Основное уравнение изгиба круглой пластинки

Изгиб пластинок (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Прочность материалов и конструкций»

Р е ц е н з е н т ы:

доктор технических наук, профессор кафедры

«Сопротивление материалов и теория упругости»

ФГБОУ ВПО ПИМаш (ЛМЗ-ВТУЗ)

кандидат технических наук, доцент кафедры

«Прочность материалов и конструкций»

ФГБОУ ВПО ПГУПС

Изгиб пластинок: учеб. пособие / , . – СПб.: Петербургский гос. ун-т путей сообщения, 2011. – 51 с.

Приведены основы теории и примеры решения задач по изгибу эллиптических, круглых и прямоугольных пластин. При этом используются как классические аналитические методы решения указанных задач, так и аналитические методы, основанные на применении математического аппарата разрывных функций.

Предназначено для аудиторной и самостоятельной работы студентов всех форм обучения.

университет путей сообщения, 2011

В соответствии с принятым ФГОС ВПО (2011 г.) по дисциплинам сопротивление материалов, строительная механика сокращается количество часов аудиторных занятий и увеличивается время, отводимое на самостоятельную работу студентов. В связи с этим появилась необходимость в дополнительных методических материалах, позволяющих познакомиться с современными аналитическими методами расчëтов таких элементов конструкций, как пластинки.

Данное учебное пособие состоит из двух глав.

В первой главе приведены основы теории и примеры решения задач по изгибу эллиптических, круглых и прямоугольных пластин. Примеры сопровождаются теоретической и методической информацией по решению задач. Кроме того, по каждой теме приведены расчëтно-проектировочные задания для самостоятельного решения. Задачи составлены с большим числом вариантов, что обеспечивает индивидуальность исходных данных.

Во второй главе на основе математического аппарата обобщëнных функций излагается в доступной форме эффективный аналитический метод расчëта пластин на действие статических нагрузок. Рассматриваются круглые пластинки под действием равномерно распределëнной нагрузки, как по всей еë поверхности, так и кольцевой поверхности при различных условиях закрепления пластинки.

Учебное пособие предназначено для аудиторной, самостоятельной и научно-исследовательской работы студентов, изучающих сопротивление материалов и строительную механику. Рекомендуется для подготовки к самостоятельному решению задач, выполнению расчëтно-проектировочных заданий, к контрольным работам, зачетам и экзаменам в качестве дополнения к теоретическому курсу сопротивления материалов и строительной механики. Оно может быть полезно магистрам, аспирантам и стажерам.

Глава 1. Изгиб тонких пластинок

1.1 Основные понятия и гипотезы

Пластины являются одним из основных конструктивных элементов многих инженерных сооружений. Под пластиной понимается тело, у которого одно измерение (высота, толщина) мало по сравнению с двумя другими размерами.

Высота (толщина) пластины может быть переменной, при пластина называется пластиной постоянной толщины. Далее рассматриваются именно такие пластины. Плоскость, разделяющая пополам толщину пластины, называется срединной плоскостью. При изгибе пластины она превращается в срединную поверхность. Контуром пластины называют линию, ограничивающую срединную плоскость пластины.

В прямоугольной системе координат оси и будем располагать в срединной плоскости пластины, а ось – направлять вниз (рис. 1.1). Перемещения срединной поверхности в направлении оси называют прогибом пластины и обозначают .

Рис. 1.1. Пластинка: срединный слой и размеры

В зависимости от соотношения наименьшего размера основания и толщины различают три вида пластин:

• при пластины относят к мембранам; мембраны обладают незначительной изгибной жëсткостью и работают в основном на растяжение;

• при пластина считается толстой и часто называется плитой: расчëт плит ведëтся как для массивных трëхмерных тел;

• при пластины называют тонкими; такой тип пластин чаще всего встречается для в инженерных приложениях. Их расчëт ведëтся с некоторыми упрощающими предположениями.

В зависимости от способности деформироваться тонкие пластины делятся на жëсткие и гибкие.

