Определить интервал содержащий корень уравнения

Приближенное нахождение корней уравнения

Задание 2 . 1) Выбрав стартовую точку с координатами x01=0.5 и xo2=0.4, примените метод Ньютона–Рафсона, и с точностью e=0.000001 найдите минимум целевой функции:
Скачать решение
2) Выбрав ту же стартовую точку, примените метод наискорейшего спуска, и вновь найдите минимум целевой функции с точностью e=0.0001.

Пример №1 . Отделить корни аналитически и уточнить один из них методом половинного деления с точностью до 0,01.
Решение.
sin(x+3.14/3)-x/2=0. Скачать

Пример №2 . Определить и найти действительные корни с точностью до 0,001: а) x 4 – 2x – 1 = 0 — методами: 1) деления отрезка пополам; 2) касательных. б) 2log(x) — (x-2) 2 = 0 — методами: 1) хорд; 2) итераций.
Решение.
Найдем корни уравнения:
x 4 -2•x-1 = 0

Используем для этого Метод половинного деления (метод дихотомии).
Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε.
Итак, имеем f(a)f(b) 1 /2(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия:
1. Если |f(c)| 1 /2 n (b-a)
В качестве корня ξ. возьмем 1 /2(an+bn). Тогда погрешность определения корня будет равна (bn – an)/2. Если выполняется условие:
(bn – an)/2 1 /2(an+bn).
Уточним интервалы, в которых будут находиться корни уравнения. Для этого исходный интервал [-1;2] разобьем на 10 подынтервалов.
h1 = -1 + 1*(2-(-1))/10 = -0.7
h2 = -1 + (1+1)*(2-(-1))/10 = -0.4
Поскольку F(-0.7)*F(-0.4) 0, то a=-0.55
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (-0.55 -0.4)/2 = -0.48
F(c) = 0.000907
F(x) = 0.19
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-0.48
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (-0.48 -0.4)/2 = -0.44
F(c) = -0.0884
F(x) = 0.000907
Поскольку F(c)•F(x) 0, то a=1.25
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (1.25 + 1.4)/2 = 1.33
F(c) = -0.57
F(x) = -1.06
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=1.33
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (1.33 + 1.4)/2 = 1.36
F(c) = -0.28
F(x) = -0.57
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=1.36
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (1.36 + 1.4)/2 = 1.38
F(c) = -0.12
F(x) = -0.28
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=1.38
Остальные расчеты сведем в таблицу.

Ncabf(c)f(x)
11.251.11.4-1.06-1.06
21.331.251.4-0.57-0.57
31.361.331.4-0.28-0.28
41.381.361.4-0.12-0.12
51.391.381.4-0.0415-0.0415
61.41.391.4-0.000217-0.000217
71.41.41.4-0.0002170.0206
81.41.41.4-0.0002170.0102
91.41.41.4-0.0002170.00498

Ответ:
x = 1.4; F(x) = 0.00498
Количество итераций, N = 9
Параметр сходимости.
α = (1.4 — 1.4)/9 = 6.5E-5

Посмотрите как можно быстро решить задачу.

Метод интервалов, решение неравенств

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение квадратного неравенства

Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥.

Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.

Квадратное неравенство выглядит так:

где x — переменная,

Квадратное неравенство можно решить двумя способами:

  • графический метод;
  • метод интервалов.

Решение неравенства графическим методом

При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.

Как дискриминант влияет на корни уравнения:

  1. D = 0. Если дискриминант равен нулю, тогда у квадратного уравнения есть один корень;
  2. D > 0. Если дискриминант больше нуля, тогда у квадратного уравнения есть два различных корня;
  3. D 2 + bx + c.

Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax 2 + bx + c больше нуля, то этот числовой промежуток находится там, где парабола лежит выше оси ОХ.

Если нужно найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax 2 + bx + c меньше нуля — это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси ОХ.

Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток. А если строгое — не входят.

Обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart сделает сложные темы понятными, а высокий балл на экзаменах — достижимым!

Решение неравенства методом интервалов

Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.

Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым: >, 2 + bx + c из левой части квадратного неравенства.

Изобразить координатную прямую и при наличии корней отметить их на ней.

Если неравенство строгое, нужно отметить корни пустыми (выколотыми) точками. Если нестрогое — обычными точками. Именно эти точки разбивают координатную ось на промежутки.

  • Определить, какие знаки имеют значения трехчлена на каждом промежутке (если на первом шаге нашли нули) или на всей числовой прямой (если нулей нет). И проставить над этими промежутками + или − в соответствии с определенными знаками.
  • Если квадратное неравенство со знаком > или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +.

