Определить уравнение траектории точки снаряда

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ

5.1. Даны уравнения движения снаряда, вылетевшего из ствола орудия.

1) высоту полета H и дальность обстрела L ;

2) скорость снаряда в момент падения;

3) ускорение снаряда.

Дано: , .

1) Когда снаряд в верхней точке траектории, то вертикальная скорость равна нулю:

Откуда время подъема и половина времени полета:

Тогда высота подъема снаряда:

2) Горизонтальная скорость:

И вертикальная скорость в конце полета:

Общая скорость точки:

3) Ускорение снаряда:

SHAPE \* MERGEFORMAT

5.2. Даны уравнения движения снаряда, вылетевшего из ствола орудия.

1) высоту полета H и дальность обстрела L ;

2) скорость снаряда в момент падения;

3) ускорение снаряда.

Дано: , .

Решение: 1) Когда снаряд в верхней точке траектории, то вертикальная скорость равна нулю:

Откуда время подъема и половина времени полета:

Тогда высота подъема:

И дальность обстрела:

2) Горизонтальная скорость:

И вертикальная скорость в конце полета:

Общая скорость точки:

3) Ускорение снаряда

SHAPE \* MERGEFORMAT

5.3. Даны уравнения движения снаряда, вылетевшего из ствола орудия.

1) высоту полета H и дальность обстрела L ;

2) скорость снаряда в момент падения;

3) ускорение снаряда.

Дано: , .

Решение: 1) Когда снаряд в верхней точке траектории, то вертикальная скорость равна нулю:

Откуда время подъема и половина времени полета:

Тогда высота подъема:

И дальность обстрела:

2) Горизонтальная скорость:

И вертикальная скорость в конце полета:

Общая скорость точки:

3) Ускорение снаряда .

SHAPE \* MERGEFORMAT

5.4. Даны уравнения движения снаряда, вылетевшего из ствола орудия.

1) высоту полета H и дальность обстрела L ;

2) скорость снаряда в момент падения;

3) ускорение снаряда.

Дано: , .

Решение: 1) Когда снаряд в верхней точке траектории, то вертикальная скорость равна нулю:

Откуда время подъема и половина времени полета:

Тогда высота подъема:

И дальность обстрела:

2) Горизонтальная скорость:

И вертикальная скорость в конце полета:

Общая скорость точки:

3) Ускорение снаряда .

SHAPE \* MERGEFORMAT

5.5. Даны уравнения движения груза, сброшенного с самолета.

1) время Т и дальность L полета груза;

2) скорость груза в момент падения;

3) ускорение груза.

Дано: , .

Найти: Т, L , υ , а.

Решение: Груз упадет, когда его координата y станет равной нулю :

Откуда время движения груза:

Скорости точек – производные перемещений по времени:

А общая скорость:

SHAPE \* MERGEFORMAT

5.6. Даны уравнения движения груза, сброшенного с самолета.

1) время Т и дальность L полета груза;

2) скорость груза в момент падения;

3) ускорение груза.

Дано: , .

Найти: Т, L , υ , а.

Решение: Груз упадет, когда его координата y станет равной нулю :

Откуда время до падения:

Скорости точек по осям:

А общая скорость:

SHAPE \* MERGEFORMAT

5.7. Даны уравнения движения точки М линейки эллипсографа.

1) уравнения траектории;

2) скорость и ускорение точки в момент, когда пересекает прямую .

Дано : ; , .

Найти: , , .

Решение: Из уравнений траекторий точки, получим :

Возводим каждое из них в квадрат и складываем:

Это уравнение эллипса с полуосями 10 и 12 с центром в точке (0;0).

Из условия :

Откуда искомый момент времени:

Скорость точки М по осям:

Общая скорость точки М:

Ускорение точки М по осям:

Общее ускорение точки М:

5.8. Движение снаряда в вертикальной плоскости (см. рис.1.6) описывают уравнениями: x = 300 t , м; y = 400 t – 5 t 2 , м, где t – время, с .

– траекторию, скорость и ускорение снаряда в начальный и конечный моменты времени;

– высоту подъема снаряда над уровнем горизонта H и дальность обстрела L;

– радиус кривизны траектории в ее начальной, конечной и наивысшей точках.

