Уравнение плоскости, виды уравнения плоскости
В предыдущем разделе, посвященном плоскости в пространстве, мы рассмотрели вопрос с позиции геометрии. Теперь же перейдем к описанию плоскости с помощью уравнений. Взгляд на плоскость со стороны алгебры предполагает рассмотрение основных видов уравнения плоскости в прямоугольной системе координат O х у z трехмерного пространства.
Определение уравнения плоскости
Плоскость – это геометрическая фигура, состоящая из отдельных точек. Каждой точке в трехмерном пространстве соответствуют координаты, которые задаются тремя числами. Уравнение плоскости устанавливает зависимость между координатами всех точек.
Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат 0хуz имеет вид уравнения с тремя переменными х , у и z . Удовлетворяют уравнению координаты любой точки, лежащей в пределах заданной плоскости, не удовлетворяют координаты любых других точек, которые лежат вне заданной плоскости.
Подстановка в уравнение плоскости координат точки данной плоскости, обращает уравнение в тождество. При подстановке координат точки, лежащей вне плоскости, уравнение превращается в неверное равенство.
Уравнение плоскости может иметь несколько видов. В зависимости от специфики решаемых задач уравнение плоскости может быть записано по-разному.
Общее уравнение плоскости
Сформулируем теорему, а затем запишем уравнение плоскости.
Всякая плоскость в прямоугольной системе координат O x y z в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида A x + B y + C z + D = 0 , где А , В , С и D – некоторые действительные числа, которые одновременно не равны нулю. Всякое уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 , определяет плоскость в трехмерном пространстве
Уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 носит название общего уравнения плоскости. Если не придавать числам А , В , С и D конкретных значений, то мы получаем уравнение плоскости в общем виде.
Важно понимать, что уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 , будет точно так же определять плоскость. В уравнении λ — это некоторое отличное от нуля действительное число. Это значит, что равенства A x + B y + C z + D = 0 и λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 равнозначны.
Общим уравнениям плоскости x — 2 · y + 3 · z — 7 = 0 и — 2 · x + 4 · y — 2 3 · z + 14 = 0 удовлетворяют координаты одних и тех же точек, расположенных в трехмерном пространстве. Это значит, что они задают одну и ту же плоскость.
Дадим пояснения к рассмотренной выше теореме. Плоскость и ее уравнение неразделимы, так как каждому уравнению A x + B y + C z + D = 0 соответствует плоскость в заданной прямоугольной системе координат, а каждой плоскости, расположенной в трехмерном пространстве, соответствует ее уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 .
Уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 может быть полным и неполным. Все коэффициенты А , B , С и D в полном уравнении отличны от нуля. В противном случае, общее уравнение плоскости считается неполным.
Плоскости, которые задаются неполными уравнениями, могут быть параллельны координатным осям, проходить через оси координат, совпадать с координатными плоскостями или располагаться параллельно им, проходить через начало координат.
Рассмотрим положение в пространстве плоскости, заданной уравнением 4 · y — 5 · z + 1 = 0 .
Она параллельна оси абсцисс и располагается перпендикулярно по отношению к плоскости O y z . Уравнение z = 0 определяет координатную плоскость O y z , а общее уравнение плоскости вида 3 · x — y + 2 · z = 0 соответствует плоскости, которая проходит через начало координат.
Важное уточнение: коэффициенты А , В и С в общем уравнении плоскости представляют собой координаты нормального вектора плоскости.
Когда говорят об уравнении плоскости, то подразумевают общее уравнение плоскости. Все виды уравнений плоскости, которые мы разберем в следующем разделе статьи, получают из общего уравнения плоскости.
Нормальное уравнение плоскости
Нормальное уравнение плоскости – это общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 , которое удовлетворяет следующим условиям: длина вектора n → = ( A , B , C ) равна единице, т.е. n → = A 2 + B 2 + C 2 = 1 , а D ≤ 0 .
Также запись нормального уравнения плоскости может иметь следующий вид cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 , где p – это неотрицательное число, которое равно расстоянию от начала координат до плоскости, а cos α , cos β , cos γ — это направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины.
n → = ( cos α , cos β , cos γ ) , n → = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
То есть, согласно нормальному уравнению плоскости, плоскость в прямоугольной системе координат O х у z удалена от начала координат на расстояние p в положительном направлении нормального вектора этой плоскости n → = ( cos α , cos β , cos γ ) . Если p равно нулю, то плоскость проходит через начало координат.
Плоскость задана общим уравнением плоскости вида — 1 4 · x — 3 4 · y + 6 4 · z — 7 = 0 . D = — 7 ≤ 0 , нормальный вектор этой плоскости n → = — 1 4 , — 3 4 , 6 4 имеет длину, равную единице, так как n → = — 1 4 2 + — 3 4 2 + 6 4 = 1 . Соответственно, это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости.
Для более детального изучения нормального уравнения плоскости мы рекомендуем перейти в соответствующий раздел. В теме приведены разборы задач и характерные примеры, а также способы приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду.
Уравнение плоскости в отрезках
Плоскость отсекает на координатных осях O х , O у и O z отрезки определенной длины. Длины отрезков задаются отличными от нуля действительными числами a , b и с . Уравнение плоскости в отрезках имеет вид x a + y b + z c = 1 . Знак чисел а , b и с показывает, в каком направлении от нулевого значения следует откладывать отрезки на координатных осях.
Построим в прямоугольной системе координат плоскость, которая задана уравнением формулы плоскости в отрезках x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .
Точки удалены от начала координат в отрицательном направлении на 5 единиц по оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении по оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении по оси аппликат. Отмечаем точки и соединяем их прямыми линиями.
Плоскость полученного треугольника является плоскостью, соответствующей уравнению плоскости в отрезках, имеющего вид x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .
Более подробно информация об уравнении плоскости в отрезках, приведении уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости размещена в отдельной статье. Там же приведен ряд решений задач и примеров по теме.
Ось абсцисс в пространстве задается уравнениями
Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве.
Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка — началом координат. Она обозначается обычно буквой О.
Оси координат обозначаются так: Ох, Оу, Оz — и имеют названия: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат. Вся система координат обозначается Охуz.
Плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оуz, Оzх.
Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч отрицательной полуосью.
Проведем через точку А три плоскости, перпендикулярные к осям координат, и обозначим через А1, А2 и А3.
Точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями абсцисс, ординат и аппликат. Первая координата точки А (она называется абсциссой и обозначается обычно буквой х) определяется так: х = ОА1, если А1 точка положительной полуоси: х = — ОА1, если А1 точка отрицательной полуоси: х = 0, если А1 совпадает с точкой О. Аналогично с помощью точки А2 определяется вторая координата (ордината) y точки А, а с помощью точки А3 третья координата (аппликата) z точки А. Координаты точки А записываются в скобках после обозначения точки: А (х; у; z), причем первой указывают абсциссу, второй ординату, третьей — аппликату.
Если точка А (х; у; z) лежит на координатной плоскости или на оси координат, то некоторые ее координаты равны нулю.
Система координат в пространстве — определение с примерами решения
Содержание:
Система координат в пространстве
Декартова система координат в пространстве
Вы познакомились с декартовой системой координат на плоскости в предыдущих классах. Систему координат в пространстве введём аналогично тому, как это было сделано на плоскости. Рассмотрим три взаимно перпендикулярных оси Ох, Оу и Оz, пересекающихся в точке О, являющейся началом координат. Через каждую пару этих прямых проведём плоскости Оху, 0xz и Оуz (рис. 1). Таким образом вводится система координат в пространстве, при этом
точку О — называют началом координат, прямые Ох, Оу и Оz — осями координат, Ох — ось абсцисс, Оу — ось ординат и Оz — ось аппликат, плоскости Оху, Оуz и Охz — координатными плоскостями.
Координатные плоскости делят пространство на 8 октант (получетвертей) (рис. 1).
Пусть в пространстве задана произвольная точка А. Через эту точку проведём плоскости, перпендикулярные плоскостям Охz, Оуz и Охz (рис. 2). Одна из этих плоскостей пересечёт ось Ох в точке Ах.
Координату Ах на оси Ох называют координатой х или абсциссой точки А.
Аналогично определяют у — координату (ординату) и z- координату (аппликату) точки А.
Координаты точки А записывают в виде А (х; у; z) или короче (х; у; z). Точки, изображённые на рисунке 3, имеют следующие координаты: А (0; 5; 0), B (4; 0; 0), М (0; 5; 4), К (2; 3; 4), Р (-2; 3; -4).
Пример:
Пусть в пространстве в декартовой системе координат
задана точка А (2; 3; 4). Где она расположена?
Решение:
От начала координат в положительном направлении осей Ох и Оу отложим отрезки ОАх = 2 и ОАу = 3 (рис. 4).
Через точку Ах проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Оу. А через точку Аy проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Ох. Точку пересечения этих прямых обозначим A1 . Через точку A1 проведём прямую, перпендикулярную плоскости Оху и на ней в положительном направлении Oz отложим отрезок АА1 = 4. Тогда точка А (2; 3; 4) и будет искомой точкой.
Пользуясь системой координат, созданной для современных программируемых станков и автоматизированных роботов, составляются программы, на основе которых обрабатываются металлы (рис. 5).
Расстояние между двумя точками
1.Сначала рассмотрим случай, когда прямая АВ не параллельна оси Оz (рис. 6). Через точки А и В проведём прямые, параллельные оси Оz. И пусть они пересекают плоскость Оху в точках Аz и Вz .
Координаты х и у этих точек соответственно равны координатам х и у точек А, В, а координаты z равны 0.
Теперь через точку В проведём плоскость а, параллельную плоскости Оху. Она пересечёт прямую ААz в некоторой точке С.
По теореме Пифагора: АВ 2 = АС 2 + СВ 2 .
Однако
Поэтому
2.Пусть отрезок АВ параллелен оси Оz, тогда и, так как
Следовательно, расстояние между двумя точками А и В:
(1)
Примечание. Формула (1) выражает длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны
Уравнение сферы и шара
Известно, что множество всех точек М (х; у; z), расположенных на расстоянии R от данной точки А (а; Ь; с) образуют сферу (рис. 7). Тогда по формуле (1) координаты всех точек, расположенных на сфере радиуса R с центром в точке А (а; b; с), удовлетворяют равенству
Отсюда, ясно, что неравенство для точек шара радиуса R с центром в
точке А (а; b; с) имеет вид:
Пример:
Найдите периметр треугольника ABC с вершинами в
Решение:
Р=АВ+АС+ВС периметр треугольника ABC. Воспользовавшись формулой расстояния между двумя точками, найдём длины сторон треугольника:
Следовательно, треугольник ABC равносторонний и его периметр .
Ответ:
Координаты середины отрезка
Пусть А (x1; y1;z1) и В (х2; у2; z2) — произвольные точки, точка С (х; у; z) середина отрезка AB (рис. 8).
Через точки А, В и С проведём прямые, параллельные оси пересекающие плоскость Оху в точках и . Тогда по теореме Фалеса точка Сz — середина отрезка АzВz.
Отсюда по формулам нахождения координат середины отрезка на плоскости
Чтобы найти координату z, нужно вместо плоскости Оху рассмотреть плоскость 0xz или Оуz.
Тогда и для z получим формулу, подобную вышеприведённой.
Аналогично, используя координаты концов A и B отрезка AB, по формулам
находят координаты точки Р(х1;у]; г,), делящей отрезок АВ в отношении X САР: РВ = X).
Доказательство: Для решения задачи используем признак параллелограмма: Четырёхугольник, точка пересечения диагоналей которого делит их пополам, является параллелограммом.
Координаты середины отрезка МК:
Координаты середины отрезка NL:
Координаты середин отрезков МК и NL равны. Это говорит о том, что отрезки пeрeсeкаются и в точке пeрeсeчeния делятся пополам. Следовательно, четырёхугольник MNLK — параллелограмм.
В переписке с известным целителем и математиком Абу Али ибн Сино Абу Райхон Беруни задаёт следующий вопрос: «Почему Аристотель и другие (философы) называют шесть сторон?»
Рассматривая шестисторонний куб, Беруни говорит о фигурах «с другим количеством сторон» и добавляет, что «шарообразные фигуры не имеют сторон.» А Ибн Сино отвечает, что «во всех случаях нужно считать, что сторон шесть, так как у каждой фигуры, независимо от её формы, есть три измерения — длина, глубина и ширина».
Здесь Ибн Сино имеет ввиду три координаты, именуемые условно «шесть сторон».
В произведении «Канон Масъуда» Беруни приводит точное математическое определение шести сторон: «Сторон шесть, так как они ограничивают движение фигур по своим измерениям. Измерений три: длина, ширина и глубина. А их в два раза больше самих измерений.»
В предыдущих книгах автор определяет положение небесных тел с помощью двух координат относительно небесной сферы — эклиптического уравнения. Либо через те же координаты, но относительно небесного экватора или горизонта. Однако при определении взаимного расположения звёзд и небесных светил придётся учитывать и случаи затмений. Вот в таких случаях появляется необходимость в третьей сферической координате. Эта необходимость привела Беруни к отказу от теории небесных координат.
Векторы в пространстве и действия над ними
Векторы в пространстве
Понятие вектора в пространстве вводят также как на плоскости.
Вектором в пространстве называют направленный отрезок. Основные понятия, относящиеся к векторам в пространстве, аналогичны этим понятиям на плоскости: длина (модуль), направление вектора, равенство векторов.
Координатами вектора с началом в точке А (х1; у1; z1) и концом в точке В (х1; у1; z1) называют числа , (рис. 17).
Приведем без доказательства свойства векторов, аналогичных свойствам на плоскости.
Также как на плоскости, соответствующие координаты равных векторов равны и, обратно, векторы с равными координатами равны.
Hа основании этого вектор можно обозначить как или или кратко (рис. 18).
Вектор можно записать и без координат (или ). В этой записи
на первом месте начало вектора, а на втором — конец.
Вектор с координатами, равными нулю, называют нулевым вектором и обозначают или , направление этого вектора не определено.
Если начало вектора расположено в начале координат О, а числа а1,
координатами вектора : (а1; а2; а3).
Однако вектор в пространстве с началом в точке К(с1; с2; с3) и концом в точке будет иметь те же координаты: .
Отсюда следует, что вектор можно приложить к любой точке пространства. В геометрии мы рассматриваем такие свободные векторы. Но в физике, обычно вектор связан с некоторой точкой. Например, воздействие силы приложенная к пружине F на рисунке 19 зависит от точки её приложения.
Длинной вектора называют длину направленного отрезка
изображающего его (рис. 17). Длину вектора записывают
так. Длина вектора , заданного координатами,
вычисляется по формуле .
Пример:
Даны точки А (2; 7;-3),В (1; 0; 3), С (-3;-4; 5) и D (-2; 3; -1). Какие из векторов и равны между собой?
Решение:
У равных векторов равны соответствующие координаты. Поэтому найдём координаты векторов:
Следовательно, .
Докажите самостоятельно, что
Действия над векторами в пространстве
Действия над векторами. Сложение векторов, умножение на число и их скалярное произведение определяется также как на плоскости.
Суммой векторов и (b1; b2; b3); называют вектор (рис. 20).
Пусть кран на рисунке 20.b движется вдоль вектора , а груз относительно крана вдоль вектора . В результате груз движется вдоль вектора . Поэтому из рисунка 20.с, на котором изображён сюжeт басни русского писателя И.А.Крылова, ясно, что герои басни не смогут сдвинуть телегу с места.
Свойства суммы векторов
Для любых векторов , и имеют место следующие свойства:
a) — переместительный закон сложения векторов;
b) — распределительный закон сложения.
Правило треугольника сложения векторов
Для любых точек А, В и С (рис. 21):
Правило параллелограмма сложения векторов
Если АВСD — параллелограмм (рис. 22), то
Правило многоугольника сложения векторов
Если точки А, В, С, D и Е — вершины многоугольника (рис. 23), то
Правило параллелепипеда сложения трёх векторов, не лежащих в одной плоскости. Если АВСDА1В1С1D1 параллелепипед (рис. 24), то
.
Вектор = (a1; a2; a3) — называют умножением вектора
(a1; a2; a3) на число (рис. 25). Свойства операции умножения вектора на число.
Для любых векторов и и чисел и
а);
b);
c) и направление вектора
совпадает с направлением вектора , если ,
противоположно направлению вектора , если .
Коллинеарные и компланарные векторы
Пусть заданы ненулевые векторы и . Если векторы
и сонаправлены или противоположно направлены,
то их называют коллинеарными векторами (рис. 26).
Свойство 1. Если для векторов и имеет место равенство , то они коллинеарны и наоборот.
Если , то векторы и сонаправлены , если, то
противоположно направлены .
Свойство 2. Если векторы (a1; a2; a3) и (b1; b2; b3) коллинеарны,
то их соответствующие координаты пропорциональны:
и наоборот.
Пример:
Найдите вектор с началом в точке А (1; 1; 1) и концом в точке В, лежащей в плоскости Оху, коллинеарный вектору ( 1; 2; 3).
Решение:
Пусть точка В имеет координаты В (х; у; z). Так как точка В лежит в плоскости Оху, то z=0. Тогда (х — 1 ;у — 1; — 1).
По условию задачи векторы (х — 1 ;у — 1; — 1) и (1, 2, 3) коллинеарны. Следовательно, их координаты пропорциональны.
Тогда получаем следующие пропорции .
Откуда находим , .
Итак,
Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях, называют компланарными векторами (рис. 27).
Векторы (1; 0; 0), (0; 1; 0) и (0; 0; 1) называют ортами (рис. 28).
Любой вектор можно единственным образом разложить по ортам, то есть представить в виде (рис. 29).
Точно также, если заданы три нeкомпланарных вектора и , то любой вектор можно единственным образом представить в виде:
.
Здесь некоторые действительные числа. Тогда говорят, что вектор разложен по заданным векторам.
Скалярное произведение векторов
Углом между ненулевыми векторами и называют угол между направленными отрезками векторов = и =, исходящих из точки О (рис. 30).
Угол между векторами и обозначают так .
Скалярным произведением векторов и называют произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.
Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение этих векторов равно нулю.
Скалярное произведение обозначают или . По определению (1)
Из определения следует, что если скалярное произведение векторов и равно нулю, то эти векторы перпендикулярны и наоборот.
В физике работа A, выполненная при движении тела на расстоянии , под воздействием силы (рис. 31), равна скалярному произведению силы на расстояние:
Свойство. Если и (b1; b2; b3), то () =
Доказательство. Приложим векторы и к началу
координат О (рис.32). Тогда = и = (b1; b2; b3).
Если векторы неколлинеарны, то получаем треугольник АВО , для которого справедлива теорема косинусов.
Тогда .
Однако, ,
и .
Следовательно,
.
Самостоятельно докажите, что и в случае, когда данные векторы коллинеарны , также выполняется
это равенство.
Свойства скалярного произведения векторов
1. — переместительное свойство.
2. — распределительное свойство.
3. — сочетательное свойство.
4.Если векторы а и b являются сонаправленными коллинеарными
векторами, то , так как соs 0° = 1.
5.Если же векторы противоположно направлены, то , так как cos l80° = -1.
6. .
7. Если вектор перпендикулярен вектору , то . Следствия: а) Длина вектора ; (1) b) косинус угла между векторами
: ; (2)
с) условие перпендикулярности векторов и
.
(3)
Пример:
— заданные точки. Найдите косинус угла между векторами .
Решение:
Найдём длины векторов :
,
.
,
.
Пример:
Найдите угол между векторами .
Решение:
Итак,
Пример:
Найдите , если , и угол между векторамии равен .
Решение:
Пример:
Найдите координаты и длины векторов 1); 2), если .
Решение:
Подставим в выражения искомых векторов разложения векторов и по координатам:
1)
. Следовательно,.
Тогда.
2)
.
Следовательно, .
Тогда
Пример:
Найдите произведение, если угол между векторами и равен 30° и , .
Решение:
Сначала найдём поизведение векторов и :
.
Затем перемножим заданные выражения как многочлены
и, пользуясь распределительным свойством умножения
вектора на число, получим:
.
Учитывая, что ,
найдём искомое произведение
Преобразование и подобие в пространстве
Геометрические преобразования в пространстве
Если каждую точку заданной в пространстве фигуры F изменить одним и тем же способом, то получим фигуру F1. Если при этом преобразовании различные точки первой фигуры переходят в различные точки второй, то говорят о преобразовании геометрической фигуры.
Если рассматривать все пространства как геометрическую фигуру, то также можно говорить о преобразовании геометрической фигуры.
Понятие геометрического преобразование в пространстве вводят также как на плоскости. Следовательно, свойства некоторых рассматриваeмых ниже видов преобразований и их доказательства также подобны соответствующим им на плоскости. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.
Движение и параллельный перенос
Преобразование фигур, при котором сохраняются расстояния между точками, называют движением. Можно привести следующие свойства движения. При движении прямая переходит в прямую, луч — в луч, отрезок — в равный ему отрезок, угол — в равный ему угол, треугольник — в равный ему треугольник, плоскость — в плоскость, тетраэдр — в равный ему тетраэдр.
В пространстве фигуры, которые можно перевести одну в другую при некотором движении называют равными фигурами.
Простейшим примером движения является параллельный перенос.
Пусть в пространстве даны вектор и произвольная точка Х
(рис. 44). Говорят, что точка Х перешла в точку X1 параллельным
переносом на вектор , если выполняется условие . Если каждую точку фигуры F сдвинуть на вектор при помощи параллельного переноса (рис. 45), то получим фигуру F1. Тогда говорят, что фигура F получена параллельным переносом фигуры F1 . При параллельном переносе каждая точка фигуры F сдвигается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.
Каждая точка подъёмного крана, изображённого на рисунке 46, параллельно перенесена на 40 м относительно начального положения.
Ясно, что параллельный перенос является движением. Поэтому прямая переходит в прямую, луч — в луч, плоскость — в плоскость,
Пусть точка фигуры F перешла в точку
фигуры F1 при помощи параллельного переноса
на вектор .
Тогда по определению получим:
или
.
Эти равенства называют формулами параллельного переноса.
Пример:
В какую точку перейдёт точка Р (-2; 4; 6) при параллельном переносе на вектор = (3; 2; 5)?
Решение:
По вышеприведённым формулам параллельного переноса: .
Ответ: .
Центральная симметрия в пространстве
Если в пространстве , то есть точка О — середина отрезка АА1 то точки А и А1 называют симметричными относительно точки О.
Если в пространстве каждая точка фигуры F переходит в точку, симметричную относительно точки О (рис. 47), то такое преобразование называют симметрией относительно точки О. На рисунках 48, 49 изображёны фигуры симметричные относительно точки О. Симметрия относительно точки является движением.
Если при симметрии относительно точки О фигура F переходит в себя, то её называют центрально симметричной фигурой.
Например, диагонали параллелепипеда (рис. 50) относительно их точки пересечения О являются центрально симметричными фигурами.
Пример:
В какую точку перейдет точка A = (1; 2; 3) при симметрии относительно точки О (2; 4; 6)?
Решение:
Пусть А1 = (х; у; z) — искомая точка. По определению точка
О — середина отрезка АА1. Следовательно,
Из этих уравнений получаем:
.
Ответ:
Симметрия относительно плоскости
Точки А и А1 называют симметричными относительно плоскости а,
если плоскость перпендикулярна отрезку и делит его пополам (рис. 51). Фигуры F1, и F2 на рисунке 52 симметричны относительно
плоскости а. Очевидно, что наш силуэт и его отражение симметричны относительно плоскости зеркала (рис. 53).
Симметрия относительно плоскости а является движением.
Поэтому при симметрии относительно плоскости а отрезок переходит в равный ему отрезок, прямая — в прямую, плоскость — в плоскость.
Если при симмeтрии относительно плоскости фигура F переходит в себя, то её называют фигурой симметричной относительно плоскости.
Например, изображённый на рисунке 54 куб, есть фигура, симметричная относительно плоскости а, проходящей через его диагонали АА1 и СС1.
Поворот и симметрия относительно оси
Пусть в пространстве заданы точки А и А1 и прямая l. Если перпендикуляры АК и А1К, опущенные на прямую l, равны и образуют угол , то говорят, что точка А перешла в точку А1 в результате поворота на угол относительно прямой l (рис. 55).
Если каждую точку фигуры F повернуть на угол относительно прямой l, то получим новую фигуру F1 . Тогда говорят, что фигура F перешла в фигуру F1 с помощью поворота на угол относительно прямой l. На рисунке 56 мы видим фигуры, полученные таким поворотом. Например, повернув куб, изображённый на рисунке 57, на 180° относительно прямой l, получим новый куб.
Поворот относительно прямой также является движением.
Поворот на 180° относительно прямой l называют симметрией относительно прямой l.
Центр, ось и плоскость симметрии называют элементами симметрии. Точки, симметричные точке А (х; у; z) относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат, будут иметь следующие координаты:
Симметрия в природе и технике
В природе на каждом шагу можно встретить симметрию.
Например, множество живых существ, в частности тела человека и животных, листья растений и цветы устроены симметрично (рис. 58). Также в неживой природе есть элементы, например, снежинки, кристаллы соли. Молекулярное строение веществ тоже состоит из симметричных фигур. Это, конечно, неспроста, поскольку симметричные фигуры не только красивы, но и самые устойчивые.
Раз так, то можно считать, что красота и совершенство природы построены на основе симметрии. Взяв за основу природную красоту и совершенство, строители, инженеры и архитекторы создают строения и механизмы, здания и сооружения, технику и транспортные средства симметричными. В этой работе им очень помогает наука геометрия.
Подобие пространственных фигур
Пусть и преобразование переводят фигуру F1, в фигуру F2. Если
при этом преобразовании для произвольных точек X1 и Х2 фигуры F1 и соответствующих им точек Y1 и Y2 фигуры , то это преобразование называют преобразованием подобия (рис. 59).
Как видим, понятие преобразования подобия в пространстве вводится также как на плоскости. Следовательно, рассматриваемые ниже виды подобия, их свойства и доказательства этих свойств подобны соответствующим на плоскости. Поэтому, мы не будем останавливаться на их доказательствах и рекомендуем провести их самостоятельно. Преобразование подобия в пространстве отображает прямую в прямую, луч в луч, отрезок в отрезок и угол в угол. Точно также это преобразование плоскость отображает в плоскость.
Если в пространстве одна из фигур перешла в другую с помощью преобразования подобия, то эти фигуры называют подобными.
Пусть в пространстве задана фигура F, точка О и число к . Преобразование, переводящее произвольную точку X фигуры F в точку Х1 удовлетворяющую условию , называют гомотетией относительно центра О с коэффициентом (рис. 61). Точку О называют центром гомотетии, а число коэффициентом гомотетии. Если в результате такого преобразования каждой точки фигуры F получена фигура F1 то говорят, что фигура F гомотетична фигуре F1.
Вы видите, что определение гомотетии в пространстве аналогично соответствующему определению на плоскости. Следовательно, все свойства и их доказательства аналогичны. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.
Гомотетия относительно точки О с коэффициентом является преобразованием подобия. Гомотетия с отличным от нуля коэффициентом при = 1 отображает фигуру F в себя, а при =-1 в фигуру F1 симметричную фигуре F относительно точки О. В остальных случаях гомотетии не сохраняет расстояния между точками, т. е. не является движением. В результате гомотетии расстояние между точками увеличивается в одно и тоже число раз, т. е. меняются измерения фигуры, но сохраняется её форма. При гомотетии а) прямая отображается в параллельную ей прямую (рис. 62.а); b) плоскость — в параллельную ей плоскость (рис. 62.b), если они не проходят через центр гомотетии.
Если же прямая или плоскость проходят через центр гомотетии, то они отображаются в себя.
Рекомендую подробно изучить предметы: |
|
Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Иррациональные числа
- Действительные числа
- Решение уравнений высших степеней
- Системы неравенств
- Уравнения и неравенства
- Уравнения и неравенства содержащие знак модуля
- Уравнение
- Метод математической индукции
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
http://www.sites.google.com/site/matematika1167/geometria/metod-koordinat-v-prostranstve-dvizenia/pramougolnaa-sistema-koordinat-v-prostranstve-koordinaty-vektora-svaz-mezdu-koordinatami-vektorov-i-koordinatami-tocek
http://www.evkova.org/sistema-koordinat-v-prostranstve