Основное уравнение динамики вращательного движения задачи

Вывод второго закона Ньютона для вращательного движения + примеры решения задач

Второй закон Ньютона для вращательного движения – главное тождество динамики, помогающее решить основную задачу механики для вращающегося тела: указать угол поворота тела в любой промежуток времени.

Задача механики поступательного движения считается решенной если в любое мгновение легко указать положение материальной точки относительно других тел, при условии, заданной системы отсчета.

Кроме поступательного существует вращательное движение – это такой вид движения при котором каждая точка движется по окружности, центры окружности лежат на одной прямой (оси вращения).

Характеристики вращательного движения:

Всякая точка абсолютно твердого тела перемещается по дуге круга;
«Ядра» окружностей расположены вдоль одной линии – ось вращения
Разные точки передвигаются по разным траекториям;
Зависимости перемещения по времени представляют отличные значения, изменяющиеся по направлению;
Углы поворота точек – одинаковы.

Аналоги характеристик поступательного и вращательного движения

Параметры вращательного перемещения необходимо рассматривать, проводя сравнение с характеристиками поступательного.

Последовательность нахождения координат тела в любой момент времени для поступательного перемещения:

зная силу F находим ускорение a;
из ускорения находи координаты x,y,z.

Пойдем от обратного для вращательного движения:

Найти нам необходимо угла поворота – φ в любой момент времени, для этого используем угловое ускорение ε, а вот аналог силы F мы пока не знаем.

Опишем кинематику вращательного движения.

Аналог линейной скорости во вращательном движении это угловая скорость ω — выражается отношением:

— угол поворота

— незначительный отрезок времени

Вспомним формулу линейной скорости υ точки находящейся на вращающемся теле, для этого умножим угловую скорость ω и r — расстояние от оси до искомой точки.

Виды вращательного движения:

Поворот предмета за равные промежутки времени на одинаковые углы говорит о равномерности перемещения. Угловое ускорение отсутствует.

Уравнение движения выглядит:

— угол поворота в любой момент времени,

— начальный угол поворота

Угловая скорость постоянна, но линейная скорость постоянно изменяет направление, а это означает, что существует центростремительное ускорение, направленное по радиусу к центру окружности.

Неравномерное вращение

При неравномерном перемещении постоянное угловое ускорение принимает вид:

При низменном , закон изменения угловой скорости получается:

Подставляя полученные данные в формулу движения при равномерном вращении получим:

Вспомним как рассчитать угол поворота тела тремя разными способами:

Второй способ (через среднюю скорость).

Сравнение формул вращательного и поступательного перемещения наглядно представлено таблично.

При нахождении точки на теле, неравномерно вращающемся на окружности, ускорение приобретает вид суммы:

— центростремительного и тангенциального

— тангенциального .

Сумма ускорений равна:

Тангенциальное ускорение вычисляется следующим образом

Используя связь υ и ω, получается:

Нужно сформулировать ключевые тождества, включая 2 закон сэра Ньютона для вращательного механического движения, сопутствующие обозначения, необходимые в ходе решения задач.

Вывод второго закона Ньютона для вращательного движения

Пусть тело, характеристиками которого можно пренебречь закреплено на невесомом стержне, 0 – ось вращения, длиной эквивалентной отрезку r.

На материальную точку оказывает воздействие силы , – реакция стержня.

— сила реакции нити;

— сила приводящая тело в движение

По II закону английского физика Исаака Ньютона второй закон динамики в векторной форме выглядит:

Выбор системы координат: Y – направляется по радиусу, Х – перпендикулярно.

Переписывая главное правило динамики в проекциях на эти оси:

Для этого на рисунке отобразим угол и выразим через него все проекции.

OX: ,

OY: ,

Из рисунка видно, что — тангенциальное ускорение, и – модуль центростремительного ускорения

Вспомним, что тангенциальное ускорение равно:

Перепишем уравнение проекции на ось x с учетом этого знания:

Вычислим угловое ускорение из полученной формулы:

Умножая на дробь на :

Далее надо визуально отобразить на рисунке rsinα.

Как видно из полученного рисунка перпендикуляр d – плечо силы F.

Сравнивая с выражением:

I=mr 2 – мера инертности тела, момент инерции.

Выходит: 2 закон Ньютона представлен для вращательного движения:

Словесная формулировка основного тождества динамики вращательного перемещения:

Алгебраическая сумма моментов сил, действующих на тело тождественно произведению момента инерции тела на его угловое ускорение.

Практическое применение второго закона Ньютона для вращательного движения

Перемещение путем вращения часто находит практическое применение. Яркие примеры:

Колеса транспортных средств;
Шестеренки;
Роторы электродвигателей.

Простые «мозголомки» из школьного курса физики

Задание 1. Велосипедное колесо

Определить меру инертности у велоколеса диаметром 67 см с массой 1,3 кг? Возможно, не учитывать массу ступицы?

