Метод половинного деления. Один из методов уточнения корней уравнения (1) – метод половинного деления
Один из методов уточнения корней уравнения (1) – метод половинного деления. Исходные данные: уравнение f(x)=0; отрезок [a,b], на котором существует единственный корень уравнения (корень отделен), т.е. f(x) удовлетворяет условиям: f(x) непрерывна на [a,b], монотонна нем и f(a)f(b) 0 (знаки функции f(x) в точках a и c одинаковы), то левый конец отрезка заменяется на середину (а=с) иначе правый конец заменяется на середину (b=c).
4. Если длина отрезка не превосходит заданной точности (b-a 4 -x 3 -2x 2 +3x-3=0.
Полагая f(x)= x 4 -x 3 -2x 2 +3x-3, имеем f’(x)=4x 3 -3x 2 -4x+3.
Найдем нули производной: 4x 3 -3x 2 -4x+3=0; 4x(x 2 -1)-3(x 2 -1)=0;(x 2 -1)(4x-3)=0;
Составим таблицу знаков функции f(x):
x | -∞ | -1 | 3/4 | +∞ | |
f(x) | + | — | — | — | + |
Из таблицы видно, что уравнение имеет два действительных корня x1 (-∞;-1) и x2 (1;+ ∞). Уменьшим промежутки, на которых находятся корни, до единичной длины:
x | -2 | -1 | ||
f(x) | + | — | — | + |
Следовательно, x1 (-2;-1) и x2 (1;2).
Уточним один из корней, например, x1, методом половинного деления до сотых долей. Все вычисления удобно производить, используя следующую таблицу:
Второй корень, уточняемый аналогичным образом, равен 1,73.
2. Отделить корни графически и уточнить их методом половинного деления.
Перепишем уравнение в виде . Обозначим , и построим графики этих функций:
Из рисунка видно, что уравнение имеет три корня: точный x=0 и еще два, расположенных симметрично на отрезках [-3;-2] и [2;3].
Уточним корень на отрезке [2;3]:
Задания
1)Отделить корни аналитически и уточнить их методом половинного деления до 0,01, используя электронные таблицы.
1. 3x 4 +4x 3 -12x 2 -5=0
2. 2x 3 -9x 2 -60x+1=0
5. 3x 4 +3x 3 +6x 2 -10=0
7. x 4 +4x 3 -3x 2 -17=0
8. x 4 -x 3 -2x 2 +3x-3=0
9. 3x 4 +4x 3 -12x 2 +1=0
10. 3x 4 -8x 3 -18x 2 +2=0
11. 2x 4 -3x 3 +8x 2 -1=0
12. 2x 4 +8x 3 +3x 2 -1=0
13. x 4 -4x 3 -8x 2 +1=0
14. 3x 4 +4x 3 -12x 2 -5=0
15. 2x 3 -8x 2 -30x+1=0
17. 2x 4 -2x 2 -7=0
18. 3x 4 +8x 3 +6x 2 -10=0
19. x 4 -18x 2 +6=0
20. x 4 +4x 3 -3x-7=0
21. x 4 -2x 3 -x 2 +3x-3=0
22. 3x 4 +4x 3 -3x 2 -17=0
23. 2x 4 -5x 3 -12x 2 +2=0
24. 3x 4 +9x 3 -14x 2 +1=0
25. x 4 +2x 3 -x-1=0
26. x 4 +8x 3 -6x 2 -72x=0
28. x 4 -3x 2 +75x-10000=0
2) Отделить корни графически и уточнить их методом половинного деления до 0.01, используя электронные таблицы.
Лабораторная работа №3
Решение нелинейных уравнений методом хорд
Краткая теория
Будем рассматривать уравнения вида f(x)=0 (1). Пусть корень уравнения отделен и находится на отрезке [a,b]. Уточним этот корень методом хорд. Геометрически метод хорд означает замену на отрезке [a,b] графика функции y=f(x) хордой, проведенной через точки (a,f(a)) и (b,f(b)):
Здесь ξ — точный корень уравнения (1), x — начальное приближение к корню, x -точка пересечения хорды с осью Ох – первое приближение к корню. Далее метод хорд применяется на отрезке [a, x ] и получается второе приближение к корню — x . В случае, изображенном на рис.1, конец отрезка а остается неподвижным. Из уравнения хорды и условия, что точка (x ,0) принадлежит хорде, получается формула для вычисления n-го приближения к корню для случая, когда а – неподвижный конец: x =b,
x =a- (2)
Для случая неподвижного конца b используется формула: x =a,
x =x — (3)
Правило определения неподвижного конца хорды:
Если знаки первой и второй производных функции f(x) на отрезке [a, b] совпадают, то неподвижным являются конец b, иначе — конец a.
