Определите графически число корней уравнения

Применение производной для решения нелинейных уравнений и неравенств

п.1. Количество корней кубического уравнения

Кубическое уравнение $$ ax^3+bx^2+cx+d=0 $$ на множестве действительных чисел может иметь один, два или три корня.
С помощью производной можно быстро ответить на вопрос, сколько корней имеет данное уравнение. \begin f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\ f'(x)=3ax^2+bx+c \end Если в уравнении \(f'(x)=0\) дискриминант \(D=4b^2-12ac=4(b^2-3ac)\gt 0\), кубическая парабола имеет две точки экстремума: \(x_<1,2>=\frac<-2b\pm\sqrt><6a>\). Если при этом значения функции в точках экстремума \(f(x_1)\cdot f(x_2)\lt 0\), т.е. расположены по разные стороны от оси OX, парабола имеет три точки пересечения с этой осью. Исходное уравнение имеет три корня.
Если две точки экстремума найдены, но \(f(x_1)\cdot f(x_2)=0\), уравнение имеет два корня.
Во всех остальных случаях – у исходного уравнения 1 корень.

Пример 1. Сколько корней имеют уравнения:

1) \(x^3+3x^2-4=0\) \(b^2-3ac=9\gt 0 (c=0) \) \(f(x)=x^3+3x^2-4 \) \(f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) \) \(x_1=0,\ x_2=-2 \) \(f(x_1)=-4,\ f(x_2)=0 \) \(f(x_1)\cdot f(x_2)=0\Rightarrow\) два корня	2) \(x^3+3x^2-1=0\) \(b^2-3ac=9\gt 0 \) \(f(x)=x^3+3x^2-1 \) \(f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) \) \(x_1=0,\ x_2=-2 \) \(f(x_1)=-1,\ f(x_2)=3 \) \(f(x_1)\cdot f(x_2)\lt 0\Rightarrow\) три корня
3) \(x^3+3x^2+1=0\) \(b^2-3ac=9\gt 0\) \(f(x)=x^3+3x^2+1 \) \(f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) \) \(x_1=0,\ x_2=-2 \) \(f(x_1)=1,\ f(x_2)=5 \) \(f(x_1)\cdot f(x_2)\gt 0\Rightarrow\) один корень	4) \(x^3+x^2+x+3=0\) \(b^2-3ac=1-3\lt 0 \) Один корень

п.2. Количество корней произвольного уравнения

Задачи на подсчет количества корней решаются с помощью построения графиков при полном или частичном исследовании функций.

Пример 2. а) Найдите число корней уравнения \(\frac 1x+\frac<1>+\frac<1>\)
б) Найдите число корней уравнения \(\frac 1x+\frac<1>+\frac<1>=k\)

Построим график функции слева, а затем найдем для него количество точек пересечения с горизонталью \(y=1\). Это и будет ответом на вопрос задачи (а).
Исследуем функцию: $$ f(x)=\frac1x+\frac<1>+\frac<1> $$ Алгоритм исследования и построения графика – см. §49 данного справочника.
1) ОДЗ: \(x\ne\left\<0;1;3\right\>\)
Все три точки – точки разрыва 2-го рода. \begin \lim_\left(\frac1x+\frac<1>+\frac<1>\right)=-\infty-1-\frac13=-\infty\\ \lim_\left(\frac1x+\frac<1>+\frac<1>\right)=+\infty-1-\frac13=+\infty\\ \lim_\left(\frac1x+\frac<1>+\frac<1>\right)=1-\infty-\frac12=-\infty\\ \lim_\left(\frac1x+\frac<1>+\frac<1>\right)=1+\infty-\frac12=+\infty\\ \lim_\left(\frac1x+\frac<1>+\frac<1>\right)=\frac13+\frac12-\infty=-\infty\\ \lim_\left(\frac1x+\frac<1>+\frac<1>\right)=\frac13+\frac12+\infty=+\infty \end 2) Функция ни четная, ни нечетная.
Функция непериодическая.
3) Асимптоты
1. Вертикальные \(x=0, x=1, x=3\) – точки разрыва 2-го рода
2. Горизонтальные: \begin \lim_\left(\frac1x+\frac<1>+\frac<1>\right)=-0-0-0=-0\\ \lim_\left(\frac1x+\frac<1>+\frac<1>\right)=+0+0+0=+0\\ \end Горизонтальная асимптота \(y=0\)
На минус бесконечности функция стремится к 0 снизу, на плюс бесконечности – сверху.
3. Наклонные: \(k=0\), нет.
4) Первая производная $$ f'(x)=-\frac<1>-\frac<1><(x-1)^2>-\frac<1><(x-3)^2>\lt 0 $$ Производная отрицательная на всей ОДЗ.
Функция убывает.

