Ошибки младших школьников при решении уравнений

Работа над уравнениями в начальной школе
методическая разработка на тему

Методическая разработка «Работа над уравнениями в начальной школе» поможет учителям начальных классов в работе над уравнениями. Здесь же прилагаются алгоритмы по решению уравнений разного вида.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа N135″ имени академика Б.В.Литвинова»

Работа над уравнениями в начальной школе.

Подготовила учитель начальных классов:

Самойлова Анжелика Владимировна

Работа над уравнениями в начальной школе.

Большую трудность для младшего школьного возраста представляет умение решать уравнения. Изучение уравнений в начальной школе носит пропедевтический характер. Поэтому очень важно подготовить детей в начальной школе к более глубокому изучению уравнений в старших классах. В начальной школе в процессе работы над уравнением закрепляются правила о взаимосвязи части и целого, сторон прямоугольника с его площадью, формируются вычислительные навыки и понимание связи между компонентами действий, закрепляется порядок действий и формируется умения решать текстовые задачи, идет работа над развитием правильной математической речи. На уроках закрепления уравнения позволяют разнообразить виды заданий.

Изучение уравнений начинается с подготовительного этапа уже в 1 классе, когда дети, действуя с предметами, решают такие «задачи»:

Затем учащиеся переходят к действиям над числами и выполняют задания, связанные с нахождением неизвестного числа в «окошке», например:

Дети находят число либо подбором, либо на основе знаний состава числа. На данном этапе учителю необходимо включать в устные упражнения следующие задания:

— Сколько надо вычесть из 3, чтобы получилось 2?

— Сколько надо прибавить к 2, чтобы получилось 4?

На втором этапе учащиеся знакомятся с понятиями «уравнение» и «корень уравнения». На протяжении нескольких уроков дети учатся решать уравнения с неизвестным слагаемым, уменьшаемым, вычитаемым. Названия компонентов арифметических действий были введены в речевую практику учащихся и использовались для чтения равенств и выражений, пока правило нахождения неизвестного компонента в уравнениях не заучивается. Уравнения решаются на основе взаимосвязи между частью и целым. При изучении данной темы дети должны научиться находить в уравнениях компоненты,

соответствующие целому (сумма, уменьшаемое), и компоненты, соответствующие его частям (слагаемое, уменьшаемое, разность). При решении уравнений детям нужно будет вспомнить лишь два известных правила:

— Целое равно сумме частей.

— Чтобы найти часть, надо из целого вычесть другую часть.

Эту работу облегчает графическое обозначение части ______ и целого , а также понимание того, что целое – это большее число.

Для того чтобы облегчить работу над формированием навыка решения уравнений, можно проводить в классе следующую работу.

1. Составление и решение уравнений по схеме.

2. Составление и решение уравнений с помощью модели числа.

— Замените модели числами:

3. Уравнения с буквами.

— Как из волка получить вола ?

4. Составление и решение уравнений с помощью числового луча.

5. Выполни проверку и найди ошибку.

Дети решают: 24 + 8 = 16

6.Составиьуравнения с числами Х, 4, 10 и реши их.

Х + 4 = 10; 10 – Х = 4; Х – 10 = 4 и т.п.

7. Из данных уравнений реши те, где Х находится сложением.

Х +16 = 20; Х -18 = 30; 29 – Х = 19

8. Рассмотри решение уравнения и вставь соответствующий знак.

К концу изучения темы дети учатся комментировать уравнения через компоненты действий. Работа строится следующим образом:

1) читаю уравнение;

2) нахожу известные и неизвестные компоненты (части и целое);

3) применяю правило (по нахождению части или целого);

4) нахожу, чему равен Х;

5) комментирую через компоненты действий.

Следующий этап – решение уравнений вида: а ∙ Х = в; а : Х = в; Х : а = в .

Уравнения этого вида решаются на основе взаимосвязи между площадью прямоугольника и его сторонами. Поэтому изменяется и графическое обозначение компонентов уравнения:

— площадь прямоугольника, а _____ — его стороны. Здесь важно понять то, что обучение решению и комментированию уравнений ведется по определенной схеме:

1 этап: Решение с одновременным комментированием правил нахождения площади и его сторон. Например, Х : 2 = 5 ( Х – площадь прямоугольника, 2 и 5 – его стороны).

Х = 2 ∙ 5 (чтобы найти площадь прямоугольника, надо перемножить его стороны)

2 этап: Решение уравнений с комментированием(через площадь прямоугольника и его стороны).

Комментирование через компоненты действий после решения уравнения.

Для отработки навыков решения уравнений на умножение и деление можно использовать следующие упражнения.

1. Выполни проверку и найди ошибку.

Дети решают: 2 : 2 = 4

2. Проанализируй решение уравнения и найди ошибку.

Ошибки: 1) 9 – это площадь, на целое, ее надо обозначить прямоугольником;

2) Х – это сторона, надо площадь разделить на другую сторону.

