Основное уравнение кинематики s v0t at2 2

Основное уравнение кинематики s v0t at2 2

Получите бесплатный курс по основам математики. Эти знания необходимы для решения задач по физике.

Векторная алгебра с нуля!

Получите бесплатный курс по Векторной алгебре. Он необходим для решения задач по физике.

Книги по изучению физики и для подготовки к ЕГЭ

Кинематика. Основные формулы

Прежде всего, следует заметить, что речь будет идти о геометрической точке, то есть области пространства, не имеющей размеров. Именно для этого абстрактного образа (модели) и справедливы все представленные ниже определения и формулы. Однако для краткости я в дальнейшем буду часто говорить о движении тела, объекта или частицы. Это я делаю только для того, чтобы Вам легче было читать. Но всегда помните, что речь идет о геометрической точке.

Радиус-вектор точки — это вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец — с данной точкой. Радиус-вектор обозначается, как правило, буквой r. К сожалению некоторые авторы обозначают его буквой s. Настоятельно советую не использовать обозначение s для радиус-вектора. Дело в том, что подавляющее большинство авторов (как отечественных, так и зарубежных) используют букву s для обозначения пути, который является скаляром и к радиус-вектору, как правило, отношения не имеет. Если вы будете обозначать радиус-вектор как s, то легко можете запутаться. Еще раз, мы, как и все нормальные люди, будем использовать следующие обозначения: r — радиус-вектор точки, s — путь, пройденный точкой.

Вектор перемещения (часто говорят просто – перемещение) – это вектор, начало которого совпадает с той точкой траектории, где было тело, когда мы начали изучать данное движение, а конец этого вектора совпадает с той точкой траектории, где мы это изучение закончили. Будем обозначать этот вектор как Δr. Использование символа Δ очевидно: Δr – это разность между радиус-вектором r конечной точки изучаемого отрезка траектории и радиус-вектором r₀ точки начала этого отрезка (рис. 1), то есть Δr = r − r₀.

Траектория — это линия, вдоль которой движется тело.

Путь — это сумма длин всех участков траектории, последовательно проходимых телом при движения. Обозначается либо ΔS, если речь идет об участке траектории, либо S, если речь идет о всей траектории наблюдаемого движения. Иногда (редко) путь обозначают и другой буквой, например, L (только не обозначайте его как r, мы уже об этом говорили). Запомните! Путь — это положительный скаляр! Путь в процессе движения может только увеличиваться.

Средняя скорость перемещения v_ср — это вектор, определяемый выражением

v_ср = Δr/Δt.

Мгновенная скорость перемещения v — это вектор, определяемый выражением

v = dr/dt.

Средняя скорость пути v_ср — это скаляр, определяемый выражением

Часто встречаются и другие обозначения, например, .

Мгновенная скорость пути v — это скаляр, определяемый выражением

Модуль мгновенной скорости перемещения и мгновенная скорость пути — это одно и то же, поскольку dr = ds.

Среднее ускорение a_ср — это вектор, определяемый выражением

a_ср = Δv/Δt.

Мгновенное ускорение (или просто, ускорение) a — это вектор, определяемый выражением

a =dv/dt.

Касательное (тангенциальное) ускорение a_τ (нижний индекс — это греческая строчная буква тау) — это вектор, являющийся векторной проекцией мгновенного ускорения на касательную ось.

Нормальное (центростремительное) ускорение a_n — это вектор, являющийся векторной проекцией мгновенного ускорения на ось нормали.

Модуль касательного ускорения

| a_τ | = dv/dt,

то есть это — производная модуля мгновенной скорости по времени.

Модуль нормального ускорения

| a_n | = v 2 /r,

где r — величина радиуса кривизны траектории в точке нахождения тела.

Важно! Хочу обратить внимание на следующее. Не путайтесь с обозначениями, касающимися касательного и нормального ускорений! Дело в том, что в литературе по этому поводу традиционно наблюдается полная чехарда.

