Основное уравнение динамики поступательного движения материальной точки

Основное уравнение динамики поступательного движения материальной точки

Результирующая всех внутренних сил, действующих на i-е тело,

По третьему закону Ньютона F = -F, поэтому результирующая всех внутренних сил системы равна нулю.

Fвнеш — результирующая всех внешних сил, приложенных к i-й точке системы. Назовем F = ΣFiвнeш — главным вектором всех внешних сил,

Скорость изменения импульса системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на эту систему.

Это уравнение называют основным уравнением динамики поступательного движения системы тел.

Так как импульс системы p = mv_c, то.

Отсюда можно по-другому записать основное уравнение динамики поступательного движения системы тел.

здесь a_c — ускорение центра инерции.

Центр механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная главному вектору внешних сил, приложенных к системе.

На основании третьего закона Ньютона силы, действующие на тела системы со стороны других тел системы (внутренние силы), взаимно компенсируют друг друга. Остаются только внешние силы.

В общем случае движение тела можно рассматривать как сумму двух движений. поступательного со скоростью v = v_c и вращательного вокруг центра инерции.

Лекция №3. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

2.1. Основное уравнение динамики поступательного движения

Динамика − раздел механики, в котором изучается движение тел под действием приложенных сил. Основной задачей динамики является определение кинематического уравнения движения материальной точки, если известны, приложенные силы к ней со стороны окружающих тел и начальные условия, положение и скорость тела в начальный момент времени.

В основе динамики лежат три закона И. Ньютона, которые являются результатом обобщения опытных данных и теоретических сведений в области механики. Для формулировки законов динамики необходимо дать определение следующих динамических характеристик: инертность, масса, импульс тела и сила.

Инертностью (или инерцией ) называется свойство тела сохранить неизменным состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Количественной мерой инертности тел является инертная масса ), а количественной мерой гравитационного взаимодействия яв-ляется гравитационной массы . К настоящему времени экспериментально показано, что инертная и гравитационная массы с большой степенью точности совпадают, т. е. они эквивалентны. Этот фундаментальный закон природы называется принципом эквивалентности .

Масса − это физическая величина, являющаяся мерой инерционных и гравитационных свойств тела. Единицей массы в СИ является килограмм: [m] = кг . Масса − величина аддитивная, т. е. масса тела равна сумме масс всех частей этого тела.

Импульс тела (или количество движения ) − это векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость

Единица измерения импульса в СИ — $$ <[p]>= <кг×м \over c>$$ .

Сила − это векторная физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате, которого тело деформируется или приобретает ускорение. Единица измерения силы в СИ − Ньютон $$ <[F]>= кг× <м \over c^2>=H$$ . Сила, приложенная к телу, считается заданной, если указаны ее точка приложения, направление действия и численное значение.

Первый закон Ньютона (или закон инерции ), который формулируется следующим образом: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока действие со стороны других тел не выведут его из этого состояния. Система отсчета, в которой выполняется первый закон Ньютона, называется инерциальной . Рассмотрим две системы отсчета, двигающиеся друг относительно друга с некоторым ускорением. Если относительно одной из них тело покоится, то относительно другой оно будет двигаться с ускорением. Получается, что в одной системе отсчета первый закон Ньютона выполняется, а в другой не выполняется. Любая система отсчета, движущаяся относительно некоторой инерциальной системы прямолинейно и равномерно будет также инерциальной. Системы отсчета, по отношению к которым первый закон Ньютона не выполняется, называются неинерциальными системами отсчета.

Второй закон Ньютона : ускорение тела прямо пропорционально результирующей сил приложенных к нему и обратно пропорционально его массе.

Скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Уравнения (2.1.2) и (2.1.3) являются математическим выражением второго закона Ньютона. Второй закон Ньютона позволяет решать основную задачу механики. Поэтому его называется основным уравнением динамики поступательного движения .