5) Вторую производную не исследуем, т.к. перегибы не влияют на количество точек пересечения с горизонталью.

6) Точки пересечения с OY – нет, т.к. \(x=0\) – асимптота
Точки пересечения с OX – две, \(0\lt x_1\lt 1,1\lt x_2\lt 3\)

7) График

Получаем ответ для задачи (а) 3 корня.

Решаем более общую задачу (б). Передвигаем горизонталь \(y=k\) снизу вверх и считаем количество точек пересечения с графиком функции. Последовательно, получаем:
При \(k\lt 0\) — три корня
При \(k=0\) — два корня
При \(k\gt 0\) — три корня

Ответ: а) 3 корня; б) при \(k=0\) два корня, при \(k\ne 0\) три корня.

Пример 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$ \sqrt+\sqrt<10-2x>=a $$ имеет по крайней мере одно решение.

Исследуем функцию \(f(x)=\sqrt+\sqrt<10-2x>\)
ОДЗ: \( \begin x-1\geq 0\\ 10-2x\geq 0 \end \Rightarrow \begin x\geq 1\\ x\leq 5 \end \Rightarrow 1\leq x\leq 5 \)
Функция определена на конечном интервале.
Поэтому используем сокращенный алгоритм для построения графика.
Значения функции на концах интервала: \(f(1)=0+\sqrt<8>=2\sqrt<2>,\ f(5)=\sqrt<4>+0=2\)
Первая производная: \begin f'(x)=\frac<1><2\sqrt>+\frac<-2><2\sqrt<10-2x>>=\frac<1><2\sqrt>-\frac<1><\sqrt<10-2x>>\\ f'(x)=0\ \text<при>\ 2\sqrt=\sqrt<10-2x>\Rightarrow 4(x-1)=10-2x\Rightarrow 6x=14\Rightarrow x=\frac73\\ f\left(\frac73\right)=\sqrt<\frac73-1>+\sqrt<10-2\cdot \frac73>=\sqrt<\frac43>+\sqrt<\frac<16><3>>=\frac<6><\sqrt<3>>=2\sqrt <3>\end Промежутки монотонности:

Можем строить график:

\(y=a\) — горизонтальная прямая.
Количество точек пересечения \(f(x)\) и \(y\) равно количеству решений.
Получаем:

По крайней мере одно решение будет в интервале \(2\leq a\leq 2\sqrt<3>\).

п.3. Решение неравенств с построением графиков

Пример 4. Решите неравенство \(\frac<2+\log_3 x>\gt \frac<6><2x-1>\)

Разобьем неравенство на совокупность двух систем.
Если \(x\gt 1\), то \(x-1\gt 0\), на него можно умножить слева и справа и не менять знак.
Если \(x\lt 1\), то \(x-1\lt 0\), умножить также можно, только знак нужно поменять.
Сразу учтем требование ОДЗ для логарифма: \(x\gt 0\)

