Основное дифференциальное уравнение установившегося неравномерного движения жидкости

Дифференциальные уравнения установившегося неравномерного плавно изменяющегося движения жидкости

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ НЕРАВНОМЕРНОГО ПЛАВНО ИЗМЕНЯЮЩЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

2.1. УРАВНЕНИЯ НЕРАВНОМЕРНОГО ПЛАВНОИЗМЕНЯЮЩЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

2.1.1. Уравнения неравномерного плавноизменяющегося движения жидкости в непризмагических руслах

Урав­нение неравномерного плавноизменяющегося движения в непризматическом русле с прямым уклоном дна записывается в следую­щем виде:

(6.56)

Аналогичные выражения с учетом знака уклона могут быть получены для призматических русл с горизонтальным и обратным уклонами дна.

Рекомендуемые материалы

2.1.2. Дифференциальные уравнения неравномерного плавноизменяющегося движения в призматических руслах

В призматических руслах площадь живо­го сечения потока может изменяться только за счет изменения глубины и поэтому при подстановке в формулу (6.56) условия dω/dl=0 получаем дифференциаль­ное уравнение неравномерного плавноизменяющегося дви­жения для призматических русл с положительным уклоном дна:

(6.57)

Вводя в уравнение (6.57) параметр кинетичности

и используя понятие расходной характеристики для произвольной глубины h неравномерного потока, получаем уравнение следующего вида:

Выражая расход Q по формуле Шези через расход­ную характеристику К₀, соответствующую нормальной глу­бине h₀ в канале при заданном уклоне i₀, можем записать

Наконец, используя понятие гидравлического показателя русла

(6.38),

получаем уравнение неравномерного движе­ния в призматических каналах только правильной формы:

(6.60)

Для призматических русл с горизонтальным дном (i₀=0) получаем

(6.61)

Для русл с обратным уклоном (i₀ 0 при равенстве нулю числите­ля уравнения (6.58) получаем

(6.63)

что соответствует постоянству глубины потока вдоль русла, т. е. равномерному движению (h=h₀). Последнее следует также непосредственно из выражения (6.63), которое пред­ставляет собой формулу Шези для равномерного движения. Получено, таким образом, подтверждение того, что равномерное движение возможно в приз­матическом русле при положительном уклоне дна i₀>0. Производная dh/dl=tg 0, где 0 — угол между касатель­ной к кривой свободной поверхности потока и линией N-N нормальной глубины или линией К-К критической глу­бины. Следовательно, если глубина неравномерного потока в канале с уклоном i₀>0 стремится к нормальной глубине h→h₀, то и dh/dl=tg 0→0, т. е. свободная поверхность асим­птотически стремится к линии N-N.

Для русл с горизонтальным дном равенство нулю чис­лителя уравнения (6.61) и, следовательно, производной (6.61) возможно либо при Q=0, либо при К=∞ (или h=∞). Оба условия не имеют смысла, поскольку перестает существовать движение жидкости.

При обратном уклонe дна равенство (6.64) может быть получено из уравнения (6.62), если

Поскольку отрицательный знак уклона дна русла учтен при выводе уравнения (6.62), в последнем выражении знак «-» относится к расходной характеристике К, что также лишено смысла.

Таким образом, получено подтверждение, что при укло­нах дна i₀=0 и i₀ (6.65)

т. е. кривая свободной поверхности неравномерного потока пересекает линию К-К под углом 90°. При этом существенно увеличивается кривизна линий токов и поток ста­новится резко неравномерным.

Поэтому результат (6.65), полученный из уравнений (6.58)-(6.62), справедливых для плавноизменяющегося движения, не является строгим. В действительности линия К-К пересекается свободной поверхностью потока под углом, несколько меньшим, чем прямой. Если это пересечение происходит при уменьшении глубин от h₁>h_K до h₂ 0 и, следовательно, dh/d/>0: кривая свободной поверхности, глубины которого возрастают вниз по течению, называется кривой подпора. Если же глубины потока по течению уменьшаются (рис. 6.22, б), т. е. h₂ 0 могут быть случаи i₀ i_K, i₀=i_K. Линиями нормальной N-N и критической K-К глубины выделяются три харак­терные области (диапазона) изменения глубины неравно­мерного потока: область а, где h>h₀ (при i₀ h_K (при i₀>t_K); область b, где h₀>h>h_K (при i₀ i_K — область отсутствует при i₀=i_K. (когда h₀=h_K), область с, где h i_K).