Колесо целесообразно разбить на N мельчайших фрагментов размером Δl с массой Δm.

Мера инертности вычисляется из выражения:

кг х м 2

Задача 2. Взаимодействие кинематики и динамики

Материальная точка перемещается по окружности, ее радиальное ускорение изменяется пропорционально четвертой степени времени. Найти n из отношения .

Записывается второй закон Ньютона для вращательного движения:

Выражая угловую скорость:

Учитывая, неизменность расстояния до центра окружности, :

Упражнение 3. Графическое представление

Одно тело вращается по зависимости 1, потом действие момента сил изменяется согласно графику 2. Нужно сравнить угловые скорости в точках A и B.

Основной закон динамики перемещения путем вращения:

Поскольку тело одно, 1/I неизменно.

Геометрический смысл интеграла – площадь криволинейных трапеций.

Случай 1:

График 2:

Результат:

Получается:

Задание 4. Шары

Два точечных шарика, обладающие равными массами скреплены тонкой невесомой спицей l. Записать выражение момента инерции системы, относительно оси, перпендикулярно соотносящейся со спицей и центром масс.

Центр оси расположен между шарами:

Мера инертности системы:

Упражнение 5. Гири

Грузы массами 2 и 1 килограмм связаны ниткой, перекинутой через блок, весящий 1 килограмм. Вычислить ускорение перемещения гирь? Рассчитать натяжение нитей?

Векторный вид поступательного передвижения:

Перемещение диска – вращение:

Первые 2 равенства надо спроектировать на Х, последнее – Y. Записать уравнение кинематической связи. Получается система:

Подставляя 4 тождество в 3:

Вычитая (2) из (1), переписывается (5):

Численное значение из выражения (6) подставляется в (1) и (2):

Практическое применение в жизни

Автомобиль

Ускорится автомобиль, если установить шины большего диаметра?

Нет. Чем больше диаметр шин, тем выше линейное ускорение. Каждый автомобиль обладает максимальным угловым ускорением, соответствующее его мощности. Мощность машины ограничена, увеличение диаметра шин приведет к снижению углового ускорения, линейное не изменится.

«Что-то странная какая-то утка, на курицу похожа…»

Домашние птицы: селезень и курица имеют одинаковую длину шага. Почему курица бегает ровно, а селезень перемещается переваливаясь?

Расстановка лап селезня шире, центр тяжести расположен дальше от опоры, поэтому при ходьбе селезень вынужден делать поворот на больший угол. Момент силы тяжести от опоры увеличивается, соответственно становится больше величины угловых ускорения и скорости.

Гонки

Европейские гонки проходят по улицам города, поэтому гонщики не снижая большой скорости совершают резкие повороты. Двигатель гоночных машин расположен посередине авто. Содержание преимущества?

Двигатель посередине авто, обладает меньшей мерой инертности относительно центра масс, поэтому поворот осуществляется при меньшем моменте сил.

Фигурное катание

Зачем фигурист прижимает руки к телу?

Фигурист, вращаясь вокруг вертикальной оси, прижимает руки к корпусу. Момент инерции уменьшается, момент импульса остается неизменным, угловая скорость увеличивается.

Невесомость

Космонавт находится в невесомости. Как ему совершить поворот на 180˚ вокруг продольной оси?

Распутывание Гордиева узла:

Для поворота космонавт поднимает руку над головой, провоцируя поступательные движения в направлении, противоположенному повороту.

О кошках

Эмиль Кроткий утверждал: «Кошка мечтала о крыльях: ей хотелось попробовать летучих мышей». Люди не раз пытались подкидывать животное вверх ногами, при этом приземление всегда осуществляется на лапы. Момент внешних сил равен нулю, момент импульса сохраняется. Как кошке удается переворачиваться?

Момент импульса кошки, находящейся в свободном падении остается постоянным, моменты внешних сил отсутствуют. Вытягивая или прижимая к телу лапы, кошка изменяет меру инертности передней части тела относительно центральной оси от момента инерции задней части тела. Попеременно подтягивая передние или задние лапы, животное совершает поворот, ускоряющийся вращением хвоста.

Освоение 2 закона Исаака Ньютона с учетом кинематических и динамических характеристик для вращательного механического движения на практических примерах – легкое задание: надо запастись терпением, желанием приобретать знания. Изучать физику лучше вооружившись высказыванием Морихэй Уэсибы: «Двигайся, как луч света, летай, как молния, бей, как гром, вращайся вокруг устойчивого центра!»