Решение: Найдем уравнение траектории, исключив из уравнения движения (м) время t . Сначала из уравнения определим , а затем получим уравнение траектории в следующем виде: . Траекторией снаряда в координатах х и у вертикальной плоскости является парабола.

Вычислим проекции скорости и ускорения снаряда на координатные оси:

Определим их значения в начальный момент времени t = 0:

;

Высоту подъема снаряда над уровнем горизонта можно определить, исследовав на экстремум функции y ( t ) по переменной t . Это означает, что с точки зрения кинематики проекция скорости точки на ось y в рассматриваемый момент времени должна быть равна нулю. Тогда где – время подъёма снаряда на максимальную высоту, с. Подставляя данное значение времени в выражение для y , получим y_max = H = y (40) = 8 км . Дальность обстрела определим из условия, что в момент падения снаряда функция y ( t ) принимает нулевое значение , где – время полета снаряда. Корень этого квадратного уравнения, соответствующий падению снаряда на землю, с, откуда дальность полета х _max = х (80) = 24 км.

Теперь, зная время полета снаряда, можно определить его скорость и ускорение в конце полета. Подставляя время в выражение для проекции скорости снаряда на ось y , получим м /с. Проекции скорости и ускорения на ось x не зависят от времени и постоянны в течение полета. Таким образом, снаряд движется с постоянным ускорением, равным 10 м/с 2 и направленным вертикально вниз, а его скорость в конце полета равна по модулю скорости в начале его м/с и составляют с осью x одинаковые углы .

Для определения радиуса кривизны перейдем к кинематическим характеристикам движения снаряда в естественной системе отсчета.

Вначале найдем касательное ускорение по формуле

а затем вычислим его для начального момента времени

и для конечного

Теперь можно посчитать нормальное ускорение по формуле , а затем и . Поскольку радиус кривизны траектории входит в формулу , то

Радиусы кривизны траектории в начале и в конце полета одинаковы. В наивысшей точке траектории

;

Как видно из приведенного примера, уравнения движения точки содержат все необходимое для исследования характеристик ее движения в любой момент времени.

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

Как рассчитать движение снаряда

Когда объект запускается, он следует параболическому пути и движению, известному как движение снаряда. В этом посте мы рассмотрим параметры и способы их расчета. движение снаряда в подробном анализе.

Когда объект запускается и движется по симметричной параболической траектории, движение называется движением снаряда, а параболический путь объекта называется его траекторией. В этом случае объект перемещается одновременно по вертикали и горизонтали. В результате движение снаряда становится двумерным. При движении снаряда вам нужно только приложить силу в начале траектории; после этого на объект действует только сила тяжести.

Теперь давайте посмотрим, как рассчитать движение снаряда:

Предположим, вы стреляете пушечным ядром. Он начинает двигаться вверх и вперед, пока не достигнет максимальной высоты. С этого момента он будет продолжать двигаться вперед, но в нисходящем направлении. Он отслеживает этот изогнутый маршрут, известный как траектория, имеющая форму параболы. Любой объект, движущийся таким образом, называется движущимся снарядом. Поскольку траектория движения снаряда всегда параболическая, она представляется как:

у = ах + bx 2

Прежде чем достичь Земли, пушечное ядро во время своего путешествия пойдет по параболическому маршруту. скорость по оси X остается постоянной на протяжении всего движения, тогда как скорость по оси Y изменяется в зависимости от его положения. Только ускорение свободного падения 9.8 м / с 2 , управляет этим типом движения. Ускорение, направленное вниз, остается постоянным во время полета ядер.

Кинематические уравнения движения снаряда:

Формула начальной скорости:

Предположим, что начальная скорость равна u, а угол полета снаряда равен. У начальной скорости есть две составляющие: горизонтальная и вертикальная.

Горизонтальная составляющая начальной скорости u_x и предоставлено:

u_x = ты ᐧ потому что𝛳

Вертикальная составляющая начальной скорости равна uy и определяется выражением:

Время полета снаряда:

Время полета снаряда — это промежуток времени между запускаемым объектом и достижением земли. Величина стартовой скорости и угол полета снаряда определяют время полета, которое обозначается T.