Знак производной dhldl, т. е. образование кривой под­пора или спада на участке неравномерного движения, опре­деляется знаками числителя и знаменателя правой части уравнения (6.59). При h>h₀ числитель будет положитель­ным 1-(K₀/К) 2 >О, поскольку при этом K>К₀. При h 2 h_к согласно уравнениям П_к 0. При h 1 и 1-П_к 0, из чего следует, что в указанных областях свободные поверхности являются кривыми подпора. При разных знаках — в области b — производная отрицательна и свободная поверхность в рус­ле образует кривые спада.

Форма кривых подпора и спада в каждой области опре­деляется тем, как стремится глубина неравномерного пото­ка к линиям N-N и К-К, т. е. условиями (6.64) и (6.65) на границах областей (табл. 6.3).

Уклон дна канала меньше критиче­ского.

Линия нормальных глубин N-N при i₀ h₀>h_к свободная поверхность пред­ставляет кривую подпора. При стремлении глубины пото­ка к нижнему пределу глубин (h→h₀) свободная поверх­ность (линия а₁) в верхней части участка неравномерного движения асимптотически приближается к линии N-N. При стремлении глубины к верхнему пределу (h→∞) расходная характеристика К→∞ и величина (К₀/К) 2 →0; па­раметр кинетичности П_к→0. Следовательно, при h→∞ производная dhldl→i₀=const. Поскольку дно русла по отношению к горизонтальной плоскости имеет уклон i₀ и глубины измеряются от наклонной плоскости дна, равенст­во dh/dl=i₀ характеризует горизонтальную прямую п-п (рис. 6.23). При увеличении глубины (h→∞) свободная поверхность асимптотически приближается сверху к гори­зонтальной прямой п-п, т. е., несмотря на увеличение глубины потока, отметки свободной поверхности вниз по течению уменьшаются. Таким образом, свободная поверх­ность имеет вогнутую форму и называется кривой подпора a₁ (табл. 6.3).

Такого типа кривые подпора образуются в тех случаях, когда на пути равномерного потока в русле с i₀ h>h_K устанавливается кривая спа­да b₁ (табл. 6.3). Поскольку к линии N-N кривая стре­мится снизу асимптотически, а к линии К-К сверху ус­ловно под прямым углом, она имеет выпуклую форму.

Эта кривая может наблюдаться в каналах с уклоном i₀ i_к располагается ниже линии К-К.

В области а при h>h_к>h₀ в русле устанавливается кри­вая подпора а₂ (табл. 6.3). Нижний предел глубины h=h_к соответствует условию (6.65), т.е. гидравлическому прыжку. При стремлении глубины к верхнему пределу (h→∞) свободная поверхность неравномерного потока будет асимп­тотически снизу приближаться к горизонтальной прямой п- п, поскольку при этом dhldl→i₀. Следовательно, кри­вая свободной поверхности имеет выпуклую форму.

Эта кривая образуется, например, за гидравлическим прыжком перед препятствием в виде сооружений мостового перехода, трубы или плотины (между сечениями 1-1 и 2-2), устанавливаемыми в русле с уклоном дна i₀>i_к (рис. 6.24).

Теоретически длина кривой спада b₂ равна бесконечно­сти, в практических расчетах ее длину находят, ограничи­вая сечением 2-2, в котором глубина h₂=(1,005-1,05) h₀.

В области с русла при h i_K (см. рис. 6.19), если на предыдущем участке канала значение уклона было еще большим (i₀₁>i_K).

