Определите графически сколько решений имеет уравнение

Графический метод решения системы линейных уравнений

Расположение графиков и количество решений системы линейных уравнений

Рассмотрим систему двух уравнений: $ <\left\< \begin 3x-y = 5 \\ 3x+2y = 8\end \right.>$

Построим график каждого из уравнений и найдём точку пересечения.

Точка пересечения (2;1)

Подставим координаты точки пересечения в уравнение:

$ <\left\< \begin3 \cdot 2-1 ≡ 5\\ 3\cdot2+2\cdot1 ≡ 8\end \right.> \Rightarrow$ (2;1) — решение системы

Таким образом, точка пересечения графиков уравнений является решением системы.

Графики двух уравнений системы могут пересекаться, быть параллельными и совпадать. Получаем разное количество решений системы в зависимости от соотношения коэффициентов уравнений:

Определите графически сколько решений имеет уравнение

Покажем, как задачи с параметрами можно решать графически.

Найдём количество решений уравнения

в зависимости от $$ a$$.

Искомое количество решений совпадает с числом точек пересечения графиков функций

График первой функции получается из графика функции, который был построен в предыдущем примере. Для этого нужно воспользоваться преобразованием вида ПР1 то есть график $$ y=_<1>\left(x\right)$$ имеет такой вид, как показано на рис. 43 $$ f\left(0\right)=\sqrt<5>$$.

Графиком функции $$ y=a$$ будет прямая, параллельная оси $$ Ox$$ (рис. 43). При этом она пересекает ось ординат в точке $$ (0,a)$$. Легко видеть, что при $$a 3$$ прямая $$ y=a$$ не имеет пересечений с графиком $$ y=_<1>\left(x\right)$$, при $$ a=3$$ и $$ a\in [0;\sqrt<5>)$$ есть две точки пересечения, а при $$ a\in [\sqrt<5>;3)$$ – четыре общие точки и при $$ a=\sqrt<5>$$ – три общие точки. Остаётся лишь сформулировать ответ.

При $$ a\in (-\infty ;0)\bigcup (3;+\infty )$$ решений нет, при $$ a\in [0;\sqrt<5>)\bigcup \left\<3\right\>$$ – два решения, при $$ a\in \left\<\sqrt<5>\right\>$$ – три решения, при $$ a\in (\sqrt<5>;3)$$ – четыре решения.

Найдём количество решений уравнения в зависимости от $$ a$$:

Методом интервалов нетрудно построить график функции

Количество решений уравнения совпадает с числом точек пересечения этого графика с прямой $$ f\left(x\right)=a$$ (рис. 44).

Проанализировав график, несложно выписать ответ.

При $$ a\in (8;+\infty )$$ уравнение имеет 2 решения, при $$ a=8$$ уравнение имеет бесконечно много решений, при $$ a\in (-\infty ;8)$$ решений нет.

Рассмотрим ещё один пример задач с параметром, где используется построение множеств, задаваемых уравнениями с модулем. Напомним, что графиком уравнения называют линию на плоскости, на которой лежат те и только те точки, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Найдём количество решений системы уравнений

в зависимости от $$ a$$.

Для решения необходимо построить график уравнения $$ \left|x\right|+\left|y\right|=4$$. Это можно сделать, последовательно выполнив построения таких графиков:

График второго уравнения – окружность с центром в точке $$ O(0;0)$$ и радиусом $$ \left|a\right|$$. Изобразим оба этих графика на координатной плоскости $$ xOy$$.

Как видим, при $$|a| 4$$ графики не пересекаются. При $$ \left|a\right|=2\sqrt<2>$$ или $$ \left|a\right|=4$$ есть 4 точки пересечения. При остальных $$ a$$ есть 8 точек пересечения. Таким образом, можно сформулировать ответ.