Если наибольший относительный прогиб при изгибе , то пластина считается жëсткой и напряжениями растяжения (сжатия), возникающими в еë срединной плоскости пренебрегают. Если величина превышает указанные пределы, то пластину считают гибкой, она работает одновременно и на изгиб и на растяжение (сжатие), то есть как мембрана.

Далее рассматриваются тонкие жëсткие пластинки, работающие на изгиб. Сформулируем некоторые допущения и ограничения (гипотезы), благодаря которым расчëт тонких пластин упрощается и сводится к решению линейных дифференциальных уравнений.

1. Основная гипотеза о прямых нормалях: прямолинейные отрезки, нормальные (перпендикулярные) к срединной плоскости пластины до деформации, остаются такими же и после деформации. Эта гипотеза аналогична гипотезе плоских сечений (гипотезе Бернулли), принимаемая в сопротивлении материалов при расчëте стержней.

2. Гипотеза об отсутствии поперечного давления: слои пластины, параллельные срединной плоскости, не давят друг на друга и поэтому соответствующими нормальными напряжениями сжатия , которые значительно меньше и можно пренебречь.

Эти два допущения часто называют гипотезами Кирхгофа.

3. Гипотеза о вертикальном смещении точек срединной поверхности: точки срединной поверхности смещаются только в перпендикулярных к ней направлениях, то есть по направлению оси . Горизонтальными перемещениями срединной плоскости в силу их малости пренебрегают.

Вследствие принятых допущений решение задачи по определению напряжëнно-деформированного состояния (НДС), то есть по определению внутренних усилий, напряжений и перемещений в сечении пластины значительно упрощается. Задача решается в перемещениях и за основную искомую функцию принимается прогиб , то есть вертикальное перемещение.

1.2 Перемещения и деформации в пластине

Будем рассматривать пластинки постоянной толщины, нагруженные поперечной распределëнной нагрузкой , которую для краткости далее обозначаем просто . Под действием этой нагрузки пластинка прогибается и срединный слой, искривляясь, образует поверхность .

Горизонтальные перемещения точек пластины, не принадлежащие срединной плоскости, в направлении осей и условимся обозначать и соответственно. Углы поворота нормали к срединной плоскости по отношению к осям и (рис. 1.2) будут

, .

Рис. 1.2. Горизонтальное перемещение

Из рис. 1.2 видно, что перемещение , а, следовательно, и перемещение , определятся так

, . (1.1)

Используя соотношения Коши, связывающие линейные деформации , , угловые деформации и перемещения и следующим образом:

, , ,

получим выражения для деформаций в пластинке

, , , (1.2)

.

Знак минус означает, что перемещение точки при происходит в сторону, противоположную направлениям осей и .

1.3 Напряжения и внутренние усилия в пластине

Согласно закону Гука (с учëтом принятого допущения )

,

,

,

где модуль Юнга, коэффициент Пуассона материала пластинки. Подставив сюда выражения (1.2), получим

,

,

. (1.3)

Из выражений (1.3) следует, что напряжения , и зависят от координаты линейно. Можно получить выражения для компонент и , но они здесь не понадобятся.

В соответствии с условиями статической эквивалентности внутренние моменты, возникающие в пластине, определяются следующими выражениями:

, , . (1.4)

Подставляя формулы для напряжений (1.3) в соотношения (1.4), получим значения моментов, выраженные через прогиб пластинки

,

,

. (1.5)

Здесь , изгибающие моменты, – крутящие моменты. Величина

(1.6)

называется цилиндрической жëсткостью и является физико-геометрической характеристикой пластинки при изгибе. Цилиндрическая жëсткость пластины при изгибе отличается от обычной изгибной жëсткости балки множителем , который учитывает увеличение жëсткости пластинки благодаря возникновению плоского напряжëнного состояния при цилиндрическом изгибе в отличие от линейного напряжëнного состояния волокон обычной балки. Указанное увеличения жëсткости составляет около .

Поперечные силы выражаются через моменты следующими уравнениями

, .