3. Составь уравнения с числами 3, Х, 12 и реши их.

Дети составляют: 12 : Х = 3; 3 ∙ Х = 12 и т.п.

4. Изданных уравнений реши те, которые решаются делением.

Х ∙ 2 = 6; Х : 4 = 16; 12 : Х = 4

5. Рассмотри решение уравнений и вставь соответствующий знак в запись уравнения.

6. Составь и реши уравнение:

— Какое число надо умножить на пять, чтобы получилось 25?

Х ∙ 3 = 15; Х : 4 = 5; 16 : Х = 2

— Какое уравнение лишнее? Объясни свой выбор.

— первое уравнение – Х равен нечетному числу;

— второе уравнение – Х находим умножением;

— третье уравнение – неизвестен второй компонент и т.п.

Последний этап при работе с уравнениями в начальной школе – знакомство учащихся с составными уравнениями. Решение таких уравнений строится на качественном анализе выражения, стоящего в левой части уравнения: какие действия указаны в выражении, какое действие выполняется последним, как читается запись этого выражения, какому компоненту этого действия принадлежит неизвестное число и т.п. К этому времени учащиеся должны твердо овладеть следующими умениями:

— решение простых уравнений,

— анализ решений уравнений по компонентам действий,

— чтение записи выражений в два – три действия,

— порядок выполнения действий в выражениях со скобками и без них.

На данном этапе дети должны понимать, что в записи уравнений в качестве неизвестного числа могут использоваться различные буквы латинского алфавита, например: К + 4 = 3; Р – 3 = 8; Z : 7 = 6 и т.п.

Запись решения уравнений сопровождается словесным описанием выполняемых действий. Для выработки правильной математической речи и навыков решения первых уравнений данного вида необходимо использовать таблицы с образцами решений. Но так как дети уже с 1-го класса знакомы с записью различных алгоритмов, то можно использовать только алгоритм решения уравнений, по которому дети и анализируют уравнения.

Обучение младших школьников решению уравнений посредством дифференцированного подхода

Шелыгина О. Б. Каткова А. С.Обучение младших школьников решению уравнений посредством дифференцированного подхода// Концепт. –2015. –Спецвыпуск №27. –ART75367. –0,4п. л. –URL: http://ekoncept.ru/2015/75367.htm. –ISSN 2304120X. 1

Шелыгина Ольга Борисовна,

кандидат педагогических наук, доцент кафедры педагогики и методики дошкольного и начального образования ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Кировkaf_pmdno@vshu.kirov.ru

Каткова Александра Сергеевна,студентка ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Киров

Обучение младших школьников решению уравненийпосредством дифференцированного подхода

Аннотация. Статья посвящена вопросам реализации дифференцированного подхода к младшим школьникам в процессе обучения решению уравнений. Авторы предлагают различные приемы работы над уравнениями в зависимости от уровня обученности учеников, способствующие развитию мышления учащихся, их познавательного интереса. Методические приемы подкреплены примерами дифференцированных заданий по теме «Уравнения» для разных групп учащихся.Ключевые слова: обучение математике, обучение решению уравнений, младшие школьники, дифференцированный подход, разноуровневые задания.Раздел: (01) педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям).

Дети приходят в школу с различным уровнем обучаемости. Часто учителю приходится вести обучение применительно к среднему уровню развития и обучаемости детей. А.Н. Конев считал, что такой подход в обучении приводит к тому, что «сильные» ученики сдерживаются в своём развитии, теряют интерес к учебе, а «слабые» обречены на отставание. Те, кто относится к «средним», тоже имеют индивидуальные особенности, и даже для них такой подход неэффективен [1].Учителю необходимо создавать условия, чтобы каждый ученик учился в соответствии со своими возможностями и способностями, развивал свои индивидуальные особенности, стал субъектом учения. Одним из способов осуществления индивидуального подхода в образовании является дифференциация обучения.Дифференцированный подход ‬это способ организации учебного процесса, при котором для более эффективного обучения выявляются индивидуальнотипологические особенности учеников, на основе чего создаются группы учащихся. С учетом особенностей учащихся, в каждой группе применяются соответствующие формы, методы и приемы обучения. Дифференцированный подход необходимо осуществлять на разных дисциплинах. Математика, является одним из фундаментальных предметов начального школьного обучения. Важным разделом начального курса математики является алгебраический материал, в котором изучается одна из самых сложных тем для учащихся начальной школы «Уравнения». Сформированные умения решать уравнения в начальной школе‬основа для дальнейшего обучения в средней и старшей школе.Уравнение ‬математическое равенство, содержащее буквенное выражение с одной или несколькими переменными, верное только при определенных значениях этих переменных. Переменные, входящие в уравнение, называются неизвестными. Шелыгина О. Б. Каткова А. С.Обучение младших школьников решению уравнений посредством дифференцированного подхода// Концепт. –2015. –Спецвыпуск №27. –ART75367. –0,4п. л. –URL: http://ekoncept.ru/2015/75367.htm. –ISSN 2304120X. 2

