Основное уравнение динамики поступательного движения твердого тела

Лекция №5. ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

4.1. Динамика поступательного движения твердого тела.

Движение любого твердого тела можно рассматривать как сумму поступательного движения его центра масс и вращательного движения относительно оси, проходящей через его центр масс.

Разобьем твердое тело на элементарные массы m_i , тогда его можно представить как систему материальных точек, взаимное расположение которых остается неизменным. Поэтому для описания поступательного движения тела можно использовать закон изменения импульса механической системы

p = $$<\sum_^n>$$ m_i υ _i=m υ _C — импульс всех материальных точек твердого тела.

Также можно воспользоваться понятием центра масс и к поступательному движению твердого тела применить закон движения центра масс

Центр масс твердого тела движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса тела, и на которую действуют все силы, приложенные к телу. Уравнение (4.1.2) дает возможность установить закон движение центра масс твердого тела, если известна масса тела и действующие на него силы. Если тело движется только поступательно, то это уравнение будет определять не только закон движения центра масс, но и любой другой точки тела.

4.2. Момент импульса. Момент силы.

Момент силы. Векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора r точки, проведенному из полюса в точку приложения силы, на силу F называется моментом силы материальнойточки относительно некоторого центра

Пусть на частицу массой m действует сила F , а ее положение в некоторой инерциальной системе отсчета характеризуется радиус-вектором r относительно начала координат. Тогда момент силы частицы относительно точки O дается уравнением (4.2.1). Направление момента силы M совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от радиус-вектора r к силе F , и он перпендикулярен как вектору r , так и вектору F (рис. 4.2.1). Тогда модуль вектора момента силы равен

где d=r sin α − плечо силы относительно точки O .

Плечо силы − это расстояние, измеряемое по перпендикуляру от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила.

Таким образом, модуль момента силы относительно оси, есть скалярная величина, характеризующая вращательное движение действия силы и равная произведению модуля силы F , действующей на твердое тело, на плечо силы d относительно этой оси.

Если на тело действует несколько сил, то суммарный момент этих сил равен векторной сумме моментов всех сил относительно данной оси:

Момент импульса. Векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора r точки, проведенного из центра на ее импульс m υ называется моментом импульса материальной точки относительно некоторого центра

Пусть частица массой m имеет импульс p , а ее положение в некоторой инерциальной системе отсчета характеризуется радиус-вектором r относительно начала координат. Тогда момент импульса частицы относительно точки O дается уравнением (4.2.4). Направление момента импульса совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от радиус-вектора к импульсу p , и он перпендикулярен как вектору r , так и вектору p (рис. 4.2.2). Тогда модуль вектора момента импульса равен

где d − плечо импульса относительно точки O .

Плечо импульса − это расстояние, измеряемое по перпендикуляру от оси вращения до линии, вдоль которой направлен импульс.

Таким образом, модуль вектора момента импульса относительно центра или оси − есть скалярная величина, равная произведению импульса p на плечо импульса d относительно этой оси.

Моментом импульса механической системы относительно некоторого центра называется векторная величина, равная геометрической сумме моментов импульса относительно той же точки всех материальных точек системы

4.3. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно точки.

Рассмотрим систему материальных точек массами m₁, m₂, . m_n движущихся со скоростями υ ₁, υ ₂, . υ _n . Пусть на каждую из этих точек действуют: равнодействующие внутренних сил F i ₁, F i ₂, . F i _n , и равнодействующие внешних сил F e ₁, F e ₂, . F e _n .

Запишем уравнения движения частиц:

Умножим каждое уравнение системы (4.3.3) на соответствующий радиус-вектор и получим

Преобразуем данные уравнения

Сложим эти уравнения и получим

В последнем уравнении:

Таким образом, выражение (4.3.6) можно записать в виде

Учитывая, что моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы всегда равна нулю, т. е. $$<\sum_^n>$$ M i _i=0 , получим основное уравнение динамики вращательного движения относительно точки (или иначе закон изменения момента импульса механической системы ).

4.4. Закон сохранения момента импульса.

Если момент внешних сил $$<\sum_^n>$$ M e _i=0 , то получим

закон сохранения момента импульса.

Если момент внешних сил действующих на механическую систему относительно центра оси равен нулю, то момент импульса системы относительно этого центра с течением времени не изменяется.

Можно сказать, что момент силы при вращательном движении является аналогом силы при поступательном движении, момент импульса − аналогом импульса.

Законы изменения и сохранения момента импульса механической системы можно применить и к вращательному движению твердого тела.

4.5. Момент инерции.

