной связи.

Нелинейное уравнение регрессии так же, как и линейное, необходимо дополнять индексом корреляции (R).

Корреляция для множественной регрессии

Коэффициент детерминации является показателем квадрата множественной корреляции. Он говорит о тесноте взаимосвязи представленного комплекса показателей с исследуемым признаком. Он также может говорить о характере влияния параметров на результат. Уравнение множественной регрессии оценивают с помощью этого показателя.

Для того чтобы вычислить показатель множественной корреляции, необходимо рассчитать его индекс.

Метод наименьших квадратов

Данный метод является способом оценивания факторов регрессии. Его суть заключается в минимизировании суммы отклонений в квадрате, полученных вследствие зависимости фактора от функции.

Парное линейное уравнение регрессии можно оценить с помощью такого метода. Этот тип уравнений используют в случае обнаружения между показателями парной линейной зависимости.

Параметры уравнений

Каждый параметр функции линейной регрессии несет определенный смысл. Парное линейное уравнение регрессии содержит два параметра: с и т. Параметр т демонстрирует среднее изменение конечного показателя функции у, при условии уменьшения (увеличения) переменной х на одну условную единицу. Если переменная х – нулевая, то функция равняется параметру с. Если же переменная х не нулевая, то фактор с не несет в себе экономический смысл. Единственное влияние на функцию оказывает знак перед фактором с. Если там минус, то можно сказать о замедленном изменении результата по сравнению с фактором. Если там плюс, то это свидетельствует об ускоренном изменении результата.

Каждый параметр, изменяющий значение уравнения регрессии, можно выразить через уравнение. Например, фактор с имеет вид с = y – тх.

Сгруппированные данные

Бывают такие условия задачи, в которых вся информация группируется по признаку x, но при этом для определенной группы указываются соответствующие средние значения зависимого показателя. В таком случае средние значения характеризуют, каким образом изменяется показатель, зависящий от х. Таким образом, сгруппированная информация помогает найти уравнение регрессии. Ее используют в качестве анализа взаимосвязей. Однако у такого метода есть свои недостатки. К сожалению, средние показатели достаточно часто подвергаются внешним колебаниям. Данные колебания не являются отображением закономерности взаимосвязи, они всего лишь маскируют ее «шум». Средние показатели демонстрируют закономерности взаимосвязи намного хуже, чем уравнение линейной регрессии. Однако их можно применять в виде базы для поиска уравнения. Перемножая численность отдельной совокупности на соответствующую среднюю можно получить сумму у в пределах группы. Далее необходимо подбить все полученные суммы и найти конечный показатель у. Чуть сложнее производить расчеты с показателем суммы ху. В том случае если интервалы малы, можно условно взять показатель х для всех единиц (в пределах группы) одинаковым. Следует перемножить его с суммой у, чтобы узнать сумму произведений x на у. Далее все суммы подбиваются вместе и получается общая сумма ху.

Множественное парное уравнение регрессии: оценка важности связи

Как рассматривалось ранее, множественная регрессия имеет функцию вида у = f (x1,x2,…,xm)+E. Чаще всего такое уравнение используют для решения проблемы спроса и предложения на товар, процентного дохода по выкупленным акциям, изучения причин и вида функции издержек производства. Ее также активно применяют в самых разнообразным макроэкономических исследованиях и расчетах, а вот на уровне микроэкономики такое уравнение применяют немного реже.

Основной задачей множественной регрессии является построение модели данных, содержащих огромное количество информации, для того чтобы в дальнейшем определить, какое влияние имеет каждый из факторов по отдельности и в их общей совокупности на показатель, который необходимо смоделировать, и его коэффициенты. Уравнение регрессии может принимать самые разнообразные значения. При этом для оценки взаимосвязи обычно используется два типа функций: линейная и нелинейная.

Линейная функция изображается в форме такой взаимосвязи: у = а0 + a1х1 + а2х2,+ . + amxm. При этом а2, am, считаются коэффициентами «чистой» регрессии. Они необходимы для характеристики среднего изменения параметра у с изменением (уменьшением или увеличением) каждого соответствующего параметра х на одну единицу, с условием стабильного значения других показателей.

Нелинейные уравнения имеют, к примеру, вид степенной функции у=ах1 b1 х2 b2 . xm bm . В данном случае показатели b1, b2. bm – называются коэффициентами эластичности, они демонстрируют, каким образом изменится результат (на сколько %) при увеличении (уменьшении) соответствующего показателя х на 1 % и при стабильном показателе остальных факторов.

Какие факторы необходимо учитывать при построении множественной регрессии

Для того чтобы правильно построить множественную регрессию, необходимо выяснить, на какие именно факторы следует обратить особое внимание.

Необходимо иметь определенное понимание природы взаимосвязей между экономическими факторами и моделируемым. Факторы, которые необходимо будет включать, обязаны отвечать следующим признакам:

  • Должны быть подвластны количественному измерению. Для того чтобы использовать фактор, описывающий качество предмета, в любом случае следует придать ему количественную форму.
  • Не должна присутствовать интеркорреляция факторов, или функциональная взаимосвязь. Такие действия чаще всего приводят к необратимым последствиям – система обыкновенных уравнений становится не обусловленной, а это влечет за собой ее ненадежность и нечеткость оценок.
  • В случае существования огромного показателя корреляции не существует способа для выяснения изолированного влияния факторов на окончательный результат показателя, следовательно, коэффициенты становятся неинтерпретируемыми.

