Применение производной для решения нелинейных уравнений и неравенств
п.1. Количество корней кубического уравнения
Кубическое уравнение $$ ax^3+bx^2+cx+d=0 $$ на множестве действительных чисел может иметь один, два или три корня.
С помощью производной можно быстро ответить на вопрос, сколько корней имеет данное уравнение. \begin
Если две точки экстремума найдены, но \(f(x_1)\cdot f(x_2)=0\), уравнение имеет два корня.
Во всех остальных случаях – у исходного уравнения 1 корень.
Пример 1. Сколько корней имеют уравнения:
1) \(x^3+3x^2-4=0\) \(b^2-3ac=9\gt 0 (c=0) \) \(f(x)=x^3+3x^2-4 \) \(f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) \) \(x_1=0,\ x_2=-2 \) \(f(x_1)=-4,\ f(x_2)=0 \) \(f(x_1)\cdot f(x_2)=0\Rightarrow\) два корня | 2) \(x^3+3x^2-1=0\) \(b^2-3ac=9\gt 0 \) \(f(x)=x^3+3x^2-1 \) \(f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) \) \(x_1=0,\ x_2=-2 \) \(f(x_1)=-1,\ f(x_2)=3 \) \(f(x_1)\cdot f(x_2)\lt 0\Rightarrow\) три корня |
3) \(x^3+3x^2+1=0\) \(b^2-3ac=9\gt 0\) \(f(x)=x^3+3x^2+1 \) \(f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) \) \(x_1=0,\ x_2=-2 \) \(f(x_1)=1,\ f(x_2)=5 \) \(f(x_1)\cdot f(x_2)\gt 0\Rightarrow\) один корень | 4) \(x^3+x^2+x+3=0\) \(b^2-3ac=1-3\lt 0 \) Один корень |
п.2. Количество корней произвольного уравнения
Задачи на подсчет количества корней решаются с помощью построения графиков при полном или частичном исследовании функций.
Пример 2. а) Найдите число корней уравнения \(\frac 1x+\frac<1>
б) Найдите число корней уравнения \(\frac 1x+\frac<1>
Построим график функции слева, а затем найдем для него количество точек пересечения с горизонталью \(y=1\). Это и будет ответом на вопрос задачи (а).
Исследуем функцию: $$ f(x)=\frac1x+\frac<1>
1) ОДЗ: \(x\ne\left\<0;1;3\right\>\)
Все три точки – точки разрыва 2-го рода. \begin
Функция непериодическая.
3) Асимптоты
1. Вертикальные \(x=0, x=1, x=3\) – точки разрыва 2-го рода
2. Горизонтальные: \begin
На минус бесконечности функция стремится к 0 снизу, на плюс бесконечности – сверху.
3. Наклонные: \(k=0\), нет.
4) Первая производная $$ f'(x)=-\frac<1>
Функция убывает.
5) Вторую производную не исследуем, т.к. перегибы не влияют на количество точек пересечения с горизонталью.
6) Точки пересечения с OY – нет, т.к. \(x=0\) – асимптота
Точки пересечения с OX – две, \(0\lt x_1\lt 1,1\lt x_2\lt 3\)
7) График
Получаем ответ для задачи (а) 3 корня.
Решаем более общую задачу (б). Передвигаем горизонталь \(y=k\) снизу вверх и считаем количество точек пересечения с графиком функции. Последовательно, получаем:
При \(k\lt 0\) — три корня
При \(k=0\) — два корня
При \(k\gt 0\) — три корня
Ответ: а) 3 корня; б) при \(k=0\) два корня, при \(k\ne 0\) три корня.
Пример 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$ \sqrt
Исследуем функцию \(f(x)=\sqrt
ОДЗ: \( \begin
Функция определена на конечном интервале.
Поэтому используем сокращенный алгоритм для построения графика.