    Если неравенство со знаком 2 + 4x — 5, его корнями являются числа -5 и 1, они разбивают числовую ось на три промежутка: (-∞, -5), (-5, 1) и (1, +∞).

    Определим знак трехчлена x 2 + 4x — 5 на промежутке (1, +∞). Для этого вычислим значение данного трехчлена при некотором значении x из этого промежутка. Можно брать любое значение переменной, главное — чтобы вычисления были простыми. В нашем случае, возьмем x = 2. Подставим его в трехчлен вместо переменной x:

    • 2 2 + 4 * 2 — 5 = 4 + 8 — 5 = 7.

    7 — положительное число. Это значит, что любое значение квадратного трехчлена на интервале (1, +∞) будет положительным. Так мы определили знак плюс.

    Определим знаки на оставшихся двух промежутках. Начнем с интервала (-5, 1). Из этого интервала можем взять x = 0 и вычислить значение квадратного трехчлена при этом значении переменной:

    • 0 2 + 4 * 0 — 5 = 0 + 0 — 5 = -5.

    Так как -5 — отрицательное число, то на этом интервале все значения трехчлена будут отрицательными. Так мы определили знак минус.

    Осталось определиться со знаком на промежутке (-∞, -5). Возьмем x = -6, подставляем:

    • (-6) 2 + 4 * (-6) — 5 = 36 — 24 — 5 = 7.

    Следовательно, искомый знак — плюс.

    Можно расставить знаки быстрее, если запомнить эти факты:

    Плюс или минус: как определить знаки

    Можно сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:

    если a > 0, последовательность знаков: +, −, +,

    если a 0, последовательность знаков: +, +,

    если a 2 — 7 не имеет корней и на промежутке (−∞, +∞) его значения отрицательны, так как коэффициент при x 2 есть отрицательное число -4, и свободный член -7 тоже отрицателен.

    • Когда квадратный трехчлен при D > 0 имеет два корня, то знаки его значений на промежутках чередуются. Это значит, что достаточно определить знак на одном из трех промежутков и расставить знаки над оставшимися промежутками, чередуя их. В результате возможна одна из двух последовательностей: +, −, + или −, +, −.
    • Если квадратный трехчлен при D = 0 имеет один корень, то этот корень разбивает числовую ось на два промежутка, а знаки над ними будут одинаковыми. Это значит, что достаточно определить знак над одним из них и над другим поставить такой же. При этом получится, либо +, +, либо −, −.
    • Когда квадратный трехчлен корней не имеет (D

    Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. Чтобы закрепить материал потренируемся на примерах и научимся использовать метод интервалов для квадратных неравенств.

    Пример 1. Решить неравенство методом интервалов: x^2 — 5x + 6 ≥ 0.



      Разложим квадратный трехчлен на множители.

    Неравенство примет вид:

    Проанализируем два сомножителя:

    Первый: х — 3. Этот сомножитель может поменять знак при х = 3, значит при х 0 принимает положительные значения: х — 3 > 0.

    Второй: х — 2. Для этого сомножителя такая «знаковая» точка: х = 2.

    Вывод: знак произведения (х — 3) * (х — 2) меняется только при переходе переменной через значения х = 3 и х = 2.

    В этом весь смысл метода интервалов: определить интервалы значений переменной, на которых ситуация не меняется и рассматривать их как единое целое.

  • Построим чертеж.
  • Рассмотрим интервалы в том же порядке, как пишем и читаем: слева направо.

    Отобразим эти данные на чертеже:

    2 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.

    • (25 — 3) (25 — 2) = 22*23 = 506 > 0

    Вывод: при х > 3 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) > 0. Внесем эти данные в чертеж.


    Исходное неравенство: (х — 3) * (х — 2) ≥ 0.

    Если (х — 3) * (х — 2) > 0:

    Если (х — 3) (х — 2) = 0 — при х1 = 3, х2 = 2.

    Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.

    Ответ: х ≤ 0, х ≥ 3.

    Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3

    Отделение корней В Excel

    Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

    Лабораторная работа

    Отделение корней нелинейного уравнения

    Пусть имеется нелинейное уравнение .

    Требуется найти корни этого уравнения. Численный процесс приближенного решения поставленной задачи разделяют два этапа: отделение корня и уточнение корня.

    Для отделения корня необходимо определить промежуток аргумента , где содержится один и только один корень уравнения. Одна из точек этого промежутка принимается за начальное приближение корня. В зависимости от метода, который предполагается использовать для уточнения корня, требуется определение некоторых свойств отделенного корня и поведения функции на отрезке отделения. Например, при использовании метода деления пополам, необходимо и достаточно установить лишь непрерывность функции на отрезке отделения.

