Определитель вронского для дифференциального уравнения сга

Определитель Вронского (вронскиан).

Пусть функции $y_1(x),\;y_2(x),\;y_3(x),\ldots,y_n(x)$ непрерывны вместе с своими производными (до $n-1$ порядка включительно) на интервале $(a;b)$. Определитель Вронского (вронскиан) указанной системы функций задаётся следующей формулой:

Для того, чтобы функции $y_1(x),\;y_2(x),\;y_3(x),\ldots,y_n(x)$ были линейно независимыми на $(a;b)$, достаточно, чтобы $W(y_1,y_2,\ldots,y_n)\neq 0$ хотя бы в одной точке интервала $(a;b)$. Отметим, что это условие является достаточным, но не необходимым. Т.е. если $W(y_1,y_2,\ldots,y_n)= 0$ для всех значений переменной из интервала $(a;b)$, то про линейную зависимость функций $y_1(x),\;y_2(x),\;y_3(x),\ldots,y_n(x)$ в общем случае ничего определённого сказать нельзя.

В некоторых случаях, однако, условие $W(y_1,y_2,\ldots,y_n)\neq 0$ является не только необходимым, но и достаточным для линейной независимости функций. Например, чтобы решения $y_1(x),\;y_2(x),\;y_3(x),\ldots,y_n(x)$ линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка были линейно независимы на $(a;b)$, необходимо и достаточно, чтобы $W(y_1,y_2,\ldots,y_n)\neq 0$ хотя бы в одной точке интервала $(a;b)$. Об этом будет идти речь в соответствующих разделах теории дифференциальных уравнений.

Если функции $y_1(x),\;y_2(x),\;y_3(x),\ldots,y_n(x)$, непрерывные вместе с своими производными до $n-1$ порядка включительно на интервале $(a;b)$, линейно зависимы, то $W(y_1,y_2,\ldots,y_n) = 0$ для всех $x\in(a;b)$.

Исследовать на линейную зависимость функции $y_1(x)=x$, $y_2(x)=x e^x$ в их области определения.

Областью определения данных функций есть вся числовая прямая, т.е. $x\in(-\infty;+\infty)$.

Так как существует хотя бы одно значение $x\in R$, при котором $W\neq 0$ (например, при $x=1$ имеем $W=e$), то функции $y_1(x)=x$ и $y_2(x)=x e^x$ линейно независимы на $R$.

Исследовать на линейную зависимость функции $y_1(x)=1$, $y_2(x)=x$, $y_3(x)=x^2$, $y_4(x)=x^3$, $y_5(x)=x^4$ в их области определения.

Эта система функций уже была исследована в задаче №3 непосредственным применением определения линейно зависимых и независимых функций. Теперь осуществим исследование с помощью определителя Вронского. Все рассуждения проводим в области определения данных функций, т.е. на $R$.

Так как $W\neq 0$, то данные функции линейно независимы на $R$.

Исследовать на линейную зависимость функции $y_1(x)=4$, $y_2(x)=\arcsin x$, $y_3(x)=\arccos x$ в интервале $(-1;1)$.

Для вычисления полученного определителя можно использовать формулу треугольников, но лучше сделать пару предварительных преобразований. Прибавим к элементам второго столбца соответствующие элементы третьего столбца и учтем, что $\arcsin x+\arccos x=\frac <\pi><2>$ при любом $x\in[-1;1]$:

Так как $W=0$, то ничего определенного про линейную зависимость данных функций сказать нельзя.

Можно исследовать данные функции определителем Грама, но проще использовать определение линейно зависимых функций. В задаче №4 доказано по определению, что данные функции линейно зависимы на отрезке $[-1;1]$, а следовательно, будут линейно зависимы на $(-1;1)$.

Исследовать на линейную зависимость функции $y_1(x)=x$, $y_2(x)=|x|$ в их области определения.

Областью определения заданных функций есть все множество действительных чисел, т.е. $x\in R$. Рассмотрим определитель Вронского этих функций при $x≥ 0$. При данном условии $y_2(x)=|x|=x$.

Итак, вронскиан равен нулю на всей области определения заданных функций. Вновь, как и в примере №3, сказать что-либо определённое по поводу линейной зависимости функций, опираясь на значение вронскиана, нельзя. В задаче №5 эти функции были исследованы на линейную зависимость согласно определению. И, согласно результатам, функции оказались линейно независимыми.

Как видите, примеры №3 и №4 наглядно иллюстрируют тот факт, что условие $W(y_1,y_2,\ldots,y_n)\neq 0$ является достаточным, но не необходимым для линейной независимости рассматриваемых функций. В примере №3 функции были линейно зависимы, в примере №4 – линейно независимы, однако в обоих случаях $W=0$.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Линейная независимость функций. Определители Вронского и Грама

Пусть имеем конечную систему из функций , определенных на интервале . Функции называют линейно зависимыми на интервале , если существуют постоянные , не все равные нулю, такие, что для всех значений из этого интервала справедливо тождество

Если же это тождество выполняется только при , то функции называют линейно независимыми на интервале .

Пример 1. Показать, что система функций линейно независима на интервале .

Решение. В самом деле, равенство может выполняться для всех только при условии, что . Если же хоть одно из этих чисел не равно нулю, то в левой части равенства будем иметь многочлен степени не выше третьей, а он может обратиться в ноль не более, чем при трех значениях из данного интервала.

Пример 2. Показать, что система функций , где попарно различны, линейно независима на интервале .

Решение. Предположим обратное, т. е. что данная система функций линейно зависима на этом интервале. Тогда

на интервале , причем, по крайней мере, одно из чисел отлично от нуля, например . Деля обе части тождества (1) на , будем иметь

Дифференцируя тождество, получаем

Делим обе части тождества (2) на :

Дифференцируя (3), получаем , что невозможно, так как по предположению, по условию, а .

Наше предположение о линейной зависимости данной системы функций привело к противоречию, следовательно, эта система функций линейно независима на интервале , т.е. тождество (1) будет выполняться только при .

Пример 3. Показать, что система функций , где , линейно независима на интервале .

Решение. Определим значения и , при которых будет выполняться тождество

Разделим обе его части на :

Подставляя в (5) значение , получаем и, значит, ; но функция не равна тождественно нулю, поэтому . Тождество (5) и, следовательно, (4) имеют место только при , т. е. данные функции линейно независимы в интервале .

Замечание. Попутно доказана линейная независимость тригонометрических функций .

Пример 4. Доказать, что функции

линейно зависимы в интервале .

Решение. Покажем, что существуют такие числа , не все равные нулю, что в интервале справедливо тождество

Предполагаем тождество (7) выполненным; положим, например, . Тогда получим однородную систему трех уравнений с тремя неизвестными

Определитель этой системы трёх уравнений с тремя неизвестными равен нулю:

Следовательно, однородная система (8) имеет ненулевые решения, т. е. существуют числа , среди которых имеется по крайней мере одно отличное от нуля. Для нахождения такой тройки чисел возьмем, например, два первых уравнения системы (8):

Из первого уравнения имеем , из второго . Полагая , получим ненулевое решение системы (8):

Покажем теперь, что при этих значениях тождество (7) будет выполняться для всех . Имеем

каково бы ни было . Следовательно, система функций (6) линейно зависима на интервале .

Замечание. Для случая двух функций можно дать более простой критерий линейной независимости. Именно, функции и будут линейно независимыми на интервале , если их отношение не равно тождественной постоянной на этом интервале; если же , то функции будут линейно зависимыми.

Пример 5. Функции и линейно независимы в интервале , так как их отношение в этом интервале.

Пример 6. Функции и линейно зависимы в интервале , так как их отношение в этом интервале (в точках разрыва функции доопределяем это отношение по непрерывности).

Пусть функций имеют производные (n–1)-го порядка. Определитель

называется определителем Вронского для этой системы функций. Определитель Вронского вообще является функцией от , определенной в некотором интервале.

Пример 7. Найти определитель Вронского для функций .

Пример 8. Найти определитель Вронского для функций:

так как первая и последняя строки определителя пропорциональны.

Теорема. Если система функций линейно зависима на отрезке , то ее определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке.

Так, например, система функций линейно зависима в интервале , и определитель Вронского этих функций равен нулю всюду в этом интервале (см. примеры 4 и 8).

Эта теорема дает необходимое условие линейной зависимости системы функций. Обратное утверждение неверно, т. е. определитель Вронского может тождественно обращаться в ноль и в том случае, когда данные функции образуют линейно независимую систему на некотором интервале.

Пример 9. Рассмотрим две функции:

Графики их имеют вид, указанный на рис. 25.

Эта система функций линейно независима, так как тождество выполняется только при . В самом деле, рассматривая его на отрезке , мы получаем , откуда , так как ; на отрезке же имеем , откуда , так как на этом отрезке.

Найдем определитель Вронского системы. На отрезках и :

Таким образом, определитель Вронского на отрезке тождественно равен нулю.

Пусть имеем систему функций на отрезке . Положим

называется определителем Грама системы функций .

Теорема. Для того, чтобы система функций была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Грама равнялся нулю.

Пример 10. Показать, что функции и линейно зависимы на отрезке .

Вычислим определитель Грама следовательно, функции и линейно зависимы.