Основное уравнение динамики поступательного движения произвольной системы тел

Рис. 1.3.2. Координаты центра масс системы, состоящей из двух тел массами m1 и m2

Рис. 1.3.3. Произвольная система тел с центром инерции C

Центр тяжести совпадает с центром масс (центром инерции), если g (ускорение силы тяжести) для всех тел системы одинаково.

Скорость центра инерции системы vc равна

p — импульс системы тел, vi — скорость i-го тела системы. Так как. то импульс системы тел можно определить по формуле

Импульс системы тел равен произведению массы системы на скорость её центра инерции.

1.3.6. Основное уравнение динамики поступательного движения

Тела, не входящие в состав рассматриваемой системы, называют внешними телами, а силы, действующие на систему со стороны этих тел, — внешними силами. Силы взаимодействия между телами внутри системы называют внутренними силами.

Лекция №3. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

2.1. Основное уравнение динамики поступательного движения

Динамика − раздел механики, в котором изучается движение тел под действием приложенных сил. Основной задачей динамики является определение кинематического уравнения движения материальной точки, если известны, приложенные силы к ней со стороны окружающих тел и начальные условия, положение и скорость тела в начальный момент времени.

В основе динамики лежат три закона И. Ньютона, которые являются результатом обобщения опытных данных и теоретических сведений в области механики. Для формулировки законов динамики необходимо дать определение следующих динамических характеристик: инертность, масса, импульс тела и сила.

Инертностью (или инерцией ) называется свойство тела сохранить неизменным состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Количественной мерой инертности тел является инертная масса ), а количественной мерой гравитационного взаимодействия яв-ляется гравитационной массы . К настоящему времени экспериментально показано, что инертная и гравитационная массы с большой степенью точности совпадают, т. е. они эквивалентны. Этот фундаментальный закон природы называется принципом эквивалентности .

Масса − это физическая величина, являющаяся мерой инерционных и гравитационных свойств тела. Единицей массы в СИ является килограмм: [m] = кг . Масса − величина аддитивная, т. е. масса тела равна сумме масс всех частей этого тела.

Импульс тела (или количество движения ) − это векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость

Единица измерения импульса в СИ — $$ <[p]>= <кг×м \over c>$$ .

Сила − это векторная физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате, которого тело деформируется или приобретает ускорение. Единица измерения силы в СИ − Ньютон $$ <[F]>= кг× <м \over c^2>=H$$ . Сила, приложенная к телу, считается заданной, если указаны ее точка приложения, направление действия и численное значение.

Первый закон Ньютона (или закон инерции ), который формулируется следующим образом: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока действие со стороны других тел не выведут его из этого состояния. Система отсчета, в которой выполняется первый закон Ньютона, называется инерциальной . Рассмотрим две системы отсчета, двигающиеся друг относительно друга с некоторым ускорением. Если относительно одной из них тело покоится, то относительно другой оно будет двигаться с ускорением. Получается, что в одной системе отсчета первый закон Ньютона выполняется, а в другой не выполняется. Любая система отсчета, движущаяся относительно некоторой инерциальной системы прямолинейно и равномерно будет также инерциальной. Системы отсчета, по отношению к которым первый закон Ньютона не выполняется, называются неинерциальными системами отсчета.

Второй закон Ньютона : ускорение тела прямо пропорционально результирующей сил приложенных к нему и обратно пропорционально его массе.

Скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Уравнения (2.1.2) и (2.1.3) являются математическим выражением второго закона Ньютона. Второй закон Ньютона позволяет решать основную задачу механики. Поэтому его называется основным уравнением динамики поступательного движения .

Третий закон Ньютона : сила, с которой одно тело действует на другое, равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой второе тело действует на первое.