При $$ a\in (-\infty ;-4)\cup (-2\sqrt<2>;2\sqrt<2>)\cup (4;+\infty )$$ система не имеет решений;

при $$ a\in \<-4;-2\sqrt<2>;2\sqrt<2>;4\>$$ система имеет 4 решения;

при $$ a\in (-4;-2\sqrt<2>)\cup (2\sqrt<2>;4)$$ система имеет 8 решений.

В следующей задаче нам потребуется понятие локального экстремума функции. Говорят, что функция $$ y=f\left(x\right)$$ имеет локальный максимум в точке $$ _<0>$$, если для некоторого числа $$ε > 0$$ при $$|x − x_0| 0$$ при $$|x − x_0| 0$$ график $$ y=at-3$$ касается линии $$ y=\sqrt$$ (cм. рис. 46). Уравнение $$ D=0$$ имеет единственный положительный корень `a=1/4`. Следовательно, `a_2=1/4`. Если $$\dfrac3<16>\leq a 1/4` они не имеют общих точек.

Рассмотрим пример использования этого правила в задаче.

Найдём все значения параметра $$ a$$, при которых система

имеет хотя бы одно решение.

Неравенство системы после выделения полных квадратов можно записать в виде $$ ^<2>-8\left|x\right|+16+^<2>-8\left|y\right|+16\le 1$$ или $$ \left(\right|x|-4<)>^<2>+(\left|y\right|-4<)>^<2>\le 1$$. Множество $$ E$$ решений этого неравенства – объединение кругов $$ _<1>$$, $$ _<2>$$, $$ _<3>$$, $$ _<4>$$ (вместе с их границами) радиуса $$ 1$$ (см. рис. 47) с центрами $$ _<1>(4;4)$$, $$ _<2>(4;-4)$$, $$ _<3>(-4;-4)$$, $$ _<4>(-4;4)$$. Запишем уравнение системы в виде

Это уравнение задаёт окружность $$ L$$ радиуса $$ \left|a\right|$$ с центром в точке $$ M(0;1)$$, или точку $$ (0;1)$$ при $$ a=0$$. Исходная система имеет хотя бы одно решение при тех значениях $$ a$$, при которых окружность $$ L$$ имеет общие точки с множеством $$ E$$. При этом ввиду симметричного расположения соответствующих пар кругов относительно оси ординат достаточно выяснить, при каких значениях $$ a$$ окружность $$ L$$ имеет общие точки с кругами, центрами которых являются точки $$ _<1>$$ и $$ _<2>$$. Проведём из точки $$ M$$ лучи $$ _<1>$$ и $$ _<2>$$ в направлении точек $$ _<1>$$ и $$ _<2>$$. Пусть $$ _<1>$$ и $$ _<1>$$ – точки пересечения $$ _<1>$$ и окружности с центром $$ _<1>$$, $$ _<2>$$ и $$ _<2>$$ – точки пересечения $$ _<2>$$ и окружности с центром $$ _<2>$$. Тогда из геометрических соображений имеем:

При $$ 4\le \left|a\right|\le 6$$ окружность с центром $$ M$$ имеет общие точки с кругом $$ <\omega >_<1>$$ , а при $$ \sqrt<41>-1\le \left|a\right|\le \sqrt<41>+1$$ – с кругом $$ <\omega >_<2>$$.

а) Если $$b 0$$. Эта система не имеет решений при $$ a=0$$ и поэтому $$b 0$$. Теперь мы прибегнем к графическому методу. Рассмотрим два случая: $$0 1$$. Если $$b > 1$$, то $$\sqrt Эта система не имеет решений, так как прямая $$ y=x-b$$ не пересекает график функции $$ y=|^<2>-b|$$ (см. рис. 48). Если $$0 0$$).

В завершении разберём несколько задач с параметрами, которые удобно решать методом областей на координатной плоскости.

Найдём все значения `a`, при каждом из которых уравнение

Рассмотрим функции `f(x)-a|x-3|` и `g(x)=5/(x+2)`.

