Ошибки в уравнениях и неравенствах

math4school.ru

Ошибки в неравенствах

Неравенства по праву считаются одним из самых трудных разделов школьной математики, и при их решении допускается наибольшее количество ошибок. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся из них.

Некоторые общие ошибки

Указать наименьшее целое решение неравенства:

х ∈ (4; +∞) , наименьшее целое число 4 .

х ∈ (4; +∞) , наименьшее целое число 5 .

Ответ: если a и b положительные, то a > b ; если a и b отрицательные , то a

Ошибки в квадратных неравенствах

Квадратные ( квадратичные ) неравенства – неравенства вида

часто решаются разложением левой части на линейные множители , то есть

где x₁ и x₂ – корни квадратного трехчлена aх 2 + bx +c . Это возможно сделать, когда корни квадратного трехчлена являются действительными числами. Однако в некоторых случаях при решении неравенств этим способом можно легко прийти к неверному заключению.

Неравенство (х + 3) 2 ≥ 0 выполняется для всех значений х , значит х – любое число.

Неравенство (х– 2) 2 > 0 выполняется для всех значений х , значит х – любое число.

При х = 2 (х– 2) 2 = 0 , значит,

(х + 5) 2 ≤ 0 – решений нет.

Неравенство (х + 5) 2 ≤ 0 выполняется при единственном значении х = –5.

Так как D = 1 2 – 2·2 = –3 ,

Так как старший коэффициент положительный и D , то при любом значении х левая часть неравенства положительна.

Комментарий. Необходимо помнить, что, вообще говоря, нельзя извлекать корень из обеих частей неравенства.

Ошибки в дробно-рациональных неравенствах

Нередко ошибки появляются при сведении неравенств к системе неравенств, совокупности неравенств или совокупности систем неравенств .

K Упражнение. Решить неравенство \(\large \frac>0.\)

L Неправильное решение.

Комментарий . Дробь может быть положительной в двух случаях: когда числитель и знаменатель одновременно положительны, и когда числитель и знаменатель отрицательны.

J Правильное решение.

\(\left[\begin \begin x + 6 > 0, \\ x > 0, \end\\ \begin x + 6 — 6,\\ x > 0, \end\\ \begin x 0,\;\;\\ x

Часто учащиеся допускают ошибки при умножении неравенства на знаменатель , который не имеет определенного знака при любых значениях переменной.

K Упражнение 1. Решить неравенство \(\large \frac<2x+3>>1.\)

L Неправильное решение.

Комментарий . Нельзя умножать обе части неравенства на знаменатель, который содержит неизвестное, если заранее не известен его знак. Если же вы все-таки не можете обойтись без умножения, то нужно рассматривать два варианта:

J Правильное решение.

Рассмотрим один из возможных способов решения данного неравенства:

\(\left[\begin \begin 2 x + 3 > x — 1, \\ x — 1 > 0, \end\\ \begin 2 x + 3 — 4,\\ x > 1, \end\\ \begin x 1,\;\;\\ x

K Упражнение 2. Решить неравенство \(\large \frac<4-x^2>>0.\)

L Неправильное решение.

J Правильное решение.

Так как дробь больше нуля, и числитель принимает положительные значения для любого допустимого значения х , то

K Упражнение 3. Решить неравенство 1 /_x ≥ 2 .

L Неправильное решение.

J Правильное решение.

Так как обе части неравенства представлены стандартными функциями, то легко использовать графические метод решения неравенства:

Очевидно, что значения функции у = 1 /_x достигают 2 и более при х ∈ (0; 1 /₂ ] .

Отметим, что в неравенствах, содержащих переменную в знаменателе, нельзя избавляться от знаменателя даже в том случае, если выписана область допустимых значений. Исключение могут составлять только особые виды неравенств, в которых знаменатель положителен для любых значений переменной. Как, например, \(\large \frac<4+x^2>>0\), которое, очевидно, равносильно неравенству х 2 – 81 > 0 , полученному из первого умножением на положительное число 4 + х 2 .