2.2. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности

Рассмотрим две инерциальные системы XYZ (система К ) и X’Y’Z’ (система К’ ), первая из которых будет неподвижной, а вторая движется поступательно вдоль положительного направления оси 0X с постоянной скоростью υ₀ . Найдем связь между координатами х, у, z некоторой точки M в системе К и координатами х’, у’, z’ . той же точки в системе К’ . Если начать отсчет времени с того момента, когда начала координат обеих систем совпадали, то, как следует из рис. 2.2.1 в момент времени t координаты точки М в этих системах будут связаны соотношениями

Формулы (2.2.1) называются преобразованиями Галилея для координат и времени. Они могут быть представлены также в виде обратного преобразования:

Из преобразований Галилея вытекает классический закон сложения скоростей. Продифференцировав соотношения (2.2.2) по времени, найдем связь между скоростями точки М по отношению к системам отсчета К и К’

Согласно векторному соотношению (2.2.3) скорость υ точки М относительно неподвижной системы координат (абсолютная) равна векторной сумме ее скорости υ’ относительно подвижной системы (относительная) и скорости υ₀ подвижной системы относительно неподвижной (переносная).

Продифференцировав выражение (2.2.3) по времени t , получим при условии, что υ₀ = const

Отсюда следует, что ускорение какого-либо тела во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно, оказывается одним и тем же. Поэтому, если одна из этих систем инерциальна, то и остальные будут инерциальными.

Так как масса в классической механике не зависит от скорости, то произведение массы тела на его ускорение во всех инерциальных системах будет одинаковым, т. е. вид второго закона Ньютона, описывающего движение тела, будет одинаковым во всех инерциальных системах отсчета. Неизменность выражения для закона Ньютона отражает тот факт, что все механические явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково при одинаковых условиях. Другими словами − все инерциальные системы отсчета эквивалентны между собой. Это утверждение носит название принципа относительности Галилея (или механический принцип относительности ). Он означает, что никакими опытами внутри инерциальной системы отсчета невозможно установить покоится эта система или движется равномерно и прямолинейно. Принцип относительности справедлив не только для механических, но и для любых физических явлений.

Используя преобразования Галилея, можно показать, что отрезки длин (масштабы) и интервалы времени между двумя какими-либо событиями одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

Понятие времени в классической механике является абсолютным, поэтому

Физические величины, не изменяющиеся при переходе от одной инерциальной системе к другой, называются инвариантными. Следовательно, отрезки длин и интервалы времени являются инвариантами классической механики.

2.3. Система материальных точек. Закон сохранения импульса

Механической системой называется совокупность материальных точек, рассматриваемых как единое целое. Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называются внутренними . Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними . Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой механической системой .

Импульс механической системы, представляет собой сумму импульсов всех материальных точек, входящих в механическую систему.

Рассмотрим систему материальных точек массами m₁ , m₂, …, m_n , движущихся со скоростями υ₁ , υ₂ , …, υ_n . Пусть на каждую из этих точек действуют равнодействующие внутренних сил F ₁ i , F ₂ i , …, F _n i , и равнодействующие внешних сил F ₁ e , F ₂ e , …, F _n e .

Используя второй закон Ньютона для системы точек, запишем

Сложим эти уравнения:

Согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между материальными точками механической системы, будут равны и противоположно направлены, т. е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

С учетом выражения (2.3.1) получим закон изменения импульса механической системы : производная по времени от импульса механической системы равна векторной сумме внешних сил, действующих на систему.

В случае замкнутой механической системы,

Выражение (2.3.6) выражает закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени.

Закон сохранения импульса носит универсальный характер и выполняется также в релятивистской и квантовой механике. Закон сохранения импульса − это фундаментальный закон природы. Он является следствием определенного свойства симметрии пространства − его однородности. Под однородностью пространства понимают одинаковость свойств пространства во всех его точках.

2.4. Центр масс. Уравнение движения центра масс

В классической механике масса тела не зависит от его скорости движения, и импульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс.