Третий закон Ньютона : сила, с которой одно тело действует на другое, равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой второе тело действует на первое.

2.2. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности

Рассмотрим две инерциальные системы XYZ (система К ) и X’Y’Z’ (система К’ ), первая из которых будет неподвижной, а вторая движется поступательно вдоль положительного направления оси 0X с постоянной скоростью υ₀ . Найдем связь между координатами х, у, z некоторой точки M в системе К и координатами х’, у’, z’ . той же точки в системе К’ . Если начать отсчет времени с того момента, когда начала координат обеих систем совпадали, то, как следует из рис. 2.2.1 в момент времени t координаты точки М в этих системах будут связаны соотношениями

Формулы (2.2.1) называются преобразованиями Галилея для координат и времени. Они могут быть представлены также в виде обратного преобразования:

Из преобразований Галилея вытекает классический закон сложения скоростей. Продифференцировав соотношения (2.2.2) по времени, найдем связь между скоростями точки М по отношению к системам отсчета К и К’

Согласно векторному соотношению (2.2.3) скорость υ точки М относительно неподвижной системы координат (абсолютная) равна векторной сумме ее скорости υ’ относительно подвижной системы (относительная) и скорости υ₀ подвижной системы относительно неподвижной (переносная).

Продифференцировав выражение (2.2.3) по времени t , получим при условии, что υ₀ = const

Отсюда следует, что ускорение какого-либо тела во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно, оказывается одним и тем же. Поэтому, если одна из этих систем инерциальна, то и остальные будут инерциальными.

Так как масса в классической механике не зависит от скорости, то произведение массы тела на его ускорение во всех инерциальных системах будет одинаковым, т. е. вид второго закона Ньютона, описывающего движение тела, будет одинаковым во всех инерциальных системах отсчета. Неизменность выражения для закона Ньютона отражает тот факт, что все механические явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково при одинаковых условиях. Другими словами − все инерциальные системы отсчета эквивалентны между собой. Это утверждение носит название принципа относительности Галилея (или механический принцип относительности ). Он означает, что никакими опытами внутри инерциальной системы отсчета невозможно установить покоится эта система или движется равномерно и прямолинейно. Принцип относительности справедлив не только для механических, но и для любых физических явлений.

Используя преобразования Галилея, можно показать, что отрезки длин (масштабы) и интервалы времени между двумя какими-либо событиями одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

Понятие времени в классической механике является абсолютным, поэтому

Физические величины, не изменяющиеся при переходе от одной инерциальной системе к другой, называются инвариантными. Следовательно, отрезки длин и интервалы времени являются инвариантами классической механики.

2.3. Система материальных точек. Закон сохранения импульса

Механической системой называется совокупность материальных точек, рассматриваемых как единое целое. Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называются внутренними . Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними . Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой механической системой .

Импульс механической системы, представляет собой сумму импульсов всех материальных точек, входящих в механическую систему.

Рассмотрим систему материальных точек массами m₁ , m₂, …, m_n , движущихся со скоростями υ₁ , υ₂ , …, υ_n . Пусть на каждую из этих точек действуют равнодействующие внутренних сил F ₁ i , F ₂ i , …, F _n i , и равнодействующие внешних сил F ₁ e , F ₂ e , …, F _n e .

Используя второй закон Ньютона для системы точек, запишем

Сложим эти уравнения:

Согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между материальными точками механической системы, будут равны и противоположно направлены, т. е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

С учетом выражения (2.3.1) получим закон изменения импульса механической системы : производная по времени от импульса механической системы равна векторной сумме внешних сил, действующих на систему.

В случае замкнутой механической системы,

Выражение (2.3.6) выражает закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени.

Закон сохранения импульса носит универсальный характер и выполняется также в релятивистской и квантовой механике. Закон сохранения импульса − это фундаментальный закон природы. Он является следствием определенного свойства симметрии пространства − его однородности. Под однородностью пространства понимают одинаковость свойств пространства во всех его точках.