Значения функции на концах интервала: \(f(1)=0+\sqrt<8>=2\sqrt<2>,\ f(5)=\sqrt<4>+0=2\)
Первая производная: \begin
\(x\) | 1 | (1; 7/3) | 7/3 | (7/3; 5) | 5 |
\(f'(x)\) | ∅ | + | 0 | — | ∅ |
\(f(x)\) | \(2\sqrt<2>\) | \(\nearrow \) | max \(2\sqrt<3>\) | \(\searrow \) | 2 |
Можем строить график:
\(y=a\) — горизонтальная прямая.
Количество точек пересечения \(f(x)\) и \(y\) равно количеству решений.
Получаем:
$$ a\lt 2 $$ | нет решений |
$$ 2\leq a\lt 2\sqrt <2>$$ | 1 решение |
$$ 2\sqrt<2>\leq a\lt 2\sqrt <3>$$ | 2 решения |
$$ a=2\sqrt <3>$$ | 1 решение |
$$ a\gt 2\sqrt <3>$$ | нет решений |
По крайней мере одно решение будет в интервале \(2\leq a\leq 2\sqrt<3>\).
п.3. Решение неравенств с построением графиков
Пример 4. Решите неравенство \(\frac<2+\log_3 x>
Разобьем неравенство на совокупность двух систем.
Если \(x\gt 1\), то \(x-1\gt 0\), на него можно умножить слева и справа и не менять знак.
Если \(x\lt 1\), то \(x-1\lt 0\), умножить также можно, только знак нужно поменять.
Сразу учтем требование ОДЗ для логарифма: \(x\gt 0\)
Получаем совокупность: \begin
Точка разрыва: \(x=\frac12\) – вертикальная асимптота
Односторонние пределы: \begin
Первая производная: $$ f'(x)=\left(1-\frac<3><2x-1>\right)’=\frac<3><(2x-1)^2>\gt 0 $$ Производная положительная на всей ОДЗ, функция возрастает.
Вторая производная: $$ f»(x)=-\frac<6> <(2x-1)^3>$$ Одна критическая точка 2-го порядка \(x=\frac12\)
1. Определите количество корней у заданных уравнений : а) — x2 + 3х — 7 = 0 ; б)0, 5×2 — x — 8 = 0?
Алгебра | 10 — 11 классы
1. Определите количество корней у заданных уравнений : а) — x2 + 3х — 7 = 0 ; б)0, 5×2 — x — 8 = 0.
А) — x2 + 3х — 7 = 0 ;
D = 3² — 4 * 7< ; 0 — нет действительных корней
б)0, 5×2 — x — 8 = 0.
D = 1² — 4 * 0, 5 * ( — 8) = 1 + 16 = 17
1. Определите количество корней у заданных уравнений : а)2×2 + х + 5 = 0 ; б)x2 — 11x — 42 = 0?
1. Определите количество корней у заданных уравнений : а)2×2 + х + 5 = 0 ; б)x2 — 11x — 42 = 0.
Определите количество различных корней уравнения х ^ 4 — 3x ^ 2 + 1 = 0?
Определите количество различных корней уравнения х ^ 4 — 3x ^ 2 + 1 = 0.
Помогите решить тригонометрию?
Помогите решить тригонометрию!
Определить количество корней уравнения на отрезке (в градусах) [ — 45 ; 45].
Показательные уравнения?
Помогите решить срочно!
Определите количество корней уравнения.
. Определите количество корней у заданных уравнений : а)2×2 + х + 5 = 0 ; б)x2 — 11x — 42 = 0?
. Определите количество корней у заданных уравнений : а)2×2 + х + 5 = 0 ; б)x2 — 11x — 42 = 0.
2. Решите заданные уравнения : а)x2 + 7х — 60 = 0 ; б) — x2 — 3x — 6 = 0.
Определите количество корней у заданных уравнений 0, 5x ^ 2 — x — 8 = 0?
Определите количество корней у заданных уравнений 0, 5x ^ 2 — x — 8 = 0.