Подставляя сюда соотношения (5), получаем значения поперечных сил в зависимости от прогиба пластины

, . (1.7)

Отметим особенности обозначения внутренних силовых факторов в пластинах, отличные от тех, что были приняты в балках:

– изгибающий момент относительно оси, перпендикулярный к ; – изгибающий момент относительно оси, перпендикулярный к , – крутящий момент относительно оси , действующий в плоскости, параллельной оси ; – крутящий момент относительно оси , действующий в плоскости, параллельной оси (рис. 1.3).

Различие между поперечными силами и состоит в том, что первая действует на площадке с нормалью, параллельной оси , а вторая – на площадке с нормалью, параллельной оси .

Кроме того, следует принять во внимание, что изгибающие и крутящие моменты, а также поперечные силы отнесены к единице длины сечений, параллельных плоскостям и (рис. 1.1).

Рис. 1.3. Напряжения и внутренние усилия в пластине

1.4 Дифференциальное уравнение изгиба пластины

Если выделить в пластинке элементарный параллелепипед и спроектировать все силы, действующие на него, на ось , то из условия равновесия можно получить следующее тождество (выкладки опускаем)

,

где поперечная нагрузка.

Подставляя сюда выражения для поперечных сил (1.7), получим дифференциальное уравнение пластины

. (1.8)

Уравнение (1.8) называют уравнением Софии Жермен и записывают короче так:

или , (1.9)

где – гармонический дифференциальный оператор ( набла) в декартовых координатах (оператор Лапласа).

Расчëт пластинок сводится к интегрированию уравнения (1.9) при заданной правой части (нагрузке) и определëнных граничных условиях.

1.5 Граничные условия

Задача интегрирования уравнения (1.9) заключается не только в том, чтобы найти функцию , подстановка которой в дифференциальное уравнение (1.9) удовлетворяла бы последнее уравнение тождественно, но так же и в том, чтобы эта функция удовлетворяла условиям на опорном контуре. Наиболее часто встречающимися вариантами закрепления контура пластинки являются следующие (на примере прямоугольной пластины, рис. 1.1):

1) З а щ е м л ë н н ы й к р а й.

Защемление боковой грани пластинки (при ) означает отсутствие любых смещений, – горизонтальных, вертикальных и угловых, а значит, и углов поворота . Поэтому

(1.10)

2) Ш а р н и р н о – о п ë р т ы й к р а й.

Шарнирно-опëртая грань пластины не смещается в вертикальной плоскости, но может перемещаться в горизонтальной и поворачиваться. Это означает отсутствие прогиба и изгибающего момента на этой грани:

.

В силу первого равенства, на всëм контуре обращается в нуль также и производные, поэтому граничные условия упрощаются и для шарнирно-опëртого края будут

(1.11)

3) С в о б о д н ы й к р а й (отсутствие опорных связей).

Кирхгофом было показано, что для определения прогиба , удовлетворяющего уравнению (8), достаточно два условия на свободной грани :

, . (1.12)

Если на свободном крае пластинки приложены внешний изгибающий момент или распределëнная нагрузка , то в правые части равенств (1.12) надо подставить соответственно и .

В случае пластины с криволинейным контуром вводится система координат, связанная с нормалью и касательной к контуру пластины, и граничные условия переписываются через прежние прямоугольные координаты.

Ниже рассматриваются эллиптические пластинки с первым граничным условием, то есть жëсткой заделкой и круглые пластики с различными закреплениями.

1.6 Эллиптическая пластинка

Рассмотрим эллиптическую пластинку, защемлëнную по контуру и нагруженную равномерно распределëнной нагрузкой интенсивности (рис. 1.4). Оси и выберем так, чтобы они проходили через центр пластинки. Тогда уравнение контура

,

где и – большая и малая полуоси эллипса. Граничным условиям (1.10) будет удовлетворять функция (прогиб)

. (1.13)

Это выражение и его первые производные по и обращаются на контуре в нуль. При выражение превращается в , что является прогибом в центре пластинки. Эту величину найдем, подставив решение (1.13) в уравнение (1.8).