2.4. Центр масс. Уравнение движения центра масс

В классической механике масса тела не зависит от его скорости движения, и импульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс.

Центром масс (или центром инерции ) системы материальных точек называется воображаемая точка С , положение которой характеризует распределение массы этой системы, и радиус-вектор которой определяется выражением:

где m_i и r _i − масса и радиус-вектор i-ой точки системы; $$m = <\sum_^n>m_i$$ − суммарная масса системы.

Соотношения координат центра инерции системы равны

В случае непрерывного распределения массы в системе (например, в случае протяженного тела) радиус-вектор центра масс системы определяется выражением

где r − радиус-вектор малого элемента системы, масса которого равна dm , а интегрирование проводится по всем элементам системы, т. е. по всей ее массе m .

Определим скорость центра масс механической системы

Учитывая выражение (2.3.1) получим

Таким образом, импульс механической системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

С учетом выражения (2.3.5) получим

Это выражение представляет собой закон движения центра масс : центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы, и на которую действует сила, равная векторной сумме всех внешних сил, приложенных к системе.

Закон движения центра масс показывает, что для изменения скорости центра масс системы необходимо, чтобы на систему действовала внешняя сила. Внутренние силы взаимодействия частей системы могут вызвать изменения скоростей этих частей, но они не могут повлиять на суммарный импульс системы и скорость ее центра масс.

Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

Первый закон Ньютона

Динамика – раздел механики, в котором изучается движение тел с учетом причин, вызывающих или изменяющих это движение. Классическая динамика базируется на трех законах Ньютона.

Первый закон Ньютона гласит: всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.

Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции, а движение тела, свободного от внешних воздействий – движением по инерции.

Система отсчета, в которой справедлив закон инерции, называется инерциальной системой отсчета. Всякая система отсчета, движущаяся относительно инерциальной системы отсчета поступательно, равномерно и прямолинейно, является также инерциальной системой отсчета.

Инерциальная система отсчета может рассматриваться как модель, к которой реальная система отсчета имеет ту или иную степень приближения. Достаточно близка к инерциальной системе отсчета гелиоцентрическая система, начало которой совпадает с центром масс Солнечной системы, а оси координат направлены на три звезды.

Для описания механического действия тел друг на друга вводят понятие силы. Силой,действующей на тело, называют физическую величину, являющуюся мерой механического действия на это тело со стороны какого-либо другого тела, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет форму и размеры.

Механическое взаимодействие может осуществляться как между непосредственно контактирующими телами (например, при ударе, трении, давлении друг на друга и т. п.), так и между удаленными телами.

Особая форма материи, связывающая частицы вещества в единые системы и передающая с конечной скоростью действие одних частиц на другие, называется физическим полем или просто полем.

Взаимодействие между удаленными телами осуществляется посредством связанных с ними гравитационных и электромагнитных полей.

Пользуясь понятием силы, в механике обычно говорят о движении и деформации рассматриваемого тела под действием приложенных к нему сил. При этом конечно, каждой силе всегда соответствует какое-то определенное тело или поле, действующее с этой силой.

Сила F полностью задана, если указаны ее модуль F, направление в пространстве и точка приложения.

Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Центральными называются силы, которые всюду направлены вдоль прямых, проходящих через одну и ту же неподвижную точку — центр сил, и зависят только от расстояния до центра сил.

Поле, действующее на материальную точку с силой F, называется стационарным полем, если оно не изменяется с течением времени.

Единица силы — ньютон (Н): 1Н — сила, которая массе в 1кг сообщает ускорение 1м/с 2 в направлении действия силы.

Если на тело действуют одновременно n сил … приложенных в одной и той же точке A тела, то n сил можно заменить одной силой , равной их геометрической сумме

(2.1.1)

где — результирующая или равнодействующая сила.

