Определите расстояние между центрами сфер которые заданы уравнениями

Урок «Сфера. Уравнение сферы»

Краткое описание документа:

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Продолжаем изучение сферы.

На прошлых занятиях вы познакомились с определением сферы и шара.

Вспомним, что сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка — центр сферы.

Заданное расстояние — радиус сферы.

Прежде чем вывести уравнение сферы, познакомимся с понятием уравнения поверхности в пространстве.

Зададим прямоугольную систему координат Оxyz и некоторую поверхность F.

Уравнением поверхности F называется уравнение с тремя переменными x, y, z, если этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек поверхности F и не удовлетворяют координаты точки, не принадлежащей этой поверхности.

1.Рассмотрим сферу радиуса R и с центром С(x0; y0; z0).

2.Найдём расстояние от произвольной точки М(x; y; z) до центра С( x0 ; y0 ; z0) по формуле для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами.

3. Если точка М лежит на сфере, то отрезок МС равен радиусу R, то есть

4.В случае если точка М не принадлежит данной сфере, то R≠МС, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению R2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2.

5. Таким образом, в прямоугольной системе координат Оxyz уравнение сферы с центром

С (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R имеет вид:

Применим полученные знания при решении задач.

Записать уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N, если А(-2;2;0) и N(5;0;-1).

1.Запишем уравнение сферы с центром

А (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R:

2.Подставим соответствующие координаты центра сферы А в данное уравнение:

Уравнение сферы с центром в точке А с координатами (-2;2;0) примет вид:

3.Так как сфера проходит через точку N с координатами (5;0;-1), то её координаты удовлетворяют уравнению сферы, подставим координаты этой точки в полученное уравнение:

Таким образом, уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N имеет вид:

Сфера задана уравнением:

1) Найти координаты центра и радиус сферы;

2) Найти значение m, при котором точки

А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере.

1. Уравнение данной сферы имеет вид:

x2+ y2+ z2+2y-4z=4 или x2+ y2+2y + z2-4z=4

Выделим полный квадрат для переменных y и z, для этого прибавим и одновременно вычтем 1 и 4 в левой части уравнения:

x2+ y2+2y+1-1 + z2-4z+4-4=4

Уравнение примет вид:

x2+( y+1)2+( z-2)2-5=4 или

Таким образом, центр сферы имеет координаты:

О (0;-1;2), радиус равен R=√9=3

2.Уравнение сферы с центром в точке О (0;-1;2) и радиусом R=3 имеет вид:

Точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере, значит их координаты удовлетворяют уравнению сферы. Подставим координаты этих точек в уравнение сферы и решим систему уравнений:

Упростим полученные уравнения, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые:

Таким образом, мы получили 4 значения m:

Несложно проверить, что при m=-4 и m=6 координаты точек А и В не удовлетворяют уравнению сферы. Проверьте самостоятельно.

Итак, при m=2 точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат сфере, заданной уравнением

x2+ y2+ z2+2y-4z=4 с центром в точке

О (0;-1;2) и радиусом R=3.

—> —>

АвторДата добавленияРазделПодразделПросмотровНомер материала

Инфоурок

07.11.2014

Геометрия

Видеоурок

51626

1003

© 2022 Проект «Уроки математики»

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено!

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако команда проекта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом на электронную почту службы поддержки сайта.

Сборник самостоятельных работ по геометрии на тему «Тела вращения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

ГБПОУ города Москвы «Спортивно-педагогический колледж» Департамента спорта и туризма города Москвы; преподаватель математики, информатики и ИКТ: Макеева Елена Сергеевна

Самостоятельная работа № 1 «Цилиндр»

Прямоугольник со сторонами, равными 3а и 2а, вращается сначала вокруг одной стороны, затем – вокруг другой. Вычислите отношение площадей полных поверхностей и площадей боковых поверхностей полученных тел вращения.

Через образующую цилиндра проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Площади полученных сечений S ₁ и S _2. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Плоскость α пересекает основания цилиндра по хордам, дины которых равны 16 см и 12 см. Вычислите тангенс угла наклона плоскости α к плоскостям оснований цилиндра, если радиус оснований цилиндра 10 и высота 30 см.

Прямоугольник со сторонами, равными 4а и 3а, вращается сначала вокруг одной стороны, затем – вокруг другой. Вычислите отношение площадей полных поверхностей и площадей боковых поверхностей полученных тел вращения.

Через образующую цилиндра проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Площадь одного из полученных сечений S _{o ,} площадь осевого сечения цилиндра S . Найдите площадь другого полученного сечения.

Плоскость α пересекает основания цилиндра по хордам, дины которых равны 24 см и 32 см. Вычислите тангенс угла наклона плоскости α к плоскостям оснований цилиндра, если радиус оснований цилиндра 20 и высота 50 см.

Самостоятельная работа № 2 «Конус»

Угол при вершине осевого сечения конуса равен 2α, радиус основания конуса равен R . Найдите площадь полной поверхности конуса.

Высота конуса равна h , радиус основания R . Через вершину конуса проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в 60 o . Вычислите площадь сечения.

Найдите площадь осевого сечения усеченного конуса, если его высота h , образующая L и площадь боковой поверхности S .

Угол между образующей конуса и его основанием равен α, радиус основания конуса R . Найдите площадь полной поверхности конуса.

Высота конуса равна h , радиус основания R . Через вершину конуса проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в 90 o . Вычислите площадь сечения.

Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса, если его высота h , образующая L и площадь осевого сечения S .

Самостоятельная работа № 3 «Сфера»

Сфера радиуса 6 см касается плоскости треугольника ABC в центре описанной около него окружности. Найдите расстояние от центра сферы до вершин треугольника, если AB =3 см, AC =4 см, BC =5 см.

Определите расстояние между центрами сфер, которые заданы уравнениями x 2 + y 2 + z 2 -2 x +6 y -4 z =5 и x 2 + y 2 + z 2 +4 x +2 y +6 z =7

Сфера проходит через три вершины ромба со стороной, равной 6 см, и углом 60 o . Найдите расстояние от центра сферы до четвертой вершины ромба, если радиус сферы равен 10 см.

Сфера радиуса 1,5 см касается плоскости треугольника ABC в центре вписанной в него окружности. Найдите расстояние от центра сферы до сторон треугольника, если AB =6 см, AC =8 см, BC =10 см.

Определите расстояние между центрами сфер, которые заданы уравнениями x 2 + y 2 + z 2 +6 x -2 y -4 z =5 и x 2 + y 2 + z 2 -2 x -6 y +4 z =11

Сфера проходит через три вершины ромба со стороной, равной 8 см, и углом 60 o . Найдите расстояние от центра сферы до четвертой вершины ромба, если радиус сферы равен 10 см.

Самостоятельная работа № 4 «Объемы прямоугольного параллелепипеда, прямой призмы и цилиндра»

Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если площади трех его граней равна 6 см 2 , 18 см 2 и 12 см 2 .

В основании прямой призмы лежит ромб с острым углом α. Меньшая диагональ призмы равна d и составляет с плоскостью основания угол . Вычислите объем призмы.

Центры O ₁ и O ₂ оснований цилиндра имеют координаты (0;1;1) и (4;1;1). Одна из точек окружности основания с центром O ₂ имеет координаты (4;3;-2). Найдите объем цилиндра.

Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если площади трех его граней равна 15 см 2 , 45 см 2 и 75 см 2 .

В основании прямой призмы лежит ромб с острым углом α. Большая диагональ призмы равна d и составляет с плоскостью основания угол . Вычислите объем призмы.

Центры O ₁ и O ₂ оснований цилиндра имеют координаты (2;3;3) и (-2;3;3). Одна из точек окружности основания с центром O ₁ имеет координаты (2;5;-1). Найдите объем цилиндра.

Самостоятельная работа № 5 «Объемы наклонной призмы, пирамиды и конуса»

В наклонной призме боковое ребро равно L , площадь основания S . Угол между плоскостями основания и перпендикулярного боковому ребру сечения равен . Найдите объем призмы.

Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны a и b ( b > a ). Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом α. Вычислите объем пирамиды.

Найдите объем и площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника со сторонами 6 см, 25 см и 29 см вокруг прямой, проходящей через вершину меньшего угла треугольника параллельно меньшей его стороне.

В наклонной призме боковое ребро равно L . Угол между плоскостями основания и перпендикулярного боковому ребру сечения равен . Объем призмы равен V . Найдите площадь основания.

Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны a и b ( b > a ). Боковая грань наклонена к плоскости основания под углом α. Вычислите объем пирамиды.

Найдите объем и площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника со сторонами 13 см, 14 см и 15 см вокруг прямой, проходящей через вершину среднего по величине угла треугольника параллельно средней его стороне.

Самостоятельная работа № 6 «Объем шара и площадь сферы»

Сфера и два ее взаимно перпендикулярных сечения имеют единственную общую точку. Площади сечений равны 11 π см 2 и 14 π см 2 . Найдите объем шара и площадь сферы.

Плоскость, перпендикулярная радиусу шара, делит его на части в отношении 2:1, считая от цента шара. Площадь сечения шара этой плоскостью равна 20π см 2 . Вычислите объем меньшего шарового сегмента.

Круговой сектор с углом наклона α и хордой a вращается вокруг одного из ограничивающих его радиусов. Найдите объем получившегося шарового сектора.

Сфера и два ее взаимно перпендикулярных сечения имеют единственную общую точку. Площади сечений равны 13 π см 2 и 23 π см 2 . Найдите объем шара и площадь сферы.

Плоскость, перпендикулярная радиусу шара, делит его на части в отношении 3:1, считая от цента шара. Площадь сечения шара этой плоскостью равна 63 π см 2 . Вычислите объем меньшего шарового сегмента.

Круговой сектор с углом наклона α и радиусом R вращается вокруг одного из ограничивающих его радиусов. Найдите объем получившегося шарового сектора.

Самостоятельная работа № 7 «Комбинации круглых тел»

В цилиндр вписан шар радиуса R . Найдите объем и площадь полной поверхности цилиндра.

Вокруг конуса с образующей L и радиусом основания R описана сфера. Определите радиус сферы.

В конус вписан цилиндр, у которого диагонали осевого сечения соответственно параллельны двум образующим конуса. Образующая конуса равна L и составляет с плоскостью основания угол α . Найдите объем цилиндра и площадь его боковой поверхности.

В цилиндр высотой h вписан шар. Найдите объем и площадь полной поверхности цилиндра.

Вокруг конуса с высотой h и радиусом основания R описана сфера. Определите радиус сферы.

В конус вписан цилиндр, у которого диагонали осевого сечения соответственно параллельны двум образующим конуса. Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол α , радиус основания конуса равен R . Найдите объем цилиндра и площадь его боковой поверхности.

Самостоятельная работа № 8 «Комбинации многогранников и круглых тел»

Образующая конуса равна L и составляет угол α c плоскостью основания. В конус вписана правильная треугольная пирамида. Найдите объем пирамиды.

Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна a , боковая грань составляет с плоскостью основания угол α. Определите радиус описанной сферы.

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 2 см и 4 см. Диагональ большей боковой грани образует с основанием угол в 30 o . В призму вписан цилиндр. Найдите объем цилиндра.

Высота конуса равна h . Образующая конуса составляет угол α с плоскостью основания. В конус вписана правильная треугольная пирамида. Найдите объем пирамиды.

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно b , боковая грань составляет с плоскостью основания угол α . Определите радиус описанной сферы.

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 4 см и 6 см. Диагональ большей боковой грани образует с основанием угол в 60 o . В призму вписан цилиндр. Найдите объем цилиндра.

ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ

1600 см 3 и 1320 см 2

1344 см 3 и 672 см 2

см 3 и 100 см 2

288π см 3 и 144π см 2

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 579 393 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 18.08.2017
• 409
• 0

• 18.08.2017
• 474
• 0

• 18.08.2017
• 736
• 4

• 18.08.2017
• 2344
• 15

• 18.08.2017
• 1560
• 0

• 18.08.2017
• 345
• 1

• 18.08.2017
• 569
• 5

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 18.08.2017 2208
• DOCX 41.6 кбайт
• 16 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Макеева Елена Сергеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 2 месяца
• Подписчики: 6
• Всего просмотров: 101435
• Всего материалов: 37

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

Время чтения: 1 минута

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Минобрнауки создаст для вузов рекомендации по поддержке молодых семей

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.