После дифференцирования находим

. (1.14)

Выражения для изгибающих моментов , и крутящего момента найдëм, подставив выражение для прогиба (1.13) в формулы (1.5):

;

;

. (1.15)

Выделим значения моментов в характерных точках:

– на концах большой полуоси

, , ; (1.16)

– на концах малой полуоси

, , ; (1.17)

– в центре пластинки

, , . (1.18)

Так как зависимость изгибающих моментов от координат имеет вид параболической функции, то для построения эпюр и необходимо взять минимум три точки.

Аналогичным образом найдëм выражения для поперечных сил вдоль координатных осей, подставив функцию прогиба (1.13) в формулы (1.7):

,

. (1.19)

В центре пластинки всегда .

Наконец, подставляя из выражения (1.13) в формулы (1.3), вычислим напряжения в пластине:

;

;

. (1.20)

Напряжения в центре пластинки

,

,

. (1.21)

Пример расчëта. Рассмотрим эллиптическую пластинку, защемлëнную по контуру и нагруженную равномерно распределëнным давлением интенсивности .

Дано: давление , размер пластины , , толщина , коэффициент Пуассона , модуль упругости , допускаемое напряжение на сдвиг (материал – сталь).

1. Определить наибольший прогиб пластины (в еë середине).

2. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по направлению главных диаметров контура.

3. В точке с координатами определить главные напряжения и выполнить проверку на прочность по III теории: .

Жëсткость заданной пластинки, согласно выражению (1.6)

.

1) Прогиб в центре пластины (формула (1.14))

.

2) Величины поперечных сил вдоль главных диаметров, совпадающих с направлениями координатных осей, определяем по формулам (1.19), а величины изгибающих моментов – по формулам (1.15), полагая для , а для .

Результаты вычислений с шагом сводим в табл. 1.1.

Эпюры внутренних усилий , , и приведены на рис. 1.4.

Т а б л и ц а 1.1

Величины поперечных сил и изгибающих моментов, возникающих в эллиптической пластине

,

,

,

,

Вывод уравнения изгиба круглой пластины

Преобразование декартовых координат к полярным осуществляется по формулам:

, (2.1)

где — полярные координаты (рис. 2.1).

Если принять начало радиуса полярной системы совпадающим с началом оси х декартовой системы, то формулы

устанавливают связь координат произвольной точки на плоскости.

Производные величин легко вычислить:

, (2.2)

,

.

На основании данных вычислений без труда находятся производные:

,

, (2.3)

.

с учётом данных определений производных в полярных координатах принимает вид

. (2.4)

С его помощью левая часть уравнения изгиба пластинки в полярных координатах может быть представлена состоящей из сомножителей

. (2.5)

Приравнивая это выражение величине , выводят уравнение изогнутой поверхности

. (2.6)

Здесь, как и для прямоугольной пластинки, обозначает прогиб произвольной точки, — цилиндрическую жёсткость, — её толщину; — коэффициент Пуассона, — интенсивность распределённой нагрузки.

При действии симметричной нагрузки прогибы не зависят от окружной координаты. Следовательно, производные функции прогибов по в уравнении исключаются, и уравнение принимает вид

. (2.7)

2.1 Интегрирование уравнения изгиба круглых пластин

Общий интеграл уравнения (2.7) можно представить как сумму частного решения и решения однородного уравнения при , т. е.

. (2.8)

Частное решение в случае равномерно распределённой нагрузки очевидно —

. (2.9)

Решение однородного уравнения записывается в виде

, (2.10)

где — постоянные интегрирования.

Таким образом, общее решение для круговой пластинки имеет вид

. (2.11)

2.3. Определение изгибающих моментов и поперечных сил круглых пластин

Величины изгибающих моментов и поперечных сил в круглых пластинах, как и уравнение изогнутой поверхности, можно выразить в полярной системе. Формулы для них, во – первых, вполне естественны для анализа круглых пластин, а, во – вторых, необходимы при практическом решении задач на стадии формулировки краевых условий.