Запомните!

a_τ — это вектор касательного ускорения,

a_n — это вектор нормального ускорения.

a_τ и a_n являются векторными проекциями полного ускорения а на касательную ось и ось нормали соответственно,

a_τ — это проекция (скалярная!) касательного ускорения на касательную ось,

a_n — это проекция (скалярная!) нормального ускорения на ось нормали,

| a_τ |- это модуль вектора касательного ускорения,

| a_n | — это модуль вектора нормального ускорения.

Особенно не удивляйтесь, если, читая в литературе о криволинейном (в частности, вращательном) движении, Вы обнаружите, что автор под a_τ понимает и вектор, и его проекцию, и его модуль. То же самое относится и к a_n. Все, как говорится, «в одном флаконе». И такое, к сожалению, сплошь и рядом. Даже учебники для высшей школы не являются исключением, во многих из них (поверьте — в большинстве!) царит полная неразбериха по этому поводу.

Вот так, не зная азов векторной алгебры или пренебрегая ими, очень легко полностью запутаться при изучении и анализе физических процессов. Поэтому знание векторной алгебры является наиглавнейшим условием успеха в изучении механики. И не только механики. В дальнейшем, при изучении других разделов физики, Вы неоднократно в этом убедитесь.

Мгновенная угловая скорость (или просто, угловая скорость) ω — это вектор, определяемый выражением

ω = dφ/dt,

где dφ — бесконечно малое изменение угловой координаты (dφ — вектор!).

Мгновенное угловое ускорение (или просто, угловое ускорение) ε — это вектор, определяемый выражением

ε = dω/dt.

Связь между v, ω и r:

v = ω × r.

Связь между v, ω и r:

Связь между | a_τ |, ε и r:

| a_τ | = ε · r.

Теперь перейдем к кинематическим уравнениям конкретных видов движения. Эти уравнения надо выучить наизусть.

Кинематическое уравнение равномерного и прямолинейного движения имеет вид:

r = r₀ + v t,

где r — радиус-вектор объекта в момент времени t, r₀ — то же в начальный момент времени t₀ (в момент начала наблюдений).

Кинематическое уравнение движения с постоянным ускорением имеет вид:

r = r₀ + v₀ t + at 2 /2, где v₀ скорость объекта в момент t₀ .

Уравнение для скорости тела при движении с постоянным ускорением имеет вид:

v = v₀ + a t.

Кинематическое уравнение равномерного движения по окружности в полярных координатах имеет вид:

где φ — угловая координата тела в данный момент времени, φ₀ — угловая координата тела в момент начала наблюдения (в начальный момент времени), ω_z — проекция угловой скорости ω на ось Z (обычно эта ось выбирается перпендикулярно плоскости вращения).

Кинематическое уравнение движения по окружности с постоянным ускорением в полярных координатах имеет вид:

Кинематическое уравнение гармонических колебаний вдоль оси X имеет вид:

х = А Cos (ω t + φ₀),

где A — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота, φ₀ — начальная фаза колебаний.

Проекция скорости точки, колеблющейся вдоль оси X, на эту ось равна:

Проекция ускорения точки, колеблющейся вдоль оси X, на эту ось равна:

Связь между циклической частотой ω, обычной частотой ƒ и периодом колебаний T:

ω = 2 πƒ = 2 π/T ( π = 3,14 — число пи).

Математический маятник имеет период колебаний T, определяемый выражением:

.

В числителе подкоренного выражения — длина нити маятника, в знаменателе — ускорение свободного падения

Связь между абсолютной v_абс, относительной v_отн и переносной v_пер скоростями:

v_абс = v_отн + v_пер.

Вот, пожалуй, и все определения и формулы, которые могут понадобиться при решении задач на кинематику. Приведенная информация носит только справочный характер и не может заменить электронную книгу, где доступно, подробно и, надеюсь, увлекательно изложена теория этого раздела механики.

Пожалуйста, не забудьте поделиться о прочитанном со своими друзьями в соц. сетях (см. кнопки ниже).

