Основное уравнение динамики неинерциальных систем отсчета

Неинерциальные системы отсчета

Вы будете перенаправлены на Автор24

Законы динамики в неинерциальных системах отсчета

Как известно, законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Системы отсчета, которые движутся относительно инерциальной системы с ускорением, называются неинерциальными. В неинерциальных системах законы Ньютона, вообще говоря, уже применять нельзя. Однако законы динамики можно применять и для них, если кроме сил, которые обусловлены воздействием тел друг на друга, ввести в рассмотрение понятие силы особого рода — так называемую силу инерции.

При учете сил инерции второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета: произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (учитывая и силы инерции). При этом силы инерции $F_ $ должны быть такими, чтобы вместе с силами $F$, обусловленными воздействием тел друг на друга, они сообщали телу ускорение $a’$, каким оно обладает в неинерциальных системах отсчета, т. е. :

Так как $F=ma$ ($a$ — ускорение тела в инерциальной системе отсчета), то:

Силы инерции обусловлены ускоренным движением системы отсчета относительно измеряемой системы, поэтому, в общем случае, следует учитывать следующие случаи возникновения этих сил:

• силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета;
• силы инерции, которые действуют на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета;
• силы инерции, которые действуют на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета.

Рассмотрим эти случаи.

Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета

На тележке к штативу на нити подвешен шарик массой $m$ (рис. 1).

Пока тележка покоится или движется прямолинейно и равномерно, нить, которая удерживает шарик, занимает вертикальное положение и сила тяжести $P$ уравновешивается силой реакции (натяжения) нити $T$. Если тележку привести в поступательное движение с ускорением $a_ <0>$, то нить будет отклоняться от вертикали в сторону, обратную движению, до такого угла $\alpha $, пока результирующая сила $F=P+T$не даст ускорение шарика, равное $a_ <0>$. Значит, результирующая сила $F$ направлена в сторону ускорения тележки $a_ <0>$ и для установившегося движения шарика (теперь шарик движется вместе с тележкой с ускорением $a_ <0>$) равна $F=mgtg\alpha =ma_ <0>$, откуда $tg\alpha =\frac > $, т. е. угол отклонения нити от вертикали тем больше, чем больше ускорение тележки. В системе отсчета, которая связана с ускоренно движущейся тележкой, шарик покоится, что возможно, если сила $F$ уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой $F_ $, которая является ничем иным, как силой инерции, так как на шарик никакие другие силы не действуют.

Готовые работы на аналогичную тему

Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета

Пусть диск равномерно вращается с угловой скоростью $\omega $ ($\omega =const$) вокруг перпендикулярной ему оси, которая проходит через его центр. На диске установлены маятники, на разных расстояниях от оси вращения и на нитях висят шарики массой $m$. Когда диск начнет вращаться, шарики отклоняются от вертикали на некоторый угол (рис.2).

В инерциальной системе отсчета, которая связана, например, с помещением, где установлен диск, происходит равномерное вращение шарика по окружности радиусом $R$ (расстояние от центра вращающегося шарика до оси вращения). Значит, на него действует сила, равная $F=m\omega ^ <2>R$ и которая направлена перпендикулярно оси вращения диска. Она является равнодействующей силы тяжести $\; $ и силы реакции (натяжения) нити $T$: $F=P+T$. Когда движение шарика установится, то $F=mgtg\alpha =m\omega ^ <2>R$ откуда:

т. е. углы отклонения нитей маятников будут тем больше, чем больше угловая скорость вращения и чем больше расстояние $R$ от центра шарика до оси вращения диска. Относительно системы отсчета, которая связана с вращающимся диском, шарик покоится, что возможно, если сила $F$ уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой $F_ $, являющаяся ничем иным, как силой инерции, так как никакие другие силы на шарик не действуют. Сила $F_ $, называемая \textbf<центробежной силой инерции>, направлена по горизонтали от оси вращения диска и равна:

Из формулы (3) следует, что центробежная сила инерции, которая действует на тела во вращающихся системах отсчета и которая направлена в сторону радиуса от оси вращения, зависит от угловой скорости вращения $\omega $ системы отсчета и радиуса $R$, но при этом не зависит от скорости тела относительно вращающихся систем отсчета. Значит, центробежная сила инерции действует во вращающихся системах отсчета на все тела, которые удалены от оси вращения на конечное расстояние, при этом не имеет значения, покоятся ли они в этой системе отсчета (как мы предполагали до сих пор) или движутся относительно нее с некоторой скоростью.

Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета

Пусть шарик массой $m$ движется с постоянной скоростью $v’$ вдоль радиуса равномерно вращающегося диска ($v’=const$,$\omega =const$,$v’$ перпендикулярно $\omega $). Если диск не начал вращаться, то шарик, движется по радиальной прямой и попадает в точку А, если же диск привести во вращение в направлении, которое указанно стрелкой, то шарик покатится по кривой OВ (рис. 3а), причем его скорость $v’$ относительно диска сменит свое направление. Это возможно лишь в случае, если на шарик действует сила, которая перпендикулярна скорости $v’$.

Чтобы заставить шарик катиться по вращающемуся диску вдоль радиуса, будем использовать жестко укрепленный вдоль радиуса диска стержень, на котором шарик движется без трения прямолинейно равномерно со скоростью $v’$ (рис. 3б). При отклонении шарика стержень действует на него с некоторой силой $F$. Во вращающейся системы отсчета, т.е. относительно диска, шарик движется прямолинейно и раномерно, что объясняется тем, что сила $F$ уравновешивается приложенной к шарику силой инерции $F_ $, которая перпендикулярной скорости $v’$. Эта сила называется \textbf<кориолисовой силой инерции>. Можно показать, что сила Кориолиса:

Вектор $F_ $ перпендикулярен векторам скорости $v’$ тела и угловой скорости вращения системы отсчета в соответствии с правилом правого винта.

Тело находится в покое на вершине наклонной плоскости. За какое время тело соскользнет с плоскости, если плоскость в момент времени $е=0$ начнет двигаться влево в горизонтальном направлении с ускорением $1 \ м/с^2$? Длина плоскости $1$ м, угол наклона плоскости к горизонту $30^\circ$, коэффициент трения между телом и плоскостью $0,6$.

Найти: время движения тела по наклонной плоскости.

Решение: Систему отсчета удобно связать с наклонной плоскостью. Но плоскость движется с ускорением по отношению к Земле. Для рассматриваемого движения Земля является инерциальной системой отсчета. Следовательно, система отсчета, связанная с наклонной плоскостью, неинерциальна, и в уравнении движения тела необходимо ввести поступательную силу инерции. Таким образом, на движущееся тело в системе отсчета, связанной с наклонной плоскостью, действуют четыре силы: сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции $N$, сила трения $F_ $ и поступательная сила инерции $\overline_ =-m\overline$.

Уравнение движения тела запишется следующим образом:

$m\overline >=m\overline+\overline+\overline_ +\overline_ $ ,

где инерции $\overline >$ — ускорение тела.

Спроецируем это уравнение на ось $X$, направленную вдоль наклонной плоскости, и перпендикулярную к ней ось $Y$.

\[ma_ <1>=mg\sin \alpha -F_ +ma\cos \alpha \] \[0=-mg\cos \alpha +N+ma\sin \alpha \]

Учитывая, что $F_ =\mu N$, из этой системы уравнений получим:

\[a_ <1>=g(\sin \alpha -\mu \cos \alpha )+a(\cos \alpha +\mu \sin \alpha ).\]

Так как ускорение $a_ <1>$ не зависит от времени, то время движения тела по наклонной плоскости будет равно:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 11 07 2021

Неинерциальные системы отсчета

Ни для кого не секрет, что законы Ньютона могут быть выполнены лишь в инерциальных системах отсчета.

Системы отсчета, совершающие ускоренное движение относительно инерциальной системы, носят название неинерциальных.

В таких системах законы Ньютона применяться не могут. Несмотря на это, законы динамики можно использовать и в условиях подобных систем в случае, если, кроме обусловленных взаимным воздействием тел друг на друга сил, будет введено понятие силы инерции.

С учетом сил инерции второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета: произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета эквивалентно совокупности всех оказывающих воздействие на данное тело сил F , в список которых включены и инерционные.

Наряду с этим, силы инерции F i n должны быть такими, чтобы в сумме с силами F они придавали движению приведенного объекта ускорение a ′ , которым оно обладает в неинерциальных системах отсчета, таким образом:

По причине того, что F = m a , где a является ускорением тела в инерциальной системе отсчета.

Силы инерции вызваны ускоренным движением системы отсчета относительно исследуемой системы, из-за чего, в общем случае, стоит учитывать следующие варианты возникновения данных сил:

1. Силы инерции в условиях ускоренного поступательного движения системы отсчета.
2. Силы инерции, оказывающие воздействие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета.
3. Силы инерции, действующие на движущееся во вращающейся системе отсчета тело.

