Определяющие параметры в уравнениях подобия

Уравнения подобия

Безразмерная запись имеет ряд преимуществ.

Во-первых, безразмерные уравнения содержат меньшее число переменных, поскольку они объединены в комплексы – критерии подобия. Это облегчает дальнейшее выполнение как аналитического, так и численного решений этих уравнений. При этом определяющие критерии выступают в качестве исходных данных (параметров задачи), а определяемые критерии включаются в число безразмерных искомых величин. Таким образом, решение дифференциальных уравнений, описывающих процесс, можно искать в виде зависимости между безразмерными переменными и критериями подобия, что соответствует содержанию второй теоремы подобия.

Во-вторых, получаемое таким образом решение при единственном сочетании численных значений определяющих критериев является справедливым не для единичного явления, а для всей группы подобных явлений. Если же выполнять ряд численных решений, задаваясь различными значениями отдельных критериев, то получим ряд решений для различных групп подобных явлений в пределах данного рода. Объединяя затем ряд полученных решений в виде функциональной зависимости безразмерной искомой величины (или определяемого критерия) от численных значений определяющих критериев, получаем закономерность, справедливую для всего рода явлений. В ней определяющие критерии выступают в качестве обобщенных переменных. Такую зависимость можно считать решением сформулированной задачи (описываемой дифференциальными уравнениями и граничными условиями), которое по своей ценности тем ближе к аналитическому решению, чем шире интервал принятых численных значений определяющих критериев. Разумеется, указанную зависимость можно получить также, выполняя ряд экспериментов на физических (или аналоговых) моделях изучаемого явления.

Зависимость искомой безразмерной переменной (или определяемого критерия) от определяющих критериев называется уравнением подобия, или критериальным уравнением. Общую форму уравнения подобия можно записать на основании безразмерных дифференциальных уравнений, описывающих процесс. На основе анализа системы уравнений движения можно получить следующие уравнения подобия, связывающие безразмерные определяемые величины с определяющими критериями и безразмерными координатами (для нестационарных процессов следует учитывать и безразмерное время):

безразмерное поле скоростей

; (E)

безразмерное поле давлений

; (F)

Конкретную количественную форму функций f, f₁, можно получить, проводя ряд экспериментов на физической модели или выполняя ряд численных решений (математических экспериментов). При этом каждую из искомых критериальных зависимостей (E)–(F) можно устанавливать независимо от остальных.

В отношении представленных здесь уравнений подобия необходимо сделать три дополнительных замечания.

1. Прежде всего, о форме и числе определяющих критериев. Из уравнений движения первоначально были выведены критерии несколько иной формы, чем те, которые приняты в качестве определяющих в уравнении подобия (F). Было сказано, что критерии можно преобразовать (расчленением на множители, делением или умножением друг на друга и т. п.), подбирая комплексы, имеющие более очевидный физический смысл или более удобную форму дальнейшего обобщения результатов экспериментов. Однако, выполняя такие преобразования, нужно помнить, что общее количество критериев, характерных для процесса, не может быть произвольным. Оно устанавливается в теории размерностей так называемой p-теоремой.

Согласно p-теореме физическое уравнение, содержащее размерных величин, из которых величин имеют независимую размерность, после приведения к безразмерному виду будет содержать безразмерных величин.

Анализируя системы уравнений, можно убедиться, что количество критериев, получаемых из каждого уравнения, равно числу физически разнородных членов исходного дифференциального уравнения минус единица.

Так, в уравнении сплошности все члены одного вида, и оно, следовательно, не дает ни одного критерия. Из уравнения движения (если не учитывать в нем силу тяжести) получается два критерия Re и Eu.

2. Строго говоря, уравнения подобия вида (E)–(F) справедливы для потоков, у которых стенки каналов характеризуются одним единственным геометрическим размером. Например, при одномерном движении неограниченного потока вдоль пластины или при поперечном обтекании неограниченным потоком бесконечно длинного цилиндра, шара и т. п. В первом случае в качестве характерного размера (геометрического масштаба) выбирается длина пластины L, т. е. l=L, а во втором – характерный размер – диаметр, т. е. l=d. Если же форма канала более сложная, то соблюдение условия геометрического подобия требует введения в уравнения подобия в качестве определяющих дополнительных безразмерных комплексов: l₁/l, l₂/l, . . ., где l₁, l₂, . – все влияющие на процесс геометрические размеры канала.