Методы построения

Существует огромное количество методов и способов, объясняющих, каким образом можно выбрать факторы для уравнения. Однако все эти методы строятся на отборе коэффициентов с помощью показателя корреляции. Среди них выделяют:

  • Способ исключения.
  • Способ включения.
  • Пошаговый анализ регрессии.

Первый метод подразумевает отсев всех коэффициентов из совокупного набора. Второй метод включает введение множества дополнительных факторов. Ну а третий – отсев факторов, которые были ранее применены для уравнения. Каждый из этих методов имеет право на существование. У них есть свои плюсы и минусы, но они все по-своему могут решить вопрос отсева ненужных показателей. Как правило, результаты, полученные каждым отдельным методом, достаточно близки.

Методы многомерного анализа

Такие способы определения факторов базируются на рассмотрении отдельных сочетаний взаимосвязанных признаков. Они включают в себя дискриминантный анализ, распознание обликов, способ главных компонент и анализ кластеров. Кроме того, существует также факторный анализ, однако он появился вследствие развития способа компонент. Все они применяются в определенных обстоятельствах, при наличии определенных условий и факторов.

Определение вида функции приближенного уравнения регрессии

Регрессионный анализ позволяет приближенно определить форму связи между результативным и факторными признаками, а также решить вопрос о том, значима ли эта связь. Вид функции, с помощью которой приближенно выражается форма связи, выбирают заранее, исходя из содержательных соображений или визуального анализа данных. Математическое решение задачи основано на методе наименьших квадратов.

Суть метода наименьших квадратов. Рассмотрим содержание метода на конкретном примере. Пусть имеются данные о сборе хлеба на душу населения по совокупности черноземных губерний. От каких факторов зависит величина этого сбора? Вероятно, определяющее влияние на величину сбора хлеба оказывает величина посева и уровень урожайности. Рассмотрим сначала зависимость величины сбора хлеба на душу населения от размера посева на душу ( столбцы 1 и 2 табл .4 ) Попытаемся представить интересующую нас зависимость с помощью прямой линии. Разумеется, такая линия может дать только приближенное представление о форме реальной статистической связи. Постараемся сделать это приближение наилучшим. Оно будет тем лучше, чем меньше исходные данные будут отличаться от соответствующих точек, лежащих на линии. Степень близости может быть выражена величиной суммы квадратов отклонении, реальных значений от, расположенных на прямой. Использование именно квадратов отклонений (не просто отклонений) позволяет суммировать отклонения различных знаков без их взаимного погашения и дополнительно обеспечивает сравнительно большее внимание, уделяемое большим отклонениям. Именно этот критерий (минимизация суммы квадратов отклонений) положен в основу метода наименьших квадратов.

В вычислительном аспекте метод наименьших квадратов сводится к составлению и решению системы так называемых нормальных уравнений. Исходным этапом для этого является подбор вида функции, отображающей статистическую связь.

Тип функции в каждом конкретном случае можно подобрать путем прикидки на графике исходных данных подходящей, т. е. достаточно хорошо приближающей эти данные, линии. В нашем случае связь между сбором хлеба на душу и величиной посева на душу может быть изображена с помощью прямой линии ( рис. 14 ) и записана в виде

где у—величина сбора хлеба на душу (результативный признак или зависимая переменная); x—величина посева на душу (факторный признак или независимая переменная); a o и a 1 — параметры уравнения, которые могут быть найдены методом наименьших квадратов.

Для нахождения искомых параметров нужно составить систему уравнений, которая в данном случае будет иметь вид

Полученная система может быть решена известным из школьного курса методом Гаусса. Искомые параметры системы из двух нормальных уравнений можно вычислить и непосредственно с помощью последовательного использования нижеприведенных формул:

где y i — i-e значение результативного признака; x i — i-e значение факторного признака; и — средние арифметические результативного и факторного признаков соответственно; n— число значений признака y i , или, что то же самое, число значений признака x i .

Пример 9. Найдем уравнение линейной связи между величиной сбора хлеба (у) и размером посева (х) по данным табл. 4. Проделав необходимые вычисления, получим из (6.17):

Таким образом, уравнение связи, или, как принято говорить, уравнение регрессии, выглядит следующим образом:

Интерпретация коэффициента регрессии. Уравнение регрессии не только определяет форму анализируемой связи, но и показывает, в какой степени изменение одного признака сопровождается изменением другого признака.

Коэффициент при х, называемый коэффициентом регрессии, показывает, на какую величину в среднем изменяется результативный признак у при изменении факторного признака х на единицу.

В примере 9 коэффициент регрессии получился равным 24,58. Следовательно, с увеличением посева, приходящегося на душу, на одну десятину сбор хлеба на душу населения в среднем увеличивается на 24,58 пуда.

