Определить матрицы коэффициентов системы уравнений

Решение систем линейных уравнений

Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество решений, найти общее, частное и базисные решения.

Введите коэффициенты при неизвестных в поля. Если Ваше уравнение имеет меньшее количество неизвестных, то оставьте пустыми поля при переменных, не входящих в ваше уравнение. Можно использовать дроби ( 13/31 ).

Найдем определитель матрицы коэффициентов системы

Тема 6. Системы линейных алгебраических уравнений

Основные понятия СЛАУ

Системой состоящей из m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

(1)

где , — числа, — неизвестные, n – число неизвестных, m – число уравнений.

Решением линейной системы (1) называется упорядоченная совокупность чисел которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

Линейная система называется неоднородной, если среди свободных членов имеются отличные от нуля. Если все свободные члены равны нулю, то линейная система называется однородной. Однородная система имеет вид

(2)

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а система не имеющая решений, — несовместной. Отметим, что однородная система всегда совместна, так как она имеет нулевое решение.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения.

Две системы называются эквивалентными или равносильными, если любое решение одной из них является так же решением другой и обратно, т.е. если имеют одно и то же множество решений. Любые две несовместные системы считаются эквивалентными.

Элементарными преобразованиями системы называются следующие преобразования:

1) умножение уравнения системы на число, отличное от нуля;

2) прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на любое число;

3) перестановка местами двух уравнений системы.

Определителем системы называется определитель матрицы А из коэффициентов уравнений этой системы

Матрица полученная из основной присоединением столбца из свободных членов называется расширенной матрицей системы.

Решение СЛАУ по формулам Крамера

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными.

Обозначим через D определитель системы, а через D_k определитель, полученный заменой в определителе D столбца из коэффициентов при неизвестной х_k столбцом свободных членов системы, т.е.

где k – одно из чисел 1, 2, …, n.

Теорема.

1) Если система (2.3) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .

2) Если = =0, система имеет бесконечно много решений.

3) Если =0, а хотя бы один из система не имеет решений.

Пример. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

Решение:

Найдем определитель матрицы коэффициентов системы

Так как Δ # 0, то заданная система уравнений имеет единственное решение. Для этого вычислим определители Δ_j, получающиеся из определителя Δ путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при х_j, столбцом свободных членов.

Ответ:

Примеры:

1. Рассмотрим систему , решенную в предыдущем разделе методом Гаусса, и применим к ней правило Крамера. Найдем все нужные определители:

следовательно, система имеет единственное решение.

Отсюда

2. . Здесь поскольку имеет два одинаковых столбца.

Следовательно, система не имеет единственного решения. Найдем и

поэтому система имеет бесконечно много решений.

3. . Для этой системы но

Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы.

Используя этот онлайн калькулятор для решения систем линейных уравнений (СЛУ) матричным методом (методом обратной матрицы), вы сможете очень просто и быстро найти решение системы.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для решения систем линейных уравнений матричным методом (методом обратной матрицы), вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на решения систем линейных уравнений, а также закрепить пройденный материал.

Решить систему линейных уравнений матричным методом

Изменить названия переменных в системе

Заполните систему линейных уравнений:

Ввод данных в калькулятор для решения систем линейных уравнений матричным методом

• В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
• Для изменения в уравнении знаков с «+» на «-» вводите отрицательные числа.
• Если в уравнение отсутствует какая-то переменная, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите ноль.
• Если в уравнение перед переменной отсутствуют числа, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите единицу.

Например, линейное уравнение x ₁ — 7 x ₂ — x ₄ = 2

будет вводится в калькулятор следующим образом:

Дополнительные возможности калькулятора для решения систем линейных уравнений матричным методом

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево», «вправо», «вверх» и «вниз» на клавиатуре.
• Вместо x ₁, x ₂, . вы можете ввести свои названия переменных.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.