Моментом инерции твердого тела относительно данной оси называется физическая величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг этой оси и равная сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от той же оси:

Момент инерции зависит только от формы тела и расположения масс относительно оси. [I]=1 кг · м 2 .

Понятие момента инерции было введено при рассмотрении вращения твердого тела. Однако следует иметь в виду, что каждое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси.

Если тело сплошное, то суммирование в выражении (4.5.1) следует заменить на интегрирование:

где R − расстояние от элементарной массы dm до оси вращения.

4.6. Теорема Штейнера. Правило аддитивности

Существуют два свойства момента инерции:

1) Теорема Штейнера: момент инерции тела I_z относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I_c относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния a между осями:

2) Правило аддитивности: сумма моментов инерции частей системы относительно оси равен моменту инерции системы относительно данной оси:

Основное уравнение динамики поступательного движения твердого тела

Рис. 1.3.2. Координаты центра масс системы, состоящей из двух тел массами m1 и m2

Рис. 1.3.3. Произвольная система тел с центром инерции C

Центр тяжести совпадает с центром масс (центром инерции), если g (ускорение силы тяжести) для всех тел системы одинаково.

Скорость центра инерции системы vc равна

p — импульс системы тел, vi — скорость i-го тела системы. Так как. то импульс системы тел можно определить по формуле

Импульс системы тел равен произведению массы системы на скорость её центра инерции.

1.3.6. Основное уравнение динамики поступательного движения

Тела, не входящие в состав рассматриваемой системы, называют внешними телами, а силы, действующие на систему со стороны этих тел, — внешними силами. Силы взаимодействия между телами внутри системы называют внутренними силами.

Техническая механика

Динамика системы материальных точек

Уравнение поступательного движения твердого тела

Механической системой материальных точек называется совокупность материальных точек, каким-то образом связанных межу собой.
Всякое твердое тело можно считать неизменяемой механической системой материальных точек. Силы взаимодействия точке данной системы называются внутренними силами; силы, с которыми действуют на данную систему другие точки, не входящие в эту систему, — внешними.

Пусть твердое тело массой m движется под действием силы F поступательно с ускорением а (рис. 1) .

Разобьем тело на ряд материальных точек с массами m₁ и применим принцип Даламбера, не забывая при этом, что внутренние силы в уравнение равновесия не входят, так как на основании третьего закона Ньютона их сумма для системы в целом равна нулю.
В каждой материальной точке приложим силу инерции F_i ин = — m_ia и составим уравнение равновесия:

ΣX = 0 ; F – ΣF_i ин = 0 ,

Так как при поступательном движении все точки тела имеют одинаковые ускорения, то а можно вынести за знак суммы, т. е.

Согласно второму закону Ньютона векторы силы F и ускорения а совпадают по направлению, поэтому можно записать:

Это и есть уравнение поступательного движения твердого тела. Очевидно, что это уравнение ничем не отличается от основного уравнения динамики точки, следовательно, все формулы динамики точки применимы для тела, движущегося поступательно.

Уравнение вращательного движения твердого тела

Пусть твердое тело под действием системы сил вращается вокруг неподвижной оси z с угловым ускорением α (рис. 2) .

Разобьем тело на ряд материальных точек с массами m_i и применим, как и в предыдущем случае, принцип Даламбера (Д’Аламбера).
К каждой материальной точке приложены касательная и нормальная силы инерции. Составим уравнение равновесия:

Моменты реакций подшипника и подпятника, а также сил F_τi ин относительно оси z равны нулю, так как линии действия этих сил пересекают ось; сумма моментов внешних сил относительно оси вращения называется вращающим моментом .
Тогда

Выражение Σ(m_ir_i 2 ) называют моментом инерции тела относительно оси и обозначают J :

Момент инерции тела относительно оси есть сумма произведений масс материальных точек, составляющих это тело, на квадрат расстояния от них до этой оси.

В результате получим формулу:

которая называется уравнением вращательного движения твердого тела. В этой формуле J – момент инерции тела относительно оси вращения.

Единица момента инерции — [J] = [mr 2 ] = [m][r 2 ] = кг×м 2 .

Момент инерции играет во вращательном движении такую же роль, какую масса играет в поступательном движении, т. е. момент инерции есть мера инертности вращающегося тела.

В качестве примера определим момент инерции тонкого однородного сплошного диска, радиус которого R , толщина s , масса m , относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр О (см. рис 3) .

Разобьем диск на элементарные кольца переменного радиуса r , шириной dr и толщиной s . Согласно определению момент инерции такого кольца равен

dJ = dΣ(m_ir 2 ) = r 2 dΣm_i = r 2 dm = r 2 2πr drsρ = 2πsρ r 3 dr ,

где ρ – плотность материала диска.