Решить уравнение ‬значит найти все значения неизвестных, прикоторых запись обращается в верное равенство (или установить, что таких значений нет) [2].Обучение решению уравнений начинается с подготовительной работы уже в 1мклассе. Учащиеся выполняют задания, связанные с нахождением неизвестного числа в равенствес «окошечком», то есть работают с деформированными равенствами. Чаще всего дети находят число подбором. На следующем этапе младшие школьники знакомятся с понятием «уравнение», учатся выделять уравнения из других математических записей, так же вводится понятие «решение уравнения». На протяжении нескольких уроков дети учатся решать уравнения на нахождение неизвестных компонентов при сложении и вычитании. Не смотря на то, что названия компонентов и результатов арифметических действий известны учащимся, правила нахождения неизвестных чисел в уравнениях не заучиваются. Уравнения на данном этапе решаются на основе взаимосвязи между частью и целым. При изучении данной темы дети должны научиться находить в уравнениях компоненты, соответствующие целому (сумма, уменьшаемое), и компоненты, соответствующие его частям (слагаемое, вычитаемое, разность). На третьем этапе изучения темы дети учатся комментировать решение уравнений, используя правила взаимосвязи компонентов и результата соответствующего действия. Следующийэтап связан с введением новых арифметических действий ‬умножение и деление. Соответственно, в новых видах уравнений неизвестным может быть один из множителей, делимое или делитель. Уравнения этого вида могут быть решены на основе взаимосвязи между площадью прямоугольника и его сторонами или на основе правила нахождения неизвестных компонентов (см. таблицу).

Способы комментирования решения уравнения

Решение уравнения с комментированием на основе правила нахождения площади и его сторонРешение уравнения с комментированием на основе правила нахождения неизвестных компонентовХ :2= 5

Х‬площадь прямоугольника2‬ширина5‬длинаЧтобы найти площадь прямоугольника, надо длину умножить ширину Х= 5 • 2Х= 10Проверяю 10:2= 5, решено верно.Х : 2= 5Х ‬это делимое2 ‬делитель5 ‬частное Чтобы найти неизвестное делимое нужночастное умножить на делитель.Х= 5 • 2Х= 10Проверяю 10:2= 5, решено верно.

Последний этап при работе с уравнениями в начальной школе‬знакомство учащихся с составными уравнениями (буквенные выражения в составе уравнения состоят из нескольких действий). Решение таких уравнений основано на анализе выражения, содержащего неизвестное число. Анализ осуществляется по алгоритму: определи, какиедействия в выражении; найди действие, которое выполняется последним; назови, какому компоненту этого действия принадлежит неизвестное число; вспомни, как мы находим данный неизвестный компонент; найди его, и т.п. (данный алгоритм часто является циклическим). К этому времени учащиеся должны твердо овладеть следующими умениями:решение простых уравнений в одно действие,комментирование решений уравнений на основе взаимосвязи между компонентами и результатом действия,Шелыгина О. Б. Каткова А. С.Обучение младших школьников решению уравнений посредством дифференцированного подхода// Концепт. –2015. –Спецвыпуск №27. –ART75367. –0,4п. л. –URL: http://ekoncept.ru/2015/75367.htm. –ISSN 2304120X. 3

чтение выражений в два‬три действия,знание правил порядка выполнения действий в выражениях со скобками и без них, умение ими пользоваться при нахождении значений выражений.Чтобы знания учеников были качественными и прочными, мы считаем, что целесообразно данную тему изучать в процессе реализации дифференцированного подхода в обучении, чтобы каждый ученик смог справиться с тем минимумом, который необходим при усвоении учебного материала, а также дать возможность сильным учащимся интеллектуально развиваться. Для учеников с высоким уровнем обученности необходимо:1.Разрабатывать задания, в которых нужно помимо выполнения основных заданий сделать дополнительные задания.Например:1)Реши уравнения, в таблице поставь букву под получившимся ответом и узнаешь, какое озеро называют «жемчужиной планеты».Ж:8= 3Й ‬6= 5В+13= 52‬11Б + 15= 17(А + 3): 2= 2К ‬(6:3)= 1038 ‬Л= 25

2)Реши уравнения. Х:6= 1212:Х= 6Х • 6= 12Раздели их на две группы (найди разные варианты).Составь аналогичные уравнения.

3)Реши уравнения.Х:8= 810:Х= 10Х • 12= 12Чем они похожи? Чем отличаются? Попробуй вывести правила для двух уравнений. Будут ли исключения из правил? Докажи.

4)Реши уравнения.У+56= 100У ‬33= 8458 ‬У= 48Сейчас измени уравнения так, чтобы неизвестное число находилось противоположным действием. Какое составленное тобой уравнение отличается от остальных?