© Коллекция подготовительных материалов для успешной сдачи ЕГЭ по физике от Н. Чернова 2012 — 2015 | Контакты: , +79212839427, (81554) 65780

Основные понятия кинематики

Кинематика − это раздел механики, который рассматривает движение тел без объяснения вызывающих его причин.

Механическое движение тела − это изменение положения данного тела в пространстве относительно других тел во времени.

Как мы сказали, механическое движение тела относительно. Движение одного и того же тела относительно разных тел может быть разным.

Для характеристики движения тела указывается, по отношению к какому из тел рассматривается это движение. Это будет тело отсчета.

Система отсчета − система координат, которая связана с телом отсчета и временем для отсчета. Она позволяет определить положение передвигающегося тела в любой отрезок времени.

В С И единицей длины выступает метр, а единицей времени – секунда.

У каждого тела есть определенные размеры. Разные части тела расположены в разных пространственных местах. Но в большинстве задач механики не нужно указывать положение отдельных частей тела. Если размеры тела маленькие в сравнении с расстояниями до остальных тел, тогда заданное тело считается его материальной точкой. Таким образом поступают при изучении перемещения планет вокруг Солнца.

Механическое движение называют поступательным, в случае если все части тела перемещаются одинаково.

Поступательное движение наблюдается у кабин в аттракционе «Колесо обозрения» или у автомобиля на прямолинейном участке пути.

При поступательном движении тела его также рассматривают в качестве материальной точки.

Материальная точка − это тело, размерами которого при заданных условиях можно пренебречь.

Материальная точка в механике

Термин “материальная точка” имеет важное значение в механике.

Траектория движения тела − некоторая линия, которую тело или материальная точка описывает, перемещаясь во времени от одной точки до другой.

Местонахождение материальной точки в пространстве в любой временной отрезок (закон движения) определяют, используя зависимость координат от времени x = x ( t ) , y = y ( t ) , z = z ( t ) или зависимость от времени радиус-вектора r → = r → ( t ) , проведенного от начала координат до заданной точки. Наглядно это представлено на рисунке 1 . 1 . 1 .

Рисунок 1 . 1 . 1 . Определение положения точки при помощи координат x = x ( t ) , y = y ( t ) и z = z ( t ) и радиус-вектора r → ( t ) , r 0 → – радиус-вектор положения точки в начальный момент времени.

Перемещение тела s → = ∆ r → = r → — r 0 → – это направленный отрезок прямой, который соединяет начальное положение тела с его дальнейшим положением. Перемещение является векторной величиной.

Пройденный путь l равняется длине дуги траектории, преодоленной телом за определенное время t . Путь является скалярной величиной.

Если движение тела рассматривается в течение довольно короткого отрезка времени, тогда вектор перемещения оказывается направленным по касательной к траектории в заданной точке, а его длина равняется преодоленному пути.

В случае небольшого промежутка времени Δ t преодоленный телом путь Δ l практически совпадает с модулем вектора перемещения ∆ s → . При перемещении тела по криволинейной траектории модуль вектора движения все время меньше пройденного пути (рисунок 1 . 1 . 2 ).

Рисунок 1 . 1 . 2 . Пройденный путь l и вектор перемещения ∆ s → при криволинейном движении тела.
a и b – это начальная и конечная точки пути.

Определение средней и мгновенной скорости движения тела. Основные формулы кинематики

Для описания движения в физике введено понятие средней скорости: υ → = ∆ s → ∆ t = ∆ r → ∆ t .

Физиков больше интересует формула не средней, а мгновенной скорости, которая рассчитывается как предел, к которому стремится средняя скорость на бесконечно маленьком промежутке времени Δ t , то есть υ → = ∆ s → ∆ t = ∆ r → ∆ t ; ∆ t → 0 .

В математике данный предел называется производная и обозначается d r → d t или r → ˙ .

Мгновенная скорость υ → тела в каждой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в заданной точке. Отличие между средней и мгновенной скоростями демонстрирует рисунок 1 . 1 . 3 .