При определении длины кривой подпора с₂ в практичес­ких расчетах глубину потока в сечении 2-2 принимают в зависимости от точности расчета, на 0,5-5% меньше нор­мальной глубины: h₂=(0,995-0,95)h₀, условно считая, что ниже этого сечения движение становится равномер­ным.

Критический уклон дна канала.

В областях а и с производная dhldl >0, из чего сле­дует, что глубины потока вниз по течению возрастают (см. табл. 6.3).

Форма свободной поверхности потока при этом может быть установлена путем преобразования дифференциаль­ного уравнения неравномерного движения (6.57). Расход в числителе правой части уравнения при i_о=i_к может быть выражен через параметры потока при равномерном движе­нии: . Поскольку коэффициент Шези мало изменяется при изменении глубины потока, можно допус­тить, что С_к≈С; гидравлические радиусы выражаются в виде: R_K=ω_к/χ_к, R=ω/χ/; знаменатель преобразуется в соответствии с (6.14). С учетом изложенного получаем

(6-66)

Если допустить, что В_к≈χ_к и В≈χ (это можно считать при­емлемым для широких и неглубоких русл), то получаем

(6-67)

Следовательно, как в области а, так и в области с в рам­ках принятых допущений устанавливаются горизонтальные прямые подпора а₃ и с₃.

Прямая подпора а₃ образуется, например, в канале (рис. 6.26) с уклоном i₀₂>i_K, если к нему примыкает канал с меньшим уклоном (i₀₃ i_K.

(6.68)

В начальном сечении 1-1 в этом случае h₁=h₀₁, а в конечном сечении 2-2 глубина h₂=h_к. Длина прямой под­пора с₃ при этом находится аналогичным образом:

(6.69)

Русло с горизонтальным дном.

В этом случае равно­мерное движение существовать не может и линия нормальных глубин N- N отсутствует (см. табл. 6.3). Линия критической глубины К- К вы­деляет две области b и с.

В области b при h>h_K согласно уравнению (6.61) имеем выпуклую кривую спада b₀, заканчивающуюся водопадом. При h h_K), анализируя уравнение (6.62), ана­логично тому, как это было выполнено в отношении урав­нения (6.61), для i₀=0 и принимая во внимание, что при выводе уравнения (6.62) отрицательный знак уклона дна уже был учтен, получаем кривую спада b‘ выпуклой фор­мы (табл. 6.3).В области с (h

Дифференциальное уравнение неравномерного плавно изменяющегося установившегося движения жидкости. Критическая глубина

Дифференциальное уравнение неравномерного плавно изменяющегося установившегося движения жидкости. Критическая глубина

Дифференциальное уравнение неравномерного плавно изменяющегося установившегося движения жидкости. Критическая глубина. 1. одной из важнейших задач теории неоднородного движения является построение кривой свободной поверхности течения. Сначала мы создадим дифференциальное уравнение для свободной поверхности, используя формулу (24-1).

Имея дело с неравномерным движением жидкостей, которые могут рассматриваться как несжимаемые, удобно определять диссипацию энергии в тепловую на единицу веса текущей жидкости. Людмила Фирмаль

• То есть определите необходимые значения. g = + th(согласно рис. 24-2); ^ y = I (где (=ctO）; ^ / Д(Г \ ^ Ык、 (II \2§ & 3) b. Людмила Фирмаль

• Если глубина этого участка увеличивается в направлении flow. In при гидравлическом скачке свободная поверхность потока увеличивается поэтапно, при этом глубина потока резко увеличивается. Течение движется от быстрого (от турбулентности) к медленному (нежному течению).

