Системы линейных уравнений
Классификация систем линейных уравнений
Определение. Две системы называются эквивалентными, если решение первой является решением второй и наоборот.
Определение. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.
Определение. Система, имеющая единственное решение, называется определенной, а имеющая более одного решения – неопределенной.
Система линейных алгебраических уравнений
В данной публикации мы рассмотрим определение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), как она выглядит, какие виды бывают, а также как ее представить в матричной форме, в том числе расширенной.
Определение системы линейных уравнений
Система линейных алгебраических уравнений (или сокращенно “СЛАУ”) – это система, которая в общем виде выглядит так:
Индексы коэффициентов ( aij ) формируются следующим образом:
- i – номер линейного уравнения;
- j – номер переменной, к которой относится коэффициент.
Решение СЛАУ – такие числа c1, c2,…, cn , при постановке которых вместо x1, x2,…, xn , все уравнения системы превратятся в тождества.
Виды СЛАУ
- Однородная – все свободные члены системы равны нулю ( b1 = b2 = … = bm = 0 ).
В зависимости от количества решений, СЛАУ может быть:
- Совместная – имеет хотя бы одно решение. При этом если оно единственное, система называется определенной, если решений несколько – неопределенной.
СЛАУ выше является совместной, т.к. есть хотя бы одно решение: , y = 3 . - Несовместная – система не имеет решений.
Правые части уравнений одинаковые, а левые – нет. Таким образом, решений нет.
Матричная форма записи системы
СЛАУ можно представить в матричной форме:
- A – матрица, которая образована коэффициентами при неизвестных:
- X – столбец переменных:
- B – столбец свободных членов:
Пример
Представим систему уравнений ниже в матричном виде:
Пользуясь формами выше, составляем основную матрицу с коэффициентами, столбцы с неизвестными и свободными членами.
Полная запись заданной системы уравнений в матричном виде:
Расширенная матрица СЛАУ
Если к матрице системы A добавить справа столбец свободных членов B , разделив данные вертикальной чертой, то получится расширенная матрица СЛАУ.
Для примера выше получается так:
– обозначение расширенной матрицы.
Системы линейных алгебраических уравнений: основные понятия, виды
Определение СЛАУ
Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:
$$\left\<\begin
Упорядоченный набор значений $$\left\
Задание. Проверить, является ли набор $<0,3>$ решением системы $\left\<\begin
Решение. Подставляем в каждое из уравнений системы $x=0$ и $y=3$:
$$5 x+y=3 \Rightarrow 5 \cdot 0+3=3 \Rightarrow 3=3$$
Так как в результате подстановки получили верные равенства, то делаем вывод, что заданный набор является решением указанной СЛАУ.
Ответ. Набор $<0,3>$ является решением системы $\left\<\begin
Виды систем
СЛАУ называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение.
В противном случае система называется несовместной.
Система $\left\<\begin
Система $\left\<\begin
Система называется определённой, если она совместна и имеет единственное решение.
В противном случае (т.е. если система совместна и имеет более одного решения) система называется неопределённой.
Система называется однородной, если все правые части уравнений, входящих в нее, равны нулю одновременно.
Система называется квадратной, если количество уравнений равно количеству неизвестных.
Система $\left\<\begin
Матричная запись систем уравнений
Исходную СЛАУ можно записать в матричном виде:
Задание. Систему $\left\<\begin
Решение. Заданную СЛАУ записываем в матричной форме $A. X=B$ , где матрица системы:
$$A=\left(\begin
то есть, запись СЛАУ в матричной форме:
$$\left(\begin
Расширенная матрица системы
Задание. Записать матрицу и расширенную матрицу системы $\left\<\begin
Решение. Матрица системы $A=\left(\begin
http://microexcel.ru/slau/
http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_5_1.php