Рисунок 1 . 1 . 3 . Средняя и мгновенная скорости. ∆ s 1 → , ∆ s 2 → , ∆ s 3 → – перемещения за время ∆ t 1 ∆ t 2 ∆ t 3 соответственно. При t → 0 , υ → с р → υ → .

При перемещении тела по криволинейной траектории скорость υ → меняется по модулю и по направлению. Изменение вектора скорости υ → за какой-то маленький промежуток времени Δ t задается при помощи вектора ∆ υ → (рисунок 1 . 1 . 4 ).

Вектор изменения скорости ∆ υ → = υ 2 → — υ 1 → за короткий промежуток времени Δ t раскладывается на 2 составляющие: ∆ υ r → , которая направлена вдоль вектора υ → (касательная составляющая) и ∆ υ n → , которая направлена перпендикулярно вектору υ → (нормальная составляющая).

Рисунок 1 . 1 . 4 . Изменение вектора скорости по величине и по направлению. ∆ υ → = ∆ υ → r + ∆ υ → n – изменение вектора скорости за промежуток времени Δ t .

Мгновенное ускорение тела a → – это предел отношения небольшого изменения скорости ∆ υ → к короткому отрезку времени Δ t , в течение которого изменялась скорость: a → = ∆ υ → ∆ t = ∆ υ → τ ∆ t + ∆ υ → n ∆ t ; ( ∆ t → 0 ) .

Направление вектора ускорения a → , при криволинейном движении, не совпадает с направлением вектора скорости υ → . Составляющие вектора ускорения a → – это касательные (тангенциальные) a → τ и нормальные a → n ускорения (рисунок 1 . 1 . 5 ).

Рисунок 1 . 1 . 5 . Касательное и нормальное ускорения.

Касательное ускорение показывает, как быстро меняется скорость тела по модулю: a τ = ∆ υ ∆ t ; ∆ t → 0 .

Вектор a → τ направлен по касательной к траектории.

Нормальное ускорение показывает, как быстро скорость тела меняется по направлению.

Представим криволинейное движение, как движение по дугам окружностей (рисунок 1 . 1 . 6 ).

Рисунок 1 . 1 . 6 . Движение по дугам окружностей.

Нормальное ускорение находится в зависимости от модуля скорости υ и радиуса R окружности, по дуге которой тело перемещается в определенный момент времени: a n = υ 2 R .

Вектор a n → все время направлен к центру окружности.

По рисунку 1 . 1 . 5 видно, модуль полного ускорения равен a = a τ 2 + a n 2 .

Итак, основные физические величины в кинематике материальной точки – это пройденный путь l , перемещение s → , скорость υ → и ускорение a → .

Путь l – скалярная величина.

Перемещение s → , скорость υ → и ускорение a → – векторные величины.

Для того чтобы задать какую-нибудь векторную величину, необходимо задать ее модуль и определить направление. Вектора подчиняются математическим правилам: их можно проектировать на координатные оси, складывать, вычитать и др.

Кинематика в физике — основные понятия, формулы и определения с примерами

Содержание:

Основная задача механики — описание движения тел, т. е. выяснение закона (уравнения) их движения. Как отмечал А. Эйнштейн, наиболее фундаментальная проблема, остававшаяся нерешенной на протяжении тысячелетий, — это проблема движения. Собственно, учение о движении стало наукой лишь со времен Галилео Галилея и Исаака Ньютона.

Кинематика, изучает конкретные механические та их взаимодействия с другими телами. Она фактически объединяет простейшие пространственно-временные зависимости, в частности изменение координат тела со временем (как функцию времени).

Поэтому кинематику часто называют геометрией движения.

Кинематика изучает механические движения тел без учета их взаимодействия с другими телами.

Кинематика

Физика изучает разнообразные явления и процессы, происходящие вокруг нас. Как вам известно, в зависимости от их природы различают механические, тепловые, электрические, магнитные, световые и другие физические явления. Раздел физики, который объясняет движение и взаимодействие тел, называется механикой.