Средняя и предельная ошибки коэффициента регрессии. Поскольку уравнения регрессии рассчитываются, как правило, для выборочных данных, обязательно встают вопросы точности и надежности полученных результатов. Вычисленный коэффициент регрессии, будучи выборочным, с некоторой точностью оценивает соответствующий коэффициент регрессии генеральной совокупности. Представление об этой точности дает средняя ошибка коэффициента регрессии ( ), рассчитываемая по формуле

у i , — i-e значение результативного признака; ŷ i — i-e выравненное значение, полученное из уравнения (6.15); x i —i-e значение факторного признака; σ x —среднее квадратическое отклонение х; n — число значений х или, что то же самое, значений у; m—число факгорных признаков (независимых переменных).

В формуле (6.18), в частности, формализовано очевидное положение: чем больше фактические значения отклоняются от выравненных, тем большую ошибку следует ожидать; чем меньше число наблюдений, на основе которых строится уравнение, тем больше будет ошибка.

Средняя ошибка коэффициента регрессии является основой для расчета предельной ошибки. Последняя показывает, в каких пределах находится истинное значение коэффициента регрессии при заданной надежности результатов. Предельная ошибка коэффициента регрессии вычисляется аналогично предельной ошибке средней арифметической (см. гл. 5), т. е. как t где t—величина, числовое значение которой определяется в зависимости от принятого уровня надежности.

Пример 10. Найти среднюю и предельную ошибки коэффициента регрессии, полученного в примере 9.

Для расчета прежде всего подсчитаем выравненные значения ŷ i для чего в уравнение регрессии, полученное в примере 9, подставим конкретные значения x i :

ŷ i = 17,6681 +24,5762*0,91 = 40,04 и т. д.

Затем вычислим отклонения фактических значений у i , от выравненных и их квадраты

Далее, подсчитав средний по черноземным губерниям посев на душу ( =0,98), отклонения фактических значений x i от этой средней, квадраты отклонений и среднее квадратическое отклонение , получим все необходимые составляющие формул (618) и (619):

Таким образом, средняя ошибка коэффициента регрессии равна 2,89, что составляет 12% от вычисленного коэффициента

Задавшись уровнем надежности, равным 0,95, найдем по табл. 1 приложения соответствующее ему значение t=1,96, рассчитаем предельную ошибку 1,96*2,89=5,66 и пределы коэффициента регрессии для принятого уровня надежности ( В случае малых выборок величина t находится из табл. 2 приложения. ). Нижняя граница коэффициента регрессии равна 24,58-5,66=18,92, а верхняя граница 24,58+5,66=30,24

Средняя квадратическая ошибка линии регрессии. Уравнение регрессии представляет собой функциональную связь, при которой по любому значению х можно однозначно определить значение у. Функциональная связь лишь приближенно отражает связь реальную, причем степень этого приближения может быть различной и зависит она как от свойств исходных данных, так и от выбора вида функции, по которой производится выравнивание.

На рис. 15 представлены два различных случая взаимоотношения между двумя признаками. В обоих случаях предполагаемая связь описывается одним и тем же уравнением, но во втором случае соотношение между признаками х и у достаточно четко выражено и уравнение, по-видимому, довольно хорошо описывает это соотношение, тогда как в первом случае сомнительно само наличие сколько-нибудь закономерного соотношения между признаками. И в том, и в другом случаях, несмотря на их существенное различие, метод наименьших квадратов дает одинаковое уравнение, поскольку этот метод нечувствителен к потенциальным возможностям исходного материала вписаться в ту или иную схему. Кроме того, метод наименьших квадратов применяется для расчета неизвестных параметров заранее выбранного вида функции, и вопрос о выборе наиболее подходящего для конкретных данных вида функции в рамках этого метода не ставится и не решается. Таким образом, при пользовании методом наименьших квадратов открытыми остаются два важных вопроса, а именно: существует ли связь и верен ли выбор вида функции, с помощью которой делается попытка описать форму связи.

Чтобы оценить, насколько точно уравнение регрессии описывает реальные соотношения между переменными, нужно ввести меру рассеяния фактических значений относительно вычисленных с помощью уравнения. Такой мерой служит средняя квадратическая ошибка регрессионного уравнения, вычисляемая по приведенной выше формуле (6.19).

Пример 11. Определить среднюю квадратическую ошибку уравнения, полученного в примере 9.

Промежуточные расчеты примера 10 дают нам среднюю квадратическую ошибку уравнения. Она равна 4,6 пуда.

Этот показатель аналогичен среднему квадратическому отклонению для средней. Подобно тому, как по величине среднего квадратического отклонения можно судить о представительности средней арифметической (см. гл. 5), по величине средней квадратической ошибки регрессионного уравнения можно сделать вывод о том, насколько показательна для соотношения между признаками та связь, которая выявлена уравнением. В каждом конкретном случае фактическая ошибка может оказаться либо больше, либо меньше средней. Средняя квадратическая ошибка уравнения показывает, насколько в среднем мы ошибемся, если будем пользоваться уравнением, и тем самым дает представление о точности уравнения. Чем меньше σ y.x , тем точнее предсказание линии регрессии, тем лучше уравнение регрессии описывает существующую связь. Показатель σ y.x позволяет различать случаи, представленные на рис. 15. В случае б) он окажется значительно меньше, чем в случае а). Величина σ y.x зависит как от выбора функции, так и от степени описываемой связи.

Варьируя виды функций для выравнивания и оценивая результаты с помощью средней квадратической ошибки, можно среди рассматриваемых выбрать лучшую функцию, функцию с наименьшей средней ошибкой. Но существует ли связь? Значимо ли уравнение регрессии, используемое для отображения предполагаемой связи? На эти вопросы отвечает определяемый ниже критерий значи-мости регрессии.