5)Реши уравнения.10• Х= 5015• Х= 7520• Х= 100Шелыгина О. Б. Каткова А. С.Обучение младших школьников решению уравнений посредством дифференцированного подхода// Концепт. –2015. –Спецвыпуск №27. –ART75367. –0,4п. л. –URL: http://ekoncept.ru/2015/75367.htm. –ISSN 2304120X. 4

25• Х= 125Найди закономерность. Составь и реши еще два уравнения.Придумай по аналогии свою цепочку уравнений.

6)Реши уравнения.(25 ‬Х):5= 4(49+Х):6= 9(Х+31):6= 614:(2+Х)= 2На какие две группы можно их разделить?Чем похожи уравнения?Составь свое уравнение с таким же ответом к каждой выделенной группе.

7)После решения уравнений предложить: найти сумму всех ответов, расположить ответы в порядке убывания (возрастания),разделить ответы на группы по какомулибо признаку и т.п.

2.Разрабатывать частичнопоисковые и творческие задания.Например:

1)Найди в словах числа, составь с числами уравнения и реши их: Х‬подвал= 34семья * Х= семьястриж + Х= сорокаХ : опять= 45

2)Догадайся, по какому принципу составлено первое уравнение. август ‬Х= июнь8 ‬Х= 6Х= 2Х= февраль На основе этого ‬реши уравнения:декабрь :Х= февраль2 • (август‬Х)= август(Х ‬март): март= мартПридумайте и решите аналогичные уравнения, используя дни недели.

3)Дан ряд цифр 3,5,7,9. Запиши и реши уравнения:а)если из неизвестного числа вычесть число, которое на 2 больше второго числа в ряду цифр, то получится последнее число в ряду (Х ‬7= 9).б)если к двузначному числу, в котором первая цифра ‬это вторая в ряду, а вторая цифра ‬это последняя цифра в ряду прибавить неизвестное число, то получится число, в котором первая цифра ‬это третья цифра в ряду, а вторая ‬первая цифра в ряду(59 + Х= 73).

4)Составь и реши уравнение: «Я загадала число. Прибавила к нему самое маленькое трехзначное число. Результат разделила на самое большое однозначное число. Получила число, которое меньше 13, больше 10, но не 11».

5)Дан ряд чисел (каждое число на 1 больше предыдущего): ¤, ∩, ↑, ᴥ,Шелыгина О. Б. Каткова А. С.Обучение младших школьников решению уравнений посредством дифференцированного подхода// Концепт. –2015. –Спецвыпуск №27. –ART75367. –0,4п. л. –URL: http://ekoncept.ru/2015/75367.htm. –ISSN 2304120X. 5

Реши уравнения со сказочными числами.¤+Х= ↑Х= ∩

6)Рассмотри решение уравнения и запиши первоначальное уравнение‬Х= 7•5Х= 43‬Х= 8

7)Составь и реши уравнения, в которых для нахождения корня уравнения нужно было умножить на двузначное число.8)Составьте и решите такие уравнения, чтобы можно было повторить вычитание многозначных чисел и переходом через разряд.9)Замени буквы числами (каждой букве соответствует ее порядковый номер в алфавите), составь и реши уравнения.ж + Х= мХ ‬в= кХ : г= и

10)Запишите слово ЛЕС с помощью чиселЕ+8= 16 С‬4= 10 14‬Л= 5

3.Привлекать учеников к ведениюфрагментов уроков, назначать командирами при групповой форме работы.4. Предлагать более трудные уравнения. Высокая трудность может быть за счет:усложнения числового материала,увеличения объема выполняемых заданий,увеличения количества объектов и действий с ними,более сложных вычислительных приемов.

Учащиеся со средним уровнем обученностипо теме «Уравнения» должны упражняться в решении уравнений. Необходимо предлагать достаточное количество репродуктивных упражнений для закрепления знаний и умений. Так же можно разнообразить деятельность, предложив задания вида: 1)Раздели уравнения в два столбика по определенному признаку. Реши их. Подумай, какие ещё признаки классификации могли получиться: 25 ‬Х= 10А + 34= 55(К‬5) ‬5= 10 Х + (17+17)= 55

2)Выбери и реши только те уравнения, в которых неизвестное находится делением: 49:Х= 7 Х • 6= 42 Р • 7= 28 45:Z= 9

3)Сделай прикидку. Выбери и реши только те уравнения, в которых неизвестное число двузначное44‬У= 22 19‬Х= 10 Х‬15= 15 У+12= 100 22‬Х= 15

4)Самолёт должен лететь на городами в определенном порядке (от большего числа к меньшему). Реши уравнения, подпиши города и составь маршрут самолёта. Шелыгина О. Б. Каткова А. С.Обучение младших школьников решению уравнений посредством дифференцированного подхода// Концепт. –2015. –Спецвыпуск №27. –ART75367. –0,4п. л. –URL: http://ekoncept.ru/2015/75367.htm. –ISSN 2304120X. 6

42+ Х= 5848 : Х= 6А ‬15= 146 • M= 30Р ‬(13‬3)= 25(К+8) ‬12= 8

16‬Москва8 ‬Ижевск29 ‬НижнийНовгород5 ‬СанктПетербург35 ‬Рязань 12 ‬Киров

5)Составь уравнения с числами 3, 12; 8, 32 и реши их.12 : Х= 3; 3 • Х= 12 32 : Х= 8; 8 • Х= 32

6)Рассмотри решение уравнений и вставь соответствующий знак в запись уравнения.Х ? 6= 24 Х?6= 24Х= 24 : 6 Х= 24•6

7)Составь и реши уравнение: «Какое число надо умножить на восемь, чтобы получилось 32?»

Для учащихся с низким уровнем усвоения учебного материаладолжны предлагаться репродуктивные задания на отработку материала. Если ученики не справляются и с этими заданиями, то необходимо оказать методическую направляющую помощь, предлагая задания следующего вида: 1.Реши уравнения по следующему образцу:35 ‬Х= 8Х= 35 ‬8 Х= 2735 ‬27= 88= 8

2.Соедини «подсказки»с уравнениями. Пользуясь найденными подсказками, реши уравнения.Чтобынайти неизвестное вычитаемое,нужно к значению разности прибавить уменьшаемое.

С • 9= 36Чтобы найти множитель,нужно значение произведения разделить на известный множитель.

72 ‬В= 31Чтобы найти второе слагаемое, нужно из значения суммы вычесть первое слагаемое.

64 + Х= 82Чтобы найти делимое, нужно значение частного умножить на делитель.

3.Дан необходимый теоретический материал. Шелыгина О. Б. Каткова А. С.Обучение младших школьников решению уравнений посредством дифференцированного подхода// Концепт. –2015. –Спецвыпуск №27. –ART75367. –0,4п. л. –URL: http://ekoncept.ru/2015/75367.htm. –ISSN 2304120X. 7

Составь и реши уравнения, если известно, что сумма получается при сложении, разность ‬при вычитании, произведение ‬при умножении, а частное ‬при делении.Если из неизвестного числа вычесть 20, то получится произведение чисел 9 и 6.Если к 15 прибавить неизвестное число, то получится частное 80 и 4Если неизвестное число умножить на 6, то получится сумма чисел 35 и 7

4.Пользуясь алгоритмом, реши уравнение (Х+3):8= 51)Определи по последнему действию, чем является выражение в левой части (суммой, произведением, разностью, частным)?2)Где находится Х? Как найти неизвестный компонент? Применяем правило.3)Упрощаем равенство (находим значение выражения)4)Называем компоненты.5)Решаем простое уравнение.6)Выполняем проверку.

5.Реши уравнения, пользуясь памяткой: «Чтобы найти целое надо сложить части. Чтобы найти часть надо из целого вычесть известную часть».

6.Продолжитерешение уравнений.80+Х= 100 Х ‬200= 220Х= …‬… Х= … + …

7.Даны подготовительные задания.Х‬38= 38 (Х+5)‬45= 45

8.Предварительное решение уравнений на «маленьких числах».Х‬7= 8 8‬Х= 6Х‬25= 54 64‬Х= 20Х‬344= 485205‬Х= 140

9.Приучение к самоконтролю.1)Проанализируй решения уравнений и найди ошибки. Что нужно всегда делать, что бы ошибки не допускать?Х : 2= 4 Х:5= 15 Х•8= 8 Х:10= 20Х= 4 : 2 Х= 15•5 Х= 8:8 Х= 20:10Х= 2 Х= 80 Х= 1 Х= 22)Сделай прикидку, а потом реши уравнение (из какого числа нужно вычесть двадцать, чтобы получилось сто?)Х‬20= 1003)Найди правильно решенное уравнение. Докажи его правильность.Х:5= 10 Х:5= 10Х:5= 10Х= 10:5 Х= 10+5 Х= 10•5Х= 2 Х= 15 Х= 50

Данные виды заданий представляют собой методическую помощь ученикам, благодаря которой учащиеся с низким уровнем обученности смогут правильно решать уравнения и со временем догнать более «сильных» учеников. Необходимо заметить, что количество методической направляющей помощи необходимо постепенно сокращать по мере продвижения учеников (дети должны понимать, что учитель не будет помогать им все время), заменяя ее на стимулирующую помощь.

Шелыгина О. Б. Каткова А. С.Обучение младших школьников решению уравнений посредством дифференцированного подхода// Концепт. –2015. –Спецвыпуск №27. –ART75367. –0,4п. л. –URL: http://ekoncept.ru/2015/75367.htm. –ISSN 2304120X. 8

Таким образом, дифференцированный подход в обучении является эффективной формой организации учебного процесса в начальной школе на уроках математики. Для организации данного подхода необходимо подразделять класс на три группы, внутри каждой из которой будутобъединены дети с одинаковым уровнем усвоения учебного материала. Каждой группе нужно давать задания того уровня, которому соответствуют интеллектуальные возможности детей. В результате нашего исследования и внедрения в процесс обучения разработанных заданий для разных групп учащихся мы пришли к выводу, что дифференцированный подход к младшим школьникам на уроках математики в процессе обучения решению уравнений является удобной и эффективной формой организации учебного процесса. При дифференцированном подходе каждый ребёнок в классе может развивать свои знаний и умения, а тот, кто не уверен в них, может справиться с выполнением задания, используя методическую помощь.

Ссылки на источники1.Бекаревич А. Б. Уравнения в школьном курсе математики. ‬М., 2000.

2.Конев А.Н. Индивидуальнотипологические особенности младших школьников как основа дифференцированного обучения.‬М., 1998.

Ph.D., Assistant Professor of pedagogy and methodology of preschool and primary education,Vyatka State University of Humanities, Kirovkaf_pmdno@vshu.kirov.ruAlexandra Katkova,Student,Vyatka State University of Humanities, KirovTraining of younger schoolboys the solution of equations through a differentiated approachAbstract. The article is devoted to the implementation of the differentiated approach to the younger students in the learning process solving equations. The authors suggest different methods work on equations, depending on the level of training of students, contributing to the development ofstudents’ thinking, their cognitive interest. Teaching methods are supported by examples of differentiated tasks on «equations» for different groups of students.Keywords: teaching mathematics, teaching solving equations, junior high school students, a differentiated approach, multilevel task.

Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»

Поступила в редакциюReceived03.11.15Получена положительная рецензияReceived a positive review05.11.15ПринятакпубликацииAccepted for publication05.11.15ОпубликованаPublished11.11.15

Статья. Проблемы, типичные ошибки учащихся, допускаемые при решении уравнений и неравенств.

Задание «Проблемы, типичные ошибки учащихся»

Вспоминается расхожая истина – умные люди учатся на чужих ошибках. В математике приходится учиться, в основном, на собственных ошибках. Если ученик не ошибается, то он не учится. Ошибка – вещь необходимая и полезная. Нужно лишь правильно относиться к ошибке, правильно ее использовать.

Обидно получать плохие оценки из-за ошибок «на ровном месте». Глупые ошибки – проблема многих учеников: случайная потеря знака, скобки, необоснованное изменение чисел, пропуски переменных и всевозможные ляпы. Сами ученики порой не могут объяснить, чем вызваны эти ошибки.

Решая уравнения и неравенства учащиеся допускают типичные ошибки:

· Незнание правил, определений, формул.

· Непонимание правил, определений, формул.

· Неумение применять правила, определения, формулы.

· Неверное применение формул.

· Невнимательное чтение условия и вопроса задания.

· Раскрытие скобок и применение формул сокращенного умножения.

Какие же проблемы, трудности общего характера возникают у учащихся при изучении математики ( их несомненно можно отнести и к трудностям, которые возникают у уч-ся при изучении темы «Уравнения и неравенства»):

· Пропуски занятий приводят к незнанию материала, пробелам в знаниях.

· Поверхностное, невдумчивое восприятие нового материала приводят к непониманию его.

· Недостаточная мозговая деятельность приводит к неумению применять правила, определения и формулы .

· Неряшливый, неаккуратный почерк ученика приводит к досадным ошибкам . Учащиеся не всегда сами понимают, что именно они написали.

· Усталость . Чрезмерная нагрузка и недостаточный сон приводит к снижению внимания, скорости мышления и, как следствие, к многочисленным ошибкам.

· Кратковременное или полное переключение внимания с одной деятельности на другую (учебную или внеучебную) приводит к утрате только что воспринятого материала, приходится все начинать сначала.

· Скорость работы. Низкая скорость выполнения мыслительных операций часто мешает ученику контролировать себя и это может стать еще одной причиной ошибки. «Зависание» с какой-нибудь одной частью задания удаляет из «оперативной памяти» информацию о другой, в которой допускается не вынужденная ошибка. Скорость работы определяется физиологией конкретного школьника и навыками выполнения тех или иных операций.

· Мотивация. Следствие низкой мотивации – потеря внимания и ошибка.

Ошибки, допускаемые обучающимися при решении уравнений и неравенств, самые разнообразные: от неверного оформления решения до ошибок логического характера.

1. Самая типичная ошибка состоит в том, что учащиеся при решении уравнений и неравенств без дополнительных пояснений используют преобразования, нарушающие равносильность, что приводит к потере корней и появлению посторонних корней.

Предлагаю на конкретных примерах рассмотреть ошибки подобного рода и определить способы их предупреждения и исправления, но прежде всего хочу обратить внимание на следующую мысль: не надо бояться приобрести посторонние корни, их можно отбросить путем проверки ,надо бояться потерять корни.

а) Решить уравнение:

log3(5 – x) = 3 – log3(–1 – x).