Формула ускорения:

В горизонтальном направлении ускорение отсутствует, поскольку горизонтальная составляющая ускорения остается постоянной на протяжении всего движения. Единственное ускорение в вертикальном направлении происходит за счет силы тяжести.

Отрицательный знак означает ускорение вниз.

Формула скорости в момент времени t:

На протяжении всего движения горизонтальная составляющая скорости остается постоянной. Однако, поскольку вертикальное ускорение постоянно, вертикальная составляющая скорости изменяется линейно.

В результате скорость может быть рассчитана в любой момент времени t по следующей формуле:

v_y = u ᐧ sin𝛳 — g ᐧ t

Используя теорему Пифагора, можно найти величину скорости.

Формула смещения в момент времени t:

В момент времени t смещение может быть определено как:

y = (u ᐧ sin𝛳) ᐧ t — ½ (gt 2 )

Формула параболической траектории:

Мы можем использовать уравнения смещения в направлениях x и y, чтобы вывести уравнение для параболической формы движения снаряда:

Формула дальности снаряда:

Общее горизонтальное расстояние, пройденное объектом за время полета, определяется как его дальность. Если объект запускается с земли (начальная высота = 0), формула выглядит следующим образом:

Согласно приведенному выше уравнению, максимальная дальность полета по горизонтали может быть получена при угле полета снаряда 𝛳 = 45 °. Rm представляет собой максимальный диапазон.

Формула максимальной высоты:

Когда вертикальная составляющая скорости равна нулю, v_y = 0, максимальная высота может быть достигнута. Поскольку время полета — это полное время снаряда, для достижения максимальной высоты потребуется половина этого времени. Таким образом, время для достижения максимальной высоты составляет:

Таким образом, из уравнения перемещения максимальная высота может быть определена как:

Формула движения снаряда по горизонтали:

Горизонтальный снаряд Движение — это тип движения снаряда, при котором объект запускается горизонтально с возвышенной плоскости, а не с земли.

Угол запуска указывать не нужно, поскольку он параллелен земле (т. Е. Угол равен 0 °). В результате у нас есть только одна начальная составляющая скорости: Vx = V, тогда как Vy = 0.

В этом случае уравнения движения следующие:

Скорость горизонтального движения снаряда:

Горизонтальная скорость: v_x = V

И вертикальная скорость: v_x = -g ᐧ т

Расстояние, пройденное объектом при горизонтальном движении снаряда:

В этом случае горизонтальное расстояние рассчитывается следующим образом:

А расстояние по вертикали можно определить как:

y = — (g ᐧ t 2 ) / 2

Ускорение при горизонтальном движении снаряда:

Горизонтальное ускорение а_x = 0, поскольку горизонтальная скорость постоянна.

Вертикальное ускорение а_y = -г

Уравнение траектории горизонтального движения снаряда:

Уравнение траектории в этом случае может быть задано следующим образом:

Время полета при горизонтальном движении снаряда:

Время полета в этом случае может быть определено как:

Дальность полета снаряда при горизонтальном движении снаряда:

Дальность полета снаряда при горизонтальном движении снаряда составляет:

Поскольку мы запускаем объект с максимальной высоты, нам не нужно рассчитывать максимальную высоту в этом сценарии.

Давайте посмотрим на некоторые проблемы движения снаряда.

Проблема 1: Каким будет θmax, при котором расстояние от частицы до метателя всегда увеличивается до конца пути снова у земли?

Решение: Горизонтальное расстояние, пройденное объектом, называется его горизонтальным диапазоном и определяется по формуле:

Максимальная дальность полета может быть достигнута при угле выстрела 45 °.

Таким образом, для максимального угла Rm θmax = 45 °.

Задача 2: Если мяч брошен вертикально вверх со скоростью u, расстояние, пройденное за последние t секунд его всплытия, будет:

Решение: Поскольку мяч брошен вертикально, угол полета снаряда 𝛳 = 90 °.

Где Tm — время, необходимое объекту для достижения максимальной высоты.