Получаем совокупность: \begin \left[ \begin \begin x\gt 1\\ 2+\log_3 x\gt\frac<6(x-1)> <2x-1>\end \\ \begin 0\lt x\lt 1\\ 2+\log_3 x\lt\frac<6(x-1)> <2x-1>\end \end \right. \\ 2+\log_3 x\gt \frac<6(x-1)><2x-1>\Rightarrow \log_3 x\gt \frac<6(x-1)-2(2x-1)><2x-1>\Rightarrow \log_3 x\gt \frac<2x-4><2x-1>\\ \left[ \begin \begin x\gt 1\\ \log_3 x\gt\frac<2x-4> <2x-1>\end \\ \begin 0\lt x\lt 1\\ \log_3 x\lt\frac<2x-4> <2x-1>\end \end \right. \end Исследуем функцию \(f(x)=\frac<2x-4><2x-1>=\frac<2x-1-3><2x-1>=1-\frac<3><2x-1>\)
Точка разрыва: \(x=\frac12\) – вертикальная асимптота
Односторонние пределы: \begin \lim_\left(1-\frac<3><2x-1>\right)=1-\frac<3><-0>=+\infty\\ \lim_\left(1-\frac<3><2x-1>\right)=1-\frac<3><+0>=-\infty \end Второе слагаемое стремится к 0 на бесконечности, и это дает горизонтальную асимптоту: \(y=1\) \begin \lim_\left(1-\frac<3><2x-1>\right)=1-\frac<3><-\infty>=1+0\\ \lim_\left(1-\frac<3><2x-1>\right)=1-\frac<3><+\infty>=1-0 \end На минус бесконечности кривая стремится к \(y=1\) сверху, а на плюс бесконечности – снизу.
Первая производная: $$ f'(x)=\left(1-\frac<3><2x-1>\right)’=\frac<3><(2x-1)^2>\gt 0 $$ Производная положительная на всей ОДЗ, функция возрастает.
Вторая производная: $$ f»(x)=-\frac<6> <(2x-1)^3>$$ Одна критическая точка 2-го порядка \(x=\frac12\)

Координатно-графический метод определения количества корней уравнений вида f(a;x)*&radic g(a;x) = 0

Разделы: Математика

Введем на плоскости систему координат: горизонтальная ось – ось абсцисс; вертикальная ось – оа, где а – параметр данного уравнения.

Решением уравнения вида f(a;x) * √g(a;x)=0 являются решения системы

Изобразив на выбранной координатной плоскости область, определяемую неравенством g(a;x)≥0 и построив график уравнения f(a;x)=0 мы определим количество решений заданного уравнения.

Рассмотрим некоторые примеры:

Сколько решений имеет уравнение в зависимости от а?

Это уравнение равносильно системе

Неравенство х ≥ 0 определяет на координатной плоскости ХоА множество всех точек I и IV четвертей; уравнение а=х – биссектриса I и III координатного углов.

При а ≤ 0 решением данного уравнения является х=0; при а > 0 x=a и х=0.

Ответ: При а ≤ 0 уравнение имеет единственное решение х=0; при а (0;∞) уравнение имеет 2 корня х=а, х=0.

Это уравнение равносильно системе

Изобразим на системе хоа решение неравенства а≤х(часть плоскости, расположенная ниже прямой а=х и сама прямая а=х). х=а — ось оа.

Ответ: При а 2 -х-2)* √х-а=0 х 2 -х-2=0

Ответ: При а (-∞;-1) – уравнение имеет 3 решения х=а; х=-1; х=2;

Г) √х 2 -х-2* (х-а)=0

Корнями трехчлена х 2 -х-2 = 0 являются числа -1; 2. Изобразив на координатной плоскости х=-1; х=2 мы разобьем эту плоскость на три области х≥2; х [-1;2]; х ≤ -1. Решением неравенства является области, соответствующие неравенствам

Ответ: при а (-∞;-1) V (2; ∞) уравнение имеет 3 решения х=а; х=-1; х=2;

Д) (х 2 -(а+2)х+2а)/ √х+2- х 2 =0

Решением неравенства (2) является интервал (-1;2). На координатной плоскости ему соответствует множество всех точек между прямыми х=-1 и х=2. Корнями трехчлена (1) являются числа х=а и х=2, при этом х=2 корнем уравнения не является, так как не принадлежит решению неравенства (2).

Следовательно, при а (-∞;-1] V [2; ∞) уравнение не имеет решений. При а (-1;2) уравнение имеет единственное решение х=а.

