Урок 22 Бесплатно Пропорции
Чтобы узнать название темы урока, обратите внимание на картинку.
Попробуйте отгадать ребус.
На этом уроке вы узнаете, что называют пропорцией, выведете основное свойство пропорции и с помощью него научитесь решать задачи и уравнения.
Слово «пропорция» (proportio) в переводе с латинского — соразмерность, отношение частей (соотношение).
Пропорция
В IV веке до н.э. древнегреческий математик Евдокс Книдский дал определение пропорции, состоящей из величин любой природы, а не только из натуральных величин.
Пропорции применяли с древности при решении различных задач.
Древние греки использовали пропорцию и ее свойство для строительства сооружений, при создании произведений искусства (скульптуры, статуи), в ремесленническом деле и др.
Соблюдение пропорций, определенных соотношений, активно используется и в настоящее время в архитектуре, искусстве, музыке, при решении физических задач.
В географии и моделировании пропорциональные зависимости применяют при создании уменьшенной копии реального объекта.
В швейных технологиях — для изменения размеров выкройки изделия до нужного размера.
В химии для проведения успешной реакции рассчитывают пропорциональное отношение химических веществ.
В медицине и фармацевтике используют пропорции при изготовлении лекарственных препаратов.
В кулинарии, например, с помощью пропорции можно рассчитать рецепт одного и того же блюда для разного количества гостей.
Разберем, что же такое пропорция в математическом понимании.
Возьмем два отношения: \(\mathbf<\frac<36><9>>\) и \(\mathbf<\frac<12><3>>\) и эти отношения равны, так как \(\mathbf<36\div9=4>\) и \(\mathbf<12\div3=4>\), значит \(\mathbf<\frac<36><9>= \frac<12><3>>\)
Равенство двух отношений называют пропорцией.
С помощью букв запишем пропорцию из двух отношений так: \(\mathbf\) или \(\mathbf<\frac= \frac
Эту математическую запись читают так: «Отношение a к b равно отношению c к d» или «a так относится к b, как c относится к d».
Все члены пропорции не равны нулю: \(\mathbf\).
Числа a и d называют крайними членами пропорции.
Числа b и c называют средними членами пропорции.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
В мире существует «золотая пропорция», которую называют «золотым сечением». Это пропорциональное деление отрезка на различные по размеру части, но в таком соотношении к друг другу, что меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всей величине.
Приблизительное значение «золотого сечения» равно 1,618… Число это продолжается бесконечно после запятой, и оно не периодично.
В процентном выражении целая часть относится к большей, как большая к меньшей, примерно так: 62% и 38% соответственно.
Обозначают число «золотого сечения» математической буквой \(\mathbf<\varphi>\) (фи).
Мир живой и неживой природы, мир творений человека полон красоты, симметрии и гармонии. Этот мир описывается законом «золотого сечения».
Рассмотрим только несколько примеров, где присутствует и используется правило «золотого сечения».
Считается, что длина фаланг пальцев и длина кисти руки, средний палец и мизинец, или высота лица и расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ у пропорционального человека находятся в определенных отношениях, соответствуя правилу «золотого сечения».
Форма тела ящериц, стрекоз, бабочек соответствует закону «золотого сечения»: отношение грудной и брюшной части тела приближенно равны значению «золотого сечения».
Спиралевидная форма ракушек тоже описывается числом \(\mathbf<\varphi>\) (фи).
«Золотая пропорция» была обнаружена в египетских пирамидах, произведениях искусства, архитектуре и применяется до сих пор в разных областях жизни человека
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Пропорции, члены пропорции, основное свойство пропорции
Содержание
Пропорции, члены пропорции. Основное свойство пропорции |
Производные пропорции |
Свойства равных отношений |
Пропорции, члены пропорции. Основное свойство пропорции
Частное от деления числа a на число b называют отношением числа a к числу b .
Число a называют предыдущим членом отношения, число b – последующим членом отношения.
Пропорцией называют равенство двух отношений:
.
Иногда пропорцию записывают так:
И в одной, и во второй формах записи пропорции числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и c – средними членами пропорции.
Для любой пропорции справедливо следующее равенство, которое называют основным свойством пропорции:
Словесно это равенство можно сформулировать так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции.
Для того, чтобы доказать основное свойство пропорции, умножим пропорцию на выражение .
В результате получим:
что и требовалось доказать.
Основное свойство пропорции позволяет по трем любым известным членам пропорции найти четвертый неизвестный член пропорции. Покажем это на двух примерах.
ПРИМЕР 1 . Найти неизвестный член пропорции x , если
РЕШЕНИЕ . Воспользовавшись основным свойством пропорции, получаем:
ПРИМЕР 2 . Найти неизвестный член пропорции x , если
РЕШЕНИЕ . Воспользовавшись основным свойством пропорции, получаем:
ОТВЕТ : .
Из основного свойства пропорции легко вытекают также свойства пропорции, которые называют перестановкой членов пропорции. Эти свойства формулируются так: если
.
Производные пропорции
Справедливы также свойства пропорции, которые называют производными пропорциями. Эти свойства формулируются так: если
,
, | |
, | |
, | |
, | |
, | |
В качестве примера докажем первое из указанных свойств (остальные свойства доказываются аналогично). Для этого к обеим частям пропорции
.
достаточно прибавить 1. В результате получаем,
что и требовалось.
ЗАМЕЧАНИЕ . Последнее из свойств пропорций является наиболее общим и может быть доказано, например, с помощью основного свойства пропорции.
Свойства равных отношений
Если выполнено соотношение
то выполнено и соотношение
– произвольные числа, которые не могут все одновременно равняться нулю.
Что такое пропорция
О чем эта статья:
Что такое пропорция
Пропорция — это равенство двух отношения.
Пропорциональный — это такой, который находится в определенном отношении к какой-либо величине.
Пропорция всегда содержит равные коэффициенты.
Если выразить определение формулой, то выглядеть оно будет так:
- a : b = c : d
a и d — крайние члены пропорции, b и с — средние члены пропорции.
Читается это выражение так: a так относится к b, как c относится к d
Например:
Это равенство двух отношений: 15 так относится к 5, как 9 относится к 3.
15 и 3 — крайние члены пропорции.
5 и 9 — средние члены пропорции.
Наглядный пример для понимания:
У нас есть восемь кусочков аппетитной пиццы и, предположим, четыре голодных друга.
- Запишем эту непростую ситуацию в виде отношения 8 кусочков к 4 голодным друзьям: 8 : 4
- Далее преобразовываем это отношение в дробь: 8/4
- Выполняем деление: 8/4 = 2
Это значит, что 8 аппетитных кусочков пиццы будут так относиться к 4 голодным друзьям, что каждому голодающему достанется по 2 кусочка. Прекрасно!
А теперь представим, ситуацию, в которой есть только половина аппетитной пиццы, но при этом и голодных друга — всего два.
Что мы имеем: 4 кусочка и 2 друга, претендующих на них.
- Запишем в виде отношения: 4 : 2
- Преобразовываем получившееся отношение в дробь: 4/2
- Выполняем деление: 4/2 = 2
Это значит, что 4 аппетитных кусочка будут так относиться к 2 голодным друзьям, что каждому из них достанется по 2 кусочка.
Оценив обе ситуации, делаем вывод, что отношение 8/4 пропорционально отношению 4/2. Отношения в пропорции — равные.
Вывод: знание математических пропорций пригодится при заказе пиццы. Быстренько прикидываем отношение количества человек, претендующих на пиццу, и число кусочков — и сразу заказываем побольше пиццы, чтобы никто не остался голодным😉
Основное свойство пропорции
Запомните основное свойство пропорции:
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов этой пропорции.
В виде формулы свойство выглядит так:
a : b = c : d
a * d = b * c
Мы знаем, что a и d — крайние члены пропорции, b и c — средние.
Это свойство следует применять, чтобы проверить пропорцию. Если все сходится согласно формулировке — пропорция составлена верно, и отношения в пропорции являются равными друг другу.
Давайте проверим несколько пропорций.
Пример 1. Дана пропорция:6/2 = 12/4
- Чтобы проверить, верно ли составлена пропорция, перемножаем ее крайние члены: 6 * 4 = 24.
- Далее перемножаем средние члены пропорции: 2 * 12 = 24
- Произведение крайних членов пропорции равно 24, произведение средних членов пропорции также равно 24.
- 6 * 4 = 2 * 12
24 = 24
Делаем вывод, что пропорция 6/2 = 12/4 составлена верно.
Пример 2. Дана пропорция: 10/2 = 16/4
- Перемножаем крайние члены пропорции: 10 * 4 = 40.
- Перемножаем средние члены: 16 * 2 = 32.
- Произведение крайних членов пропорции равно 40. Произведение средних членов пропорции равно 32.
- 10 * 4 ≠ 16 * 2
40 ≠ 32
Отсюда делаем вывод, что отношения в пропорции 10/2 ≠ 16/4 не являются равными.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Примеры решения задач с пропорцией
Чтобы потренироваться в составлении пропорций, решим вместе несколько задачек.
Задачка 1. Дана математическая пропорция: 15/3 = x/4
- По основному свойству пропорции перемножаем множители:
15 * 4 = 3x - Получаем уравнение: 60 = 3x
- 60/3 = x
x = 20.
Ответ: в пропорции 15/3 = x/4, x = 20
Задачка 2. Найдите четвертый член пропорции: 18, 9 и 24.
- Записываем чиcла в виде дробей: 18/9 = 24/x
Где x — четвертый член пропорции. - По основному свойству пропорции, перемножаем средние члены: 9 * 24 = 216
- Выводим уравнение 18x = 216
- Находим x:
x = 216 : 18
x = 12 - Проверяем: 9 * 24 = 216, 18 * 12 = 216.
Пропорция составлена верно.
Ответ: четвертый член пропорции — 12.
Задачка 3. 18 человек могут съесть пять килограммов суши за 8 часов, сколько часов понадобится 9 людям?
- Записываем числа в виде обратной пропорции: 18/9 = x/8
- Перемножаем множители по основному свойству пропорции: 18 * 8 = 9x
- Находим х:
144 = 9x
144 : 9 = 16
Ответ: 16 часов понадобится 9 людям, чтобы съесть все суши.
Задачка 4. Дана пропорция: 20/2 = y/4
- По основному свойству пропорции перемножаем множители:
20 * 4 = 2y - Получаем уравнение: 80 = 2y
- Находим у:
80/2 = y
x = 40. - Проверяем пропорцию: 20 * 4 = 80, 40 * 2 = 80.
http://www.resolventa.ru/index.php/proportsii
http://skysmart.ru/articles/mathematic/chto-takoe-proporciya