Мерой значимости линии регрессии может служить следующее соотношение:

где ŷ i —i-e выравненное значение; —средняя арифметическая значений y i ; σ y.x —средняя квадратическая ошибка регрессионного уравнения, вычисляемая по формуле (6.19); n—число сравниваемых пар значений признаков; m—число факторных признаков.

Действительно, связь тем больше, чем значительнее мера рассеяния признака, обусловленная регрессией, превосходит меру рассеяния отклонений фактических значений от выравненных.

Соотношение (6.20) позволяет решить вопрос о значимости регрессии. Регрессия значима, т. е. между признаками существует линейная связь, если для данного уровня значимости вычисленное значение F ф [m,n-(m+1)] превышает критическое значение F кр [m,n-(m+1)], стоящее на пересечении m-го столбца и [n—(m+1)]-й строки специальной таблицы ( см. табл. 4 приложения ).

Пример 12. Выясним, связаны ли сбор хлеба на душу населения и посев на душу населения линейной зависимостью.

Воспользуемся F-критерием значимости регрессии. Подставив в формулу (6.20) данные табл. 4 и результат примера 10, получим

Обращаясь к таблице F-распределения для Р=0,95 (α=1—Р=0,5) и учитывая, что n=23, m =1, в табл. 4А приложения на пересечения 1-го столбца и 21-й строки находим критическое значение F кр , равное 4,32 при степени надежности Р=0,95. Поскольку вычисленное значение F ф существенно превосходит по величине F кр , то обнаруженная линейная связь существенна, т. е. априорная гипотеза о наличии линейной связи подтвердилась. Вывод сделан при степени надежности P=0,95. Между прочим, вывод в данном случае останется прежним, если надежность повысить до Р=0,99 (соответствующее значение F кр =8,02 по табл. 4Б приложения для уровня значимости α=0,01).

Коэффициент детерминации. С помощью F-критерия мы Установили, что существует линейная зависимость между величиной сбора хлеба и величиной посева на душу. Следовательно, можно утверждать, что величина сбора хлеба, приходящегося на душу, линейно зависит от величины посева на душу. Теперь уместно поставить уточняющий вопрос — в какой степени величина посева на душу определяет величину сбора хлеба на душу? На этот вопрос можно ответить, рассчитав, какая часть вариации результативного признака может быть объяснена влиянием факторного признака.

Оно показывает долю разброса, учитываемого регрессией, в общем разбросе результативного признака и носит название коэффициента детерминации. Этот показатель, равный отношению факторной вариации к полной вариации признака, позволяет судить о том, насколько «удачно» выбран вид функции ( Отметим, что по смыслу коэффициент детерминации в регрессионном анализе соответствует квадрату корреляционного отношения для корреляционной таблицы (см. § 2). ). Проведя расчеты, основанные на одних и тех же исходных данных, для нескольких типов функций, мы можем из них выбрать такую, которая дает наибольшее значение R 2 и, следовательно, в большей степени, чем другие функции, объясняет вариацию результативного признака. Действительно, при расчете R 2 для одних и тех же данных, но разных функций знаменатель выражения (6.21) остается неизменным, а числитель показывает ту часть вариации результативного признака, которая учитывается выбранной функцией. Чем больше R 2 , т. е. чем больше числитель, тем больше изменение факторного признака объясняет изменение результативного признака и тем, следовательно, лучше уравнение регрессии, лучше выбор функции.

Наконец, отметим, что введенный ранее, при изложении методов корреляционного анализа, коэффициент детерминации совпадает с определенным здесь показателем, если выравнивание производится По прямой линии. Но последний показатель (R 2 ) имеет более широкий спектр применения и может использоваться в случае связи, отличной от линейной ( см. § 4 данной главы ).

Пример 13. Рассчитать коэффициент детерминации для уравнения, полученного в примере 9.

Вычислим R 2 , воспользовавшись формулой (6.21) и данными табл. 4:

Итак, уравнение регрессии почти на 78% объясняет колебания сбора хлеба на душу. Это немало, но, По-видимому, можно улучшить модель введением в нее еще одного фактора.

Случай двух независимых переменных. Простейший случай множественной регрессии. В предыдущем изложении регрессионного анализа мы имели дело с двумя признаками — результативным и факторным. Но на результат действует обычно не один фактор, а несколько, что необходимо учитывать для достаточно полного анализа связей.

В математической статистике разработаны методы множественной регрессии ( Регрессия называется множественной, если число независимых переменных, учтенных в ней, больше или равно двум. ), позволяющие анализировать влияние на результативный признак нескольких факторных. К рассмотрению этих методов мы и переходим.

Возвратимся к примеру 9. В нем была определена форма связи между величиной сбора хлеба на душу и размером посева на душу. Введем в анализ еще один фактор — уровень урожайности (см. столбец З табл. 4). Без сомнения, эта переменная влияет на сбор хлеба на душу. Но в какой степени влияет? Насколько обе независимые переменные определяют сбор хлеба на душу в черноземных губерниях? Какая из переменных — посев на душу или урожайность — оказывает определяющее влияние на сбор хлеба? Попытаемся ответить на эти вопросы.