    Этап отделения корня уравнения алгоритмизирован только для некоторых классов уравнений (наиболее известным из которых является класс алгебраических уравнений), поэтому отделение корней нелинейных уравнений, обычно, выполняется «вручную» с использованием всей возможной информации о функции . Часто применяется графический метод отделения действительных корней, обладающий большой наглядностью.

    Методы отделения корней

    Отделение корней во многих случая можно произвести графически. Учитывая, что действительные корни уравнения F ( x )=0 – это есть точки пересечения графика функции y = F ( x ) с осью абсцисс y =0, нужно построить график функции y = F ( x ) и на оси OX отметить отрезки, содержащие по одному корню. Но часто для упрощения построения графика функции y = F ( x ) исходное уравнение заменяют равносильным ему уравнением f 1 ( x )= f 2 ( x ). Далее строятся графики функций y 1 = f 1 ( x ) и y 2 = f 2 ( x ), а затем по оси OX отмечаются отрезки, локализующие абсциссы точек пересечения двух графиков.

    На практике данный способ реализуется следующим образом: например, требуется отделить корни уравнения cos(2 x )+ x -5=0 графически на отрезке [–10;10], используя Excel .

    Построим график функции f (x)=cos(2 x )+x-5 в декартовой системе координат. Для этого нужно:

    Ввести в ячейку A1 текст х .

    Ввести в ячейку B1 текст y =cos(2 x )+ x -5.

    Ввести в ячейку А2 число -10, а в ячейку А3 число -9.

    Выделить ячейки А2 и А3.

    Навести указатель «мыши» на маркер заполнения в правом нижнем углу рамки, охватывающий выделенный диапазон. Нажать левую кнопку «мыши» и перетащить маркер так, чтобы рамка охватила диапазон ячеек А2:А22.

    Ячейки автоматически заполняются цифрами :

    Ввести в ячейку В2 формулу =COS(2*A2)+A2-5.

    Методом протягивания заполнить диапазон ячеек В3:В22.

    Вызвать «Мастер диаграмм» и выбрать диаграмму график (первый вид), нажать «далее».

    Указать диапазон данных, для этого щелкнуть кнопку в поле «Диапазон» и выбрать диапазон данных В2:В22.

    Выбрать вкладку ряд, указать имя ряда, щелкнув кнопку в поле «ряд» и выбрав В1.

    В поле «подписи по оси Х», щелкнуть кнопку и выбрать диапазон А2:А22, нажать «далее».

    Подписать названия осей x и y соответственно, нажать «далее».

    Вывести диаграмму на том же листе, что и таблица, нажать кнопку «готово».

    В итоге получаем следующее (рисунок 1):

    Рисунок 1 – Локализация корня

    Анализируя полученное изображение графика, можно сказать, что уравнение cos(2 x )+ x -5=0 имеет один корень – это видно из пересечения графика функции y=cos(2 x )+ x -5 с осью OX. Можно выбрать отрезок, содержащий данный корень: [5;6] – отрезок локализации .

    Для подтверждения полученных данных, можно решить эту же задачу вторым способом. Для этого необходимо уравнение cos(2 x )+ x -5=0 преобразовать к виду: cos(2 x )=5- x . Затем следует каждую часть уравнения рассмотреть как отдельную функцию. Т. е. y 1 =cos(2 x ) и y 2 =5- x . Для решения этой задачи в Excel необходимо выполнить следующие действия:

    Вести в ячейки А1:C1 соответственно текст: « x », « y 1 =cos(2 x )», « y 2 =5- x ».

    A2:A22 заполнить так же как при решении задачи первым способом.

    В В2 ввести формулу =COS(2*A2).

    Методом протягивания заполнить диапазон ячеек В3:В22.

    В С2 ввести =5-A2.

    Методом протягивания заполнить диапазон ячеек С3:С22.

    С помощью Мастера диаграмм выбрать график (первый вид).

    В данном случае диапазон данных следует указывать для построения двух графиков. Для этого нужно нажать кнопку в поле «Диапазон» и выделить ячейки В2:В22, затем нажать Ctrl (на клавиатуре) и выделить следующий диапазон C2:C22.

    Перейти на вкладку ряд, где выбрать именем ряда 1 ячейку В1, а именем ряда 2 ячейку С2.

    Подписать ось x , выбрав диапазон А2:А22.

    Подписать соответственно оси x и y .

    Поместить диаграмму на имеющемся листе.

    Результат представлен на рисунке 2: Анализируя полученный результат, можно сказать, что точка пересечения двух графиков попадает на тот же самый отрезок локализации [5;6] , что и при решении задачи первым способом.