1. Индикаторная мощность потока жидкости, действующего на, поверхность, вращающуюся с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной оси.
2. Взаимодействие жидкости с телом крылового профиля.
3. Равномерное движение.
4. Скоростной коэффициент.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Дифференциальные уравнения движения

Общие представления

Характерными параметрами движения жидкости являются давление, скорость и ускорение, зависящие от положения материальной точки в пространстве. Различают два вида движения жидкости: установившееся и неустановившееся. Движение называют установившимся, если параметры движения жидкости в данной точке пространства не зависят от времени. Движение, не удовлетворяющее этому определению, называют неустановившимся. Таким образом, при установившемся движении

при неустановившемся движении

Примером установившегося движения может служить истечение жидкости из отверстия в стенке резервуара, в котором поддерживается постоянный уровень путем непрерывного пополнения жидкости. Если сосуд опорожняется через отверстие без пополнения, то давление, скорость и очертание потока изменяются во времени, и движение будет неустановившимся. Установившееся движение является основным видом течения в технике.

Движение называется плавноизменяющимся, если не происходит отрыва потока от направляющих стенок с образованием в местах отрыва областей застойных вихревых течений.

В зависимости от характера изменения скорости по длине потока плавноизменяющееся движение может быть равномерным и неравномерным. Первый вид движения соответствует случаю, когда по всей длине потока живые сечения одинаковы, а скорости постоянны по величине. В противном случае плавноизменяющееся движение будет неравномерным. Примером равномерного движения является движение с постоянной скоростью в цилиндрической трубе постоянного сечения. Неравномерное движение будет в трубе переменного сечения при слабом расширении и большом радиусе кривизны потока. В зависимости от давления на поверхностях, ограничивающих поток жидкости, движение бывает напорное и безнапорное. Напорное движение характеризуется наличием твердой стенки в любом живом сечении и обычно имеет место в закрытом трубопроводе при полном заполнении его поперечного сечения, т. е. при отсутствии свободной поверхности в потоке. Безнапорные потоки имеют свободную поверхность, граничащую с газом. Безнапорное движение происходит под действием силы тяжести.

При исследовании жидкости пользуются двумя принципиально различными аналитическими методами: Лагранжа и Эйлера с движением твердого тела, выделяя в ней частицу с заданными начальными координатами и прослеживая ее траекторию.

Согласно Лагранжу поток жидкости рассматривают как совокупность траекторий, описываемых жидкими частицами. Общий вектор скорости жидкой частицы в отличие от скорости твердой состоит в общем случае из трех компонентов: наряду с переносной и относительной скоростью жидкой частице свойственна скорость деформации. Метод Лагранжа оказался громоздким и не получил широкого распространения.

По методу Эйлера рассматривают скорость жидкости в фиксированных точках пространства; при этом скорость и давление жидкости представляют как функции координат пространства и времени, а поток оказывается представленным векторным полем скоростей, относящихся к неподвижным произвольным точкам пространства. В поле скоростей могут быть построены лини тока, которые в данный момент времени являются касательными к вектору скорости жидкости в каждой точке пространства. Уравнения линии тока имеют вид

,

где проекции скорости на соответствующие оси координат отнесены к проекциям приращения линии тока. Таким образом, согласно Эйлеру поток в целом в данный момент времени оказывается представленным векторным полем скоростей, относящихся к неподвижным точкам пространства, что упрощает решение задач.

В кинематике и динамике рассматривается струйчатая модель движения жидкости, при которой поток представляется состоящим из отдельных элементарных струек. При этом элементарная струйка представляется как часть потока жидкости внутри трубки тока, образованной линиями тока, проходящими через бесконечно малое сечение. Площадь сечения трубки тока, перпендикулярную линиям тока, называют живым сечением элементарной струйки.

При установившемся движении элементарные струйки не меняют своих очертаний в пространстве. Потоки жидкости в общем случае являются трехмерными, или объемными. Более простыми являются двухмерные плоские потоки и одномерные осевые. В гидравлике преимущественно рассматриваются одномерные потоки.

Объем жидкости , проходящей через живое сечение в единицу времени , называют расходом

.

Скоростью жидкости в точке является отношение расхода элементарной струйки проходящей через данную точку, к живому сечению струйки dS

.

Для потока жидкости скорости частиц по живому сечению различны. В этом случае скорость жидкости усредняют, и все задачи решают относительно средней скорости. Это правило одно из основных в гидравлике. Расход потока через сечение

.