Ошибки при использовании метода интервалов

Рассмотрим типичные ошибки, возникающие при решении неравенств с применением метода интервалов .

K Упражнение 1. Решить неравенство х (х – 6) (х + 1) ≥ 0 .

L Неправильное решение.

Комментарий . В данном решении не учтено, что сравнивается с нулем произведение трех множителей, а не двух. Таким образом, получаются не три интервала, а четыре.

J Правильное решение.

K Упражнение 2. Решить неравенство (х– 5) (х + 3) (2 – х) ≥ 0 .

L Неправильное решение.

Комментарий . В данном примере знаки в интервалах проставлены неверно. Часто учащиеся не задумываясь проставляют знаки, чередуя их справа налево, начиная со знака +.

J Правильное решение.

Числовая ось с проставленными знаками на промежутках должна выглядеть в данном случае следующим образом:

K Упражнение 3. Решить неравенство

L Неправильное решение.

Комментарий . В дробно-рациональных неравенствах нули знаменателя на числовую ось наносятся пустыми ( выколотыми ) точками , и это не зависит от строгости неравенства.

J Правильное решение.

K Упражнение 4. Решить неравенство (х – 5) (х + 3) 2 ≤ 0 .

L Неправильное решение.

Комментарий . В данном упражнении знаки на интервалах проставлены неверно, так как при переходе через корень четной кратности знак не меняется .

J Правильное решение.

K Упражнение 5. Решить неравенство (х – 1) (х – 10) 2 > 0 .

L Неправильное решение.

Комментарий . При записи ответа к данному неравенству не учтено то, что в точке х = 10 левая часть неравенства обращается в ноль, что не соответствует знаку данного неравенства.

J Правильный ответ: х ∈ (1; 10)∪(10; +∞) .

K Упражнение 6. Решить неравенство (х – 5) 2 (х + 3) ≤ 0 .

L Неправильное решение.

Комментарий . При решении данного неравенства потеряно одно решение. При х = 5 левая часть неравенства обращается в ноль, что тоже удовлетворяет данному неравенству.

J Правильный ответ: х ∈ (–∞; –3]∪<5>.

Ошибки в иррациональных неравенствах

Самый распространенный вид ошибок при решении иррациональных неравенств связан с тем, что учащимися не учитывается область допустимых значений неизвестного для корня четной степени .

K Упражнение. Решить неравенство √ x – 5 .

L Неправильное решение.

Комментарий . Неравенство имеет смысл лишь при x – 5 ≥ 0 .

J Правильное решение.

Нередко учащиеся не учитывают ограничения, которые накладываются на выражения, стоящие вне знака корня четной степени и содержащие неизвестную величину.

K Упражнение 1. Решить неравенство √ 4x + 21 ≤ x + 4 .

L Неправильное решение.

\(\begin 4x+21\leq (x+4)^2,\\ 4x+21\geq 0; \end\;\; \begin 4x+21 \leq x^2+8x+16,\\ 4x\geq -21; \end\;\; \begin x^2+4x-5\geq 0,\\ x\geq -5,25; \end\;\; \begin (x-1)(x+5)\geq 0,\\ x\geq -5,25. \end\)

Комментарий . Легко убедиться, что значения х ∈ (–∞; –4) не удовлетворяют данному неравенству.

J Правильное решение.

\(\begin 4x+21\leq (x+4)^2,\\ 4x+21\geq 0,\\ x+4\geq 0; \end\;\; \begin 4x+21 \leq x^2+8x+16,\\ 4x\geq -21,\\ x\geq -4; \end\;\; \begin x^2+4x-5\geq 0,\\ x\geq -5,25,\\ x\geq -4; \end\;\; \begin (x-1)(x+5)\geq 0,\\ x\geq -5,25,\\ x\geq -4. \end\)

K Упражнение 2. Решить неравенство √ x + 26 ≥ x – 4 .

L Неправильное решение.