Просуммировав моменты инерции всех элементарных колец, получим момент инерции всего диска:

J = ∫ 2πsρ r 3 dr = 2πsρ ∫ r 3 dr = 2πsρ r 4 /4 = πsρ r 4 /2 .

Так как масса диска m = πr 2 sρ , то можно записать: J = mR 2 /2 .

Нетрудно понять, что момент инерции однородного сплошного прямоугольного кругового цилиндра радиусом R и массой m любой высоты определяют по такой же формуле. Чтобы убедиться в этом, достаточно мысленно разбить цилиндр плоскостями, параллельными основанию на тонкие диски, и просуммировать моменты инерции всех дисков.

Моменты инерции тел вращения

На основе теоретических выкладок, изложенных выше, мы установили, что момент инерции круглого диска и цилиндрического тела можно определить по формуле

Аналогичные формулы можно вывести для определения моментов инерции других геометрических тел, наиболее часто встречающихся при расчетах и решении задач технической механики.

Моменты инерции для некоторых других однородных тел можно определить по формулам, которые приводятся здесь без вывода.

Шар массой m , радиусом R относительно диаметра:

Тонкий стержень массой m , длиной l относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его конец:

Тонкая сферическая оболочка массой m , радиусом R относительно диаметра:

Пустотелый вал массой m , наружным радиусом R и радиусом отверстия r относительно оси:

Момент инерции Jz тела относительно какой-либо оси z , параллельной центральной (т. е. проходящей через центр тяжести С тела), равен сумме центрального момента инерции Jc и произведения массы m тела на квадрат расстояния а между этими осями:

Из этой формулы (ее вывод здесь не приводится) следует, что из всех моментов инерции тела относительно параллельных осей наименьшим будет момент инерции относительно центральной оси , т. е. центральный момент инерции.

Иногда момент инерции определяют по формуле: J = mr_и 2 , где r_и – радиус инерции тела :

Физический смысл радиуса инерции следующий: если массу тела сосредоточить в одной точке (такая масса называется приведенной) и поместить ее от оси вращения на расстоянии, равном радиусу инерции, то момент инерции приведенной массы будет равен моменту инерции данного тела относительно той же оси.

Удвоенный радиус инерции тела называется диаметром инерции : D_и = 2r_и .

В практике иногда вместо момента инерции пользуются понятием махового момента GD_и 2 .

Маховым моментом называется произведение силы тяжести G вращающегося тела на квадрат его диаметра инерции.

Единица махового момента — Н×м 2 .

Между маховым моментом и моментом инерции существует простая зависимость:

GD_и 2 = 4g J = 39,24 J .

Кинетическая энергия твердого тела

Кинетическая энергия твердого тела равна сумме кинетических энергий материальных точек, составляющих данное тело:

Определим выражения для кинетической энергии твердого тела для трех случаев движения.

Тело движется поступательно

Учитывая, что при поступательном движении тела все его точки имеют одинаковую траекторию и одинаковые скорости, можно записать:

Следовательно, при поступательном движении твердого тела его кинетическая энергия вычисляется по той же формуле, что и кинетическая энергия материальной точки.

Тело вращается вокруг неподвижной оси

Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.

Тело движется плоскопараллельно

Как известно из кинематики, сложное плоскопараллельное движение твердого тела в каждый данный момент времени можно считать простейшим вращательным движением вокруг мгновенной оси (метод мгновенных центров скоростей) .
Допустим, что известна скорость v_с центра тяжести тела, тогда мгновенная угловая скорость

где ОС – расстояние центра тяжести С тела от мгновенной оси вращения О .

Момент инерции J_о относительно мгновенной оси вращения определяют по формуле:

где J_с — момент инерции относительно центральной оси или центральный момент инерции.

Кинетическую энергию тела, движущегося плоскопараллельно, определяют следующим образом:

К_пп = J_оω 2 /2 = (J_с + mОС 2 ) ω 2 /2 = (J_сω 2 )/2 + mOC 2 /2×v_с 2 /ОС 2 ,

Кинетическая энергия твердого тела, движущегося плоскопараллельно, равна сумме кинетических энергий в поступательном движении вместе с центром тяжести и вращательном движении вокруг центральной оси, перпендикулярной основной плоскости.

В заключение сформулируем теорему об изменении кинетической энергии системы тел:

Изменение кинетической энергии системы тел при некотором перемещении равно алгебраической сумме работ всех внешних (активных и реактивных) и внутренних сил, действовавших на систему при указанном перемещении:

Кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий каждого тела в отдельности.

Если тело твердое, то сумма работ его внутренних сил равна нулю. При некоторых связях, называемых идеальными, работа реактивных сил тоже будет равна нулю.