Это уравнение учащиеся очень часто решают следующим образом.

log3(5 – x) = 3 – log3(–1 – x), log3(5 – x) + log3(–1 – x) = 3, log3((5 – x)( –1 – x)) = 3, (5 – x)( –1 – x) = 33, x2 – 4x – 32 = 0,

Учащиеся часто, не проводя дополнительных рассуждений, записывают оба числа в ответ. Но как показывает проверка, число x = 8 не является корнем исходного уравнения, так как при x = 8 левая и правая части уравнения теряют смысл. Проверка показывает, что число x = –4 является корнем заданного уравнения.

б) Решить уравнение

Область определения исходного уравнения задается системой

Для решения заданного уравнения перейдем к логарифму по основанию x, получим

Мы видим, что левая и правая части этого последнего уравнения при x = 1 не определены, но это число является корнем исходного уравнения (убедиться в этом можно путем непосредственной подстановки). Таким образом, формальный переход к новому основанию привел к потере корня. Чтобы избежать потери корня x = 1, следует указать, что новое основание должно быть положительным числом, отличным от единицы, и рассмотреть отдельно случай x = 1.

2. Целая группа ошибок, вернее сказать недочетов, состоит в том, что учащиеся не уделяют должного внимания нахождению области определения уравнений, хотя именно она в ряде случаев есть ключ к решению.

3. Типичной ошибкой учащихся является то, что они не владеют на нужном уровне определениями понятий, формулами, формулировками теорем, алгоритмами. Хочу подтвердить сказанное следующим примером.

Ученик предлагает следующее ошибочное решение этого уравнения:

х = –2.

Поверка показывает, что х = –2 не является корнем исходного уравнения.

Напрашивается вывод, что заданное уравнение корней не имеет.

Однако это не так. Выполнив подстановку х = –4 в заданное уравнение, мы можем убедиться, что это корень.

Предлагаю проанализировать, почему произошла потеря корня.

В исходном уравнении выражения х и х + 3 могут быть одновременно оба отрицательными или оба положительными, но при переходе к уравнению эти же выражения могут быть только положительными. Следовательно, произошло сужение области определения, что и привело к потере корней.

Чтобы избежать потери корня, можно поступить следующим образом: перейти в исходном уравнении от логарифма суммы к логарифму произведения. Возможно в этом случае появление посторонних корней, но от них, путем подстановки, можно освободиться.

4. Многие ошибки, допускаемые при решении уравнений и неравенств, являются следствием того, что учащиеся очень часто пытаются решать задачи по шаблону, то есть привычным путем. Предлагаю рассмотреть это на следующем примере.

Попытка решать это неравенство привычными алгоритмическими способами не приведет к ответу. Решение здесь должно состоять в оценке значений каждого слагаемого левой части неравенства на области определения неравенства.

Найдем область определения неравенства:

Для всех x из промежутка (9;10] выражение имеет положительные значения (значения показательной функции всегда положительны).

Для всех x из промежутка (9;10] выражение ( x – 9) имеет положительные значения, а выражение lg(x – 9) имеет значения отрицательные или ноль, тогда выражение

– (x – 9) lg(x – 9) положительно или равно нулю.

Окончательно имеем x ∈ (9;10]. Хочу заметить, что при таких значениях переменной каждое слагаемое, стоящее в левой части неравенства, положительно (второе слагаемое может быть равно нулю), а значит их сумма всегда больше нуля. Следовательно, решением исходного неравенства является промежуток (9;10].

5. Одна из ошибок связана с графическим решением уравнений.

Некоторые учащиеся, решая это уравнение графически (хочу отметить, что его другими элементарными способами решить нельзя), получают лишь один корень (он является абсциссой точки, лежащей на прямой y = x), ибо графики функций

и −

это графики взаимно обратных функций.

На самом деле исходное уравнение имеет три корня: один из них является абсциссой точки, лежащей на биссектрисе первого координатного угла y = x, другой корень и третий корень Убедиться в справедливости сказанного можно непосредственной подстановкой чисел и в заданное уравнение.

Этот пример удачно иллюстрирует следующий вывод: графическое решение уравнения f(x) = g(x) “безупречно”, если обе функции «разномонотонны» (одна из них возрастает, а другая – убывает), и недостаточно математически корректно в случае одномонотонных функций (обе либо одновременно убывают, либо одновременно возрастают).

6. Ряд типичных ошибок связан с тем, что учащиеся не совсем корректно решают уравнения и неравенства на основе функционального подхода. Остановлюсь на типичных ошибки такого рода.

а) Решить уравнение x х = x.

Функция, стоящая в левой части уравнения, – показательно-степенная и раз так, то на основание степени следует наложить такие ограничения: x > 0, x ≠ 1. Прологарифмируем обе части заданного уравнения:

или

Откуда имеем x = 1.

Логарифмирование не привело к сужению области определения исходного уравнения. Но тем не менее произошла потеря двух корней уравнения; непосредственным усмотрением мы находим, что x = 1 и x = –1 являются корнями исходного уравнения.

7. При решении неравенств с помощью подстановки мы всегда сначала решаем новое неравенство относительно новой переменной, и лишь в его решении делаем переход к старой переменной.

