iSopromat.ru

Пример решения задачи по определению траектории равноускоренного движения точки, заданного уравнениями, скорости и ускорения в некоторые моменты времени, координаты начального положения точки, а также путь, пройденный точкой за время t.

Задача

где x и y – в см, а t – в с. Определить траекторию движения точки, скорость и ускорение в моменты времени t₀=0 с, t₁=1 с и t₂=5 с, а также путь, пройденный точкой за 5 с.

Решение

Расчет траектории

Определяем траекторию точки. Умножаем первое заданное уравнение на 3, второе – на (-4), а затем складываем их левые и правые части:

Получилось уравнение первой степени – уравнение прямой линии, значит движение точки – прямолинейное (рисунок 1.5).

Для того, чтобы определить координаты начального положения точки A₀, подставим в заданные уравнения значения t₀=0; из первого уравнения получим x₀=2 см, из второго y₀=1 см. При любом другом значении t координаты x и y движущейся точки только возрастают, поэтому траекторией точки служит полупрямая 3x-4y=2 с началом в точке A₀ (2; 1).

Расчет скорости

Расчет ускорения

Определяем ускорение точки. Его проекции на оси координат:

Проекции ускорения не зависят от времени движения,

т.е. движение точки равноускоренное, векторы скорости и ускорения совпадают с траекторией точки и направлены вдоль нее.

С другой стороны, поскольку движение точки прямолинейное, то модуль ускорения можно определить путем непосредственного дифференцирования уравнения скорости:

Определение пути

Определяем путь, пройденный точкой за первые 5с движения. Выразим путь как функцию времени:

Проинтегрируем последнее выражение:

Если t=t₀=0, то C=s₀; в данном случае s₀=0, поэтому s=2,5t 2 . Находим, что за 5с точка проходит расстояние

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Определить уравнение траектории точки онлайн

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ

3.1. На проволочной окружности радиусом r надето колечко М, через него проходит стержень ОА, который поворачивается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью.

Определить уравнения движения и уравнение траектории колечка М, если бы в начальный момент стержень ОА был вертикален.

Дано: , .

Найти: , , .

Решение: Из рисунка видно, что амплитуда по оси равна радиусу окружности. При повороте стержня на угол , кольцо М проходит по окружности угол , из чего можно сделать вывод, что угловая скорость кольца М по окружности в два раза больше угловой скорости стержня . Координата в начальный момент равна нулю, так как стержень находится в вертикальном положении, поэтому координата изменяется по синусу и его уравнение:

.

Относительно точки О координата может изменяться от нуля до , поэтому амплитуда по оси равна . В начальный момент координата занимает максимальное значение, поэтому координата изменяется по косинусу и так как ее значение не может быть отрицательно, то, очевидно по квадрату косинуса:

.

Уравнение траектории – круг с центром в точке (0; r ) будет:

.

Второй рисунок – начальное положение.

4. 1 . Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Решение: 1. Из первого уравнения и из второго .

Уравнение траектории получается суммированием полученных уравнений:

.

2. Модуль скорости точки определяется по формуле , где

и

.

При t =0: , и тогда ,

При t =1 c : и и тогда .

Модуль ускорения точки определяется по формуле , где

и

.

При t =0: , и тогда ,

При t =1 c : , и тогда .

3. Траектория представляет собою эллипс с центром в начале координат (0;0) и полуосями 3и 4.

4. 2 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение Чтобы найти уравнение траектории точки выведем из уравнения время , подставляя во второе уравнение, получим уравнение траектории:

.

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

,

Ускорения в заданные моменты времени:

,

.

4. 3 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение Чтобы найти уравнение траектории точки необходимо из уравнений движения исключить время. Для этого уравнения движения разрешим относительно и и возведем полученные результаты в квадрат:

,

Тогда уравнение траектории — эллипс с полуосями 9 и 18, центр которого в точке (0;0).

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

,

Ускорения в заданные моменты времени:

,

.

4. 4 . Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , ,

Решение: 1. Из уравнений и выражаем:

и

,

Складывая их получим уравнение траектории точки:

.

Траектория является эллипсом с полуосями 8 и 4см с центром в точке (5;0).

2. Скорости точки по осям:

и

.

Модуль скорости точки определяется по формуле:

.

Для момента времени t =0:

и

и

.

Для момента времени t =1 c :

,

и

.

Ускорения по осям:

и

.

Модуль ускорения точки определяется по формуле:

,

Для момента времени t =0:

, и

.

Для момента времени t =1:

, и

.

4. 5 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение Чтобы найти уравнение траектории точки необходимо из уравнений движения исключить время. Для этого уравнения движения разрешим относительно и и возведем полученные результаты в квадрат:

,

Тогда уравнение траектории — эллипс с полуосями 4 и 8, центр которого в точке (3;2).

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

,

Ускорения в заданные моменты времени:

,

.

4. 6 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

.

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

,

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки: .

4. 7 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим: , тогда . Из уравнения выражаем уравнение траектории : .

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

,

Ускорения в заданные моменты времени:

,

.

4. 8 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим:

.

Распишем уравнение :

,

Подставив в уравнение , получим уравнение траектории:

.

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

4. 9 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

.

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

,

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

.

4.1 0 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

.

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

,

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

.

4.1 1 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

.

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

,

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

.

4.1 2 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

.

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

,

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

.

4. 13 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

.

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

,

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

.

4. 14 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Возведем оба уравнения в квадрат и вычтем:

,

,

,

Это уравнение окружности радиусом 8см.

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

Ускорения в заданные моменты времени:

,

.

4. 15 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим:

.

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

,

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

.

Ускорения в заданные моменты времени:

,

.

4. 16 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

.

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

,

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Ускорения в заданные моменты времени:

,

Общее ускорение точки:

и

.

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

Теоретическая механика: Решебник Яблонского:
Кинематика точки (К1)

Бесплатный онлайн решебник Яблонского. Выберите задание и номер варианта для просмотра решения. Смотрите также способы и примеры решения задач по теме кинематика точки.

Задание К.1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

По заданным уравнениям движения точки M установить вид ее траектории и для момента времени t=t₁ (c) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Необходимые для решения данные приведены в табл. 20.

Дополнение к заданию К.1. Данное задание может быть использовано для определения скорости и ускорения точки при ее движении по пространственной траектории. Для этого к двум уравнениям движения (см. табл. 20) добавляется третье уравнение (табл. 22).