Динамика вращательного движения

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Mтр — ?
N — ?
Решение
Запишем уравнение основного закона динамики вращательного движения:
В проекциях на ось OX:
Отсюда проекция вектора углового ускорения на ось OX:
Величина углового ускорения постоянна, векторы углового ускорения и угловой скорости направлены противоположно. Проекция угловой скорости колеса на ось OX:

Колесо остановится, поэтому
Решение (продолжение)
Величина (модуль) вектора углового ускорения:
1. Маховое колесо, момент инерции которого I = 245 кг·м2, вращается с частотой  = 20 об/c. Через время t = 1 мин после того, как на колесо перестал действовать момент сил М, оно остановилось. Найти момент сил трения Мтр и число оборотов N, которое сделало колесо до полной остановки после прекращения действия сил. Колесо считать однородным диском.
Для модулей векторов:

Величина углового перемещения колеса изменяется как
Решение (продолжение)
Из двух кинематических уравнений движения получаем систему уравнений:
Величину углового ускорения ε получим из второго уравнения и подставим в первое:
1. Маховое колесо, момент инерции которого I = 245 кг·м2, вращается с частотой  = 20 об/c. Через время t = 1 мин после того, как на колесо перестал действовать момент сил М, оно остановилось. Найти момент сил трения Мтр и число оборотов N, которое сделало колесо до полной остановки после прекращения действия сил. Колесо считать однородным диском.

1. Маховое колесо, момент инерции которого I = 245 кг·м2, вращается с частотой  = 20 об/c. Через время t = 1 мин после того, как на колесо перестал действовать момент сил М, оно остановилось. Найти момент сил трения Мтр и число оборотов N, которое сделало колесо до полной остановки после прекращения действия сил. Колесо считать однородным диском.
Решение (продолжение)
Величину углового перемещения φ выразим через число оборотов, сделанных до остановки, а начальную угловую скорость – через начальную частоту вращения:
После подстановки получим:
Отсюда полное число оборотов колеса до остановки:
Ответ: Мтр = 513 H·м, N = 600.

Mтр — ?
t — ?
Решение
Запишем уравнение основного закона динамики вращательного движения:
В проекциях на ось OX:
Отсюда проекция вектора углового ускорения на ось OX:
Величина углового ускорения постоянна, векторы углового ускорения и угловой скорости направлены противоположно. Угловое перемещение колеса

5. Маховое колесо, момент инерции которого I = 245 кг·м2, вращается с частотой  = 20 об/с. После того как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось, сделав N = 1000 об. Найти момент сил трения Мтр и время t, прошедшее от момента прекращения действия вращающегося момента до остановки колеса.
Величина угловой скорости колеса изменяется как
Колесо остановится, поэтому
Решение (продолжение)
Из двух кинематических уравнений движения получаем систему уравнений:
Величину углового ускорения ε получим из второго уравнения и подставим в первое:

5. Маховое колесо, момент инерции которого I = 245 кг·м2, вращается с частотой  = 20 об/с. После того как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось, сделав N = 1000 об. Найти момент сил трения Мтр и время t, прошедшее от момента прекращения действия вращающегося момента до остановки колеса.
Величину углового перемещения φ выразим через число оборотов, сделанных до остановки, а начальную угловую скорость – через начальную частоту вращения:
Решение (продолжение)
После подстановки получим:
Откуда время движения до остановки:

5. Маховое колесо, момент инерции которого I = 245 кг·м2, вращается с частотой  = 20 об/с. После того как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось, сделав N = 1000 об. Найти момент сил трения Мтр и время t, прошедшее от момента прекращения действия вращающегося момента до остановки колеса.
Решение (продолжение)
Теперь вернёмся к динамическому уравнению движения и найдём величину момента сил трения. Для проекций на ось OX:
Величина момента сил трения
Или, для краткости,
Как было получено ранее,
Теперь

t — ?
Ек — ?
Т — ?
Решение
Прежде всего, запишем динамическое уравнение движения груза. Из второго закона Ньютона:
Для проекций на ось OY:
Если учесть, что груз опускается, то
где a — величина (модуль) проекции ускорения на ось OY.
a = const., начальная скорость груза равна нулю, следовательно кинематическое уравнение движения можно записать так:

2. На барабан радиусом R = 20 см, момент инерции которого I = 0,1 кгм2, намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом h0 = 1 м. Через какое время t груз опустится до пола? Найти кинетическую энергию Ек груза в момент удара о пол и силу натяжения нити Т. Трением пренебречь.
Решение (продолжение)
Через время t груз окажется на земле (y = 0), поэтому
Величину ускорения можно определить из уравнения второго закона Ньютона
но для этого нужно знать величину силы натяжения нити T.
Запишем уравнение основного закона динамики вращательного движения для барабана:
В проекциях на ось OZ, перпендикулярную плоскости рисунка:
Из третьего закона Ньютона

2. На барабан радиусом R = 20 см, момент инерции которого I = 0,1 кгм2, намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом h0 = 1 м. Через какое время t груз опустится до пола? Найти кинетическую энергию Ек груза в момент удара о пол и силу натяжения нити Т. Трением пренебречь.
Решение (продолжение)
Величину углового ускорения ε можно выразить через величину линейного ускорения a:
Теперь можно записать систему уравнений, из которой можно определить a и T:

3. Две гири с разными массами соединены нитью, перекинутой через блок, момент инерции которого I = 50 кгм2 и радиус R = 20 см. Момент сил трения вращающегося блока Мтр = 98,1 Нм. Найти разность сил натяжения нити Т2 – Т1 по обе стороны блока, если известно, что блок вращается с угловым ускорением  = 2,36 рад/c2. Блок считать однородным диском.
Дано:
Mтр = 98,1 Н·м
I = 50 кг·м2
R = 20 cм
e = 2,36 рад/c2

Т2 – Т1 — ?
Решение
Вращательное движение блока описывается основным законом динамики вращательного движения.
Запишем для блока:
Для проекций на ось OZ, направленную перпендикулярно плоскости рисунка.
Согласно третьему закону Ньютона

3. Две гири с разными массами соединены нитью, перекинутой через блок, момент инерции которого I = 50 кгм2 и радиус R = 20 см. Момент сил трения вращающегося блока Мтр = 98,1 Нм. Найти разность сил натяжения нити Т1 – Т2 по обе стороны блока, если известно, что блок вращается с угловым ускорением  = 2,36 рад/c2. Блок считать однородным диском.
Решение (продолжение)
Из этого уравнения получаем:
Ответ: T2 – T21 =1,08 кН.

3А. Две гири с разными массами соединены нитью, перекинутой через блок, момент инерции которого I = 50 кгм2 и радиус R = 20 см. Момент сил трения вращающегося блока Мтр = 98,1 Нм. Найти разность сил натяжения нити Т2 – Т1 по обе стороны блока, если известно, что массы гирь m1 = 1 кг, m2 = 1,5 кг. Блок считать однородным диском.
Дано:
Mтр = 98,1 Н·м
I = 50 кг·м2
R = 20 cм
m1 = 1 кг
m2 = 1,5 кг

Т2 – Т1 — ?
Решение
Поступательное движение гирь описывается вторым законом Ньютона, а вращательное движение блока – основным законом динамики вращательного движения.
Запишем для гирь и блока:
Перепишем систему уравнений. Для этого первое и второе уравнения запишем для проекций на вертикальную ось OY, а третье – для проекций на ось OZ, направленную перпендикулярно плоскости рисунка.

Решение (продолжение)
Согласно третьему закону Ньютона
Величину углового ускорения ε можно выразить через величину линейного ускорения a:
Нить нерастяжима, поэтому
3А. Две гири с разными массами соединены нитью, перекинутой через блок, момент инерции которого I = 50 кгм2 и радиус R = 20 см. Момент сил трения вращающегося блока Мтр = 98,1 Нм. Найти разность сил натяжения нити Т2 – Т1 по обе стороны блока, если известно, что массы гирь m1 = 1 кг, m2 = 1,5 кг. Блок считать однородным диском.

Решение (продолжение)
Система уравнений приобретает вид:
Вычтем из второго уравнения первое и выполним элементарные преобразования в третьем:
3А. Две гири с разными массами соединены нитью, перекинутой через блок, момент инерции которого I = 50 кгм2 и радиус R = 20 см. Момент сил трения вращающегося блока Мтр = 98,1 Нм. Найти разность сил натяжения нити Т2 – Т1 по обе стороны блока, если известно, что массы гирь m1 = 1 кг, m2 = 1,5 кг. Блок считать однородным диском.

Решение (продолжение)
3А. Две гири с разными массами соединены нитью, перекинутой через блок, момент инерции которого I = 50 кгм2 и радиус R = 20 см. Момент сил трения вращающегося блока Мтр = 98,1 Нм. Найти разность сил натяжения нити Т2 – Т1 по обе стороны блока, если известно, что массы гирь m1 = 1 кг, m2 = 1,5 кг. Блок считать однородным диском.
Разделим первое уравнение на второе:

v — ?
Задачу решим с помощью закона сохранения энергии. Любое из трёх перечисленных в условии тел участвует в двух движениях – поступательном с скоростью v и вращательном вокруг своего центра масс. Поэтому кинетическая энергия тела складывается из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения.
В системе действуют только консервативные силы (трения нет), поэтому изменение полной механической энергии равно нулю.

4. Найти линейные скорости  движения центров шара, диска и обруча, скатывающихся без проскальзывания с наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости h = 0,5 м, начальная скорость всех тел 0 = 0. Сравнить найденные скорости со скоростью тела, соскальзывающего с наклонной плоскости при отсутствии трения.
Решение (продолжение)
потенциальная энергия тела в поле силы тяжести уменьшилась.
кинетическая энергия поступательного движения тела увеличилась.
кинетическая энергия вращательного движения тела увеличилась. Здесь ω — угловая скорость вращения тела.