Формулы для изгибающих моментов и поперечных сил несложно вывести на основе известных выражений аналогичных величин в декартовых координатах (см. формулы для прямоугольных пластинок (1.6,а)). Воспользовавшись, например, определением

,

после подстановки формул преобразования производных (2.3) находят моменты в радиальном направлении

. (2.12,а)

Аналогично выводят формулы и для окружных и крутящих моментов:

, (2.12,б)

. (2.12,в)

Точно также и для поперечных сил легко установить, что:

(2.13)

При полярно – симметричном изгибе круглой пластинки формулы упрощаются:

Изгибающие моменты равны

, (2.14,а)

. (2.14,б)

(2.15)

Остальные усилия не возникают совсем

(2.16)

2.4. Граничные условия для круглых пластин

А) При защемлении контура

(2.17)

Б) При шарнирном опирании контура

(2.18)

В) На свободном контуре (при отсутствии внешних воздействий по контуру отверстия)

, (2.19)

Г) На свободном контуре (при наличии внешних воздействий)

по наружному контуру

, (2.20)

если нагрузка распределена только на контуре;

если нагрузка распределена на внутреннем контуре (у отверстия), то должны быть выполнены следующие условия

, . (2.21)

2.5. Прогибы кольцевых пластин

На основе полученного решения несложно определит прогибы не только сплошных круглых пластинок, но пластинок с симметричным отверстием, т. е. кольцевых пластинок, при самых разных краевых условиях.

В частности, для круглой пластинки с защемлённым внешним контуром и шарнирным опиранием в месте выреза (рис. 2.2) краевые условия имеют вид:

на внешнем контуре, при

на внутреннем – при

Подставив сюда выражение для прогибов (2.11), приходят к системе четырёх уравнений относительно постоянных интегрирования:

Решив систему, находят:

где

Если ещё ввести параметры:

то тогда прогибы кольцевой пластинки находят по формуле

Значения моментов в пластинке при действииравномерно распределённой нагрузки р вычисляют по формулам (2.14).

Дата добавления: 2015-12-16 ; просмотров: 1563 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Расчет круглых пластинок (пластин) постоянной толщины на действие осесимметричной нагрузки

Гипотезы Кирхгоффа для тонких пластинок и основные зависимости для расчета

Многие элементы конструкций, такие как днища и крышки резервуаров, аппаратов, люков и т.п., представляют собой круглые пластинки. Наиболее простой вид деформации таких элементов – их осесимметричный изгиб, который мы и будем рассматривать.

На рис.1 показано диаметральное сечение круглой пластинки и несколько осесимметричных нагрузок:

F– сосредоточенная сила в центре пластин,

T– кольцевая нагрузка,

q – распределённая нагрузка.

Рис 1

h – характерная толщина пластинки (она может быть постоянной, а может быть и переменной),

а – внешний радиус пластинки.

Срединная плоскость делит толщину пластинки пополам. Вертикальные линейные перемещения точек срединной плоскости (по оси z) называются прогибами и обозначаются буквой w.

Пластинка считается тонкой, если её толщина не превышает пятой части диаметра ,а наибольший прогиб не превышает пятой части толщины .

Для таких пластинок справедливы допущения, называемые гипотезами Кирхгоффа:

1. Считается, что любой нормальныйэлемент (перпендикуляр к срединной плоскости) остается нормальным к срединной поверхности в процессе изгиба пластинки и длина его при этом не изменяется.
2. Считается, что в точках срединной поверхности пластинки отсутствуют деформации растяжения, сжатия и сдвига.
3. Считается, что напряжения в сечениях, параллельных срединной плоскости, пренебрежимо малы по сравнению с остальными напряжениями.

Будем различать в пластинке два направления:

1–радиальное (все параметры такого направления обозначим индексом «1»),

2–окружное (все параметры этого направления будем отмечать индексом «2»).

Рассмотрим положение в пространстве до и после изгиба пластинки двух смежных бесконечно близких точек В и В’, отстоящих от срединной плоскости на произвольном расстоянии «z» (рис.2).