\(\begin x+26\geq x^2-8x+16,\\ x+26\geq 0,\\ x-4\geq 0; \end\;\;\; \begin x^2-9x-10\leq 0,\\ x\geq -26,\\ x\geq 4; \end\;\;\; \begin (x+1)(x-10)\leq 0,\\ x\geq -26,\\ x\geq 4. \end\)

Комментарий . Не рассмотрен случай, когда x – 4 .

J Правильное решение.

\(\left[\begin\begin x+26\geq x^2-8x+16,\\ x+26\geq 0,\\ x-4\geq 0; \end \\ \begin x+26\geq 0,\\ x-4

Решением первой системы является промежуток [4; 10] , решением второй – промежуток [–26; 4) . Таким образом, решением совокупности систем является объединение этих промежутков.

Ошибки в показательных и логарифмических неравенствах

При решении показательных и логарифмических неравенств возникновение ошибок, как правило, вызвано тем, что учащиеся неверно применяют свойства показательной и логарифмической функции.

Например, не учитывают, что при положительном, меньшем единицы основании, и показательная, и логарифмическая функции являются убывающими .

K Упражнение. Решить неравенство 0,8 х ≥ 0,8 – 1 /₃ .

L Неправильный ответ: х ≥ – 1 /₃ .

Комментарий . Так как 0 , то при переходе от неравенства степеней с одинаковыми основаниями к неравенству показателей необходимо было поменять знак основания.

J Правильный ответ: х ≤ – 1 /₃ .

Пренебрежение областью допустимых значений неизвестного – еще одна распространенная причина ошибок при решении показательных и, особенно, логарифмических неравенств.

K Упражнение. Решить неравенство log₄ (x 2 + 3x) ≤ 1 .

L Неправильное решение.

J Правильное решение.

Особые затруднения у учащихся вызывают неравенства в которых в основании показательной или логарифмической функции находится переменная . Следует помнить, что при решении таких неравенств нужно рассматривать несколько случаев .

K Упражнение 1. Решить неравенство log_2х (x 2 – 5x + 6) ≤ 1 .

L Неправильное решение.

\(\begin x > 0, \\ x^2-5x+6 > 0, \\ x^2-5x+6 \leq 2x; \end\;\;\;\; \begin x > 0, \\ x^2-5x+6 > 0, \\ x^2-7x+6 \leq 0; \end\;\;\;\; \begin x > 0, \\ (x-2)(x-3) > 0, \\ (x-1)(x-6) \leq 0. \end\;\;\;\;\)

Комментарий . Ошибка первая: учтены не все ограничения для значений переменной х , содержащейся в основании логарифма. Не только х > 0 , но и х ≠ 0,5 .

Ошибка вторая: так как основание логарифма содержит неизвестный х , необходимо отдельно рассматривать два случая: 0 и 2x > 1 .

J Правильное решение.

\(\left[\begin \begin 0 0,\\ x^2-5x+6 \geq 2x; \end\\ \begin 2x > 1, \\ x^2-5x+6 > 0,\\ x^2-5x+6 \leq 2x; \end \end \right.\;\;\;\; \left[\begin \begin 0 0,\\ x^2-7x+6 \geq 0; \end\\ \begin x > 0,5, \\ x^2-5x+6 > 0,\\ x^2-7x+6 \leq 0; \end \end \right.\;\;\;\; \left[\begin \begin 0 0,\\ (x-1)(x-6) \geq 0; \end\\ \begin x > 0,5, \\ (x-2)(x-3) > 0,\\ (x-1)(x-6) \leq 0. \end \end \right.\;\;\;\;\)

В первом случае решением системы является промежуток (0; 0,5) , а во втором – объединение промежутков [1; 2)∪(3; 6] .
Таким образом, после объединения ответов получим (0; 0,5)∪[1; 2)∪(3; 6] .

K Упражнение 2. Решить неравенство х 3х + 1 > х 4 .

L Неправильное решение.

J Правильное решение.