Безразмерные определяющие комплексы, представляющие собой отношения одноименных величин, в теории подобия называются симплексами: l₁/l, l₂/l – симплексы геометрического подобия.

Так, при движении потока в круглой трубе диаметром d и длиной L в качестве характерного размера обычно выбирают диаметр как наиболее важный геометрический фактор, но если длина трубы также влияет на процесс, то в уравнении подобия учитывают определяющий геометрический симплекс L/d. При движении потока в прямоугольном канале сечением aÛb и длиной L в качестве характерного размера обычно выбирают меньшую сторону сечения (допустим, а) и учитывают симплексы b/a и L/a. При записи вновь полученного уравнения подобия необходимо указать, какой геометрический размер принят в качестве характерного. Часто это делают, присваивая критериям, включающим геометрический фактор, соответствующий индекс. Например, запись Re_L означает, что характерным размером является общая длина канала L. В одном уравнении подобия все критерии должны включать один и тот же характерный размер.

3. Переменность теплофизических свойств в зависимости от температуры может быть учтена введением в уравнение подобия температурного фактора – симплекса, представляющего собой отношение Т_ж/Т₀. Это строго справедливо в том случае, если зависимость всех теплофизических свойств от температуры можно представить в виде степенных функций одинаковой степени, например: , и т. д. Указанное соотношение характерно для газов, но не всегда подтверждается для жидкостей.

Кроме температурного фактора переменность теплофизических свойств приближенно можно учесть соответствующим выбором определяющей температуры. Определяющей называется температура, по которой выбирают значения теплофизических параметров, входящих в критерии подобия. В качестве определяющей температуры на основании опытных данных может быть выбрана либо температура жидкости t_ж, либо среднеарифметическая температура , либо t_c. Чтобы показать, какая температура принята за определяющую при расчете данного критерия, рядом с критерием ставят соответствующий индекс, например: Re_cp, Pr_c и т. д.

Из всего сказанного выше об уравнениях подобия следует, что при определенных численных значениях определяющих критериев по этим уравнениям можно вычислить значение определяемого критерия, одинаковое для всех явлений, подобных исследованному на модели. При этом, чтобы избежать ошибок, необходимо четко представлять, какие же условия необходимы и достаточны для определения подобных явлений.

× Гидростатика

В разделе «Гидростатика» изучают явления, происходящие в неподвижной жидкости.

Уравнения подобия

Уравнения подобия

• Уравнение подобия Уравнение подобия относится к связи между определенным числом подобия и другими определенными числами подобия. Количество, необходимое для расчета теплового оборудования — это коэффициент теплопередачи a и гидравлическое сопротивление dr. Конвективный теплообмен характеризуется пятью сходствами: Nu, Eu, Pr, Gr и Re. Числовое значение Nu содержит

неизвестный коэффициент теплопередачи a, а числовое значение Ei содержит целевое значение Ap. Это характеризует гидравлическое сопротивление при движении жидкости. Следовательно, числа Nu и Ei определяются числами подобия, а числа Pr, Gr и Re являются решающими и. Для конвективного теплообмена уравнение подобия может быть выражено как: Nu = f, (Re, Gr, Pr); • (26-44) Eu = f2 (Re, Gr, Pr). ^ (26-45) Эта связь между числами подобия является результатом

второй теоремы теории подобия. Соотношение между числами подобия определяется в основном опытным путем. свободная конвекция очень мала по сравнению с принудительной конвекцией, что упрощает уравнение подобия теплопередачи. • Nu = / (Re, Pr). (26-46) Для некоторых газов значение числа Прандтля Pr во время конвективного теплообмена мало меняется с температурой, поэтому формула подобия принимает более простую форму. Nu = f (Re). (26-47)

При вынужденном движении жидкости и в развитом турбулентном режиме Людмила Фирмаль

Когда жидкость движется свободно, число Грасгофа необходимо ввести в уравнение подобия теплопередачи, когда нет принудительной конвекции вместо числа Рейнольдса. Отсюда U = / (Gr, Pr) ..- (26-48) Экспериментальные исследования теплопередачи капающей жидкости показали, что коэффициент теплопередачи ce имеет различные значения в условиях нагрева и охлаждения стенки. Это явление связано с изменением физических параметров жидкости в пограничном слое. Чтобы получить уравнение подобия, которое

одинаково справедливо как для зрелости, так и для охлаждения, дополнительно введено следующее соотношение: ^ /) K // CT, ai / | lst, Prz / Prst. Первое соотношение обычно используется для расчета теплопередачи газа, а два других соотношения используются для расчета теплопередачи капающей жидкости. Ученый М.А. Михеев рекомендует учитывать направление тепла: отношение теплового потока Rg / Prgst до 0,25. В этом случае общая формула для подобия конвективного теплообмена следующая: Nu = c Re «, Gr *, Prm, (Prz / Prst) 0-25. (26-49) Все уравнения в особых случаях могут отображаться

в одном формате. Количественная связь между показателями сходства [предмет экспериментальных исследований. моделирование Экспериментальные исследования различных физических явлений, особенно тепловых и тепловых явлений, могут проводиться путем изучения явлений, которые должны быть исследованы либо непосредственно на образце, либо на моделях. Условие, что модель и процессы, происходящие в ней, должны соответствовать теории

• подобия. Применимость: теория сходства с опытом практически безгранична. В предыдущем разделе было установлено, что все подобные явления в определенной группе являются идентичными явлениями, приведенными в разных масштабах. Вывод: где взять; изучение любого явления в группе может быть распространено на все явления в этой группе. Таким образом, изучение конкретного конкретного явления в определенной группе эквивалентно изучению

других явлений в той же группе. Поэтому, если прямое экспериментальное исследование конкретного явления в природе образца затруднительно по техническим или экономическим причинам, оно будет заменено исследованием аналогичного явления в модели. Моделирование — это экспериментальный метод исследования, при котором изучение физических явлений проводится в сокращенной модели. Идея моделирования основана на

том факте, что [все явления описываются безразмерными переменными [отражают признаки группы похожих явлений]. Чтобы модель была похожа на модель, Вы можете моделировать процессы, которые имеют одинаковые физические свойства и описываются одними и теми же дифференциально-дифференциальными уравнениями. Явные

должны быть выполнены следующие условия: Людмила Фирмаль

условия должны быть одинаковыми во всех, кроме постоянных чисел, содержащихся в этих условиях. Требования двусмысленности требуют комфорта. Геометрическое сходство образца и модели, сходство условия G движения жидкости во входном сечении образца и модели, сходство физических параметров при сходстве образца и модели, Сходство температурного поля на границе жидкой среды. Кроме того, сходные числа сходства для похожих участков образца и модели должны быть численно одинаковыми. , ■ ч Перечисленные

условия сходства для образцов и моделей являются необходимыми и достаточными. Однако практически все условия моделирования трудно реализовать практически точно. По этой причине была разработана приближенная методика моделирования, состоящая из стабильности и надежности. Применение потоковых методов самоподобия и локальности. Геометрическое сходство от модели к модели легко реализовать. Аналогичное распределение скорости.

Тент на входе относительно легкий. Сходство физических параметров модели и потока жидкости образца является лишь приблизительным, и подобие поля температуры на нагретой поверхности модели и образца очень сложно реализовать. В связи с этим используется метод аппроксимации локального моделирования. Локальное моделирование основано на том факте, что подобие температурного поля выполняется не на всем устройстве, а в отдельном месте, то есть

на участке, где изучается теплообмен. Эквивалентность критериев выбора образца и модели может быть выполнена приблизительно. -Стабильность является характеристикой вязкости жидкости, которая всегда принимает одинаковое распределение скорости по площади поперечного сечения на одном и том же расстоянии от впускного отверстия, независимо от характера скорости входной площади поперечного сечения. \ Явление самоподобия связано с тем, что существует распределение скоростей, которое практически не изменяется в этом сечении, когда жидкость движется с довольно

широким диапазоном скоростей. Другими словами, он практически не зависит от Re. В настоящее время моделирование является одним из основных методов научных исследований и широко используется во многих областях науки и техники. Он стал мощным инструментом для выявления различных недостатков в существующем техническом оборудовании и поиска путей их устранения. Кроме того, моделирование в настоящее время широко используется для тестирования вновь созданных устройств, улучшая новые