После добавления второй независимой переменной уравнение регрессии будет выглядеть так:

где у—сбор хлеба на душу; х 1 —размер посева на душу; x 2 —урожай с десятины (в пудах); а 0 , а 1 , а 2 —параметры, подлежащие определению.

Для нахождения числовых значений искомых параметров, как и в случае одной независимой переменной, пользуются методом наименьших квадратов. Он сводится к составлению и решению системы нормальных уравнений, которая имеет вид

Когда система состоит из трех и более нормальных уравнений, решение ее усложняется. Существуют стандартные программы расчета неизвестных параметров регрессионного уравнения на ЭВМ. При ручном счете можно воспользоваться известным из школьного курса методом Гаусса.

Пример 14. По данным табл. 4 описанным способом найдем параметры a 0 , а 1 , а 2 уравнения (6.22). Получены следующие результаты: a 2 =0,3288, a 1 =28,7536, a 0 =-0,2495.

Таким образом, уравнение множественной регрессии между величиной сбора хлеба на душу населения (у), размером посева на душу (x 1 ) и уровнем урожайности (х 2 ) имеет вид:

у=-0,2495+28,7536x 1 +0,3288x 2 .

Интерпретация коэффициентов уравнения множественной регрессии. Коэффициент при х 1 в полученном уравнении отличается от аналогичного коэффициента в уравнении примера 9.

Коэффициент при независимой переменной в уравнении простой регрессии отличается от коэффициента при соответствующей переменной в уравнении множественной регрессии тем, что в последнем элиминировано влияние всех учтенных в данном уравнении признаков.

Коэффициенты уравнения множественной регрессии поэтому называются частными или чистыми коэффициентами регрессии.

Частный коэффициент множественной регрессии при х 1 показывает, что с увеличением посева на душу на 1 дес. и при фиксированной урожайности сбор хлеба на душу населения вырастает в среднем на 28,8 пуда. Частный коэффициент при x 2 показывает, что при фиксированном посеве на душу увеличение урожая на единицу, т. е. на 1 пуд с десятины, вызывает в среднем увеличение сбора хлеба на душу на 0,33 пуда. Отсюда можно сделать вывод, что увеличение сбора хлеба в черноземных губерниях России идет, в основном, за счет расширения посева и в значительно меньшей степени—за счет повышения урожайности, т. е. экстенсивная форма развития зернового хозяйства является господствующей.

Введение переменной х 2 в уравнение позволяет уточнить коэффициент при х 1 . Конкретно, коэффициент оказался выше (28,8 против 24,6), когда в изучаемой связи вычленилось влияние урожайности на сбор хлеба.

Однако выводы, полученные в результате анализа коэффициентов регрессии, не являются пока корректными, поскольку, во-первых, не учтена разная масштабность факторов, во-вторых, не выяснен вопрос о значимости коэффициента a 2 .

Величина коэффициентов регрессии изменяется в зависимости от единиц измерения, в которых представлены переменные. Если переменные выражены в разном масштабе измерения, то соответствующие им коэффициенты становятся несравнимыми. Для достижения сопоставимости коэффициенты регрессии исходного уравнения стандартизуют, взяв вместо исходных переменных их отношения к собственным средним квадратическим отклонениям. Тогда уравнение (6.22) приобретает вид

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (6.22), определяем стандартизованные частные коэффициенты уравнения, так называемые бета-коэффициенты, по формулам:

где β 1 и β 2 —бета-коэффициенты; а 1 и а 2 —коэффициенты регрессии исходного уравнения; σ у , , и — средние квадратические отклонения переменных у, х 1 и х 2 соответственно.

Вычислив бета-коэффициенты для уравнения, полученного в примере 14:

видим, что вывод о преобладании в черноземной полосе россии экстенсивной формы развития хозяйства над интенсивной остается в силе, так как β 1 значительно больше, чем β 2 .

Оценка точности уравнения множественной регрессии.

Точность уравнения множественной регрессии, как и в случае уравнения с одной независимой переменной, оценивается средней квадратической ошибкой уравнения. Обозначим ее , где подстрочные индексы указывают, что результативным признаком в уравнении является у, а факторными признаками х 1 и x 2 . Для расчета средней квадратической ошибки уравнения множественной регрессии применяется приведенная выше формула (6.19).

Пример 15. Оценим точность полученного в примере 14 уравнения регрессии.

Воспользовавшись формулой (6.19) и данными табл. 4, вычислим среднюю квадратическую ошибку уравнения:

Оценка полезности введения дополнительной переменной. Точность уравнения регрессии тесно связана с вопросом ценности включения дополнительных членов в это уравнение.

Сравним средние квадратические ошибки, рассчитанные для уравнения с одной переменной х 1 (пример 11) и для уравнения с двумя независимыми переменными х 1 и х 2 . Включение в уравнение новой переменной (урожайности) уменьшило среднюю квадратическую ошибку почти вдвое.

Можно провести сравнение ошибок с помощью коэффициентов вариации

где σ f —средняя квадратическая ошибка регрессионного уравнения; —средняя арифметическая результативного признака.

Для уравнения, содержащего одну независимую переменную:

Для уравнения, содержащего две независимые переменные:

Итак, введение независимой переменной «урожайность» уменьшило среднюю квадратическую ошибку до величины порядка 7,95% среднего значения зависимой переменной.