4. Найти линейные скорости  движения центров шара, диска и обруча, скатывающихся без проскальзывания с наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости h = 0,5 м, начальная скорость всех тел 0 = 0. Сравнить найденные скорости со скоростью тела, соскальзывающего с наклонной плоскости при отсутствии трения.
Решение (продолжение)
Любое из тел катится без проскальзывания, поэтому
По этой общей формуле можно найти скорость любого из трёх тел, для этого достаточно подставить выражение для момента инерции соответствующего тела.

4. Найти линейные скорости  движения центров шара, диска и обруча, скатывающихся без проскальзывания с наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости h = 0,5 м, начальная скорость всех тел 0 = 0. Сравнить найденные скорости со скоростью тела, соскальзывающего с наклонной плоскости при отсутствии трения.
Ответ: 1 = 2,65 м/c, 2 = 2,56 м/c, 3 = 2,21 м/c;  = 3,13 м/c.
Решение (продолжение)
3. Обруч:
4. Для тела, соскальзывающего без вращения по наклонной плоскости

6. Маховое колесо начинает вращаться с угловым ускорением  = 0,5 рад/c2 и через время t1 = 15 с после начала движения приобретает момент импульса L1 = 73,5 кгм2/c. Найти кинетическую энергию T колеса через время t2 = 20 с после начала движения.
Решение
Дано:
 = 0,5 рад/c2
ω0 = 0
t1 = 15 с
t2 = 20 с
L1 = 73,5 кгм2/c

Т — ?
Кинетическую энергию вращающегося колеса можно найти как
где I – момент инерции колеса, ω2 – угловая скорость колеса в момент времени t2.
Колесо вращается равноускоренно, начальная угловая скорость вращения равна нулю.
Величина (модуль) момента импульса колеса
Отсюда

6. Маховое колесо начинает вращаться с угловым ускорением  = 0,5 рад/c2 и через время t1 = 15 с после начала движения приобретает момент импульса L1 = 73,5 кгм2/c. Найти кинетическую энергию T колеса через время t2 = 20 с после начала движения.
Ответ: T=490 Дж.
Решение (продолжение)
Подставим в формулу для кинетической энергии полученные выражения для момента инерции и угловой скорости.

7. К ободу диска массой m = 5 кг приложена касательная сила F = 19,6 Н. Какую кинетическую энергию T будет иметь диск через время t = 5 с после начала действия силы?
Решение
Дано:
m = 5 кг
ω0 = 0
t = 5 с
F = 19,6 Н

Т — ?
Кинетическую энергию вращающегося диска можно найти как
где I – момент инерции диска, ω – угловая скорость колеса в момент времени t.
Сила F создаёт постоянный вращающий момент, что приводит к равноускоренному вращению диска. Основной закон динамики вращательного движения можно записать так:
Для проекций на ось OX (см. рисунок):
Диск вращается равноускоренно, начальная угловая скорость вращения равна нулю,

7. К ободу диска массой m = 5 кг приложена касательная сила F = 19,6 Н. Какую кинетическую энергию T будет иметь диск через время t = 5 с после начала действия силы?
Ответ: T=1,92 кДж.
Решение (продолжение)
Момент инерции диска относительно данной оси вращения

v — ?
Решение
Если мы сообщим нижнему концу стержня некоторую скорость, он сможет совершить полный оборот вокруг оси, проходящей через точку О.
Если эта скорость минимальная из всех возможных, при которых стержень совершит оборот, то в верхней точке скорость стержня будет очень близка к нулю (рис. 2).
Для определения минимальной скорости, при которой возможен полный оборот стержня применим закон сохранения энергии. Трение в системе отсутствует, поэтому можно считать, что все силы, действующие в системе консервативны.
Изменение потенциальной энергии в поле сил тяжести определим по изменению положения центра тяжести стержня, который совпадает с его геометрическим центром.

8. Однородный стержень длиной l = 85 см подвешен к горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. Какую минимальную скорость  надо сообщить нижнему концу стержня, чтобы он сделал полный оборот вокруг оси?
Решение (продолжение)
Потенциальная энергия стержня в поле сил тяжести увеличилась.
Кинетическая энергия стержня уменьшилась, так как в верхней точке он практически остановился.
Здесь ω — начальная угловая скорость стержня.
Момент инерции стержня относительно точки O

n2 — ?
На рассматриваемую систему не действуют внешние моменты сил, следовательно её момент импульса сохраняется.
Направлены моменты импульса системы одинаково. Для проекций на вертикальную ось OZ:
В случае, когда человек стоит на краю платформы, момент инерции системы

9. Горизонтальная платформа массой m = 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой 1 = 10 об/мин. Человек массой m0 = 60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой 2 начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека  точечной массой. Трения нет.
В случае, когда человек стоит в центре платформы, его момент инерции относительно рассматриваемой оси равен нулю, а момент инерции системы
Решение (продолжение)
Подставим выражения для моментов инерции в закон сохранения момента импульса:
Угловая скорость связана с частотой вращения соотношением:

10. Горизонтальная платформа массой m = 80 кг и радиусом R = 1 м вращается с частотой 1 = 20 об/мин. В центре платформы стоит человек и держит в расставленных руках гири. С какой частотой 2 будет вращаться платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от I1 = 2,94 кг·м2 до I2 = 0,98 кгм2? Считать платформу однородным диском. Трения нет.
Решение
Дано:
m = 80 кг
R = 1 м
 1 = 20 об/мин
I1=2,94 кгм2
I2=0,98 кгм2

n2 — ?
На рассматриваемую систему не действуют внешние моменты сил, следовательно её момент импульса сохраняется.
Направлены моменты импульса системы одинаково. Для проекций на вертикальную ось OZ:
Угловая скорость связана с частотой вращения соотношением:

10. Горизонтальная платформа массой m=80 кг и радиусом R=1 м вращается с частотой 1=20 об/мин. В центре платформы стоит человек и держит в расставленных руках гири. С какой частотой 2 будет вращаться платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от I1=2,94 кгм2 до I2=0,98 кгм2? Считать платформу однородным диском. Трения нет.
Решение (продолжение)
Частота вращения после изменения момента инерции
Момент инерции системы
Момент инерции диска

10. Горизонтальная платформа массой m = 80 кг и радиусом R = 1 м вращается с частотой 1 = 20 об/мин. В центре платформы стоит человек и держит в расставленных руках гири. С какой частотой 2 будет вращаться платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от I1 = 2,94 кг·м2 до I2 = 0,98 кгм2? Считать платформу однородным диском. Трения нет.
Ответ: 2=21 об/мин.
Решение (продолжение)

11. Человек массой m0 = 60 кг находится на неподвижной платформе массой m = 100 кг. С какой частотой  будет вращаться платформа, если человек начнет движение по краю платформы вокруг оси вращения? Скорость движения человека относительно платформы 0 = 4 км/ч. Радиус платформы R = 10 м. Считать платформу однородным диском, а человека  точечной массой. Трения нет.
Решение
Дано:
m0 = 60 кг
m = 100 кг
0 = 4 км/ч
R = 10 м

n — ?
На рассматриваемую систему не действуют внешние моменты сил, следовательно её момент импульса сохраняется.
В лабораторной системе отсчёта
— момент импульса системы до начала движения человека;
— момент импульса системы после начала движения человека.
В лабораторной системе отсчёта
— момент импульса платформы;
— момент импульса человека.

Решение (продолжение)
Направлены моменты импульса человека и платформы в противоположные стороны. Для проекций на вертикальную ось OZ:
В уравнение входит величина проекции скорости человека в лабораторной системе отсчёта, а в условии дана скорость относительно платформы. Найдём величину скорости в лабораторноё системе отсчёта.
Как только человек начнёт движение, платформа начнёт вращаться в противоположном направлении (см. рисунок). Поэтому по закону сложения скоростей
Величина линейной скорости края платформы
11. Человек массой m0 = 60 кг находится на неподвижной платформе массой m = 100 кг. С какой частотой  будет вращаться платформа, если человек начнет движение по краю платформы вокруг оси вращения? Скорость движения человека относительно платформы 0 = 4 км/ч. Радиус платформы R = 10 м. Считать платформу однородным диском, а человека  точечной массой. Трения нет.

Решение (продолжение)
Величина линейной скорости человека в лабораторной системе отсчёта
Подставим выражение для величины линейной скорости человека в лабораторной системе отсчёта в уравнение закона сохранения момента импульса:
Теперь осталось определить угловую скорость вращения платформы из последнего уравнения.
11. Человек массой m0 = 60 кг находится на неподвижной платформе массой m = 100 кг. С какой частотой  будет вращаться платформа, если человек начнет движение по краю платформы вокруг оси вращения? Скорость движения человека относительно платформы 0 = 4 км/ч. Радиус платформы R = 10 м. Считать платформу однородным диском, а человека  точечной массой. Трения нет.

Решение (продолжение)
Напомним, что I – момент инерции платформы, которая имеет форму диска.
11. Человек массой m0 = 60 кг находится на неподвижной платформе массой m = 100 кг. С какой частотой  будет вращаться платформа, если человек начнет движение по краю платформы вокруг оси вращения? Скорость движения человека относительно платформы 0 = 4 км/ч. Радиус платформы R = 10 м. Считать платформу однородным диском, а человека  точечной массой. Трения нет.

Ответ:  = 3,6 об/мин.
Решение (продолжение)
Угловая скорость связана с частотой вращения соотношением:
11. Человек массой m0 = 60 кг находится на неподвижной платформе массой m = 100 кг. С какой частотой  будет вращаться платформа, если человек начнет движение по краю платформы вокруг оси вращения? Скорость движения человека относительно платформы 0 = 4 км/ч. Радиус платформы R = 10 м. Считать платформу однородным диском, а человека  точечной массой. Трения нет.