Определите количество корней уравнения sin2x = √2cosx на промежутке [0 ; 2π)?
Определите количество корней уравнения sin2x = √2cosx на промежутке [0 ; 2π).
Определите количество корней уравнения 3cosx — 2 = 0, принадлежащих интервалу ( — pi ; pi)?
Определите количество корней уравнения 3cosx — 2 = 0, принадлежащих интервалу ( — pi ; pi).
Определите количество корней уравнения sin2 x = √2cos x на промежутке [0 ; 2π)?
Определите количество корней уравнения sin2 x = √2cos x на промежутке [0 ; 2π).
ПОЖАЛУЙСТА ?
Не решая, определите количество корней для каждого неполного квадратного уравнения.
На этой странице находится ответ на вопрос 1. Определите количество корней у заданных уравнений : а) — x2 + 3х — 7 = 0 ; б)0, 5×2 — x — 8 = 0?, из категории Алгебра, соответствующий программе для 10 — 11 классов. Чтобы посмотреть другие ответы воспользуйтесь «умным поиском»: с помощью ключевых слов подберите похожие вопросы и ответы в категории Алгебра. Ответ, полностью соответствующий критериям вашего поиска, можно найти с помощью простого интерфейса: нажмите кнопку вверху страницы и сформулируйте вопрос иначе. Обратите внимание на варианты ответов других пользователей, которые можно не только просмотреть, но и прокомментировать.
Cos(3 * pi / 12) = cos(pi / 4) = √2 / 2 ; cos(3 * 5pi / 12) = cos(5 * pi / 4) = — √2 / 2 ; E(f) = [ — √2 / 2 ; √2 / 2].
Вариант 2 На первом просто ctg раскрываем по формуле ctgα = cosα / sinα, затем дальше решаем по другой формуле, которая написана на бумаге. Второй тоже легко решать, посмотри. На третьем решения нет, лол. НА ПЕРВОМ ОШИБКА. На последнем фото прави..
1 задание. 1 — (sinacosa) / (sina / cosa) = 1 — cos ^ 2a = sin ^ 2a 2. Задание. X = 12 — y 1 / x + 1 / y = 3 / 8 8 (x + y) = 3xy 8x + 8 (12 — x) = 3x (12 — x) 8x + 96 — 8x = 36x — 3x ^ 2 x ^ 2 — 12x + 32 = 0 D = b ^ 2 — 4ac D = 144 — 128 = 16 x1, ..
1. Определите количество корней у заданных уравнений: а)2×2 + х +
1. Определите количество корней у данных уравнений: а)2×2 + х + 5 = 0; б)x2 -11x — 42 = 0.
- Регина Лейзан
- Математика 2019-10-24 05:18:28 1 1
1)Это квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0.
Для начала определим коэффициенты.
Коэффициентами уравнения являются:
a = 2, b = 1, c = 5.
Дискриминант вычисляется по формуле:
D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 * 2 * 5 = -39.
Т.к. D lt; 0, то корней нет.
Ответ: корней нет.
2)Это квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0.
Для начала определим коэффициенты.
Коэффициентами уравнения являются:
a = 1, b = -11, c = -42.
Дискриминант рассчитывается по формуле:
D = b^2 — 4ac = (-11)^2 — 4 * 1 * (-42) = 289.
Т.к. D gt; 0, то корней два и вычисляются по формуле x = (-b D^(1/2))/(2a).
D^(1/2) = 17.
x1 = (11 + 289^(1/2)) / (2 * 1) = 14.
x2 = (11 — 289^(1/2)) / (2 * 1) = -3.
Ответ: 14, -3.
http://algebra.my-dict.ru/q/738350_1-opredelite-kolicestvo-kornej-u-zadannyh/
http://obrazovalka.com/qa/matematika/13574353-1-opredelite-kolichestvo-kornej-u-zadannyh-uravnenij-a2x2-h-.html