При решении неравенств методом замены переменной учащиеся достаточно часто путают, знак совокупности и знак системы , то есть не понимают, что в первом случае решением неравенства является объединение нескольких множеств, а во втором случае – их пересечение.

K Упражнение 1. Решить неравенство lg 2 x + lg x – 2 ≥ 0 .

L Неправильное решение.

\(\begin t \geq 1, \\ t \leq -2; \end\;\;\;\; \begin \lg x \geq 1, \\ \lg x \leq -2; \end\;\;\;\; \begin x \geq 10, \\ x \leq 0,01. \end\;\;\;\;\)

Комментарий . Решение должно сводиться к объединению, а не к пересечению двух промежутков, то есть к решению совокупности неравенств.

J Правильное решение.

\(\left[\begin t \geq 1,\;\;\;\\ t \leq -2; \end \right.\;\;\;\; \left[\begin \lg x \geq 1,\;\;\;\\ \lg x \leq -2; \end \right.\;\;\;\; \begin \left[\begin x \geq 10,\;\;\;\\ x \leq 0,01; \end \right. \\ \; x > 0. \end\)

K Упражнение 2. Решить неравенство x – 3 √ x + 2 ≤ 0 .

L Неправильное решение.

\(\left[\begin t \geq 1,\\ t \leq 2; \end \right.\;\;\;\; \left[\begin \sqrt \geq 1,\\ \sqrt \leq 2; \end \right.\;\;\;\; \left[\begin x \geq 1,\\ x \leq 4; \end \right.\;\;\;\; x\in (-\infty;\; +\infty).\)

Ответ: все числа.

Комментарий . Во-первых, в представленном решении не учтена область допустимых значений переменной, а во-вторых, решение должно сводиться к пересечению двух промежутков, а не к их объединению, то есть к решению системы неравенств или двойного неравенства.

Типичные ошибки и затруднения школьников при решении неравенств различными способами на Едином государственном экзамене по математике Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Крутихина Марина Викторовна, Зеленина Наталья Алексеевна, Здоровенко Марина Юрьевна

Статья посвящена анализу типичных ошибок и затруднений школьников при решении неравенств различными способами на итоговой аттестации по математике.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Крутихина Марина Викторовна, Зеленина Наталья Алексеевна, Здоровенко Марина Юрьевна

Common mistakes and difficulties students when solving inequalities in a variety of ways on the Unified state exam in mathematics

The article is devoted to the analysis of typical errors and problems school-nicknames when addressing inequalities in different ways on the final examination in mathematics.

Текст научной работы на тему «Типичные ошибки и затруднения школьников при решении неравенств различными способами на Едином государственном экзамене по математике»

научно-методический электронный журнал ART 14296 УДК 372.851

Здоровенко М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В. Типичные ошибки и затруднения школьников при решении неравенств различными способами на Едином государственном экзамене по математике // Концепт. — 2014. — № 10 (октябрь). — ART 14296. -0,5 п. л. — URL: http://e-koncept.ru/2014/14296.htm. -Гос. рег. Эл № ФС 77-49965. — ISSN 2304-120X.

Здоровенко Марина Юрьевна,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики ФГБОУ ВПО «Вятский государственный университет», г. Киров zdorovenki@ngs.ru

Зеленина Наталья Алексеевна,

кандидат педагогических наук, доцент кафедры фундаментальной и компьютерной математики ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Киров sezel@mail.ru

Крутихина Марина Викторовна,

кандидат педагогических наук, доцент кафедры фундаментальной и компьютерной математики ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Киров krumarvik@mail.ru

Типичные ошибки и затруднения школьников при решении неравенств различными способами на Едином государственном экзамене по математике

Аннотация. Статья посвящена анализу типичных ошибок и затруднений школьников при решении неравенств различными способами на итоговой аттестации по математике.

Ключевые слова: обучение математике, неравенство, система неравенств, различные способы решения неравенств, Единый государственный экзамен по математике.

Раздел: (01) педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям).

