Ошибки в логарифмических уравнениях и неравенствах

Конспект урока по теме «О типичных ошибках при решении логарифмических уравнений и неравенств»
план-конспект урока по алгебре (11 класс)

Даннная разработка может быть интересна для учителей, которые хотят обратить внимание учащихся на типичные ошибки при решении логарифмических уравненияхи неравенств.

Скачать:

Предварительный просмотр:

План-конспект урока на тему «О типичных ошибках при решении логарифмических уравнений и неравенств».

Автор: Семёнов Илья Владимирович,
учитель ГАОУ РМЭ «Лицей Бауманский».

Цель урока: показать стандартные ошибки при решении логарифмических уравнений и неравенств с целью их предотвращения.

— образовательная: научить учащихся решать сложные логарифмические уравнения и неравенства рациональным способом, при этом правильно применять свойства логарифма;

— развивающая: развитие умения составлять алгоритмические предписания и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом, развить навык рационального способа решения задач, развивать творческое мышление;

— воспитательная: воспитать культуру оформления сложных логарифмических уравнений и неравенств, культуру графической иллюстрации, самостоятельность, внимательность, умение работать в коллективе, умение вести диспут.

Тип урока: комбинированный урок.

Метод преподавания: словесный, объяснительно-иллюстративный.

Требования к учащимся:

1. учащиеся должны знать: определение логарифма, его свойства; формулу перехода к новому основанию; особенности решения логарифмических неравенств по разному основанию; метод рационализации;
2. учащиеся должны уметь: решать дробно-рациональные неравенства, использовать метод интервалов.

Оборудование: мел, доска.

Формы работы: фронтальная, индивидуальна, групповая.

1. Организационная часть урока.

Проверка учащихся и класса к уроку: наличие учебников и тетрадей, тишина в классе, чистота доски и влажность губки. Приветствие учащихся.

1. Основная часть. Первичное закрепление.

Данный урок проводится после проведения входного контрольной работы. На основе проанализированных результатов (ошибок учащихся), а так же научных статей мы постарались выявить основные ошибки при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Опишем основные из них:

А) Игнорирование модуля при вынесении четной степени из подлогарифмического выражения;

Б) Вынесение степени из подлогарифмического выражения, когда логарифм в какой-либо степени ( ;

В) Переменное основание (учащиеся решают логарифмические уравнения и неравенства по алгоритму, шаблонно, при этом имея скудный багаж решенных задач. По этой причине допускаются ошибки при решении логарифмического неравенства по основанию );

Г) Забывают сделать отбор корней через О.Д.З.;

Д) Хоть и не относится к логарифмическим уравнениям и неравенствам, но является частым следствием их решения решение дробно-рациональных неравенств, т.е. полное игнорирование знаменателя дроби при их решении;

Е) Нет четкой картины при использование метода интервалов;

Ж) Нет знаний элементарных функций, а в следствии и не могут верно накладывать ограничения при решении логарифмических уравнений и неравенств;

З) Неверное разложение логарифмических выражений:

И) Решая логарифмические неравенства методом замены не могут верно вернуться к введенной замене;

Й) Не видят разницы между системой и совокупностью, а в следствии не могут верно использовать равносильный переход и переход к введенной замене.

Постараемся учесть все замечания, изложенные выше и акцентировать на них внимание при решении данных проблем.

Учащимся предлагается решить логарифмические неравенства:

Начнем с первого неравенства:

Разложив первое неравенство системы на линейные множители получаем: . Данные неравенство равносильны друг другу. Решением данной системы является промежуток

Переходим к решению логарифмического неравенства6

Разложив подлогарифмическое выражение на линейные множители получаем: .

С данного шага надо дать возможность учащимся самим выбрать путь решения:

С данного шага стоит уточнить порядок действий

А) можно использовать определение логарифма и перейти к выражению . В итоге мы получили сложное выражение, с которым сложно справиться.

Б) можно вынести четную степени из подлогарифмического выражения и получится выражение: . Главное в данном шаге это то, что при вынесении четной степени из подлогарифмичесокго выражения влечет то, что появляется модуль. На этом надо сделать акцент при объяснении материала.