Рис 2

В соответствии с гипотезами Кирхгоффа для радиальной и окружной деформации получаем:

(1)

Тогда из закона Гука для плоского напряжённого состояния (σ₁≠0, σ₂≠0, σ_z=0) следует:

(2), где

Зависимость между прогибом (w) и углом поворота (θ) следует из рассмотрения рис. 3:

РРис 3

А именно, (3)

Напряжения на гранях элемента, выделенного из пластинки двумя радиальными и двумя окружными сечениями, показаны на рис.4.

Рис 4

Вычислим внутренние усилия на гранях элемента, показанного на рис.4.

Нормальные напряжения σ₁ группируются в изгибающий момент М₁, а σ₂ – в изгибающий момент М₂:

(4), где

-цилиндрическая жёсткость пластинки.

Касательные напряжения, собранные с площадки единичной ширины, образуют поперечную силу в окружном сечении:

Нормальные напряжения легко выражаются через изгибающие моменты. Для этого достаточно подставить выражения (4) в (2). Тогда получаем:

,где— это момент инерции прямоугольной полоски единичной ширины.

Эпюры этих напряжений показаны на рис. 5.Рис.5

Правило знаков изгибающего момента для круглых пластинок:

положительным будем считать изгибающий момент, соответствующий растяжению верхнего слоя пластинки.

Наконец, рассмотрим равновесие элемента пластинки под действием усилий и действующей нагрузки (рис.6)

Рис.6

Дифференциальное уравнение задачи и его аналитическое решение

Составим два уравнения равновесия:

1. Σz=0 , откуда, пренебрегая бесконечно малыми третьего порядка, имеем:

или, после сокращения на ,

Интегрируя это уравнение, получим:

2. ΣΜ_t=0,откуда после сокращений найдем:

Заменив по малости на , сократив на и разделив все на , получаем:

(6)

Подстановкой в это уравнение выражений М₁ и М₂ по формуле (4) получим разрешающее уравнение:

(7)

Это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции угла поворота θ ( r ).

Можно получить разрешающее уравнение для осесимметричного изгиба круглых пластинок и через функцию прогиба w ( r ), но оно будет иметь четвертый порядок:

(8)

Рассмотрим схему решения уравнения (7) методом Эйлера. Полное решение состоит из общего и частного решения:

Общее решение однородного уравнения по Эйлеру отыскивается с помощью подстановки:Тогда:

и однородное уравнение, соответствующее (7), будет:

откуда имеем характеристическое уравнение:

Его корнями являются: α₁=+1, α₂=-1, и соответствующее общее решение однородного уравнения (7) будет:

(9) ,

где: А и В – постоянные интегрирования.

С целью отыскать частное решение неоднородного уравнения свернем его левую часть к виду:

Тогда уравнение (7) примет вид:

Дважды интегрируя, найдем:

Очевидно, что два первых слагаемых представляют общее решение, а последнее – решение частное:

(10)

Здесь: s – текущая координата (радиус) внутри интервала (r₀, r).

Расчет пластинок (пластин) постоянной толщины

Пример 1. Чистый изгиб сплошной круглой пластинки моментами, распределенными по шарнирно опертому контуру.

В данном случае поперечная нагрузка отсутствует. Равна нулю и поперечная (перерезывающая) сила Q ® =0.

Поэтому частное решение (10) также равно нулю, и остается только общее решение (9). Итак,

Значения А и В следует искать из граничных условий:

— на внешнем контуре (r=a) нам известен радиальный изгибающий момент М₁=m,

— в начале координат, при r=0 из соображений симметрии угол поворота должен равняться нулю: θ=0.

Подчиняя решение (9) второму условию, имеем:,

откуда В=0, так как если В≠0, то θ→∞.

Тогда из первого условия найдем:

— это угол поворота в любой точке на расстоянии r от оси симметрии.