Наконец, по формуле (6.21) рассчитаем коэффициент детерминации

Он показывает, что уравнение регрессии на 81,9% объясняет колебания сбора хлеба на душу населения. Сравнивая полученный результат (81,9%) с величиной R 2 для однофакторного уравнения (77,9%), видим, что включение переменной «урожайность» заметно увеличило точность уравнения.

Таким образом, сравнение средних квадратических ошибок уравнения, коэффициентов вариации, коэффициентов детерминации, рассчитанных до и после введения независимой переменной, позволяет судить о полезности включения этой переменной в уравнение. Однако следует быть осторожными в выводах при подобных сравнениях, поскольку увеличение R 2 или уменьшение σ и V σ не всегда имеют приписываемый им здесь смысл. Так, увеличение R 2 может объясняться тем фактом, что число рассматриваемых параметров в уравнении приближается к числу объектов наблюдения. Скажем, весьма сомнительными будут ссылки на увеличение R 2 или уменьшение σ, если в уравнение вводится третья или четвертая независимая переменная и уравнение строится на данных по шести, семи объектам.

Полезность включения дополнительного фактора можно оценить с помощью F-критерия.

Частный F-критерий показывает степень влияния дополнительной независимой переменной на результативный признак и может использоваться при решении вопроса о добавлении в уравнение или исключении из него этой независимой переменной.

Разброс признака, объясняемый уравнением регрессии (6.22), можно разложить на два вида: 1) разброс признака, обусловленный независимой переменной х 1 , и 2) разброс признака, обусловленный независимой переменной x 2 , когда х 1 уже включена в уравнение. Первой составляющей соответствует разброс признака, объясняемый уравнением (6.15), включающим только переменную х 1 . Разность между разбросом признака, обусловленным уравнением (6.22), и разбросом признака, обусловленным уравнением (6.15), определит ту часть разброса, которая объясняется дополнительной независимой переменной x 2 . Отношение указанной разности к разбросу признака, регрессией не объясняемому, представляет собой значение частного критерия. Частный F-критерий называется также последовательным, если статистические характеристики строятся при последовательном добавлении переменных в регрессионное уравнение.

Пример 16. Оценить полезность включения в уравнение регрессии дополнительной переменной «урожайность» (по данным и результатам примеров 12 и 15).

Разброс признака, объясняемый уравнением множественной регрессии и рассчитываемый как сумма квадратов разностей выравненных значений и их средней, равен 1623,8815. Разброс признака, объясняемый уравнением простой регрессии, составляет 1545,1331.

Разброс признака, регрессией не объясняемый, определяется квадратом средней квадратической ошибки уравнения и равен 10,9948 (см. пример 15).

Воспользовавшись этими характеристиками, рассчитаем частный F-критерий

С уровнем надежности 0,95 (α=0,05) табличное значение F (1,20), т. е. значение, стоящее на пересечении 1-го столбца и 20-й строки табл. 4А приложения, равно 4,35. Рассчитанное значение F ф значительно превосходит табличное, и, следовательно, включение в уравнение переменной «урожайность» имеет смысл.

Таким образом, выводы, сделанные ранее относительно коэффициентов регрессии, вполне правомерны.

Важным условием применения к обработке данных метода множественной регрессии является отсутствие сколько-нибудь значительной взаимосвязи между факторными признаками. При практическом использовании метода множественной регрессии, прежде чем включать факторы в уравнение, необходимо убедиться в том, что они независимы.

Если один из факторов зависит линейно от другого, то система нормальных уравнений, используемая для нахождения параметров уравнения, не разрешима. Содержательно этот факт можно толковать так: если факторы х 1 и x 2 связаны между собой, то они действуют на результативный признак у практически как один фактор, т. е. сливаются воедино и их влияние на изменение у разделить невозможно. Когда между независимыми переменными уравнения множественной регрессии имеется линейная связь, следствием которой является неразрешимость системы нормальных уравнений, то говорят о наличии мультиколлинеарности.

На практике вопрос о наличии или об отсутствии мультиколлинеарности решается с помощью показателей взаимосвязи. В случае двух факторных признаков используется парный коэффициент корреляции между ними: если этот коэффициент по абсолютной величине превышает 0,8, то признаки относят к числу мультиколлинеарных. Если число факторных признаков больше двух, то рассчитываются множественные коэффициенты корреляции. Фактор признается мультиколлинеарным, если множественный коэффициент корреляции, характеризующий совместное влияние на этот фактор остальных факторных признаков, превзойдет по величине коэффициент множественной корреляции между результативным признаком и совокупностью всех независимых переменных.

Самый естественный способ устранения мультиколлинеарности — исключение одного из двух линейно связанных факторных признаков. Этот способ прост, но не всегда приемлем, так как подлежащий исключению фактор может оказывать на зависимую переменную особое влияние. В такой ситуации применяются более сложные методы избавления от мультиколлинеарности ( См.: Мот Ж. Статистические предвидения и решения на предприятии. М., 1966; Ковалева Л. Н. Многофакторное прогнозирование на основе рядов динамики. М., 1980. ).