Линия уравнений и неравенств является одной из ведущих содержательно-методических линий школьного курса математики. Традиционно наибольшие затруднения у учащихся вызывает решение неравенств. В кодификаторе требований к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений для проведения Единого государственного экзамена по математике указано, что учащиеся должны уметь решать рациональные, показательные, логарифмические неравенства и их системы.

В последние годы в модели контрольно-измерительных материалов соответствующее задание содержится в части 2 и имеет повышенный уровень трудности. В частности, в 2014 г. требовалось решить систему, состоящую из логарифмического и показательного неравенств. По данным ЦОКО Кировской области [1], к решению задачи С3 приступило около 35% школьников, что говорит об определенной подготовке по этой теме (к решению задачи С4, например, приступило порядка 7%, С5 — 4% выпускников). Однако дать хотя бы частичное решение системы неравенств, а тем более решить ее полностью удалось далеко не всем. Так, по данным статистики, один первичный балл за решение задачи С3 (обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы или получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы) получили 22,12% учеников, приступивших к решению, два балла (обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы) -1,44% школьников. Полные три балла за решение этой задачи (обоснованно полу-

научно-методический электронный журнал ART 14296 УДК 372.851

Здоровенко М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В. Типичные ошибки и затруднения школьников при решении неравенств различными способами на Едином государственном экзамене по математике // Концепт. — 2014. — № 10 (октябрь). — ART 14296. -0,5 п. л. — URL: http://e-koncept.ru/2014/14296.htm. -Гос. рег. Эл № ФС 77-49965. — ISSN 2304-120X.

чен верный ответ) выставлены 6,14% решавших. Средние показатели по стране соответственно равны 34, 8,8, 2,8 и 6,4% [2].

Опыт проверки развернутых ответов участников Единого государственного эк-

замена по математике показывает, что выпускники владеют различными методами решения неравенств, в том числе и выходящими за рамки школьной программы. Вместе с тем можно выделить типичные ошибки и затруднения учащихся при использовании различных способов решения неравенств. Обратимся к анализу этих ошибок на примере решения системы

logii-x(x + 7) • logx+5(9 — х) 0 logx+5(9-x) 0

с11 — х> 1 <х + 7 >1 0 0 х + 5 > 1 9 — х 0 0 1

— —6 10 —7 х > —4 х > 8 х 1 х + 7 0 \0 1 (х + 5 > 1 <9 — х>1 f0 0

о Л —6 — j [10 —4 г—4 8

Л х 0, (X 0, ^1 X > -7,

<9 - х >0. ^ X 2,2>1 и х + 7>2,2>1. Отсюда log11-x(x + 7) > 0 в области допустимых значений.

Следовательно, для того чтобы log11-x(x + 7) • logx+5(9 — х) 1 <9 -х 0 ^

(. х Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(хе(-5;-4)и(-4;9) U е (-5;-4) и (-4;9) [х е (-5;-4) и (-4;9)

Определим знак функции в каждом промежутке ее области определения:

Если х = 8,5, тогда log2i515,5 • 1од1350,5 0.

Если х = -4,5, тогда 1од1552,5 • 1од0513,5 0

/орц-х(х + 7) • /орх+5(9 — х) 0

и далее рационализировали каждое из четырех неравенств, исходя при этом из того, что знак логарифмической функции в ее области определения совпадает со знаком соответствующего рационального выражения (знак выражения /ор5/ совпадает со знаком выражения (р — 1)(/ — 1) в области определения логарифмической функции).

Рационализацию для решения логарифмического неравенства выбирают примерно 20% учащихся из числа приступивших к решению.

Показательное неравенство 64*2-3х+20 — 0Д252*2-6*-200 0) в области его допустимых значений совпадает со знаком выражения (Л — 1)(/ — р).

В нашем случае 26*2-18х+120 — 2-6*2+18х+600 /о$9(10 — х).

Наш опыт проверки работ участников ЕГЭ позволяет предположить, что предложенный разработчиками путь решения школьники, скорее всего, не выберут.