Используя определение логарифма получаем: .

По определению модуля получаем двойное неравенство:

Осталось найти пересечение множеств решения логарифмического неравенства с О.Д.З.: Решением данной системы является промежуток:

2 способ. Через разложение логарифма.

Приведем лишь рекомендации к решению. Используя формулы:
—

получаем следующее выражение:

Далее, решение логарифмического неравенства аналогично первому способу.

3 способ. Метод рационализации.

Объяснение по усмотрению учителя и в зависимости от профиля обучения. Так же в зависимости от доступного времени.

Переходим к решению второго неравенства.

Учащимся предлагается решать данное неравенство самостоятельно, а учитель указывает только ответ. Ответ: . На решение выделяется около 5-7 минут.

Вероятнее всего учащиеся не придут к верному ответу. Учащиеся зададутся, верен ли ответ, данный учителем. И вывод заключается в следующем – учащиеся, что то не учли. Может быть, кто-то дойдет до проблемы, если нет, то учитель объяснит сам.

О.Д.З.: Решение системы:

Проблема заключается в следующем – не учитывается то, что логарифм находится в квадрате (и не забываем что выносим четную степень), т.е.

Так как неравенство определено на множестве положительных чисел (по О.Д.З.), то модуль можно раскрывать с положительным значением.

Данное логарифмическое неравенство не сложно решить методом замены. Введем замену: .

Стоит спросить учащихся, а стоит ли накладывать ограничения на

Часто учащиеся не могут верно ответить на данный вопрос, потому что не имеют четкого представления о элементарных функция.

Как стоит поступить в данном случае? Стоит спросить учащихся, чем является ? А это то, в какую степень возводят основание логарифма и получают подлогарифмическое выражение, а степень определена на множестве действительных чисел.

Разложив данное квадратное выражение на линейные множители получаем:

Главная проблема заключается в следующем: учащиеся находят корни квадратного выражения и бездумно возвращаются к подстановке не дорешав неравенство с введенной заменой. Стоит акцентировать внимание, что надо дорешать наше неравенство относительно .

Следующая проблема — учащиеся не могут перейти к введенной замене.

Стоит сделать следующее – спросить учащихся как представить промежуток через двойное неравенство. Ответ:

Далее задать вопрос – как данное двойное неравенство представить через систему или совокупность: И только с данного шага можно вернуться к подстановке:

Стоит спросить учащихся, какие условия есть для решения логарифмического неравенства по определению. Речь идет о том, что если , то знак неравенства сохраняется без изменений, если же то необходимо поменять знак на противоположный.

Решением данной системы является промежуток: .

Осталось объединить решение логарифмического неравенства с О.Д.З.: . Решением данной системы является промежуток: .

Так же данное неравенство можно решить методом рационализации.

1. Информация о домашнем задании.

На усмотрение учителя.

На данном уроке мы постарались уделить внимание основным ошибкам при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Учитель спрашивает, полезна ли была данная информация для учащихся, весь ли материл был доступен и понятен. Есть ли у учащихся вопросы?

math4school.ru

Ошибки в неравенствах

Неравенства по праву считаются одним из самых трудных разделов школьной математики, и при их решении допускается наибольшее количество ошибок. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся из них.

Некоторые общие ошибки

Указать наименьшее целое решение неравенства:

х ∈ (4; +∞) , наименьшее целое число 4 .

х ∈ (4; +∞) , наименьшее целое число 5 .

Ответ: если a и b положительные, то a > b ; если a и b отрицательные , то a

Ошибки в квадратных неравенствах

Квадратные ( квадратичные ) неравенства – неравенства вида

часто решаются разложением левой части на линейные множители , то есть

где x₁ и x₂ – корни квадратного трехчлена aх 2 + bx +c . Это возможно сделать, когда корни квадратного трехчлена являются действительными числами. Однако в некоторых случаях при решении неравенств этим способом можно легко прийти к неверному заключению.

Неравенство (х + 3) 2 ≥ 0 выполняется для всех значений х , значит х – любое число.

Неравенство (х– 2) 2 > 0 выполняется для всех значений х , значит х – любое число.