Примеры решения задач по теме «Динамика вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси»

Содержание

Методика изучения вращательное движение твердого тела в классах с углубленным изучением физики

Примеры решения задач по теме «Динамика вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси»

Задача №2

Список используемой литературы

Одной из главных особенностей современного периода реформирования школьного образования является ориентация школьного образования на широкую дифференциацию обучения, позволяющую удовлетворить потребности каждого учащегося, в том числе и тех, кто проявляет особый интерес и способности к предмету.

В настоящий момент эта тенденция углубляется переходом старшей ступени средней школы на профильное обучение, что позволяет обеспечить восстановление преемственности среднего и высшего образования. Концепция профильного обучения определила его целью «повышение качества образования и установление равного доступа к полноценному образованию различных категорий учащихся в соответствии с их индивидуальными склонностями и потребностями».

Для учащихся это означает, что выбор физико-математического профиля обучения должен гарантировать такой уровень обучения, который бы позволял удовлетворить главную потребность данной группы учащихся -продолжение обучения в высших учебных заведениях соответствующего профиля. Выпускник средней школы, решивший продолжить образование в вузах физического и технического профилей должен иметь углубленную подготовку по физике. Она является необходимой базой обучения в этих вузах.

Решение задач профильного обучения физике возможно только при условии использования расширенных, углубленных программ. Анализ содержания программ для профильных классов различных авторских коллективов показывает, что все они содержат расширенный, по сравнению с базовыми программами, объем учебного материала по всем разделам физики и предусматривают его углубленное изучение. Составной частью содержания раздела «Механика» этих программ является теория вращательного движения.

При изучении кинематики вращательного движения формируются понятия угловых характеристик (угловое перемещение, угловая скорость, угловое ускорение), показывается их связь друг с другом и с линейными характеристиками движения. При изучении динамики вращательного движения формируются понятия «момент инерции», «момент импульса», происходит углубление понятия «момент силы». Особую важность представляют изучение основного закона динамики вращательного движения, закона сохранения момента импульса, теоремы Гюйгенса-Штейнера о вычислении момента инерции при переносе оси вращения, вычисление кинетической энергии вращающегося тела.

Знания кинематических и динамических характеристик и законов вращательного движения необходимы для углубленного изучения не только механики, но и других разделов физики. Теория вращательного движения, предполагающая на первый взгляд, «узкую» область использования, имеет большое значение для последующего изучения небесной механики, теории колебаний физического маятника, теорий теплоемкости веществ и поляризации диэлектриков, движения заряженных частиц в магнитном поле, магнитных свойств веществ, классической и квантовой моделей атома.

Анализ содержания заданий, предлагаемых абитуриентам на вступительных экзаменах по физике в ведущих физико-технических вузах страны, также показывает, что знания по теории вращательного движения способствуют успешному выполнению таких заданий.

Существующий уровень профессионально-методической подготовленности большинства учителей физики к преподаванию теории вращательного движения в условиях профильного обучения недостаточен, у многих учителей нет полного понимания роли теории вращательного движения в изучении школьного курса физики. Поэтому необходима более глубокая профессионально-методическая подготовка, которая позволила бы учителю максимально использовать дидактические возможности для решения задач профильного обучения.

Отсутствие в действующих программах педвузов по теории и методике преподавания физики раздела «Научно-методический анализ и методика изучения теории вращательного движения» приводит к тому, что выпускники педвузов также оказываются недостаточно подготовленными к решению стоящих перед ними профессиональных задач в процессе преподавания теории вращательного движения в профильных классах.

Таким образом, актуальность исследования определяется: противоречием между требованиями, предъявляемыми школьными профильными программами для углубленного изучения физики к уровню знаний учащихся по теории вращательного движения и реальным уровнем знаний учащихся; противоречием между задачами, стоящими перед учителем в процессе преподавания теории вращательного движения в классах с углубленным изучением физики, и уровнем его соответствующей профессионально-методической подготовки.

Проблемой исследования является поиск эффективных методов преподавания теории вращательного движения в профильных классах с углубленным изучением физики.

Цель исследования состоит в разработке эффективных методов преподавания теории вращательного движения, способствующих повышению уровня знаний учащихся, необходимых для глубокого усвоения школьного курса физики, и содержания соответствующей профессионально-методической подготовки учителя.

Объектом исследования являются процесс обучения физике учащихся классов с углубленным изучением предмета.

Предметом исследования является методика преподавания теории вращательного движения и других разделов в классах с углубленным изучением физики.

Гипотеза исследования: Если разработать методику преподавания кинематики и динамики вращательного движения, то это позволит повысить уровень знаний учащихся не только по теории вращательного движения, но и по другим разделам школьного курса физики, где используются элементы этой теории.