Предположим, что h представляет собой расстояние, пройденное объектом за последние t секунд его подъема. Затем скорость в этот момент рассчитывается следующим образом:

Таким образом, расстояние, пройденное за последнюю t секунду, составляет:

3 задачи: Частица проецируется под углом 60 ° над горизонтом со скоростью 10 м / с. Через некоторое время скорость составит угол 30 ° от горизонтали. Скорость частицы в этот момент составляет?

Решение: Горизонтальная составляющая скорости определяется как:

v_x = ты ᐧ потому что𝛳

Здесь в первом случае угол проекции составляет 60 °, а начальная скорость u = 10 м / с. Таким образом,

Теперь вертикальная составляющая скорости v_y изменяется во время движения, но v_x остается постоянным. Таким образом,

Где 𝛳2 = 30 °, а v — скорость, когда объект составляет угол 𝛳 = 30 ° с горизонтом.

Последние выпуски в области передовой науки и исследований

Вычисляем баллистические траектории в играх

При разработке видеоигр часто встречается задача вычисления угла выстрела для попадания в цель. Она настолько распространена, что я писал код для её решения в буквальном смысле для каждой игры, над которой работал.

Когда возникала эта проблема, я обычно брал ручку с блокнотом и решал её с нуля. Мне это надоело. Чтобы сэкономить себе из будущего немного времени, я выложу это решение в Интернет. Кроме того, я расскажу о необычной «фишке», которую предпочитаю использовать из соображений эстетики.

Уравнения движения

Задача всегда начинается одинаково. У нас есть стреляющий и цель: под каким углом нужно стрелять снарядом, чтобы он поразил цель?

Существует четыре основных уравнения движения. В статье мы воспользуемся только одним.

Если объяснять на словах, то конечная позиция РАВНА исходной позиции ПЛЮС скорость, умноженная на время ПЛЮС половина ускорения, умноженная на время в квадрате. Это простое уравнение, для его решения необходимо немного алгебры и несколько тригонометрических тождеств.

Освежим знания

Прежде чем начать, давайте вкратце освежим память.

Если дан снаряд с постоянной скоростью S и углом выстрела θ (theta), то мы можем вычислить компоненты скорости x и y. Или если есть S и мы каким-то образом найдём y, то можем вычислить θ и x.

Мы используем алгебру.

Мы часто будем пользоваться формулой корней квадратного уравнения.

Дальность

При разработке видеоигр нам, вероятно, нужно будет знать максимальную дальность полёта снаряда. Искусственный интеллект должен понимать, насколько близко нужно подойти, а игрокам нужны чёткие наглядные индикаторы опасных зон.

Существует очень простое уравнение максимальной дальности на плоской поверхности. Мы сразу же ринемся в омут с головой и начнём с обобщённого вида.

Если дан снаряд с постоянной скоростью (S) и гравитацией (G), то какой будет его максимальная дальность полёта?

Для тестирования и визуализации я создал демо на Unity. В нём используются чайники, стреляющие чайниками. Пиф-паф!

В демо есть несколько ползунков. В видео показан индикатор дальности стрельбы нашего чайника-турели. При увеличении скорости увеличивается дальность. При снижении гравитации дальность тоже растёт. Всё довольно просто.

Угол стрельбы для попадания по неподвижной мишени

Теперь начинается интересное.

Если снаряд имеет постоянную скорость (S), а гравитация равна (G), то под каким углом его нужно выстреливать, чтобы попасть в неподвижную мишень?

Бах. Теперь у нас есть два уравнения и два неизвестных. Давайте их проанализируем.

Первое уравнение, два неизвестных (t, θ)
Второе уравнение, два неизвестных (t, θ)
Вычислить t из (1)
Подставить (3) в (2)
Тригонометрическая подстановка: sin θ/cosθ = tanθ
Тригонометрическая подстановка: 1/(cos θ)^2 = 1 + (tan θ)^2
Развернём и преобразуем
Формула корней квадратного уравнения
Умножим верхнюю/нижнюю часть на -S^2/x. Перенесём S^4/x^2 под корень
Применим к каждой части арктангенс

Та-да! В результате мы получили два угла. Один высокий и один низкий. Вот как это выглядит на практике.

Визуальное несовершенство

Взгляните на показанный выше gif. Когда чайник начинает стрелять, всё выглядит довольно неплохо. Высокая дуга красива и радует глаз. Низкая дуга кажется чёткой и эффективной.

Однако при увеличении дальности всё становится не таким красивым. Низкая дуга почти плоская. Высокая дуга чрезмерно высока. В этом и заключается проблема снаряда с постоянной скоростью. Он выглядит красиво, только когда цель находится на границах его радиуса дальности.

Существует ли способ получше?

Скорость горизонтального перемещения

Я часто предпочитаю задавать горизонтальную скорость снаряда, только в плоскости земли. Тогда я могу явным образом задать высоту дуги. То есть переменной становится скорость и гравитация.

Такой подход имеет множество преимуществ. Во-первых, он всегда выглядит красиво!

Во-вторых, его дизайн более интуитивен. Дизайнеров не волнует абсолютная скорость. Им важно, что турель имеет дальность 20 метров и что для перемещения на это расстояние снарядам требуется 1 секунда. Они не обязаны пользоваться строящим графики калькулятором, чтобы менять значения баланса. А художественные изменения не должны влиять на геймплейные механики.

В-третьих, так проще попадать по движущейся мишени. Чуть позже я раскрою это подробнее.

Вот как это выглядит:

Вычисление скорости горизонтального перемещения

Если дан снаряд с горизонтальной скоростью (S) и пиковой высотой (y_peak), то какими должны быть скорость и гравитация для поражения неподвижной мишени?

Основное уравнение движения
Решаем (1), подставив 2
Зададим, что y_peak (пользовательская константа) снаряд достигает во время (1/2)t
Зададим, что y_end (высота цели) снаряд достигает во время t
Магия!
Ещё магия!
Вектор стрельбы равен (S, v.y) с гравитационным ускорением g

Вуаля! Хотя постойте-ка. Магия? Это жульничество! Да, но вполне оправданное.

Пункты (3) и (4) — это ещё два уравнения с двумя неизвестными. Я ленивый и не хочу их записывать. Плюс я запутаюсь и перепутаю знак, поэтому позволю компьютеру решить их за меня.

Точнее, я воспользовался Wolfram Alpha. Рекомендую каждому иметь Wolfram в своём инструментарии, он довольно полезен.

Если a+c == 2b , то y0 , y_peak и y_end лежат на одной прямой. То есть мы стреляем по прямой.

Скорость горизонтального перемещения при подвижной мишени

Итак, у нас есть два разных вычисления траектории. Однако враги обычно не стоят на месте, они перемещаются. Нам нужно вычислять траекторию, чтобы поражать подвижную мишень.

Именно здесь проявляются все достоинства скорости горизонтального перемещения. Задав скорость в плоскости земли, очень просто выполнить вычисления для подвижной мишени.

Где X — позиция мишени, а V — её скорость
Возводим обе части в квадрат.
Преобразуем в квадратное уравнение
Применяем формулу корней квадратного уравнения

Пункты с 5 по 9 см. в предыдущем разделе.

Меня это очень радует. Пиу-пиу-пиу!

Постоянная скорость с подвижной мишенью

А что если нам нужно поразить подвижную мишень снарядом с постоянной скоростью? Ой-ёй. Это очень запутанная задача! Даже не знаю, как к ней подступиться.

За всю мою карьеру мне не доводилось её решать. Обычно в играх не нужна точная артиллерия. Это просто неинтересно! Вместо этого мы приблизительно вычисляем будущую позицию и целимся в случайную точку рядом с ней. Игроки воспринимают артиллерийский огонь как дождь из глупых снарядов, а не как гарантированную смерть с лазерным наведением.

В процессе написания этого поста я нашёл решение задачи снаряда с постоянной скоростью и движущейся мишени, которого не было в Интернете в готовом виде. Стоит заметить, что вам, вероятно, не понадобится реализовывать его в своей игре. Но я потратил на него много времени, поэтому не хочу, чтобы оно было потеряно впустую!

Уравнения четвёртой степени

Скорее всего, вы не захотите использовать его в своей игре именно из-за уравнений четвёртой степени. По сути, для решения требуется одно из таких уравнений.

Квадратные уравнения имеют простое и изящное решение в виде формулы корней квадратного уравнения. Кубические уравнения решаемы несколькими разными способами. Однако уравнения четвёртой степени — это настоящая головная боль.

Решение таких уравнений находится далеко за рамками этой статьи. Честно говоря, и за пределами моих математических способностей. К счастью для нас, в книге 1990 года Graphics Gems I есть код для решения уравнений четвёртого порядка. Я использовал этот код для своего демо. Не могу гарантировать его точности и численной устойчивости, используйте его крайне осмотрительно.

Способ первый

Итак, давайте его решим. Каким должен быть угол выстрела снарядом с постоянной скоростью по движущейся мишени? Этот способ взят из поста 2007 года Джеймса Макнейлла и дополнен информацией Райана Джакетта.

Где P — позиция мишени, а V — скорость мишени
Возводим обе части в квадрат
Преобразуем
Вычисляем коэффициенты уравнения четвёртого порядка и вставляем в SolveQuartic
Используем t для вычисления позиции мишени при вычислении траектории до неподвижной точки.

Способ работает. Все сложные задачи выполняет SolveQuartic. Затем мы используем решение для неподвижной мишени, изложенное выше.

Способ второй

Прежде чем я нашёл первый способ, я вывел решение другим способом. Оно состоит из гораздо большего количества шагов. Однако я нахожу конечный результат более изящным. Плюс я потратил примерно восемь листов бумаги и не хочу, чтобы эти деревья пожертвовали собой зазря.

Чёрт возьми. 32 шага!? Это хуже, чем кажется.

1–7 — объявляем переменные.

8–11 — объявляем систему уравнений. Четыре уравнения, четыре неизвестных — d, e, f, t.

12–15 — вычисляем по (8) величину d. Перемножаем d^2 на будущее.

16–19 — вычисляем по (10) величину f. Перемножаем f^2 на будущее.

20–24 — вычисляем по (9) величину e. Перемножаем e^2 на будущее.

25–27 — вычисляем по (11) величину e^2. Подставляем d^2 и f^2.

28–30 — приравниваем (27) к (24). Умножаем на t^2 и преобразуем в уравнение четвёртой степени.

31 — подставляем коэффициенты в SolveQuartic.

32 — подставляем положительные вещественные корни в (14), (18), (23) для d, e, f.

Код довольно короткий. Объявлению переменных отведено больше строк, чем самим вычислениям! Разумеется, кроме SolveQuartic.

Предупреждение

Код, написанный для этого теста, не проверен в бою, а пост никем не рецензировался. Вероятно, в нём есть несколько опечаток, ошибок и неучтённых пограничных случаев. Если найдёте подобные ошибки, пожалуйста, сообщите мне. Втайне, чтобы никто не узнал о моём позоре.

Рассматривайте этот код не как готовое решение, а как опорную точку.

Инструменты

При создании этого поста я использовал несколько инструментов. Многие из них были для меня новыми.

Unity для создания демо.
Paper, Affinity Designer и MSPaint для создания изображений.
Arachnid Latex + MathJax для формул LaTeX.
FFmpeg для преобразования последовательности скриншотов в анимацию.
Gfycat для встраивания анимаций.
Чайник из Юты. Пиу-пиу!

Синтаксис LaTeX ужасен, его сложно учить. Все формулы LaTeX можно найти здесь. Вот пример:

Заключение

Вот и всё. Я потратил на этот пост гораздо больше времени, чем ожидал. Я решил задачу, которую никогда не решал прежде и изучил несколько новых инструментов. И это того стоило.

В этом посте нет ничего нового или оригинального. Я пытался объяснять подробно, но чтобы не быть при этом слишком многословным. Мне очень нравится, что теперь полные описания можно найти в одном месте. Надеюсь, они окажутся полезными для людей.

источники:

http://ru.lambdageeks.com/how-to-calculate-projectile-motion/

http://habr.com/en/post/538952/