Выбор «наилучшего» уравнения регрессии. Эта проблема связана с двойственным отношением к вопросу о включении в регрессионное уравнение независимых переменных. С одной стороны, естественно стремление учесть все возможные влияния на результативный признак и, следовательно, включить в модель полный набор выявленных переменных. С другой стороны, возрастает сложность расчетов и затраты, связанные с получением максимума информации, могут оказаться неоправданными. Нельзя забывать и о том, что для построения уравнения регрессии число объектов должно в несколько раз превышать число независимых переменных. Эти противоречивые требования приводят к необходимости компромисса, результатом которого и является «наилучшее» уравнение регрессии. Существует несколько методов, приводящих к цели: метод всех возможных регрессий, метод исключения, метод включения, шаговый регрессионный и ступенчатый регрессионный методы.

Метод всех возможных регрессий заключается в переборе и сравнении всех потенциально возможных уравнений. В качестве критерия сравнения используется коэффициент детерминации R 2 . «Наилучшим» признается уравнение с наибольшей величиной R 2 . Метод весьма трудоемок и предполагает использование вычислительных машин.

Методы исключения и включения являются усовершенствованными вариантами предыдущего метода. В методе исключения в качестве исходного рассматривается регрессионное уравнение, включающее все возможные переменные. Рассчитывается частный F-критерий для каждой из переменных, как будто бы она была последней переменной, введенной в регрессионное уравнение. Минимальная величина частного F-критерия (F min ) сравнивается с критической величиной (F кр ), основанной на заданном исследователем уровне значимости. Если F min >F кр , то уравнение остается без изменения. Если F min кр , то переменная, для которой рассчитывался этот частный F-критерий, исключается. Производится перерасчет уравнения регрессии для оставшихся переменных, и процедура повторяется для нового уравнения регрессии. Исключение из рассмотрения уравнений с незначимыми переменными уменьшает объем вычислений, что является достоинством этого метода по сравнению с предыдущим.

Метод включения состоит в том, что в уравнение включаются переменные по степени их важности до тех пор, пока уравнение не станет достаточно «хорошим». Степень важности определяется линейным коэффициентом корреляции, показывающим тесноту связи между анализируемой независимой переменной и результативным признаком: чем теснее связь, тем больше информации о результирующем признаке содержит данный факторный признак и тем важнее, следовательно, введение этого признака в уравнение.

Процедура начинается с отбора факторного признака, наиболее тесно связанного с результативным признаком, т. е. такого факторного признака, которому соответствует максимальный по величине парный линейный коэффициент корреляции. Далее строится линейное уравнение регрессии, содержащее отобранную независимую переменную. Выбор следующих переменных осуществляется с помощью частных коэффициентов корреляции, в которых исключается влияние вошедших в модель факторов. Для каждой введенной переменной рассчитывается частный F-критерий, по величине которого судят о том, значим ли вклад этой переменной. Как только величина частного F-критерия, относящаяся к очередной переменной, оказывается незначимой, т. е. эффект от введения этой переменной становится малозаметным, процесс включения переменных заканчивается. Метод включения связан с меньшим объемом вычислений, чем предыдущие методы. Но при введении новой переменной нередко значимость включенных ранее переменных изменяется. Метод включения этого не учитывает, что является его недостатком. Модификацией метода включения, исправляющей этот недостаток, является шаговый регрессионный метод.

Шаговый регрессионный метод кроме процедуры метода включения содержит анализ переменных, включенных в уравнение на предыдущей стадии. Потребность в таком анализе возникает в связи с тем, что переменная, обоснованно введенная в уравнение на ранней стадии, может оказаться лишней из-за взаимосвязи ее с переменными, позднее включенными в уравнение. Анализ заключается в расчете на каждом этапе частных F-критериев для каждой переменной уравнения и сравнении их с величиной F кр , точкой F-распределения, соответствующей заданному исследователем уровню значимости. Частный F-критерий показывает вклад переменной в вариацию результативного признака в предположении, что она вошла в модель последней, а сравнение его с F кр позволяет судить о значимости рассматриваемой переменной с учетом влияния позднее включенных факторов. Незначимые переменные из уравнения исключаются.

Рассмотренные методы предполагают довольно большой объем вычислений и практически неосуществимы без ЭВМ. Для реализации ступенчатого регрессионного метода вполне достаточно малой вычислительной техники.

Ступенчатый регрессионный метод включает в себя такую последовательность действий. Сначала выбирается наиболее тесно связанная с результативным признаком переменная и составляется уравнение регрессии. Затем находят разности фактических и выравненных значений и эти разности (остатки) рассматриваются как значения результативной переменной. Для остатков подбирается одна из оставшихся независимых переменных и т. д. На каждой стадии проверяется значимость регрессии. Как только обнаружится незначимость, процесс прекращается и окончательное уравнение получается суммированием уравнений, полученных на каждой стадии за исключением последней.

Ступенчатый регрессионный метод менее точен, чем предыдущие, но не столь громоздок. Он оказывается полезным в случаях, когда необходимо внести содержательные правки в уравнение. Так, для изучения факторов, влияющих на цены угля в Санкт-Петербурге в конце XIX— начале XX в., было получено уравнение множественной регрессии. В него вошли следующие переменные: цены угля в Лондоне, добыча угля в России и экспорт из России. Здесь не обосновано появление в модели такого фактора, как добыча угля, поскольку Санкт-Петербург работал исключительно на импортном угле. Модели легко придать экономический смысл, если независимую переменную «добыча» заменить независимой переменной «импорт». Формально такая замена возможна, поскольку между импортом и добычей существует тесная связь. Пользуясь ступенчатым методом, исследователь может совершить эту замену, если предпочтет содержательно интерпретируемый фактор.

§ 4. Нелинейная регрессия и нелинейная корреляция

Построение уравнений нелинейной регрессии. До сих пор мы, в основном, изучали связи, предполагая их линейность. Но не всегда связь между признаками может быть достаточно хорошо представлена линейной функцией. Иногда для описания существующей связи более пригодными, а порой и единственно возможными являются более сложные нелинейные функции. Ограничимся рассмотрением наиболее простых из них.

Одним из простейших видов нелинейной зависимости является парабола, которая в общем виде может быть представлена функцией (6.2):

Неизвестные параметры а 0 , а 1 , а 2 находятся в результате решения следующей системы уравнений:

Дает ли преимущества описание связи с помощью параболы по сравнению с описанием, построенным по гипотезе линейности? Ответ на этот вопрос можно получить, рассчитав последовательный F-критерий, как это делалось в случае множественной регрессии (см. пример 16).

На практике для изучения связей используются полиномы более высоких порядков (3-го и 4-го порядков). Составление системы, ее решение, а также решение вопроса о полезности повышения порядка функции для этих случаев аналогичны описанным. При этом никаких принципиально новых моментов не возникает, но существенно увеличивается объем расчетов.

Кроме класса парабол для анализа нелинейных связей можно применять и другие виды функций. Для расчета неизвестных параметров этих функций рекомендуется использовать метод наименьших квадратов, как наиболее мощный и широко применяемый.

Однако метод наименьших квадратов не универсален, поскольку он может использоваться только при условии, что выбранные для выравнивания функции линейны по отношению к своим параметрам. Не все функции удовлетворяют этому условию, но большинство применяемых на практике с помощью специальных преобразований могут быть приведены к стандартной форме функции с линейными параметрами.

Рассмотрим некоторые простейшие способы приведения функций с нелинейными параметрами к виду, который позволяет применять к ним метод наименьших квадратов.

Функция не является линейной относительно своих параметров.

Прологарифмировав обе части приведенного равенства

получим функцию, линейную относительно своих новых параметров:

Кроме логарифмирования для приведения функций к нужному виду используют обратные величины.

с помощью следующих переобозначений:

может быть приведена к виду

Подобные преобразования расширяют возможности использования метода наименьших квадратов, увеличивая число функций, к которым этот метод применим.

Измерение тесноты связи при криволинейной зависимости. Рассмотренные ранее линейные коэффициенты корреляции оценивают тесноту взаимосвязи при линейной связи между признаками. При наличии криволинейной связи указанные меры связи не всегда приемлемы. Разберем подобную ситуацию на примере.

Пример 17. В 1-м и 2-м столбцах табл. 5 приведены значения результативного признака у и факторного признака х (данные условные). Поставив вопрос о тесноте связи между ними, рассчитаем парный линейный коэффициент корреляции по формуле (6.3). Он оказался равным нулю, что свидетельствует об отсутствии линейной связи. Тем не менее связь между признаками существует, более того, она является функциональной и имеет вид

Для измерения тесноты связи при криволинейной зависимости используется индекс корреляции, вычисляемый по формуле

где у i —i-e значение результативного признака; ŷ i —i-e выравненное значение этого признака; —среднее арифметическое значение результативного признака.

Числитель формулы (6.27) характеризует разброс выравненных значений результативного признака. Поскольку изменения выравненных, т. е. вычисленных по уравнению регрессии, значений признака происходят только в результате изменения факторного признака х. то числитель измеряет разброс результативного признака, обусловленный влиянием на него факторного признака. Знаменатель же измеряет разброс признака-результата, который определен влиянием на него всех факторов, в том числе и учтенного. Таким образом, индекс корреляции оценивает участие данного факторного признака в общем действии всего комплекса факторов, вызывающих колеблемость результативного признака, тем самым определяя тесноту зависимости признака у от признака х. При этом, если признак х не вызывает никаких изменений признака у, то числитель и, следовательно, индекс корреляции равны 0. Если же линия регрессии полностью совпадает с фактическими данными, т. е. признаки связаны функционально, как в примере 17, то индекс корреляции равен 1. В случае линейной зависимости между х и у индекс корреляции численно равен линейному коэффициенту корреляции г. Квадрат индекса корреляции совпадает с введенным ранее (6.21) коэффициентом детерминации. Если же вопрос о форме связи не ставится, то роль коэффициента детерминации играет квадрат корреляционного отношения η 2 y/x (6.12).

Таковы основные принципы и условия, методика и техника применения корреляционного и регрессионного анализа. Их подробное рассмотрение обусловлено тем, что они являются высокоэффективными и потому очень широко применяемыми методами анализа взаимосвязей в объективном мире природы и общества. Корреляционный и регрессионный анализ широко и успешно применяются и в исторических исследованиях.


источники:

http://www.syl.ru/article/178055/new_uravnenie-regressii-uravnenie-mnojestvennoy-regressii

http://masters.donntu.org/2005/kita/tokarev/library/linreg.htm