Е) (х 2 -х-2)/ √(х 2 -(а+2)х+2а)=0

Построим прямые х=2 и а=х на координатной плоскости. Плоскость разобьется на 4 множества. Определим знаки трехчлена на каждом из них.

Очевидно, что х=2 не является корнем данного уравнения, поэтому построим только прямую х=-1.

Таким образом, при а (-∞;-1] – решений нет, при а (-1; ∞) уравнение имеет один корень х=-1.

Ж) (х 2 -(2а+3)х+а 2 +3а+2)/ √х+2- х 2 =0

Т.к. а 2 +3а+2=( a +1)( a +2) и 2а+3=(а+1)+(а+2), то данное уравнение имеет корни х=2а+3 и х=а+1.

Изобразим на координатной плоскости х (-1;2) и построим прямые а=(х-3)/2 и а=х

Ответ: при а (-∞;-2] и [2;∞) – решений нет. При а (-2;-0.5) уравнение имеет 2 решения х=а+1 и х=2а+3. При а [-0.5;1) уравнение имеет одно решение х=а+1.

Разработка урока по теме «Графический метод определения числа корней линейных уравнений с параметрами».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Разработка урока Зарьянцевой В.П. предназначена для обучающихся профильных 10-х, 11-х классов. ( Подготовка к ЕГЭ, в18)

Целью профильного обучения, как одного из направлений модернизации математического образования является обеспечение углублённого изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования.

Основным направлениям модернизации математического школьного образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение единого государственного экзамена. В заданиях ЕГЭ по математике с развёрнутым ответом (часть С). а также с кратким ответом (часть В), встречаются задачи с параметрами.

Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и его математической культуры.

Графическому решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках.

Решение задач, уравнений с параметрами, открывает перед учащимися значительное число эвристических приёмов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Именно такие задачи играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами.

Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Владение приёмами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы. Считаем необходимым систематизировать повторение темы «Графики и функции» в количестве 6 часов. Данная модель урока является промежуточным циклом.

Урок обобщения и систематизации знаний, умений и навыков.

Тема: «Графический метод определения числа корней

уравнений с параметрами, содержащих знак модуля»

Познавательная (обучающая): обобщение, углубление уже известного материала на построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля, и решение уравнений с параметрами.

Развивающая: формирование умений анализировать, сравнивать, обобщать, переносить знания в новые ситуации.

Воспитательная: воспитание личностных качеств, обеспечивающих успешность исполнительской деятельности (трудолюбия, внимательности, аккуратности).

Воспитание личностных качеств, обеспечивающих успешность творческой деятельности (активности, увлечённости, целеустремлённости, наблюдательности, интуиции, сообразительности, самостоятельности).

1. Организационный этап.

2. Этап всесторонней проверки ЗУН.

3. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению материала по решению уравнений с параметром и уравнений содержащих переменную под знаком модуля с параметром графическим способом.

4. Этап проверки понимания учащимися материала: использование графического способа решения уравнений с параметрами.

5. Этап закрепления и контроля знаний, навыков учащихся по данной теме.

6. Этап информирования учащихся о домашнем задании, инструктаж о его выполнении.

Подведение итогов урока.

Дидактическая задача: Подготовить учащихся к работе на уроке, определить цели и задачи урока.

Учитель организует учащихся, сообщает тему урока, дату проведения урока, цели и задачи урока.

Этап всесторонней проверки ЗУН.

Дидактическая задача: Глубоко и всесторонне проверить знания учащихся по построению графиков функций, содержащих знак модуля и радикала, выявив причины обнаруженных пробелов в знаниях и умениях для их устранения. Стимулировать опрашиваемых и весь класс к овладению традиционными приёмами в построении графиков и графическом решении уравнений.

На данном этапе используем различные методы проверки знаний, начиная от фронтальной беседы, индивидуального опроса. Постановка дополнительных вопросов для проверки прочности и глубины осознанности знаний; создание при опросе нестандартных заданий.

Использование мультимедийного проектора. Тестовое задание на соответствие графиков и их аналитической записи.

На предыдущих двух уроках была отработана методика построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля.

Определите, какой функции, заданной формулой, соответствует график.