    Рисунок 2 – Локализация корня

    Аналитический способ отделения корней

    Аналитический способ отделения корней основан на следующей теореме , известной из курса математического анализа.

    ТЕОРЕМА: Если непрерывная на функция , определяющая уравнение , на концах отрезка принимает значения разных знаков, т.е. , то на этом отрезке содержится, по крайней мере, один корень уравнения. Если же функция непрерывна и дифференцируема и ее производная сохраняет знак внутри отрезка , то на этом отрезке находится только один корень уравнения.

    В случае, когда на концах интервала функция имеет одинаковые знаки, на этом интервале корни либо отсутствуют, либо их четное число.

    Для отделения корней аналитическим способом выбирается отрезок , на котором находятся все интересующие вычислителя корни уравнения. Причем на отрезке функция F (x) определена, непрерывна и F ( a )* F ( b ) . Требуется указать все частичные отрезки , содержащие по одному корню.

    Б
    удем вычислять значение функции F ( x ) , начиная с точки x = a , двигаясь вправо с некоторым шагом h . Если F ( x )* F (x+ h ) , то на отрезке [ x ; x + h ] существует корень (рисунок 3).

    Рисунок 3 – Аналитический способ локализации корней

    Доказательство существования и единственности корня на отрезке.

    В качестве примера рассмотрим функцию f (x)=cos(2 x )+x-5 .

    Ввести в ячейки А1, В1 и С1 соответственно « x », « y =cos(2 x )+ x -5» и «ответ».

    В А2 и А3 ввести граничные значения отрезка изоляции.

    В В2 ввести формулу =COS(2*A2)+A2-5 и методом протягивания заполнить В3.

    В С2 ввести формулу =ЕСЛИ(B2*B3

    Таким образом, на отрезке изоляции корень существует:

    Р
    исунок 4 – Проверка существования корня на отрезке

    Для доказательства единственности корня на отрезке изоляции необходимо выполнить следующие действия:

    Продолжить работу в том же документе MS Excel.

    Заполнить D1 и E1 соответственно: « y’ =-sin(2 x )*2+1» и «ответ» (причем выражение y’ =-sin(2 x )*2+1 – это производная первого порядка от функции y =cos(2 x )+ x -5).

    Ввести в D2 формулу =-SIN(2*A2)*2+1 и методом протягивания заполнить D3.

    Ввести в E2 =ЕСЛИ(D2*D3>0;»корень на данном отрезке единственный»;»Корень не единственный»).

    В
    результате получаем (рисунок 5):

    Рисунок 5 – Доказательство единственности корня на отрезке

    Таким образом доказано существование и единственность корня на отрезке изоляции.

    Рассмотрим решение задачи отделения корней уравнения
    cos(2 x )+ x -5=0 аналитическим способом с шагом 1 на отрезке [-10;10].

    Чтобы отделить корни уравнения аналитическим способом с помощью Excel, необходимо выполнить следующее:

    Заполнить ячейки A1:D1 соответственно: « x », « y =cos(2 x )+ x -5», « h », «ответ».

    В С2 ввести значение 1.

    Ввести в А2 значение -10.

    Ввести в А3 =A2+$C$2 и методом протягивания заполнить ячейки А4:А22.

    В В2 ввести =COS(2*A2)+A2-5 и методом протягивания заполнить диапазон В3:В22.

    В
    С3 ввести формулу =ЕСЛИ(B2*B3

    В результате получаем следующее (рисунок 6):

    Рисунок 6 – Отделение корня

    Следующий пример (рисунок 7) демонстрирует отделение нескольких корней. Пусть исследуется функция cos ( x )=0,1 x на интервале [–10;10] с шагом 1.

    Табулирование функции и построение графика осуществляется как в предыдущих примерах. Видно, что на заданном отрезке имеем 7 корней, находящихся внутри отрезков: [-10;-9]; [-9;-8]; [-5;-4]; [-2;-1]; [1;2]; [5;6]; [7;8].

    Рисунок 7 – Отделение корней

    Обратим внимание на то, что надежность рассмотренного алгоритма отделения корней уравнения зависит как от характера функции F (x), так и от выбранной величины шага h . Для повышения надежности следует выбирать при отделении корней достаточно малые значения h .

    1. Выполнить отделение корней следующих функций:


    источники:

    http://skysmart.ru/articles/mathematic/metod-intervalov-reshenie-neravenstv

    http://infourok.ru/otdelenie-korney-v-ecel-1962459.html

    • © 2023 Русский язык. Привила написания. Наш первый проект тут и тут