Центром масс (или центром инерции ) системы материальных точек называется воображаемая точка С , положение которой характеризует распределение массы этой системы, и радиус-вектор которой определяется выражением:

где m_i и r _i − масса и радиус-вектор i-ой точки системы; $$m = <\sum_^n>m_i$$ − суммарная масса системы.

Соотношения координат центра инерции системы равны

В случае непрерывного распределения массы в системе (например, в случае протяженного тела) радиус-вектор центра масс системы определяется выражением

где r − радиус-вектор малого элемента системы, масса которого равна dm , а интегрирование проводится по всем элементам системы, т. е. по всей ее массе m .

Определим скорость центра масс механической системы

Учитывая выражение (2.3.1) получим

Таким образом, импульс механической системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

С учетом выражения (2.3.5) получим

Это выражение представляет собой закон движения центра масс : центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы, и на которую действует сила, равная векторной сумме всех внешних сил, приложенных к системе.

Закон движения центра масс показывает, что для изменения скорости центра масс системы необходимо, чтобы на систему действовала внешняя сила. Внутренние силы взаимодействия частей системы могут вызвать изменения скоростей этих частей, но они не могут повлиять на суммарный импульс системы и скорость ее центра масс.

Основы динамики системы материальных точек

Совокупность материальных точек, связанных между собой силами взаимодействия, называется механической системой.

Любое материальное тело в механике рассматривается как механическая система, образуемая совокупностью материальных точек.

Из определения механической системы следует, что движение каждой из точек, входящих в систему, зависит от движения остальных точек.

Силы, действующие на точки системы, делятся на внешние и внутренние. Силы взаимодействия между точками этой системы называют внутренними. К внешним силам относятся силы, действующие со стороны точек, не входящих в эту систему.

Примерами внешних сил являются сила тяжести, сила давления, сила трения и др.

К внутренним силам относятся силы упругости.

Движение механической системы зависит не только от внешних сил, но и от суммарной массы системы где — масса отдельных точек механической системы.

Движение системы зависит и от положения центра масс ей стемы — условной точки, в которой сосредоточена вся масса тела. Обычно считают, что в центре масс приложены все внешние силы.

Движение центра масс определяет движение всей системы толь ко при поступательном движении, при котором все точки тела дви жутся одинаково.

Основное уравнение динамики при поступательном движении тела

Для определения движения тела (системы материальных точек можно использовать второй закон динамики

где — суммарная масса тела; — ускорение центра масс тела.

В поле земного притяжения центр масс совпадает с центров тяжести.

Основное уравнение динамики вращающегося тела

Пусть твердое тело под действием внешних сил вращается вокруг оси с угловой скоростью (рис. 17.3).

Рассматривая твердое тело как механическую систему, разобьем ее на множество материальных точек с массами . Каждая точка движется по окружности радиуса с касательным ускорением и нормальным ускорением где — угловое ускорение.

Используем для каждой точки принцип Даламбера и приложим силы инерции:

— касательную ;

— нормальную .

Система сил, действующих на точку, по принципу Даламбера, находится в равновесии.

Поэтому алгебраическая сумма моментов относительно оси вращения должна быть равна нулю: , где — момент внешних сил.

Моменты нормальных сил инерции равны нулю, т. к. силы пересекают ось . Силы, направленные по касательной к окружности, равны

где — общая величина, угловое ускорение тела.

Подставив значение силы в формулу для определения моментов, получим

Величина называется моментом инерции тела относительно оси вращения и обозначается .

В результате получим выражение основного уравнения динамики вращающего тела:

где — сумма моментов внешних сил относительно оси; — угловое ускорение тела.

Момент инерции тела в этом выражении определяет меру инертности тела при вращении.

По выражению для момента инерции можно определить, что единица измерения этой величины в системе СИ .

Видно, что значение момента инерции зависит от распределения массы относительно оси вращения: при одинаковой массе момент инерции больше, если основная часть массы расположена дальше от оси вращения. Для увеличения момента инерции используют колеса со спицами и отверстиями.