Если построить график функции `f(x)` для разных `a` (рис. 50) и график функции `g(x)` (рис. 51), то можно без проблем исследовать на промежутке `[0;+oo)` уравнение `f(x)=g(x)`.

При `a При `a>0` функция `f(x)` возрастает на промежутке `(3;+oo)`. Функция `g(x)` убывает на этом промежутке, поэтому уравнение `f(x)=g(x)` всегда имеет ровно одно решение на промежутке `(3;+oo)`, поскольку `f(3) g(3+1/a)`. На промежутке `[0;3]` уравнение `f(x)=g(x)` принимает вид `3a-ax=5/(x+2)`. Это уравнение сводится к уравнению `ax^2-ax+(5-6a)=0`. Будем считать, что `a>0`, поскольку случай `a

Пусть уравнение имеет два корня, то есть `a>4/5`. Тогда оба корня меньше `3`, поскольку при `x>=3` значения функции `3a-ax` неположительны, а значения функции `5/(x+2)` положительны. По теореме Виета сумма корней равна `1`, а произведение равно `5/6-6`. Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку `[0;3]`, а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда `5/a-6>=0`, то есть `a 5/6`;

– три корня при `4/5

В завершении разберём несколько задач с параметрами, которые удобно решать методом областей на координатной плоскости. В следующем примере будем использовать известный подход к задачам, содержащим некоторые переменные в квадрате. Суть этого подхода — рассмотрение выражения как квадратичной функции относительно какой-нибудь переменной (остальные переменные при этом считаются параметрами) с последующим использованием известных свойств квадратичной функции.

Найдём все значения параметра $$ a$$, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно три решения.

Первое уравнение данной системы равносильно совокупности двух уравнений $$ |y+9|+|x+2|=2$$ и $$ ^<2>+^<2>=3$$. Первое из них задаёт квадрат $$ G$$ с центром $$ (-2;-9)$$, диагонали которого равны $$ 4$$ и параллельны осям координат. Второе задаёт окружность $$ S$$ с центром $$ (0;0)$$ радиуса $$ \sqrt<3>$$ (см. рис. 52).

Второе уравнение исходной системы при $$a > 0$$ задаёт окружность $$ \Omega $$ с центром $$ (-2;-4)$$ радиуса $$ R=\sqrt$$.

Отметим, что при $$a Рассмотрев случаи внешнего и внутреннего касания окружностей $$ \Omega $$ и $$ S$$, можно заключить, что они имеют ровно `1` общую точку при $$ R=\sqrt<20>\pm \sqrt<3>$$, ровно `2` общие точки при $$ R\in (\sqrt<20>-\sqrt<3>;\sqrt<20>+\sqrt<3>)$$ и ни одной общей точки при остальных $$ R$$. Поскольку центры окружности $$ \Omega $$ и квадрата $$ G$$ лежат на прямой $$ x=-2$$, то $$ \Omega $$ и $$ G$$ имеют ровно `1` общую точку при $$ R=3$$ или $$ R=7$$, ровно `2` общие точки при $$ R\in (3;7)$$ и ни одной общей точки при остальных значениях $$ R$$. Для того чтобы у системы было 3 решения, необходимо и достаточно, чтобы окружность $$ \Omega $$ имела `2` общие точки с квадратом $$ G$$ и `1` общую точку с окружностью $$ S$$ или наоборот. Рассмотрим значения $$ R$$, при которых окружность $$ \Omega $$ имеет с квадратом $$ G$$ или окружностью $$ S$$ ровно `1` общую точку.

1) $$ R=\sqrt<20>+\sqrt<3>$$. Тогда есть ровно `1` общая точка с окружностью $$ S$$, и ровно `2` общие точки с квадратом $$ G$$ (т. к. $$3 \sqrt <20>+ \sqrt<3>$$), т. е. у системы 1 решение.

Итак, подходят $$ R=3$$ и $$ R=\sqrt<20>+\sqrt<3>$$. Тогда искомые значения параметра $$ a=<3>^<2>=9$$ и $$ a=(\sqrt<20>+\sqrt<3><)>^<2>=23+4\sqrt<15>$$.

Графический способ решения систем уравнений. 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

• открыть совместно с учащимися новый способ решения систем уравнений;
• вывести алгоритм решения систем уравнений графическим способом;
• уметь определять сколько решений имеет система уравнений;
• учить находить решения системы уравнений графическим способом;
• повторить построение графиков элементарных функций;
• создать условия для контроля (самоконтроля) учащихся:

• воспитание ответственного отношения к труду,
• аккуратности ведения записей.

Ход урока.

I. Организационный момент.

II. Повторение. Подготовка к изучению нового материала. (Приложение 1)

1. Что такое функция? (слайд 3-11)
2. Что называется графиком функции?
3. Какие виды функций вы знаете?
4. Какой формулой задается линейная функция? Что является графиком линейной функции?
5. Какой формулой задается прямая пропорциональность? Что является ее графиком?
6. Какой формулой задается обратная пропорциональность? Что является ее графиком?
7. Какой формулой задается квадратичная функция? Что является ее графиком?
8. Каким уравнением задается уравнение окружности?
9. Что называют уравнением с двумя переменными; (слайд 12)
10. Выразите переменную у через переменную х:
    а) у – х² = 0
    б) х + у +2 = 0
    в) 2х – у + 3 = 0
    г) ху = -12
11. Является ли пара чисел (1; 0) решением уравнения
    а) х² +у = 1;
    б) ху +3 = х;
    в) у(х +2) = 0.
12. Что является решением системы уравнений с двумя переменными?
13. Какая из пар чисел является решением системы уравнений
    а) (6; 3)
    б) (- 3; — 6)
    в) (2; — 1)
    г) (3; 0)

III. Изучение нового материала. (слайд 16, 17)

Сегодня мы разберем один из способов решения систем уравнений. Изучение нового материала осуществляется с помощью наглядного восприятия (на слайде представлено графическое решение системы уравнений):

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики уравнений с двумя неизвестными весьма разнообразны.

Вопросы по данному слайду:

• Что является графиком уравнения x² +y²=25?
• Что является графиком уравнения y = —x² +2x +5?

Координаты любой точки окружности будут удовлетворять уравнению x² + y²=25, координаты любой точки параболы будут удовлетворять уравнению y = — x² +2x +5.

• Координаты каких точек будут удовлетворять и первому и второму уравнениям?
• Сколько точек пересечения у данных графиков?
• Сколько решений имеет данная система?
• Назвать эти решения?
• Что нужно сделать, чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными?

Предлагается слайд, на котором приведен алгоритм графического способа решения систем уравнений с двумя неизвестными.

Графический способ применим к решению любой системы, но с помощью графиков уравнений можно приближенно находить решения системы. Лишь некоторые найденные решения системы могут оказаться точными. В этом можно убедиться, подставив их координаты в уравнения системы.

IV. Первичное осмысление и применение изученного способа решения систем уравнений.

1. Решить графически систему уравнений (слайд 18)

Постановка наводящих вопросов:

• Что является графиком уравнения ху = 3?
• Что является графиком уравнения 3х – у =0?
• Сколько точек пересечения имеют данные графики?
• Сколько решений имеет данная система уравнений?
• Назвать решения данной системы уравнений?

2. Запишите систему, определяемую этими уравнениями и ее решение. (слайд 19)

Постановка наводящих вопросов:

• Запишите систему, определяемую данными уравнениями?
• Сколько точек пересечения имеют данные графики?
• Сколько решений имеет данная система уравнений?
• Назвать решения данной системы уравнений?

3. Выполнение задание из ГИА (слайд 20).

4. Решить графически систему уравнений (слайд 21)

а) б)

Задание выполняется учащимися в тетрадях. Решение проверяется.

5. Тест. (Приложение 2)