Масса. Второй закон Ньютона

Эксперимент показывает, что под действием силы свободное тело изменяет скорость своего поступательного движения, приобретая ускорение Второй закон Ньютона справедлив в инерциальной системе отсчета и устанавливает связь между ускорением тела и силами, действующими на него: ускорение, приобретаемое телом, пропорционально равнодействующей всех сил , действующих на тело, и обратно пропорционально его массе т

.

(2.1.2)

В ньютоновской механике, в основе которой лежат законы Ньютона, масса тела характеризует инерционные свойства тела, не зависит от положения тела в пространстве, его скорости, действия на тело других тел и т.д. Масса является величиной аддитивной, т.е. масса тела равна сумме масс всех его частей. Однако свойство аддитивности утрачивается при скоростях, близких к скорости света в вакууме, т.е. в релятивистской механике. За основную единицу массы, называемую килограммом (кг), принимают массу эталонного тела, хранящегося в международном бюро мер и весов.

Уравнение (2.1.2) описывает изменение движения протяженного тела под действием силы только при условии, что тело: 1) не деформируется, и 2) движется поступательно. В противном случае ускорения разных точек тела неодинаковы, и изменение движения всего тела (системы материальных точек) нельзя описать с помощью единого ускорения . Для материальной точки условия 1) и 2) всегда выполняются, и поэтому формулу (2.1.3) называют основным уравнением динамики материальной точки.

Если на материальную точку действуют несколько сил, то где (2.1.1):

.

(2.1.4)

Таким образом, если на материальную точку одновременно действуют несколько сил, то каждая из них сообщает материальной точке такое же ускорение, как если бы других сил не было – формулировка принципа независимости действия сил.

Импульс материальной точки

Импульсом или количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на ее скорость:

Единица измерения импульса — .

Импульс является одной из важнейших динамических характеристик, зависящей как от быстроты движения материальной точки, так и от ее инертности. Используя выражение (1.1.9) можно показать, что:

С другой стороны, согласно (2.1.2), Следовательно

(2.1.5)

Уравнение (2.1.5) является одним из математических выражений второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна силе, действующей на точку. Из (2.1.6) следует, что где — элементарный импульс силы за малый промежуток времени dt. Таким образом, изменение импульса материальной точки за малый промежуток времени dt равно элементарному импульсу результирующей силы (за тот же промежуток времени), действующей на материальную точку.

Соответственно изменение импульса материальной точки за время от t₁ до t₂: — импульс силы за это же время. Если то — линейная функция от времени t:

(2.1.6)

где υ₀ – начальная скорость материальной точки (при t = 0). При Из (2.1.6) следует, что за промежуток времени Dt = t₂ — t₁

(2.1.7)

Если то

(2.1.8)

где — среднее значение переменной силы за промежуток времени Dt.

Третий закон Ньютона. Движение центра инерции

Механическое воздействие двух тел друг на друга всегда представляет собой их взаимодействие. На основе количественного анализа механического взаимодействия тел Ньютон установил свой третий закон динамики, который гласит: действия двух тел друг на друга всегда равны и направлены по одной прямой в противоположные стороны, то есть

(2.1.9)

Здесь — сила, действующая на тело 1 со стороны тела 2, а — наоборот, соответственно (рис.2.1). Третий закон Ньютона является существенным дополнением к первому и второму законам Ньютона.

В механике Ньютона из-за независимости массы от скорости импульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс.

Центром инерции или центром масс системы материальных точек называют такую точку C, радиус — вектор которой определяется следующим выражением:

(2.1.10,а)

где и — масса и радиус-вектор i-ой материальной точки системы; m – общая масса всей системы; n – число материальных точек в системе. Соответственно декартовые компоненты центра масс равны:

(2.1.10,б)

Найдем скорость движения центра инерции системы:

(2.1.11)

Геометрическую сумму импульсов всех материальных точек системы называют импульсом системы : Следовательно, из (2.1.11)

(2.1.12)

Тела, не входящие в состав рассматриваемой механической системы, называют внешними, а силы, действующие на систему со стороны этих тел – внешними силами. Силы взаимодействия между телами системы называют внутренними силами. Если — сила, действующая на i-ую материальную точку со стороны k-ой, то результирующая со стороны всех внутренних сил, приложенных к i-ой точке, равна:

(2.1.13)

В уравнении (2.1.13) k пробегает значения от 1 до n, кроме i, так как i-ая точка не может действовать сама на себя.