Рассмотрим приведенные случаи.

Силы инерции в условиях ускоренного поступательного движения системы отсчета

К расположенному на тележке штативу с помощью нити подвешен шарик с некоторой массой m (рис. 1 ). Во время того, как тележка покоится или движется прямолинейно и равномерно, удерживающая шарик нить, находится в вертикальном положении, а сила тяжести P компенсируется силой натяжения нити T .

В условиях, в которых тележка обладает ускорением a 0 , нить будет отклоняться от вертикали в обратную по отношению к направлению движения сторону до некоторого угла a до тех пор, пока результирующая сила F = P + T не приведет ускорение шарика к ускорению, равному a 0 . Таким образом, результирующая сила F сонаправлена с ускорением тележки a 0 и для установившегося движения шарика (так как теперь он движется вместе с тележкой с ускорением a 0 ) эквивалентна F = m g · t g α = m a 0 , соответственно t g a = a 0 g . Выходит, что угол отклонения нити от вертикали тем больше, чем выше значение ускорения тележки. В системе отсчета, которая связана с ускоренно движущейся тележкой, шарик находится в состоянии покоя. Такое становится возможным, если сила F компенсируется равной и противоположно направленной ей силой F i n , представляющей собой силу инерции, так как действия на шарик каких-либо других сил эффекта не возымеют.

Следовательно: F i n = — m a 0 .

Силы инерции, оказывающие воздействие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета

Пускай диск равномерно вращается с угловой скоростью ω ( ω = c o n s t ) вокруг ортогональной (то есть перпендикулярной) ему оси, проходящей через его центр. На диске расположены маятники, на различных расстояниях от оси вращения и на нитях прикреплены шарики массой m . Во время вращения диска, шарики отклоняются от вертикали на некоторый угол (рис. 2 ).

В инерциальной системе отсчета, связанной, к примеру, с помещением, в котором расположен диск, происходит равномерное вращательное движение шарика по окружности с радиусом R . Следовательно, на него оказывает воздействие сила, эквивалентная F = m ω 2 R и направленная ортогонально оси вращения диска. Она представляет собой равнодействующую сил тяжести и натяжения нити T : F = P + T . В момент, когда движение шарика установится, F = m g · t g a = m ω 2 R , соответственно: t g α = ω 2 R g . Таким образом, углы отклонения нитей маятников будут тем больше, чем больше величины угловой скорости вращения и расстояния R от центра шарика до оси вращения диска. Относительно системы отсчета, связанной с вращающимся диском, шарик покоится, что возможно лишь в том случае, если сила F будет скомпенсирована равной и противоположно направленной ей силой F c , представляющей собой силу инерции, так как действия на шарик каких-либо других сил эффекта не возымеют. Сила F c , носящая название центробежной силы инерции, направлена по горизонтали от оси вращения диска и равняется:

F c = — m a 0 ω 2 R .

Исходя из формулы, расположенной выше, можно заключить, что центробежная сила инерции, воздействующая на тела во вращающихся системах отсчета и направленная в сторону радиуса от оси вращения, обладает зависимостью от угловой скорости вращения ω системы отсчета и радиуса R , однако не имеет зависимости от скорости тела относительно вращающихся систем отсчета. Таким образом, центробежная сила инерции во вращающихся системах отсчета оказывает влияние на любые удаленные от оси вращения на конечное расстояние объекты. При данном условии не имеет значения, покоятся ли они в подобной системе отсчета, как нами предполагалось до этих пор, или совершают движение относительно нее с некоторой скоростью.

Силы инерции, действующие на движущееся во вращающейся системе отсчета тело

Пускай шарик массой m совершает движение в условиях постоянной скорости υ ‘ вдоль радиуса равномерно вращающегося диска

( υ ‘ = c o n s t , ω = c o n s t , υ ‘ ортогонально ω ). В случае, если диск не начинает вращательное движение, шарик перемещается по радиальной прямой и попадает в точку А . Если же диск приводится во вращение в указанном стрелкой направлении, то шарик катится по кривой O В (рис. 3 а ), при этом относительно диска его скорость υ ‘ меняет свое направление. Такое возможно только в том случае, если на шарик оказывает влияние сила, перпендикулярная скорости υ ‘ .