конструкции, которые еще не реализованы на практике. XXVI глава вопросы безопасности 1. Что такое конвективный теплообмен? -2 Какие бывают типы конвекции? 3. Динамические и тепловые пограничные слои и их физические значения. • 4: Какая разница между типом движения жидкости и #? «» 5. Число Рейнольдса и его обозначение. 6. Что такое измерение числа Рейнольдса? 7. Критическое значение числа Рейнольдса. 8. Каков механизм теплообмена при ламинарном и турбулентном движении * жидкостей? 9. Обеспечивает определение динамических и

кинематических коэффициентов. Класс вязкости. «» LO. Какие факторы влияют на конвективный теплообмен? П. Определение коэффициента теплопередачи. * 12. Какова функция коэффициента теплопередачи? 13. Создать систему дифференциальных уравнений для конвективного теплообмена. 14. Что называется условием уникальности? 15. Почему теория подобия используется для определения коэффициента теплопередачи? • ‘•• 16. Какие условия лежат в основе теории подобия? 17. Зависит ли коэффициент

теплопередачи от такого количества? , 18. Три теоремы подобия. — 19. Из какого дифференциального уравнения можно получить сходство? •. ’20. Какое сходство можно получить из дифференциального уравнения конвективного теплообмена? •• ■ — • • 21. Что такое уравнение называется похожим уравнением? 22. Какое же число конвективных теплообменов между газом и капающей жидкостью? 23. Какое соотношение учитывает направление теплового потока?

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Теория подобия и критериальные уравнения

Конвективный теплообмен описывается системой дифференциальных уравнений и условиями однозначности с большим количеством переменных. Попытки аналитического решения полной системы уравнений наталкиваются на серьезные трудности. Поэтому большое значение приобретает экспериментальный путь исследования. Однако при изучении столь сложного процесса, как конвективный теплообмен, не всегда легко проводить и опытное исследование.

Для исследования влияния на процесс какой-либо одной величины остальные нужно сохранять неизменными, что не всегда возможно или затруднительно из-за большого количества переменных. Кроме того, нужно быть уверенным, что результаты, получаемые с помощью какой-либо конкретной установки (модели), можно перенести и на другие аналогичные процессы (образец). Эти трудности помогает разрешить теория подобия. С помощью теории подобия размерные физические величины можно объединить в безразмерные комплексы, причем так, что число комплексов будет меньше числа величин. Полученные безразмерные комплексы можно рассматривать как новые переменные.

При введении в уравнения безразмерных комплексов число величин под знаком искомой функции формально сокращается, что упрощает исследование физических процессов.

Теория подобия устанавливает также условия, при которых результаты лабораторных исследований можно распространить на другие явления, подобные рассматриваемому. Ввиду этого теория подобия является теоретической базой эксперимента, но не только. Теория подобия является важным подспорьем теоретических исследований. Хотя методами теории подобия вид искомой функции не может быть определен, эта теория облегчает в ряде случаев анализ процесса и описание полученных результатов.

Для практического использования выводов теории подобия необходимо уметь приводить к безразмерному виду математические описания изучаемых процессов.

Имеется несколько методов, и один из них — метод масштабных преобразований.

независимые переменные: х, у.

зависимые переменные:

постоянные величины: и др. Для определенной задачи они являются постоянными.

Таким образом, искомые зависимые переменные зависят от большого числа величин: они являются функцией независимых переменных и постоянных величин.

В качестве масштабов удобно принять постоянные величины .

; ; ; ; , тогда

; ; ; ; .

Помимо безразмерных величин и безразмерных координат X, Y, составленных из однородных физических величин, в уравнения входят также безразмерные комплексы, состоящие из разнородных физических величин.

Безразмерные соотношения параметров характеризующих процесс, имеющие у подобных явлений в сходственных точках численно одинаковые значения называются числами подобия.

1). У подобных явлений числа подобия численно одинаковы.

2). Интеграл дифференциальной функции (или системы уравнений) может быть представлен как функция чисел дифференциального уравнения.

3). Подобны те явления, условия однозначности которых подобны, и числа подобия, составленные из условия однозначности, численно одинаковы.

Условия однозначности: Явление, протекающее в геометрически подобных системах; для рассматривания явления можно составить дифференциальные уравнения; установлены существование и единственность решения уравнений при заданных граничных условиях; известны числовые значения коэффициентов и физических параметров.