Слово «механика» впервые ввел Аристотель. Оно означает «машина».
Механика — одна из древнейших наук. Ее возникновение и развитие связано с практическими потребностями человека. Первые труды по механике, в которых рассматривались свойства простых механизмов и машин, появились еще в Древней Греции. Весомый вклад в ее становление сделали такие корифеи науки, как Аристотель (IV в. до н. э.), Архимед (III в. до н. э.), Леонардо да Винчи (XV в.), Галилео Галилей (XVII в.) и др. В завершенном виде как классическая теория она получила обоснование в работе Исаака Ньютона «Математические начала натуральной философии» (1687 г.). Современная механика, в основе которой лежит теория относительности, создана в начале XX в. Альбертом Эйнштейном.

Основная задача механики состоит в том, чтобы на основании параметров движения тела: координат, пройденного пути, перемещения, угла поворота, скорости, силы и т. д. — найти закон или уравнение, которое описывает это движение.

Основная задача механики состоит в том, чтобы найти уравнение движения тела с помощью параметров, описывающих это движение.
Т. е. если мы при помощи этих физических величин сможем установить положение тела в любой момент времени, то основная задача механики считается решенной. В зависимости от способов ее решения в механике выделяют три раздела: кинематика, динамика и статика.

Кинематика изучает, как движется тело, не вникая в причины, вызывающие именно такое движение. Поэтому кинематические уравнения состоят лишь из пространственных характеристик механического движения: пройденного пути, изменения координат тела, скорости и т. д. В них нет сил, изменяющих это движение.

В переводе с греческого слово кинематика» (kinematos) означает движение.

Механическое движение и траектория движения

Чаще всего в обыденной жизни мы наблюдаем явление, которое называется механическим движением. Например, автомобиль едет по дороге, в небе «плывут» тучи, ребенок катается на качелях, Луна вращается вокруг Земли и т. д. Во всех этих случаях происходит изменение положения одного тела или его частей относительно других. Чтобы убедиться в этом, необходимо выбрать тело отсчета, относительно которого можно фиксировать положение движущегося тела в любой момент времени. Тело отсчета выбирают произвольно. В приведенных примерах это может быть столб или дерево возле дороги, дом, поверхность Земли и т. д.

Для того чтобы описать движение тела, необходимо точно знать его местоположение в пространстве в произвольный момент времени, т. е. уметь определять изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Как известно, легче всего это можно сделать с помощью системы координат. Например, зафиксировать «адрес» тела как определенное его положение в пространстве, измерив расстояния или углы в некоторой системе координат.

Например, в географии положение тела на земной поверхности задается двумя числами на пересечении меридиана и параллели, которые называются географической долготой и широтой. В математике «адрес» точки чаще всего определяют ее координатами, в частности в прямоугольной (декартовой) системе координат на плоскости — это расстояния х и у (рис. 1.1).
Взаимные изменения положения тела или его частей в пространстве с течением времени называются механическим движением.

Систему координат, как правило, связывают с телом отсчета. В данном случае движущееся тело характеризуется изменением положения в пространстве относительно тела отсчета, т. е. изменением его координат с течением времени.

Математически это можно записать в таком виде: х = x(t); у = y(t).

Для того чтобы определить такое изменение в любой момент времени, с телом отсчета и системой координат необходимо связать средство измерения времени, к примеру секундомер или хронометр. Тогда тело отсчета, связанную с ним систему координат и секундомер как единое целое называют системой отсчета.

Как известно, реальные физические тела имеют форму и объем. Поэтому однозначно задать их положение в пространстве не всегда представляется возможным, поскольку различные их части имеют разные координаты. Однако эту проблему можно упростить, если не брать во внимание размеры тела. Такое возможно лишь при определенных условиях.