Рассмотрим наиболее ожидаемые способы рассуждений учащихся при решении этого неравенства.

Найдем область допустимых значений неравенства:

г х + 2 > 0, х — 1 > 0,

/о#х-1(х + 2) • 2/о$3|х — 1| — /о$3(10 — х) > 0;

Учитывая, что в области допустимых значений неравенства |х — 1| = х — 1, и применяя формулу перехода к новому основанию, получаем

Решение неравенств: основные ошибки и полезные лайфхаки

Вы умеете решать неравенства? Уверены?

Вспомним для начала, что вообще можно делать с неравенствами и чего с ними делать нельзя.

При решении неравенств мы можем:

1. Умножать обе части неравенства на число или выражение, не равное нулю.
При умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется.

При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

2. Можем возводить обе части неравенства в квадрат при условии, что они неотрицательны

3. Имея дело с показательным или логарифмическим неравенством, мы можем «отбрасывать» основания или логарифмы. Если основание степени или логарифма больше единицы – знак неравенства будет тот же. Если основание степени или логарифма положительно и меньше единицы – знак неравенства меняется на противоположный.

Конечно, мы не просто «отбрасываем» основания степеней или логарифмы. Мы пользуемся свойствами монотонности соответствующих функций. Если основание степени больше единицы, показательная функция монотонно возрастает. Если основание положительно и меньше единицы – показательная функция монотонно убывает. Аналогично ведет себя и логарифмическая функция.

4. При решении показательных или логарифмических неравенств применяется метод рационализации (замены множителя).

5. Общее правило. Если неравенство можно хоть как-то упростить – это необходимо сделать! Иначе его решение может занять восемь страниц и два часа времени.

Чего нельзя делать при решении неравенств? Вот 7 ловушек, в которые часто попадают абитуриенты.

1. Нельзя умножать (или делить) неравенство на выражение, знака которого мы не знаем.

Например, в неравенстве > нельзя поделить левую и правую часть на . Правильный способ: перенести всё в левую часть неравенства, разложить на множители и решить неравенство методом интервалов.

Получаем, что . «Сократив» на , который может быть отрицательным, мы не получили бы правильного ответа.

2. Извлекать из неравенства корень тоже нельзя. Такого действия просто нет.

Как, например, решить неравенство

Перенесем все в левую часть неравенства, чтобы в правой остался ноль.

Разложим левую часть на множители.

Решим неравенство, пользуясь свойствами квадратичной функции , и запишем ответ: .

Запомним: ответы типа « > » абсурдны.

Как решать неравенство > 0? Это типичная «ловушка для абитуриентов». Так и хочется сказать, что > 0 (то есть извлечь корень из неравенства). Но этого делать нельзя. Выражение положительно при всех , кроме нуля. Правильное решение неравенства: .

4. Возводить обе части неравенства в квадрат можно только если они неотрицательны.

5. Помним о том, в каких случаях знак показательного или логарифмического неравенства меняется, а в каких – остается тем же. «Отбрасывая» логарифмы, делаем это грамотно.

6. Если в неравенстве есть дроби, корни четной степени или логарифмы – там обязательно будет область допустимых значений.

7. Сложная тем для старшеклассников – задачи с модулем. Проверьте, умеете ли вы их решать.

При решении неравенств большое значение имеет правильное оформление. Рекомендуется оформлять решение как цепочку равносильных переходов: от исходного неравенства к равносильному ему неравенству или системе.

Обратите внимание на приемы, позволяющие решать неравенства легко, быстро и без лишних вычислений.

А теперь – полезный лайфхак для решения дробно-рациональных неравенств.

Что будет, если действовать «по шаблону» — то есть собрать всё в левой части неравенства и привести к одному знаменателю? — Будет много вычислений и выражение четвертой степени.

Может быть, сделаем проще? Представим дробь в виде суммы дробей и .

Продолжаем упрощать левую часть:

Теперь можно и привести дроби к одному знаменателю.

Все, больше ничего не пишем. Решаем неравенство методом интервалов.