При х = 2 (х– 2) 2 = 0 , значит,

(х + 5) 2 ≤ 0 – решений нет.

Неравенство (х + 5) 2 ≤ 0 выполняется при единственном значении х = –5.

Так как D = 1 2 – 2·2 = –3 ,

Так как старший коэффициент положительный и D , то при любом значении х левая часть неравенства положительна.

Комментарий. Необходимо помнить, что, вообще говоря, нельзя извлекать корень из обеих частей неравенства.

Ошибки в дробно-рациональных неравенствах

Нередко ошибки появляются при сведении неравенств к системе неравенств, совокупности неравенств или совокупности систем неравенств .

K Упражнение. Решить неравенство \(\large \frac>0.\)

L Неправильное решение.

Комментарий . Дробь может быть положительной в двух случаях: когда числитель и знаменатель одновременно положительны, и когда числитель и знаменатель отрицательны.

J Правильное решение.

\(\left[\begin \begin x + 6 > 0, \\ x > 0, \end\\ \begin x + 6 — 6,\\ x > 0, \end\\ \begin x 0,\;\;\\ x

Часто учащиеся допускают ошибки при умножении неравенства на знаменатель , который не имеет определенного знака при любых значениях переменной.

K Упражнение 1. Решить неравенство \(\large \frac<2x+3>>1.\)

L Неправильное решение.

Комментарий . Нельзя умножать обе части неравенства на знаменатель, который содержит неизвестное, если заранее не известен его знак. Если же вы все-таки не можете обойтись без умножения, то нужно рассматривать два варианта:

J Правильное решение.

Рассмотрим один из возможных способов решения данного неравенства:

\(\left[\begin \begin 2 x + 3 > x — 1, \\ x — 1 > 0, \end\\ \begin 2 x + 3 — 4,\\ x > 1, \end\\ \begin x 1,\;\;\\ x

K Упражнение 2. Решить неравенство \(\large \frac<4-x^2>>0.\)

L Неправильное решение.

J Правильное решение.

Так как дробь больше нуля, и числитель принимает положительные значения для любого допустимого значения х , то

K Упражнение 3. Решить неравенство 1 /_x ≥ 2 .

L Неправильное решение.

J Правильное решение.

Так как обе части неравенства представлены стандартными функциями, то легко использовать графические метод решения неравенства:

Очевидно, что значения функции у = 1 /_x достигают 2 и более при х ∈ (0; 1 /₂ ] .

Отметим, что в неравенствах, содержащих переменную в знаменателе, нельзя избавляться от знаменателя даже в том случае, если выписана область допустимых значений. Исключение могут составлять только особые виды неравенств, в которых знаменатель положителен для любых значений переменной. Как, например, \(\large \frac<4+x^2>>0\), которое, очевидно, равносильно неравенству х 2 – 81 > 0 , полученному из первого умножением на положительное число 4 + х 2 .

Ошибки при использовании метода интервалов

Рассмотрим типичные ошибки, возникающие при решении неравенств с применением метода интервалов .

K Упражнение 1. Решить неравенство х (х – 6) (х + 1) ≥ 0 .

L Неправильное решение.

Комментарий . В данном решении не учтено, что сравнивается с нулем произведение трех множителей, а не двух. Таким образом, получаются не три интервала, а четыре.

J Правильное решение.

K Упражнение 2. Решить неравенство (х– 5) (х + 3) (2 – х) ≥ 0 .

L Неправильное решение.

Комментарий . В данном примере знаки в интервалах проставлены неверно. Часто учащиеся не задумываясь проставляют знаки, чередуя их справа налево, начиная со знака +.

J Правильное решение.

Числовая ось с проставленными знаками на промежутках должна выглядеть в данном случае следующим образом:

K Упражнение 3. Решить неравенство

L Неправильное решение.

Комментарий . В дробно-рациональных неравенствах нули знаменателя на числовую ось наносятся пустыми ( выколотыми ) точками , и это не зависит от строгости неравенства.

J Правильное решение.

K Упражнение 4. Решить неравенство (х – 5) (х + 3) 2 ≤ 0 .

L Неправильное решение.

Комментарий . В данном упражнении знаки на интервалах проставлены неверно, так как при переходе через корень четной кратности знак не меняется .

J Правильное решение.

K Упражнение 5. Решить неравенство (х – 1) (х – 10) 2 > 0 .

L Неправильное решение.

Комментарий . При записи ответа к данному неравенству не учтено то, что в точке х = 10 левая часть неравенства обращается в ноль, что не соответствует знаку данного неравенства.

J Правильный ответ: х ∈ (1; 10)∪(10; +∞) .

K Упражнение 6. Решить неравенство (х – 5) 2 (х + 3) ≤ 0 .

L Неправильное решение.

Комментарий . При решении данного неравенства потеряно одно решение. При х = 5 левая часть неравенства обращается в ноль, что тоже удовлетворяет данному неравенству.

J Правильный ответ: х ∈ (–∞; –3]∪<5>.

Ошибки в иррациональных неравенствах

Самый распространенный вид ошибок при решении иррациональных неравенств связан с тем, что учащимися не учитывается область допустимых значений неизвестного для корня четной степени .

K Упражнение. Решить неравенство √ x – 5 .

L Неправильное решение.

Комментарий . Неравенство имеет смысл лишь при x – 5 ≥ 0 .

J Правильное решение.

Нередко учащиеся не учитывают ограничения, которые накладываются на выражения, стоящие вне знака корня четной степени и содержащие неизвестную величину.

K Упражнение 1. Решить неравенство √ 4x + 21 ≤ x + 4 .

L Неправильное решение.

\(\begin 4x+21\leq (x+4)^2,\\ 4x+21\geq 0; \end\;\; \begin 4x+21 \leq x^2+8x+16,\\ 4x\geq -21; \end\;\; \begin x^2+4x-5\geq 0,\\ x\geq -5,25; \end\;\; \begin (x-1)(x+5)\geq 0,\\ x\geq -5,25. \end\)

Комментарий . Легко убедиться, что значения х ∈ (–∞; –4) не удовлетворяют данному неравенству.

J Правильное решение.

\(\begin 4x+21\leq (x+4)^2,\\ 4x+21\geq 0,\\ x+4\geq 0; \end\;\; \begin 4x+21 \leq x^2+8x+16,\\ 4x\geq -21,\\ x\geq -4; \end\;\; \begin x^2+4x-5\geq 0,\\ x\geq -5,25,\\ x\geq -4; \end\;\; \begin (x-1)(x+5)\geq 0,\\ x\geq -5,25,\\ x\geq -4. \end\)

K Упражнение 2. Решить неравенство √ x + 26 ≥ x – 4 .

L Неправильное решение.

\(\begin x+26\geq x^2-8x+16,\\ x+26\geq 0,\\ x-4\geq 0; \end\;\;\; \begin x^2-9x-10\leq 0,\\ x\geq -26,\\ x\geq 4; \end\;\;\; \begin (x+1)(x-10)\leq 0,\\ x\geq -26,\\ x\geq 4. \end\)

Комментарий . Не рассмотрен случай, когда x – 4 .

J Правильное решение.

\(\left[\begin\begin x+26\geq x^2-8x+16,\\ x+26\geq 0,\\ x-4\geq 0; \end \\ \begin x+26\geq 0,\\ x-4

Решением первой системы является промежуток [4; 10] , решением второй – промежуток [–26; 4) . Таким образом, решением совокупности систем является объединение этих промежутков.

Ошибки в показательных и логарифмических неравенствах

При решении показательных и логарифмических неравенств возникновение ошибок, как правило, вызвано тем, что учащиеся неверно применяют свойства показательной и логарифмической функции.

Например, не учитывают, что при положительном, меньшем единицы основании, и показательная, и логарифмическая функции являются убывающими .

K Упражнение. Решить неравенство 0,8 х ≥ 0,8 – 1 /₃ .

L Неправильный ответ: х ≥ – 1 /₃ .

Комментарий . Так как 0 , то при переходе от неравенства степеней с одинаковыми основаниями к неравенству показателей необходимо было поменять знак основания.

J Правильный ответ: х ≤ – 1 /₃ .

Пренебрежение областью допустимых значений неизвестного – еще одна распространенная причина ошибок при решении показательных и, особенно, логарифмических неравенств.

K Упражнение. Решить неравенство log₄ (x 2 + 3x) ≤ 1 .

L Неправильное решение.

J Правильное решение.

Особые затруднения у учащихся вызывают неравенства в которых в основании показательной или логарифмической функции находится переменная . Следует помнить, что при решении таких неравенств нужно рассматривать несколько случаев .

K Упражнение 1. Решить неравенство log_2х (x 2 – 5x + 6) ≤ 1 .

L Неправильное решение.

\(\begin x > 0, \\ x^2-5x+6 > 0, \\ x^2-5x+6 \leq 2x; \end\;\;\;\; \begin x > 0, \\ x^2-5x+6 > 0, \\ x^2-7x+6 \leq 0; \end\;\;\;\; \begin x > 0, \\ (x-2)(x-3) > 0, \\ (x-1)(x-6) \leq 0. \end\;\;\;\;\)

Комментарий . Ошибка первая: учтены не все ограничения для значений переменной х , содержащейся в основании логарифма. Не только х > 0 , но и х ≠ 0,5 .

Ошибка вторая: так как основание логарифма содержит неизвестный х , необходимо отдельно рассматривать два случая: 0 и 2x > 1 .

J Правильное решение.

\(\left[\begin \begin 0 0,\\ x^2-5x+6 \geq 2x; \end\\ \begin 2x > 1, \\ x^2-5x+6 > 0,\\ x^2-5x+6 \leq 2x; \end \end \right.\;\;\;\; \left[\begin \begin 0 0,\\ x^2-7x+6 \geq 0; \end\\ \begin x > 0,5, \\ x^2-5x+6 > 0,\\ x^2-7x+6 \leq 0; \end \end \right.\;\;\;\; \left[\begin \begin 0 0,\\ (x-1)(x-6) \geq 0; \end\\ \begin x > 0,5, \\ (x-2)(x-3) > 0,\\ (x-1)(x-6) \leq 0. \end \end \right.\;\;\;\;\)

В первом случае решением системы является промежуток (0; 0,5) , а во втором – объединение промежутков [1; 2)∪(3; 6] .
Таким образом, после объединения ответов получим (0; 0,5)∪[1; 2)∪(3; 6] .

K Упражнение 2. Решить неравенство х 3х + 1 > х 4 .

L Неправильное решение.

J Правильное решение.

При решении неравенств методом замены переменной учащиеся достаточно часто путают, знак совокупности и знак системы , то есть не понимают, что в первом случае решением неравенства является объединение нескольких множеств, а во втором случае – их пересечение.

K Упражнение 1. Решить неравенство lg 2 x + lg x – 2 ≥ 0 .

L Неправильное решение.

\(\begin t \geq 1, \\ t \leq -2; \end\;\;\;\; \begin \lg x \geq 1, \\ \lg x \leq -2; \end\;\;\;\; \begin x \geq 10, \\ x \leq 0,01. \end\;\;\;\;\)

Комментарий . Решение должно сводиться к объединению, а не к пересечению двух промежутков, то есть к решению совокупности неравенств.

J Правильное решение.

\(\left[\begin t \geq 1,\;\;\;\\ t \leq -2; \end \right.\;\;\;\; \left[\begin \lg x \geq 1,\;\;\;\\ \lg x \leq -2; \end \right.\;\;\;\; \begin \left[\begin x \geq 10,\;\;\;\\ x \leq 0,01; \end \right. \\ \; x > 0. \end\)

K Упражнение 2. Решить неравенство x – 3 √ x + 2 ≤ 0 .

L Неправильное решение.

\(\left[\begin t \geq 1,\\ t \leq 2; \end \right.\;\;\;\; \left[\begin \sqrt \geq 1,\\ \sqrt \leq 2; \end \right.\;\;\;\; \left[\begin x \geq 1,\\ x \leq 4; \end \right.\;\;\;\; x\in (-\infty;\; +\infty).\)

Ответ: все числа.