Пусть на i-ую материальную точку действует внешняя сила , при этом по второму закону Ньютона (2.1.6) для системы материальных точек можно записать следующие уравнения:

…………………………………………..

(2.1.14)

Складывая почленно уравнения (2.1.14), и группируя попарно силы и , можно получить: Согласно третьему закону Ньютона (2.1.9) и, как следствие, — называют главным вектором внешних сил. С другой стороны, , то есть

(2.1.15,а)

Уравнение (2.1.15,а) называют основным уравнением динамики поступательного движения системы материальных точек, которое показывает, что скорость изменения импульса механической системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на эту систему. В проекциях на декартовые оси выражение (2.1.15,а) примет вид:

(2.1.15,б)

В (2.1.15,б) С помощью уравнения (2.1.12) можно переписать (2.1.15,а)

или

(2.1.16)

где — ускорение центра инерции. Таким образом, центр инерции механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы, и на которую действует сила, равная главному вектору внешних сил, приложенных к системе.

В общем случае движение твердого тела можно рассматривать как сумму двух движений: 1) поступательного со скоростью, равной скорости центра масс, и 2) вращательного вокруг центра инерции (С). Поэтому уравнение (2.1.16) часто называют основным уравнением динамики поступательного движения твердого тела.

Закон сохранения импульса

Механическую систему называют замкнутой или изолированной, если на нее не действуют внешние силы, то есть если она не взаимодействует с внешними телами. Для замкнутой системы главный вектор внешних сил тождественно равен нулю. Поэтому из выражения (2.1.15,а) следует закон, который называют законом сохранения импульса: импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени, то есть

и

(2.1.17)

где и — масса и скорость i-ой материальной точки системы. Так как из (2.1.12) известно, что то, используя уравнение (2.1.17), можно показать, что при любых процессах, происходящих в замкнутой системе, скорость ее центра инерции сохраняется неизменной.

Если система не замкнута, но главный вектор внешних сил , то уравнение (2.1.17) справедливо и в открытой системе. Обычно приходится иметь дело с незамкнутыми системами, для которых и, как следствие, Однако если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось, неподвижную относительно инерциальной системы отсчета, тождественно равна нулю, то проекция на эту же ось вектора импульса системы не зависит от времени. Например, если = 0, то и, следовательно, р_x = const – закон сохранения проекции импульса.

При соударении тел друг с другом они претерпевают деформации. При этом кинетическая энергия, которой обладали тела перед ударом, частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации или в так называемую внутреннюю энергию тел. Увеличение внутренней энергии тел сопровождается повышением температуры. Существуют два предельных вида удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий.

Рассмотрим применение закона сохранения импульса (2.1.17) на примере удара двух тел.

Ударом называется явление изменения скорости тел на конечные величины за очень малый промежуток времени, происходящее при столкновении тел. Общую нормаль к поверхностям соударяющихся тел в точке их соприкосновения называют линией удара. Удар называют прямым, если перед ударом скорости центров инерции соударяющихся тел параллельны линии удара. Удар называют центральным, если центры инерции соударяющихся тел лежат на линии удара.

Прямой центральный удар называют абсолютно неупругим, если после удара тела движутся как одно целое (рис.2.2). Если скорости двух тел до удара соответственно равны – и , а массы их определяются значениями m₁ и m₂, то общая скорость тел после абсолютно неупругого удара , согласно уравнению (2.1.17), может быть представлена в виде: