Задачи с параметром
1. Задача.
При каких значениях параметра a уравнение ( a — 1) x 2 + 2 x + a — 1 = 0 имеет ровно один корень?
1. Решение.
При a = 1 уравнение имеет вид 2 x = 0 и, очевидно, имеет единственный корень x = 0. Если a № 1, то данное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к нулю, получаем уравнение относительно параметра a 4 a 2 — 8 a = 0, откуда a = 0 или a = 2.
1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a О <0; 1; 2>.
2. Задача.
Найти все значения параметра a , при которых имеет два различных корня уравнение x 2 +4 ax +8 a +3 = 0.
2. Решение.
Уравнение x 2 +4 ax +8 a +3 = 0 имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D = 16 a 2 -4(8 a +3) > 0. Получаем (после сокращения на общий множитель 4) 4 a 2 -8 a -3 > 0, откуда
a Ц 7 2 | или a > 1 + | Ц 7 2 |
2. Ответ:
a О (- Ґ ; 1 – | Ц 7 2 | ) И (1 + | Ц 7 2 | ; Ґ ). |
3. Задача.
Известно, что
f 2 ( x ) = 6 x — x 2 -6.
а) Постройте график функции f 1 ( x ) при a = 1.
б) При каком значении a графики функций f 1 ( x ) и f 2 ( x ) имеют единственную общую точку?
3. Решение.
3.а. Преобразуем f 1 ( x ) следующим образом
График этой функции при a = 1 изображен на рисунке справа.
3.б. Сразу отметим, что графики функций y = kx + b и y = ax 2 + bx + c ( a № 0) пересекаются в единственной точке тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx + b = ax 2 + bx + c имеет единственный корень. Используя представление f 1 из 3.а , приравняем дискриминант уравнения a = 6 x — x 2 -6 к нулю. Из уравнения 36-24-4 a = 0 получаем a = 3. Проделав то же самое с уравнением 2 x — a = 6 x — x 2 -6 найдем a = 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a = 2 или a = 3.
4. Задача.
Найти все значения a , при которых множество решений неравенства x 2 -2 ax -3 a і 0 содержит отрезок [3;6].
4. Решение.
Первая координата вершины параболы f ( x ) = x 2 -2 ax -3 a равна x 0 = a . Из свойств квадратичной функции условие f ( x ) і 0 на отрезке [3;6] равносильно совокупности трех систем
м н о | a Ј 3, f (3) = 9-9 a і 0, | м н о | 3 a D = 4 a 2 +12 a Ј 0, | м н о | a і 6, f (6) = 36-15 a і 0. |
Решением первой системы является множество (- Ґ ,1]. Вторая и третья система решений не имеют.
4. Ответ: a О (- Ґ ,1].
5. Задача (9 кл.)
При каком наименьшем натуральном значении a уравнение
x 2 +2 ax -3 a +7 = 2 x |
имеет ровно два решения?
5. Решение.
Перепишем это уравнение в виде x 2 + (2 a -2) x — 3 a +7 = 0. Это квадратное уравнение, оно имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля. Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней является выполнение неравенства a 2 + a -6 > 0. Решая неравенство, находим a a > 2. Первое из неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим натуральным решением второго является число 3.
6. Задача (10 кл.)
Найти все значения a , при которых график функции
f ( x ) = | x 2 + | ax +2 | a -1 |
6. Решение.
Из условия f (-1) = 1 имеем уравнение
1 = | 1+ | — a +2 | a -1 | , |
6. Ответ: a О [2; Ґ ).
7. Задача (10 кл.)
При каких значениях a сумма квадратов корней уравнения
x 2 -2 ax + a 2 — a = 0 |
7. Решение.
Дискриминант уравнения x 2 -2 ax + a 2 — a = 0 равен 4 a . Поэтому действительные корни этого уравнения существуют, если a і 0. Применяя к данному уравнению теорему Виета получаем x 1 + x 2 = 2 a и x 1 · x 2 = a 2 — a . Отсюда x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 -2 x 1 · x 2 = 2 a 2 +2 a . Решениями неравенства 2 a 2 +2 a > 12, удовлетворяющими условию a і 0, являются числа a > 2.
Урок по теме «Методы решения задач с параметрами»
Разделы: Математика
Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных 10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана школы.
Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с параметрами”.
Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:
- Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решить для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих определенному множеству.
- Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
- Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства) имеют заданное число решений.
- Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.
Методы решений задач с параметрами.
1. Аналитический метод.
Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.
Пример 1. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение:
(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не более одного корня.
При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.
Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.
Если a ≠ 1/2 , то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:
Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,
2. Графический метод.
В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y) или в плоскости (x;a).
Пример 2. Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения .
Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций и y = a.
График функции показан на рис.1.
y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).
Ответ: при a 25/4 – два решения.
3. Метод решения относительно параметра.
При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.
Пример 3. Найти все значения параметра а , при каждом из которых уравнение = —ax +3a +2 имеет единственное решение.
Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть = t , t ≥ 0 , тогда x = t 2 + 8 и уравнение примет вид at 2 + t + 5a – 2 = 0 . Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а, при которых уравнение at 2 + t + 5a – 2 = 0 имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях.
1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t = 2.
Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.
Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности.
Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких задач.
Задача № 1. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней?
Ⅱ . Степенные уравнения, неравенства и их системы.
Задача №2. Найти все значения параметра a, при которых множество решений неравенства:
содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.
.
Преобразуем обе части неравенства.
Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и достаточно выполнение условия:
Рис.4
При a > 6 множество решений неравенства: .
Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в интервале (5; a).
Это
Ⅲ . Показательные уравнения, неравенства и системы.
Задача № 3. В области определения функции взяли все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше 10.
1) Графиком дробно-линейной функции является гипербола. По условию x > 0. При неограниченном возрастании х дробь монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.
2) По определению степени область определения D(y) состоит из решений неравенства . При a = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция у нигде не определена.
3) При 0 0 , то z(x) > z(0) = 1 . Значит, каждое положительное значение х является решением неравенства . Поэтому для таких а указанную в условии сумму нельзя найти.
4) При a > 1 показательная функция с основанием а возрастает и неравенство равносильно неравенству . Если a ≥ 5 , то любое положительное число является его решением, и указанную в условии сумму нельзя найти. Если 1 . Так как возрастает на , то z(3) .
Решение иррациональных уравнений и неравенств, а также уравнений, неравенств и систем, содержащих модули рассмотрены в Приложении 1.
Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа.
По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.
Квадратные уравнения с параметром
Уравнение называется квадратным, если имеет вид \(ax^2+bx+c=0,\) где \(a,b,c\) — любые числа \((a≠0)\). При этом надо быть внимательным, если \(a=0\), то уравнение будет линейным, а не квадратным. Поэтому, первым делом при решении квадратного уравнения с параметром, рекомендую смотреть на коэффициент при \(x^2\) и рассматривать 2 случая: \(a=0\) (линейное уравнение); \(a≠0\) (квадратное уравнение). Квадратное уравнение часто решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета.
Исследование квадратного многочлена
Чтобы решить квадратное уравнение с параметром, нужно понять, при каких значениях параметра существуют корни, и найти их, выразив через параметр. Обычно это делается просто через анализ дискриминанта. (см. пример 1) Но иногда в задачах с параметром просят найти такие значения параметра, при которых корни принадлежат определенному числовому промежутку. Например:
- Найдите такие значения параметра, чтобы оба корня были меньше некоторого числа \(γ\): \(x_1≤x_2 0)\); ветки параболы направлены вниз \((a 0\). Значит, между корнями функция принимает отрицательные значения, а вне этого отрезка – положительные. Так как наше число \(γ\) должно по условию лежать вне отрезка \((x_1,x_2)\), то \(f(γ)>0\).
- \(a 0\). Этим условием мы накладываем ограничение, что наши корни должны лежать слева или справа от числа \(γ\).
В итоге получаем:
если \(a*f(γ) 0\), то \(γ∉(x_1,x_2)\).
Нам осталось наложить условие, чтобы наши корни были слева от числа \(γ\). Здесь нужно просто сравнить положение вершины нашей параболы \(x_0\) относительно \(γ\). Заметим, что вершина лежит между точками \(x_1\) и \(x_2\). Если \(x_0 0, \\x_0
При каких значениях параметра a уравнение $$a(a+3) x^2+(2a+6)x-3a-9=0$$ имеет более одного корня?
1 случай: Если \(a(a+3)=0\), то уравнение будет линейным. При \(a=0\) исходное уравнение превращается в \(6x-9=0\), корень которого \(x=1,5\). Таким образом, при \(a=0\) уравнение имеет один корень.
При \(a=-3\) получаем \(0*x^2+0*x-0=0\), корнями этого уравнения являются любые рациональные числа. Уравнение имеет бесконечное количество корней.
2 случай: Если \(a≠0; a≠-3\), то получим квадратное уравнение. При положительном дискриминанте уравнение будет иметь более одного корня: $$D>0$$ $$D/4=(a+3)^2+3a(a+3)^2>0$$ $$(a+3)^2 (3a+1)>0$$ $$a>-\frac<1><3>.$$ С учетом \(a≠0;\) \(a≠-3\), получим, что уравнение имеет два корня при \(a∈(-\frac<1><3>;0)∪(0;+∞)\). Объединив оба случая получим (внимательно прочитайте, что от нас требуется):
Найти все значения параметра a, при которых корни уравнения $$(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1=0$$ принадлежат отрезку \([-2;2]\).
1 случай: Если \(a=-1\), то \(0*x^2-x+1-1=0\) отсюда \(x=0\). Это решение принадлежит \([-2;2]\).
2 случай: При \(a≠-1\), получаем квадратное уравнение, с условием, что все корни принадлежат \([-2;2]\). Для решения введем функцию \(f(x)=(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1\) и запишем систему, которая задает требуемые условия:
Подставляем полученные выражения в систему:
http://urok.1sept.ru/articles/631690
http://sigma-center.ru/quadratic_equation_parametr