Чтобы выяснить их, рассмотрим движение автомобиля. На значительных расстояниях, например на шоссе между Киевом и Харьковом, размерами автомобиля можно пренебречь, поскольку они значительно меньше расстояния между этими городами. Поэтому нет необходимости рассматривать особенности движения каждой части кузова автомобиля — достаточно его представить как движение точки.

Таким образом, для упрощения описания движения тел, когда их размерами при определенных условиях можно пренебречь, применяют понятие материальной точки. Это условное тело, не имеющее размеров, которое определяет положение реального тела в пространстве при помощи координат такой, материальной точки. Ее геометрический образ — невесомая точка, не имеющая размеров. В случае поступательного движения, при котором все точки тела движутся одинаково, любое тело можно считать материальной точкой.

Материальная точка — это физическая модель, при помощи которой представляют реальное тело, пренебрегая его размерами.

Часто кроме движущихся предметов мы наблюдаем тела, пребывающие в состоянии покоя. Однако абсолютно неподвижных тел в природе не существует.

Рассмотрим такой пример. В вагоне на столе стоит бутылка с водой (рис. 1.2). Во время движения поезда разные наблюдатели — пассажир в купе и провожающий на перроне — оценят ее состояние движения по-разному. Для сидящего пассажира она неподвижна, поскольку расстояние от него до бутылки не изменяется. Для провожающего на перроне 16 она движется, потому что изменяет свое положение с течением времени в системе отсчета, связанной с перроном.

Следовательно, состояние покоя является относительным, равно как и состояние движения, поскольку зависит от выбранной системы отсчета. Поэтому в дальнейшем при рассмотрении движения тела мы в первую очередь будем определяться с выбором системы отсчета, потому что от этого нередко зависит сложность уравнений, описывающих данное движение. Правильный выбор системы отсчета ведет к упрощению уравнений движения.

Состояние покоя и состояние движения тела относительны, поскольку зависят от выбора системы отсчета.

Рассмотрим движущееся тело, последовательно фиксируя его положение в определенные моменты времени. Если теперь соединить все точки, в которых побывало тело во время своего движения, то получим мнимую линию, которая называется траекторией движения. Траектория движения может быть видимой (след от самолета на небосклоне, линия от карандаша или ручки при записи в тетради) и невидимой (полет птички, движение теннисного мяча и т. д.).

По форме траектории механическое движение бывает прямолинейным и криволинейным (рис. 1.3).

Положение броуновской частички через определенные промежутки времени.

Рис. 1.3. Различные формы траектории

Траектория прямолинейного движения — прямая линия. Например, падение тела с определенной высоты или движение шарика по наклонному желобу. Во время криволинейного движения тело перемещается по произвольной кривой. Часто реальное движение тел является комбинацией прямолинейного и криволинейного движений. Например, комбинированным есть движение автобуса по маршруту: на разных участках траектория его движения может быть и прямолинейной, и криволинейной.

Поскольку движение тел происходит в определенных системах отсчета, то и траектория рассматривается относительно них. Ведь она отображает во времени последовательные положения тела в некоторой системе отсчета. Поэтому она будет отличаться формой в различных системах отсчета, т. е. траектории движения также относительны. Например, все точки колеса велосипеда относительно его оси описывают окружность, однако в системе отсчета, связанной с землей, эта линия более сложная (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Траектория движения точки обода колеса велосипеда

Путь и перемещение

Зная траекторию движения, можно определить путь, пройденный телом: для этого необходимо измерить длину траектории между начальной и конечной точками движения.

Путь — это длина траектории, которую проходит тело или материальная точка за определенный интервал времени. Он обозначается латинской буквой l. Данная физическая величина является скалярной и характеризуется лишь значением длины траектории движения.

В Международной системе единиц (СИ) путь измеряется в метрах (м). На практике используют также другие единицы пути — километр (км), сантиметр (см) и др.

Часто, для того чтобы более полно охарактеризовать движение тела и найти его новое положение, кроме пройденного пути (длины траектории), необходимо указать также направление, в котором двигалось тело. Например, водителю автомобиля приходится ехать по извилистой дороге (рис. 1.5).