Чтобы спровоцировать качение шарика по вращательно двигающемуся диску вдоль радиуса, будем применять жестко укрепленный вдоль него стержень, на котором шарик движется без трения прямолинейно и равномерно со скоростью υ ‘ (рис. 3 б ).

В случае отклонения шарика стержень воздействует на него некоторой силой F . Шарик совершает прямолинейное равномерное движение во вращающейся системе отсчета, то есть относительно диска. Данный факт основывается на том, что сила F компенсируется приложенной к шарику силой инерции F k , ортогональной скорости υ ‘ . Такая сила является кориолисовой силой инерции. Можно сказать, что вектор силы Кориолиса F k направлен под прямым углом к векторам скорости υ ‘ объекта и угловой скорости вращения системы отсчета в соответствии с правилом правого винта.

Давайте рассмотрим пример движения тела в одном из видов неинерциальных систем отсчета. Объект находится в покое на вершине наклонной плоскости.

По прошествии какого времени тело соскользнет с поверхности, если она в момент времени е = 0 начнет движение влево в горизонтальном направлении с ускорением с 1 м / с 2 ?

Длина плоскости 1 м , угол наклона плоскости по отношению к горизонту 30 ° , коэффициент трения между телом и плоскостью 0 , 6 .

Необходимо высчитать время движения тела по наклонной плоскости.

Систему отсчета будет удобно связать с наклонной плоскостью. Однако плоскость по отношению к Земле находится в состоянии ускоренного движения. Для данного движения Земля представляет собой инерциальную систему отсчета. Выходит, что связанная с наклонной плоскостью система отсчета считается, напротив, неинерциальной, и в уравнение движения тела нужно добавить поступательную силу инерции. На двигающееся тело в связанной с наклонной плоскостью системе отсчета влияют четыре силы: сила тяжести m g , сила нормальной реакции N , сила трения F т р и поступательная сила инерции F ¯ i n = — m a ¯ .

Уравнение движения тела выглядит следующим образом:

m a 1 ¯ = m g ¯ + N ¯ + F ¯ т р + F ¯ i n , где a 1 ¯ — ускорение тела.

Спроецируем это уравнение на ось X , направленную вдоль наклонной плоскости, и ортогональную к ней ось Y .

m a 1 = m g · sin α — F т р + m a · cos α , 0 = — m g · cos α + N + m a · sin α .

Если учитывать, что F т р = μ N , из этой системы уравнений получим:

a 1 = g ( sin α — μ cos α ) + a ( cos α + μ sin α ) .

По причине того, что ускорение a 1 не обладает зависимостью от времени, время движения тела по наклонной плоскости будет равняться:

t = 2 l a 1 = 2 l g ( sin α — μ cos α ) + a ( cos α + μ sin α ) ≈ 0 , 8 с

Основное уравнение динамики неинерциальных систем отсчета

1.5. Неинерциальные системы отсчета

Как уже отмечалось, законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Системы отсчета, движущиеся относительно инерциальной системы с ускорением, называются неинерциальными. В принципе использование неинерциальных систем отсчета ничем не запрещено. Надо только соответствующим образом подправить законы динамики.

1.5.1. Уравнение Ньютона для неинерциальных систем

Законы инерции выполняются в инерциальной системе отсчета. В неинерциальной системе также можно воспользоваться законами Ньютона, если ввести силы инерции. Они фиктивны. Их вводят специально, чтобы воспользоваться уравнениями Ньютона в неинерциальной системе.

Силы инерции обусловлены не взаимодействием тел, а свойствами самих неинерциальных систем отсчета. На силы инерции законы Ньютона не распространяются.

Найдем количественное выражение для силы инерции при поступательном движении неинерциальной системы отсчета.

Введем обозначения:
a’ — ускорение тела массы m относительно неинерциальной системы;
a» — ускорение неинерциальной системы относительно инерциальной (относительно Земли).

Тогда ускорение тела относительно инерциальной системы

Ускорение в инерциальной системе можно выразить через второй закон Ньютона:

F/m = a» + a’, отсюда a’ = F/m + F_ин/m,

где F_ин =-ma» — сила инерции, направленная в сторону, противоположную ускорению неинерциальной системы. Тогда получим

— уравнение Ньютона для неинерциальной системы отсчета.

Здесь сила инерции F_ин — фиктивная сила, обусловленная свойствами системы отсчета, необходимая нам для того, чтобы иметь возможность описывать движения тел в неинерциальных системах отсчета с помощью уравнений Ньютона.