Комментарий . Во-первых, в представленном решении не учтена область допустимых значений переменной, а во-вторых, решение должно сводиться к пересечению двух промежутков, а не к их объединению, то есть к решению системы неравенств или двойного неравенства.

Логарифмические неравенства

Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы.

Давайте повторим, что такое логарифмы:

Логарифм положительного числа по основанию — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

Основное логарифмическое тождество:

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)

(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

Алгоритм решения логарифмических неравенств

Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Привести неравенство к виду Знак здесь может быть любой: Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились логарифмы по одному и тому же основанию.

И после этого «отбрасываем» логарифмы! При этом, если основание степени , знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что знак неравенства меняется на противоположный.

Конечно, мы не просто «отбрасываем» логарифмы. Мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает, и тогда большему значению х соответствует большее значение выражения .

Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента х будет соответствовать меньшее значение

Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

Перейдем к практике. Как всегда, начнем с самых простых неравенств.

1. Рассмотрим неравенство log₃x > log₃5.
Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы x был положительным. Условие x > 0 называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких x неравенство имеет смысл.

Что делать дальше? Стандартный ответ, который дают школьники, — «Отбросить логарифмы!»

Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?

Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.

Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?

Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению x соответствует большее значение y и из неравенства log₃x₁ > log₃x₂ следует, что x₁ > x₂.

Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.

Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.

Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому

Решая эту систему, получим: x > 0.

Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.

А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.

3.

Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть

Решая эту систему, получим: x > 4,5.

Поскольку , логарифмическая функция с основанием монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:

И если , то
2x − 9 ≤ x.

Получим, что x ≤ 9.

Учитывая, что x > 4,5, запишем ответ:

В следующей задаче показательное неравенство сводится к квадратному. Так что тему «квадратные неравенства» рекомендуем повторить.

Теперь более сложные неравенства:

4. Решите неравенство

5. Решите неравенство

Если , то . Нам повезло! Мы знаем, что основание логарифма больше единицы для всех значений х, входящих в ОДЗ.

Обратите внимание, что сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной t. И только после этого возвращаемся к переменной x. Запомните это и не ошибайтесь на экзамене!

6.

Запомним правило: если в уравнении или неравенстве присутствуют корни, дроби или логарифмы — решение надо начинать с области допустимых значений. Поскольку основание логарифма должно быть положительно и не равно единице, получим систему условий:

Упростим эту систему:

Это область допустимых значений неравенства.

Мы видим, что переменная содержится в основании логарифма. Перейдем к постоянному основанию. Напомним, что

В данном случае удобно перейти к основанию 4.

Сделаем замену

Упростим неравенство и решим его методом интервалов:

Вернемся к переменной x:

Мы добавили условие x > 0 (из ОДЗ).

Ответ:

7. Следующая задача тоже решается с помощью метода интервалов

Как всегда, решение логарифмического неравенства начинаем с области допустимых значений. В данном случае

0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cfrac%3C2-3x%3E%3Cx%3E%3E0″ />Это условие обязательно должно выполняться, и к нему мы вернемся. Рассмотрим пока само неравенство. Запишем левую часть как логарифм по основанию 3:

Правую часть тоже можно записать как логарифм по основанию 3, а затем перейти к алгебраическому неравенству:

Видим, что условие 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cfrac%3C2-3x%3E%3Cx%3E%3E0″ /> (то есть ОДЗ) теперь выполняется автоматически. Что ж, это упрощает решение неравенства.

Решаем неравенство методом интервалов:

Ответ:

Получилось? Что же, повышаем уровень сложности:

8. Решите неравенство:

Неравенство равносильно системе:

9. Решите неравенство:

Выражение 5 — x 2 навязчиво повторяется в условии задачи. А это значит, что можно сделать замену:

Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, t > 0. Тогда

Неравенство примет вид:

Уже лучше. Найдем область допустимых значений неравенства. Мы уже сказали, что t > 0. Кроме того, ( t − 3) (5 9 · t − 1) > 0

Если это условие выполнено, то и частное будет положительным.