Пройденный путь — это длина дороги I, по которой ехал автомобиль. Водитель же совершил перемещение в пространстве из точки А в точку В, которое можно найти, соединив начальное и конечное положение тела прямой линией, указав при этом направление движения.

Следовательно, направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение движущегося тела с конечным, называется перемещением. Перемещение — это векторная величина. Оно обозначается латинской буквой Его значение характеризуется модулем вектора перемещения или для упрощения записи s.

Путь и перемещение могут отличаться своими значениями. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим движение велосипедиста по окружности радиуса R= 100 м (рис. 1.6).

Допустим велосипедист стартует в точке А. Проехав половину окружности, он окажется в точке В. Пройденный им путь равен дуге а модуль перемещения = 2R = 200 м.

В момент времени, когда велосипедист проедет окружности, пройденный им путь будет равен значение перемещения Когда велосипедист сделает полный оборот, пройденный путь будет равен модуль перемещения при этом равен нулю Таким образом, перемещение может равняться нулю даже в том случае, если тело перед этим осуществляло движение. Это возможно, когда начальное и конечное положения тела совпадают.

Путь и перемещение имеют также одинаковые значения, когда тело движется прямолинейно лишь в одном направлении.

В рассмотренном нами примере пройденный путь и перемещение разные, отличаются по своему значению. Возникает вопрос: могут ли они совпадать, быть одинаковыми? Можно легко убедиться в том, что такое возможно, если, во-первых, траектория движения будет прямой, во-вторых, движение происходит в одну сторону. Как подтверждение этого, рассмотрим — такой пример.

Допустим, что автомобиль движется прямолинейно по шоссе из пункта А в пункт В, а затем возвращается в пункт С. Расстояние между пунктами 2 км и 4 км соответственно, все они размещены на одной прямой (рис. 1.7).

Двигаясь из пункта А в пункт В, автомобиль проходит путь = 2 км + 4 км = 6 км, и модуль его перемещения равен = 6 км. Т. е. в данном случае путь и перемещение совпадают: После того как автомобиль развернулся и приехал в пункт С, его перемещение равно = 2 км, а пройденный путь составляет = 6 км + 4 км = 10 км, т. е. пройденный путь и перемещение отличаются:

Следовательно, пройденный путь и перемещение по своему значению одинаковы лишь в том случае, если тело движется по прямой и не изменяет направление движения.

Равномерное прямолинейное движение

Простейшим видом механического движения является равномерное прямолинейное движение. Это такое движение, при котором тело, двигаясь по прямой, за любые одинаковые интервалы времени совершает одинаковые перемещения. Его траектория — прямая линия. Поэтому его можно описать переменой одной из координат, например х = x(t), если координатная ось совпадает с направлением движения.

Пусть тело в начальный момент движения имеет координату (рис. 1.8); через некоторое время, совершив перемещение оно будет иметь координату х. Перемещение, характеризующее изменение положения тела в пространстве с течением времени, может происходить с разной скоростью. Скорость равномерного движения — это физическая величина, равная отношению перемещения ко времени, в течение которого оно произошло:

Как известно, в СИ скорость
измеряется в метрах за секунду (м/с). 1 м/с — это скорость такого равномерного прямолинейного движения, при которой тело за 1 с совершает перемещение 1 м. На практике используют также другие единицы скорости, например километр в час:

Поскольку перемещение — векторная величина, а время t -скалярная и всегда больше 0, то скорость также векторная величина, направление которой совпадает с направлением перемещения (рис. 1.9).

При равномерном движении значение скорости остается постоянным, поскольку за любые равные интервалы времени совершаются равные перемещения.