и средняя скорость

Длина контура живого сечения, по которой поток соприкасается с ограничивающими его стенками канала (трубы), называется смоченным периметром. При напорном движении смоченный периметр равен полному периметру живого сечения, а при безнапорном движении смоченный периметр меньше геометрического периметра сечения канала, так как в нем имеется свободная поверхность, не соприкасающаяся со стенками (рис. 15).

Отношение площади живого сечения к смоченному периметру

называют гидравлическим радиусом R.

Например, при напорном движении в круглой трубе геометрический радиус , смоченный периметр , а гидравлический радиус . Значение часто называют эквивалентным диаметром d_экв.

Для канала прямоугольного сечения при напорном движении ; .

Рис. 15. элементы гидравлического потока

Рис. 16. К выводу уравнения неразрывности потока

В случае безнапорного движения

,

здесь размеры поперечного сечения канала (см. рис. 15). Основное уравнение кинематики жидкости уравнение не разрывности, которое вытекает из условий несжимаемости, жидкости и сплошности движения, гласит, что в каждый момент времени расход через произвольное сечение потока равен расходу через любое другое живое сечение этого потока

Представляя расход через сечение в форме

,

получим из уравнения неразрывности

из которого следует, что скорости потока пропорциональны площадям живых сечений (рис. 16).

Дифференциальные уравнения движения

Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости можно получить с помощью уравнения покоя (2.3), если согласно началу Даламбера ввести в эти уравнения силы инерции, отнесенные к массе движущейся жидкости. Скорость жидкости является функцией координат и времени ; ее ускорение состоит из трех компонентов, являющихся производными проекций на координатные оси,

Эти уравнения называются уравнениями Эйлера.

Переход к реальной жидкости в уравнении (3.7) требует учета сил трения, отнесенных к единице массы жидкости, что приводит к уравнениям Навье-Стокса. Ввиду сложности эти уравнения редко применяются в технической гидравлике. Уравнение (3.7) позволит получить одно из фундаментальных уравнений гидродинамики — уравнение Бернулли.

Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли является основным уравнением гидродинамики, устанавливающим связь между средней скоростью потока и гидродинамическим давлением в установившемся движении.

Рассмотрим элементарную струйку в установившемся движении идеальной жидкости (рис. 17). Выделим двумя сечениями, перпендикулярными к направлению вектора скорости , элемент длиной и площадью . Выделенный элемент будет находиться под действием силы тяжести

и сил гидродинамического давления

Учитывая, что в общем случае скорость выделенного элемента , его ускорение

Применив к выделенному элементу весом уравнение динамики в проекции на траекторию его движения, получим

Учтя, что и что при установившемся движении , а также принимая, что , получим после интегрирования деления на

Pиc. 17. К выводу уравнения Бернулли

Рис. 18. Схема работы скоростной трубки

Это и есть уравнение Бернулли. Трехчлен этого уравнения выражает напор в соответствующем сечении и представляет собой удельную (отнесенную к единице веса) механическую энергию, переносимую элементарной струйкой через это сечение.

Первый член уравнения выражает удельную потенциальную энергию положения частички жидкости над некоторой плоскостью сравнения , или ее геометрический напор (высоту), второй удельную энергию давления, или пьезoметрический напор, а член представляет собой удельную кинетическую энергию, или скоростной напор. Константа Н называется полным напором потока в рассматриваемом сечении. Сумма первых двух членов уравнения называется статическим напором

или

Члены уравнения Бернулли, поскольку они представляют собой энергию единицы веса жидкости, имеют размерность длины. Член есть геометрическая высота частички над плоскостью сравнения, член — пьезометрическая высота, член – скоростная высота, которая может быть определена с помощью скоростной трубки (трубки Пито), представляющей собой изогнутую трубку небольшого диаметра (рис. 18), которая устанавливается в потоке открытым нижним концом навстречу течению жидкости, верхний, тоже открытый конец трубки выводится наружу. Уровень жидкости в трубке устанавливается выше уровня R пьезометре на величину скоростной высоты

В практике технических измерений трубка Пито служит в качестве прибора для определения местной скорости жидкости. Измерив величину , находят скорость в рассматриваемой точке сечения потока

Уравнение (3.8) можно получить непосредственно путем интегрирования уравнений Эйлера (3.7) или следующим образом. Представим себе, что рассматриваемый нами элемент жидкости является неподвижным. Тогда на основании уравнения гидростатики (2.7) потенциальная энергия жидкости в сечениях 1 и 2 будет

Движение жидкости характеризуется появлением кинетической энергии, которая для единицы веса будет равна для рассматриваемых сечений и и . Полная энергия потока элементарной струйки будет равна сумме потенциальной и кинетической энергии, поэтому

Таким образом, основное уравнение гидростатики является следствием уравнения Бернулли.

В случае реальной жидкости полный напор в уравнении (3.8) для разных элементарных струек в одном и том же сечении потока не будет одинаковым, так как не одинаковым будет скоростной напор в разных точках одного и того же сечения потока. Кроме того, ввиду рассеяния энергии из-за трения напор от сечения сечению будет убывать.

Однако для сечений потока, взятых там, где движение на его участках плавно меняющееся, для всех проходящих через сечение элементарных струек будет постоянным статический напор

Отсюда, усредняя уравнения Бернулли для элементарной струйки на весь поток и учтя потерю напора на сопротивление движению, получим

где — коэффициент кинетической энергии, равный для турбулентного потока 1,13, а для ламинарного -2; — средняя скорость потока: — уменьшение удельной механической энергии отока на участке между сечениями 1 и 2, происходящее в результате сил внутреннего трения.

Заметим, что расчет дополнительного члена в уравнении Берулли является основной задачей инженерной гидравлики.

Графическое представление уравнений Бернулли для нескольких сечений потока реальной жидкости приведено на рис. 19

Pиc. 19. Диаграмма уравнения Бернулли

Линия A, которая проходит по уровням пьезoметрах, измеряющих в точках избыточное давление, называется пьезoметрической линией. Она показывает изменение отсчитанного от плоскости сравнения статического напора по длине потока. Пьезометрическая линия отделяет область изменения потенциальной и кинетической энергии.

Полный напор Н уменьшается по длине потока (линия В). Градиент напора по длине потока называется гидравлическим уклоном и выражается формулой

т.е. гидравлический уклон численно равен синусу угла между горизонталью и линией полного напора реальной жидкости. Одним из важных выводов, вытекающих из уравнения Бернулли, является Формула Торичелли. Если рассматривать сосуд, сечение которого существенно меньше сечения , то согласно (3.9) для идеальной жидкости можно предположить что , и, решая полученное ура внение относительно , получим фор мулу (рис. 20)

Рис. 20. Схема к выводу формулы Торичелли

Рис. 21. Схема трубчатого расходомера

Рис. 22. Схема расходомерной шайбы

Отсюда, принимая , скорость истечения из сосуда

Если истечение происходит только под действием собственной силы тяжести, т. е. когда на поверхности сосуда

, то

Проиллюстрируем уравнение Бернулли на примере трубчатого расходомера Вентури (рис. 21). В наибольшем и наименьшем сечениях трубы установлены пьезoметры, показания которых позволяют определить перепад пьезoметрического напора между двумя сечениями трубы и записать

Составляя для рассматриваемых сечений уравнение Бернулли и пренебрегая потерями, с учетом показания пьезoметров, получим

В этом уравнении неизвестными являются и . Из уравнения неразрывности следует , что позволяет определить скорость va и расход жидкости через трубу

где С — константа расходомера, учитывающая также и потери напора, так как определяется опытом. Аналогично ведется расчет расходомерной шайбы, обычно выполняемой в виде плоского кольца (рис. 22). Расход определяется по замеренной разности уровней в пьезoметрах уравнение Бернулли (3.9) и уравнение неразрывности потока (3.5) являются основными при расчете гидравлических систем.