Метод хорд обеспечивает на n-м шаге абсолютную погрешность приближения к корню уравнения (1), не превосходящую длину n-го отрезка:
1. Определить, какой конец отрезка будет неподвижным и принять за x другой конец отрезка.
2. Вычислить новое приближение к корню x по формуле (2) или (3).
3. Если длина отрезка [x , x ] не превосходит заданной точности, то процесс заканчивается и в качестве точного корня можно взять x или x , иначе идти к п.2
Решение одного варианта
1.Отделить корни графически и уточнить их методом хорд с точностью до 0.001: tg(0.5x+0.1)=x .
Отделим корень графически. Построим графики функций
y =tg(0.5x+0.1) и y =x :
Таким образом, уравнение имеет два корня
x [0.5; 1] и x [-0.5; 0]
Чтобы уточнить этот корень методом хорд, определим знаки первой и второй производной функции f(x)= tg(0.5x+0.1)-x на промежутке [0.5;1]. Имеем
f ‘(x)=0.5/cos (0.5x+0.1)-2x;
3.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. x lgx — 1.2 = 0
14. 1.8x 2 – sin10x = 0
15. ctgx – x / 4 = 0
16. tg(0.3x + 0.4) = x 2
17. x – 20sinx = 0
18. ctgx – x / 3 = 0
19. tg(0.47x + 0.2) = x 2
20. x 2 + 4sinx = 0
21. ctgx – x / 2 = 0
22. 2x – lgx – 7 = 0
24. 3x – cosx – 1 = 0
26. 10cosx-0,1x 2 =0
2)Отделить корни аналитически и уточнить их методом хорд до 0.001:
Численные методы решения нелинейных уравнений
В этом разделе приведены примеры решенных задач по теме нахождения корней нелинейных уравнений численными методами. На первом этапе обычно происходит локализация (отделение) корней (графически или аналитически), на втором — уточнение (поиск) корней разными методами: Ньютона, Стеффенсена, секущих, хорд, касательных, простой итерации.
Примеры приближенных решений нелинейных уравнений онлайн
Задача 1. Методом бисекции найти решение нелинейного уравнения на отрезке $[a;b]$ с точностью $\varepsilon = 10^<-2>$. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью $\varepsilon=10^<-4>$. Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности число итераций.
Задача 2. Отделить корни нелинейного уравнения аналитически $2 arcctg x -x+3=0$.
Задача 3. Отделить корни нелинейного уравнения аналитически и уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01. $$3x^4-8x^3-18x^2+2=0.$$
Задача 4. Отделить корни нелинейного уравнения графически (например, в среде EXCEL) уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01. $$x^2-20 \sin x =0.$$
Задача 5. Отделите корни уравнения графически и уточните один из них методом хорд с точностью до 0,001. Уточните один из корней этого уравнения методом касательных с точностью до 0,001. $$ \sqrt
Задача 6.Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001. $$\sqrt
Задача 7. На отрезке $[0;2]$ методом Ньютона найти корень уравнения $-x^3-2x^2-4x+10=0$ с точностью 0,01.
Задача 8. Методом хорд найти отрицательный корень уравнения $x^3-2x^2-4x+7=0$ с точностью 0,0001. Требуется предварительное построение графика функции и отделение корней.
Задача 9. Решить нелинейные уравнения с точностью до 0.001. $$1)\, x^3-12x-5=0\, (x \gt 0), \, 2)\, \tan x -1/x=0. $$
Уравнение и его корни: определения, примеры
После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.
Понятие уравнения
Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:
Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.
Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t , r , m др., но чаще всего используются x , y , z . Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение которое надо найти.
Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x = 5 , y = 6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x + 7 = 38 , z − 4 = 2 , 8 · t = 4 , 6 : x = 3 .
После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7 · ( x − 1 ) = 19 , x + 6 · ( x + 6 · ( x − 8 ) ) = 3 и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x · ( 8 + 1 ) − 7 = 8 , 3 − 3 = z + 3 или 8 · x − 9 = 2 · ( x + 17 ) .
Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.
В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:
Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.
То есть, к примеру, выражение x + 3 = 6 · x + 7 – это уравнение с переменной x , а 3 · y − 1 + y = 0 – уравнение с переменной y .
В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:
Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.
К примеру, равенство вида 3 , 7 · x + 0 , 6 = 1 является уравнением с одной переменной x , а x − z = 5 – уравнением с двумя переменными x и z . Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение x 2 + ( y − 6 ) 2 + ( z + 0 , 6 ) 2 = 26 .
Корень уравнения
Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.
Нам дано некое уравнение, включающее в себя одну переменную. Если мы подставим вместо неизвестной буквы число, то уравнение станет числовым равенством – верным или неверным. Так, если в уравнении a + 1 = 5 мы заменим букву числом 2 , то равенство станет неверным, а если 4 , то получится верное равенство 4 + 1 = 5 .
Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.
Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство.
Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.
Возьмем пример для пояснения этого определения. Выше мы приводили уравнение a + 1 = 5 . Согласно определению, корнем в данном случае будет 4 , потому что при подстановке вместо буквы оно дает верное числовое равенство, а двойка не будет решением, поскольку ей отвечает неверное равенство 2 + 1 = 5 .
Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.
Уравнения, не имеющие ни одного корня, тоже существуют. Примером может быть 0 · x = 5 . Мы можем подставить в него бесконечно много разных чисел, но ни одно из них не превратит его в верное равенство, поскольку умножение на 0 всегда дает 0 .
Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.
Так, в уравнении x − 2 = 4 есть только один корень – шесть, в x 2 = 9 два корня – три и минус три, в x · ( x − 1 ) · ( x − 2 ) = 0 три корня – нуль, один и два, в уравнении x=x корней бесконечно много.
Теперь поясним, как правильно записывать корни уравнения. Если их нет, то мы так и пишем: «уравнение корней не имеет». Можно также в этом случае указать знак пустого множества ∅ . Если корни есть, то пишем их через запятую или указываем как элементы множества, заключив в фигурные скобки. Так, если у какого-либо уравнения есть три корня — 2 , 1 и 5 , то пишем — 2 , 1 , 5 или < - 2 , 1 , 5 >.
Допускается запись корней в виде простейших равенств. Так, если неизвестная в уравнении обозначена буквой y , а корнями являются 2 и 7 , то мы пишем y = 2 и y = 7 . Иногда к буквам добавляются нижние индексы, например, x 1 = 3 , x 2 = 5 . Таким образом мы указываем на номера корней. Если решений у уравнения бесконечно много, то мы записываем ответ как числовой промежуток или используем общепринятые обозначения: множество натуральных чисел обозначается N , целых – Z , действительных – R . Скажем, если нам надо записать, что решением уравнения будет любое целое число, то мы пишем, что x ∈ Z , а если любое действительное от единицы до девяти, то y ∈ 1 , 9 .
Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.
Решение уравнения с двумя, тремя и более переменными – это два, три и более значения переменных, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство.
Поясним определение на примерах.
Допустим, у нас есть выражение x + y = 7 , которое представляет из себя уравнение с двумя переменными. Подставим вместо первой единицу, а вместо второй двойку. У нас получится неверное равенство, значит, эта пара значений не будет решением данного уравнения. Если же мы возьмем пару 3 и 4 , то равенство станет верным, значит, мы нашли решение.
Такие уравнения тоже могут не иметь корней или иметь бесконечное их количество. Если нам надо записать два, три, четыре и более значений, то мы пишем их через запятую в круглых скобках. То есть в примере выше ответ будет выглядеть как ( 3 , 4 ) .
На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.
http://www.matburo.ru/ex_cm.php?p1=cmnu
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/uravnenie-i-ego-korni/