Как известно, основной задачей механики является определение положения тела в пространстве в произвольный момент времени. Следовательно, чтобы ее решить, надо найти координаты тела либо их изменение во времени: х — x(t). В механике такое уравнение называется уравнением движения. При решении задач с использованием уравнения движения векторные величины, характеризующие движение тела, записывают в проекциях на соответствующую ось. Следовательно, из формулы (1) получаем:

Из рисунков 1.8 и 1.9 понятно, что Воспользовавшись формулой (2), получим уравнение равномерного прямолинейного движения:

поэтому
Уравнения равномерного прямолинейного движения:

Рассмотрим теперь различные случаи равномерного прямолинейного движения (рис. 1.10).

Из рисунка следует, что если направление движения тела совпадает с направлением координатной оси, то > 0 и координата тела с течением времени возрастает: где v — модуль скорости.

Если же направление движения тела противоположно направлению координатной оси, то 0) либо устремляться вниз ( 0 (рис. 1.15) либо 0 и 0, скорость движения увеличивается, ведь — > 0, вектор совпадает с направлением движения.

Если скорость тела со временем уменьшается то вектор ускорения будет противоположным к направлению движения (рис. 1.25).

В данном случае в соответствии с выбранным направлением координатной оси ОХ проекция ускорения будет отрицательной

Вместе с тем знак проекции ускорения не определяет характер движения — оно ускоряющееся или замедляющееся, в зависимости от выбора системы отсчета. В этом легко убедиться, если рассмотреть случай, когда оба тела движутся в противоположных направлениях. Тогда одно из тел имеет положительную проекцию ускорения а другое — отрицательную хотя оба движутся равноускоренно.

Из формул (1) и (2) можно получить кинематическое уравнение скорости для равноускоренного движения:

или в проекциях на ось ОХ:

Выведем теперь кинематическое уравнение перемещения для равноускоренного движения. Учтем, что скорость во время такого движения постоянно изменяется, например сначала она равна а в конце движения она будет v. Поэтому в формуле перемещения можно воспользоваться понятием средней скорости (известное из курса физики 8-го класса):

Подставив в данную формулу уравнение (3) и произведя некоторые преобразования, получим:

или в проекциях на ось ОХ:

Если начальная скорость тела равна 0 то кинематическое уравнение перемещения приобретает вид:

или в проекциях на ось ОХ:

Для прямолинейного движения, учитывая, что получим кинематическое уравнение для координат или уравнение равноускоренного движения:

или для случая, когда = 0:

Следует помнить, что в ходе решения задач необходимо учитывать знаки проекций в соответствующих уравнениях.

При определении проекции перемещения не всегда известно время, в течение которого происходило движение. Тогда можно воспользоваться иным уравнением. Чтобы его получить, подставим в кинематическое уравнение выражение Сделав некоторые математические преобразования (предлагаем произвести их самостоятельно), получим формулу:

Отсюда Если

Задача №5

Водитель начинает тормозить в тот момент, когда спидометр автомобиля фиксирует скорость 72 км/ч. Через какое время автомобиль остановится, если он двигался с ускорением Каким был его тормозной путь?
Дано:

По условию задачи спидометр показывает начальную скорость автомобиля Движение автомобиля во время торможения — замедляющееся, поэтому вектор ускорения направлен в противоположную сторону от направления движения. Конечная скорость автомобиля v = 0 (он остановился).

следовательно, 0 = — at, отсюда

Ответ: автомобиль остановился через 10 с, проехав 100 м.

Задача №6

Шарик толкнули по наклонному желобу вверх со скоростью 6 м/с. Шарик движется с ускорением 0,5 Найти скорость шарика через 8 с и 14 с после начала движения.
Дано:

Решение

Направим ось ОХ вдоль желоба (см. рис.).

Учитывая знаки проекций скорости и ускорения, имеем

Отсюда уравнение для имеет такой вид:

Для имеем:

Анализируя полученные результаты, можно сделать вывод, что в первом случае шарик двигался вверх (> 0), а во втором случае он скатывался вниз, поскольку 0), либо падать вниз ( 0, то график имеет вид, представленный на рисунке 1.28. На графике зависимости координаты от времени, если вершина параболы смещается по оси ординат вверх или вниз в зависимости от значения

Если = 0 и

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.