В данном случае при В=0 изгибающий момент окружного направления будет равен:

а прогиб любой точки из уравнения (3):

Постоянную «С» найдем из условия шарнирного закрепления контура (при r=a: w=0): чтобы его удовлетворить, следует положить r₀=a, тогда и С=0, а

Наибольший прогиб (при r=0) составит:

Пример 2. Рассмотрим чистый изгиб кольцевой пластинки

Общее решение здесь такое же, как и в предыдущем примере, но граничные условия другие, а именно:

при r=a: М₁=m,

при r=b: М₁=0.

Удовлетворяя этим условиям, будем иметь:

Эпюры изгибающих моментов показаны на схеме.

Для угла поворота получим соотношение:

Найденное здесь решение для кольцевой пластинки позволяет получить расчетные формулы для кольца как частный случай.

При каких соотношениях а и b кольцевую пластинку можно считать кольцом,

сечения которого поворачиваются без изгиба срединной плоскости?

Полагая , преобразуем выражение угла поворота в произвольном сечении кольцевой пластинки к виду:

где — момент инерции поперечного сечения кольца шириной «с» и высотой «h»:

В рассматриваемых условиях нагружения кольцо испытывает деформацию изгиба. Из условия равновесия половины кольца:

или 2М_изг=2mR, откуда М_изг=m·R.

Следовательно, в сечениях кольца возникают нормальные напряжения от изгиба:

Из рисунка кольцевой пластинки следует:

С другой стороны, из закона Гука для растяжения:

Из геометрических соображений получается тот же результат:

Пример 3. Сплошная круглая пластинка, защемлённая по внешнему контуру, находящаяся под действием равномерно распределённой нагрузки по всей её площади. Найдём усилия, перемещения, проверим прочность.

В отличие от предыдущих примеров, где на пластинку действовали краевые нагрузки, здесь придётся отыскивать частное решение неоднородного уравнения

Для определения Q (s) выделим центральную часть пластинки радиусом «s» и рассмотрим её равновесие:

Итак, полное решение будет:

Граничные условия задачи:

(1) при r=0, θ=0, откуда: В=0,

и тогда

(2) при r=а, θ=0, откуда:

Вычислим изгибающие моменты:

Для построения эпюр изгибающих моментов вычислим крайние ординаты:

Найдем прогибы:

«С» найдем из граничного условия:

при r=a, w=0, откуда:

Тогда прогиб в любой точке пластинки будет:

Наибольший прогиб в центре пластинки, при r=0:

Для оценки прочности пластинки следует найти напряжения.

В точках внешнего контура (r=a) радиальные (σ₁) и окружные (σ₂) нормальные напряжения у поверхности пластинки, то есть при

В центре пластинки, при r=0:

И в точках, расположенных на контуре, и в центре пластинки имеет место плоское напряженное состояние. Следовательно, оценить прочность материала можно только с помощью теорий прочности. Если материал пластинки пластичный, то рекомендуется применять третью либо четвертую теории. Так, с позиции третьей теории прочности в точках контура (при r=a),

А в центре пластинки (r=0), где

Сравнивая величины эквивалентных напряжений, заключаем, что наиболее опасной точкой пластинки является та, что расположена на контуре, и тогда условием прочности будет:

Пример 4. Рассмотрим круглую пластинку под действием сосредоточенной силы в ее центре

Задача отличается от предыдущей иным частным решением.

В данном случае:

Подставляя в формулу частного решения (10), имеем:

Тогда полное решение будет:

Найдём А и В из граничных условий:

Тогда полное решение:

Вычислим изгибающие моменты:

Эпюры моментов показаны на схеме. Они совмещены на одном графике: правая половина – эпюра М₁, а левая – эпюра М₂. В центре пластинки, при ,и значения изгибающих моментов стремятся к бесконечности.

А на краю пластинки, при r=a: ℓn1=0, и тогда

Бесконечно большие значения изгибающих моментов являются лишь следствием крайней схематизации (сосредоточенная сила приложена в точке). На самом же деле такого не бывает, нагрузка распределена по некоторой малой площадке, а в малой окрестности точки приложения силы М₁=М₂, как и во всех других случаях загружения.