вращательный движение физика тело

Изучение динамики вращательного движения твердого тела преследует следующую цель: познакомить учащихся с законами движения тел под действием моментов приложенных к ним сил. Для этого необходимо ввести понятие момента силы, момента импульса, момента инерции, изучить закон сохранения момента импульса относительно неподвижной оси.

Изучение вращательного движения твердого тела целесообразно начать с изучения движения материальной точки по окружности. В этом случае легко ввести понятие момента сил относительно оси вращения и получить уравнение вращательного движения. Необходимо заметить, что эта тема является трудной для усвоения, поэтому для лучшего понимания и запоминания главных соотношений рекомендуется проводить сопоставления с формулами для поступательного движения. Учащимся известно, что динамика поступательного движения изучает причины возникновения ускорения тел и позволяет вычислить их направления и величину. Второй закон Ньютона устанавливает зависимость величины и направления ускорения от действующей силы и массы тела. Динамика вращательного движения изучает причины появления углового ускорения. Основное уравнение вращательного движения устанавливает зависимость углового ускорения от момента силы и момента инерции тела.

Далее, рассматривая твердое тело как систему материальных точек, вращающихся по окружности, центры которых лежат на оси вращения твердого тела, легко получить уравнение движения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси. Трудность решения уравнения состоит в необходимости вычисления момента инерции тела относительно его оси вращения. Если нет возможности ознакомить учащихся с методами вычисления моментов инерции, например, из-за их недостаточной математической подготовки, то можно без вывода дать значения моментов инерции таких тел как шар, диск. Как показывает опыт, учащиеся с трудом усваивают понятие о векторном характере угловой скорости, момента силы и момента импульса. Поэтому необходимо выделить возможно большее время для изучения этого раздела, рассмотреть большее число примеров и задач (или делать это на внеклассных занятиях).

Продолжая аналогию с поступательным движением, рассмотрите закон сохранения момента импульса. При изучении динамики поступательного движения отмечалось, что в результате действия силы изменяется импульс тела. При вращательном движении изменяется момент импульса под действием момента силы. Если момент внешних сил равен нулю, то момент импульса сохраняется.

Ранее отмечалось, что внутренние силы не могут изменять скорость поступательного движения центра масс системы тел. Если же под действием внутренних сил изменить расположение отдельных частей вращающегося тела, то сохраняется общий момент импульса, а угловая скорость системы изменяется.

Для демонстрации этого эффекта можно воспользоваться установкой, в которой две шайбы надеваются на стержень, скрепленный с центробежной машиной. Шайбы соединены нитью (рис. 10). Вся система вращается с некоторой угловой скоростью. Когда нить пережигают, грузы разбегаются, момент инерции увеличивается, а угловая скорость уменьшается.

Пример решения задачи на закон сохранения момента импульса. Горизонтальная платформа массой M и радиусом R вращается с угловой скоростью. На краю платформы стоит человек массой m. С какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Человека можно рассматривать как материальную точку.

Решение. Сумма моментов всех внешних сил относительно оси вращения равна нулю, поэтому можно применить закон сохранения момента импульса.

Момент инерции платформы

момент инерции человека

Первоначально сумма моментов импульса человека и платформы была

Конечная сумма моментов импульса

Из закона сохранения момента импульса следует:

Решая уравнение относительно омега 1 , получим

источники:

http://infourok.ru/dinamika-vrashatelnogo-dvizheniya-4784691.html

http://znakka4estva.ru/dokumenty/fizika-i-energetika/primery-resheniya-zadach-po-teme-dinamika-vraschatelnogo-dvizheniya-tverdogo-tela-vokrug-nepodvizhnoy-osi/

Основное уравнение динамики вращательного движения задачи

Вывод второго закона Ньютона для вращательного движения + примеры решения задач

Аналоги характеристик поступательного и вращательного движения

Вывод второго закона Ньютона для вращательного движения

Практическое применение второго закона Ньютона для вращательного движения

Простые «мозголомки» из школьного курса физики

Задание 1. Велосипедное колесо

Задача 2. Взаимодействие кинематики и динамики

<img decoding="async" src="https://latex.codecogs.com/gif" />

Упражнение 3. Графическое представление

Задание 4. Шары

<img decoding="async" src="https://latex.codecogs.com/gif" />

Упражнение 5. Гири

<img decoding="async" src="https://latex.codecogs.com/gif" />

Практическое применение в жизни

Автомобиль

«Что-то странная какая-то утка, на курицу похожа…»

Гонки

Фигурное катание

Невесомость

О кошках

Динамика вращательного движения

Описание презентации по отдельным слайдам:

Примеры решения задач по теме «Динамика вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси»

Содержание

Методика изучения вращательное движение твердого тела в классах с углубленным изучением физики

Примеры решения задач по теме «Динамика вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси»

Задача №2

Список используемой литературы