А еще выражение под логарифмом в правой части неравенства должно быть положительно, то есть (625 t − 2) 2 .

Это означает, что 625 t − 2 ≠ 0, то есть

Аккуратно запишем ОДЗ

и решим получившуюся систему, применяя метод интервалов.

Итак,

Ну что ж, полдела сделано — разобрались с ОДЗ. Решаем само неравенство. Сумму логарифмов в левой части представим как логарифм произведения:

«Отбросим» логарифмы. Знак неравенства сохраняется.

Перенесем все в левую часть и разложим по известной формуле разности квадратов:

0;» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(t-3)%5E%3C2%3E-(625t-2)%5E%3C2%3E%3E0;» />
0;» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(t-3-625t+2)(t-3+625t-2)%3E0;» />
0.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(-624t-1)(626t-5)%3E0.» />
Вспомним, что (это ОДЗ неравенства) и найдем пересечение полученных промежутков.

Получим, что

Вернемся к переменной x

Поскольку

9;» src=»https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%5E%3C2%3E%3E&space;9;» /> 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(x-3)(x+3)%3E0″ />Ответ:

10. Еще один прием, упрощающий решение логарифмических неравенств, — переход к постоянному основанию. Покажем, как использовать переход к другому основанию и обобщенный метод интервалов.

Воспользуемся формулой и перейдем к основанию 10:

Применим обобщенный метод интервалов. Выражение в левой части неравенства можно записать как функцию

Эта функция может менять знак в точках, где она равна нулю или не существует.

Выражение lg | x − 3| равно нулю, если | x − 3| = 1, то есть x = 4 или x = 2.

Выражение lg (| x| − 2) равно нулю, если | x| = 3, то есть в точках 3 и −3.

Отметим эти точки на числовой прямой, с учетом ОДЗ неравенства.

Найдем знак функции g(x) на каждом из промежутков, на которые эти точки разбивают область допустимых значений. Точно так же мы решали методом интервалов обычные рациональные неравенства.

Ответ:

11. А в следующей задаче спрятаны целых две ловушки для невнимательных абитуриентов.

Запишем ОДЗ:

0\\ x+2\neq 1\\ 36+16x-x^<2>>0\\ x\neq 18 \end\right. \: \: \: \: \: \: \: \: \Leftrightarrow \: \: \: \: \: \left\ <\beginx>-2\\ x\neq -1\\ x\in (-2;18) \end\right.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cleft%5C%3C%5Cbegin%3Cmatrix%3E&space;x+2%3E0%5C%5C&space;x+2%5Cneq&space;1%5C%5C&space;36+16x-x%5E%3C2%3E%3E0%5C%5C&space;x%5Cneq&space;18&space;%5Cend%3Cmatrix%3E%5Cright.&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5CLeftrightarrow&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5Cleft%5C%3C%5Cbegin%3Cmatrix%3E&space;x%3E-2%5C%5C&space;x%5Cneq&space;-1%5C%5C&space;x%5Cin&space;(-2;18)&space;%5Cend%3Cmatrix%3E%5Cright.» />
Итак, Это ОДЗ.

Обратите внимание, что .

Это пригодится вам при решении неравенства.

Упростим исходное неравенство:

Теперь главное – не спешить. Мы уже говорили, что задача непростая – в ней расставлены ловушки. В первую вы попадете, если напишете, что Ведь выражение в данном случае не имеет смысла, поскольку x x — 18) 2 =(18 — x) 2 . Тогда:

Вторая ловушка – попроще. Запись означает, что сначала надо вычислить логарифм, а потом возвести полученное выражение в квадрат. Поэтому:

Дальше – всё просто. Сделаем замену

Выражение в левой части этого неравенства не может быть отрицательным, поэтому t = 2. Тогда

— не удовлетворяет ОДЗ;

Мы рассмотрели основные приемы решения логарифмических неравенств — от простейших до сложных, которые решаются с помощью обобщенного метода интервалов. Однако есть еще один интересный метод, помогающий справиться и показательными, и с логарифмическими, и с многими другими видами неравенств. Это метод рационализации (замены множителя). О нем — в следующей статье.