Школьники очень часто ошибочно делают обратный переход раньше.Этого делать не следует.

8.Хочу привести пример еще одной ошибки, связанной с решением неравенств.

.

Привожу ошибочное решение, которое очень часто предлагают учащиеся.

Возведем обе части исходного неравенства в квадрат. Будем иметь:

,

откуда получаем неверное числовое неравенство , что позволяет сделать вывод: заданное неравенство не имеет решений.

Однако полученный вывод неверен, например, при х = 1000 имеем

, , .

Полученное числовое неравенство верно, а значит х = 1000 является решением.

Значит, заданное неравенство имеет решение, и, следовательно, приведенное выше решение ошибочно.

Привожу правильное решение. Найдем область определения исходного неравенства. Она задается системой

или

откуда .

Ясно, что на интервале (10;1000) нет решений, ибо левая часть заданного неравенства при любом х из этого интервала не имеет смысла.

Рассмотрим два случая.

а) , откуда х > 100. С учетом области определения исходного неравенства имеем промежуток . Для всех х из этого промежутка левая часть исходного неравенства неотрицательна (как значение арифметического квадратного корня), а правая часть – отрицательна. Делаем вывод о том, что – решение заданного неравенства.

б) , откуда . С учетом области определения исходного неравенства имеем промежуток . Для всех х из промежутка имеют смысл обе части неравенства и они имеют неотрицательные значения, значит обе части заданного неравенства мы можем возвести в квадрат. Будем иметь: , откуда . Это неверное числовое неравенство позволяет сделать вывод: значения х из промежутка решениями исходного неравенства не являются.

Ответ: .

9. Типичная ошибка при решении уравнений, неравенств и их систем состоит в том, что неверно преобразовываются выражения.

Большинство ошибок напрямую не связаны с наличием или отсутствием знаний, хотя доведение некоторых вычислительных операций до автоматизма несколько снижает вероятность их появления.

Необходимо осуществлять процесс обучения правилам с помощью специальной модели с использованием приема, активизирующего рефлексивную деятельность учащихся по предупреждению и исправлению ошибок, которые возникают в результате формального усвоения правил.

Самостоятельная работа учащихся над ошибками обеспечивает более осознанный их анализ и анализ собственных действий по решению конкретной задачи, что оказывает благоприятное влияние на качество получаемых знаний и стимулирует развитие логического мышления.

Пример неосознанного применения алгоритма: получив уравнение sin x = 1,2, ученик автоматически ищет его корни по хорошо известной формуле, не обращая внимания на недопустимые значения sin x .

Для исправления и предупреждения многих ошибок важно сформировать у школьников навыки самоконтроля. Выработке навыков самоконтроля помогает и приём приближённой оценки ожидаемого результата.

Каждый учитель знает, что планомерное и систематическое повторение и есть основной помощник в ликвидации пробелов, а, следовательно, и ошибок.

Систематические проверки чужих записей формируют у ученика привычку критически относиться к своему решению. Для этого подходят задания типа «найди ошибку в решении». Процесс отыскания и исправления ошибок самими учащимися под руководством учителя можно сделать поучительным для учащихся.

Для исправления и предупреждения многих ошибок важно сформировать у школьников навыки самоконтроля. Эти навыки состоят из двух частей:

а) умения обнаружить ошибку;

б) умения её объяснить и исправить.

В процессе обучения применяются несколько приёмов самоконтроля, которые помогают обнаружить допущенные ошибки и своевременно их исправить. К ним относятся:

· проверка вычисления и тождественного преобразования путём выполнения обратного действия или преобразования;

· проверка правильности решения задач путём составления и решения задач, обратных к данной;

· оценка результата решения задачи с точки зрения здравого смысла;

· проверка аналитического решения графическим способом.

Способы исправления и предупреждения ошибок

Свести ошибки к минимуму способствуют следующие профилактические меры:

• Тексты письменных заданий должны быть удобными для восприятия: грамотно сформулированными, хорошо читаемыми.
• Активная устная отработка основных ЗУН, регулярный разбор типичных ошибок.
• При объяснении нового материала предугадать ошибку и подобрать систему заданий на отработку правильного усвоения понятия. Акцентировать внимание на каждом элементе формулы, выполнение разнотипных заданий позволит свести ошибочность к минимуму.
• Подбирать задания, вызывающие интерес, формирующие устойчивое внимание.
• Прочному усвоению (а значит, отсутствию ошибок) способствуют правила, удобные для запоминания, четкие алгоритмы, следуя которым заведомо придешь к намеченной цели.

Каждый учитель знает, что планомерное и систематическое повторение и есть основной помощник в ликвидации пробелов, а, следовательно, и ошибок. В математике, как ни в какой другой науке, особенно сильна взаимосвязь материала. Изучение и понимание последующего невозможно без знания предыдущего, отсюда неизбежность повторения на каждом уроке. При объяснении нового материала следует использовать ряд определений и теорем, которые были изучены ранее.