Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) с выводом
В статье рассмотрена модель идеального газа, приведено основное уравнение молекулярно-кинетической теории и его вывод.
Чтобы объяснить свойства материи в газообразном состоянии, в физике применяется модель идеального газа. Идеальный газ — разреженный, состоящий из одного типа атомов газ, частицы которого не взаимодействуют между собой. Помимо основных положений МКТ эта модель предполагает, что:
- молекулы имеют пренебрежимо малый объем в сравнении с объемом емкости
- при сближении частиц друг с другом и с границами емкости имеют место силы отталкивания
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории
Физический смысл основного уравнения МКТ заключается в том, что давление идеального газа — это совокупность всех ударов молекул о стенки сосуда. Это уравнение можно выразить через концентрацию частиц, их среднюю скорость и массу одной частицы:
p – давление молекул газа на границы емкости,
m0 – масса одной молекулы,
n — концентрация молекул, число частиц N в единице объема V;
v 2 — средне квадратичная скорость молекул.
Вывод основного уравнения МКТ
Частицы идеального газа при соударениях с границами емкости ведут себя как упругие тела. Такое взаимодействие описывается согласно законам механики. При соприкосновении частицы с границей емкости проекция vx скоростного вектора на ось ОХ, проходящую под прямым углом к границе сосуда, меняет свой знак на противоположный, но сохраняется неизменной по модулю:
Поэтому после соударения частицы с границей емкости проекция импульса молекулы на ось ОХ меняется с mv1x = –mvx на mv2x = mvx.
Изменение импульса молекулы ΔP равняется удвоенному произведению массы молекулы на ее скорость:
Поскольку в каждом из шести основных направлений декартовой системы координат (вверх, вниз, вперед, назад, вправо, влево) движется одна шестая часть частиц N/6. Тогда число частиц, которые сталкиваются с каждой стенкой за время Δt равно:
S – площадь этой стенки
n — концентрация частиц
Давление p равно отношению силы F к площади S, на которую действует эта сила:
Суммарная сила, с которой частицы давят на стенку равна отношению произведения числа этих частиц N и изменения импульса ΔP ко времени, в течение которого происходит давление:
Исходя из вышенаписанного получаем:
Если заменить среднее значение кинетической энергии поступательного движения молекул — E:
и подставить эту формулу в основное уравнение МКТ, получим давление идеального газа:
Давление идеального газа равняется двум третям средней кинетической энергии поступательного движения молекул на единицу объема. При решении задач реальный газ можно считать идеальным газом, если он одноатомный и можно пренебречь взаимодействием между частицами.
Понравилась статья, расскажите о ней друзьям:
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (Колебошин С.В.)
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На прошлых уроках мы сформулировали понятие идеального газа и описали его микро- и макропараметры. Этот урок будет посвящён выведению соотношения между этими параметрами. Таким образом, мы выведем основное уравнение молекулярно-кинетической теории, а также рассмотрим две формы записи данного уравнения.
Изопроцессы, работа в термодинамике, первый закон термодинамики
Теория к заданию 8 из ЕГЭ по физике
Основное уравнение МКТ (давление газа)
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории устанавливает связь между давлением идеального газа и средней кинетической энергией его молекул.
Вывод основного уравнения МКТ основывается на допущениях модели идеального газа и утверждении: давление газа является результатом ударов молекул о стенку сосуда.
Определим давление газа на стенку площадью $S$ сосуда $ABCD$.
Каждая молекула массой $m_0$, отскакивая от стенки после упругого соударения со стенкой, передает ей импульс $2m_<0>υ_x$, где $υ_x$ — проекция скорости молекулы $υ↖<→>$ на ось $О_х$, перпендикулярную стенке. Всего за одну секунду суммарный импульс, получаемый стенкой от всех молекул, равен $2m_<0>υ_
Сила эта зависит, таким образом, от среднего квадрата скорости $<υ_x^<2>>↖<->$.
Поскольку вследствие хаотичности движения все направления равноправны, то
С другой стороны, известно, что квадрат модуля любого вектора равен сумме квадратов его проекций на оси координат, поэтому:
Усредняя это выражение по всем молекулам и учитывая $υ^2=υ_x^<2>+υ_y^<2>+υ_z^<2>$, получим:
С учетом последней формулы $F↖<->=<1>/<3>m_<0>n<υ^2>↖<->$
Следовательно, давление на стенку сосуда равно:
Это основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Это уравнение — первое количественное соотношение, полученное в МКТ.
Уравнение $p==<1>/<3>m_<0>n<υ^2>↖<->$ позволяет получить связь между давлением и средней кинетической энергией молекул $
Давление идеального газа равно двум третям средней кинетической энергии поступательного движения молекул, содержащихся в единице объема.
Важно подчеркнуть, что здесь речь идет о средней кинетической энергии молекул газа. Это означает, что давление газа — величина, органически связанная с тем, что газ состоит из большого числа молекул. Нет смысла говорить о давлении, создаваемом несколькими молекулами. Давление газа — понятие, имеющее статистический характер (так называют понятия, имеющие смысл только для систем с очень большим числом частиц).
Абсолютная температура
Согласно основному уравнению МКТ, давление $р$ прямо пропорционально средней кинетической энергии $E↖<->$ поступательного движения молекул:
где $n$ — объемная концентрация молекул. Заменив в $p=<2>/<3>n
В состоянии теплового равновесия при постоянном объеме средняя кинетическая энергия данной массы газа должна иметь вполне определенное значение, как и температура. Согласно формуле $
Таким образом, величина $Θ=
Температура $Т$, определяемая равенством $Θ=kT$, называется абсолютной температурой.
Значения температуры, определенной по формуле $
Температура, как и давление, определяется средней кинетической энергией молекул идеального газа. Поэтому температура, как и давление, является статистической величиной (статистической называется величина, имеющая смысл только для систем, содержащих очень большое число частиц). Нельзя говорить о температуре одной или нескольких молекул.
Абсолютную шкалу температур ввел английский ученый У. Кельвин в 1850 г. Нулевая температура по абсолютной шкале (ее называют также шкалой Кельвина) соответствует абсолютному нулю, а каждая единица температуры по этой шкале равна градусу по шкале Цельсия.
Единица абсолютной температуры является одной из семи основных единиц СИ и измеряется в кельвинах (обозначается буквой $К$).
Связь между температурами, измеренными по шкалам Цельсия $t$ и Кельвина $Т$, описывается формулой:
Абсолютный нуль равен $-273.15°$С. Как правило, при расчетах пользуются округленным значением абсолютного нуля ($-273°$С).
Коэффициент пропорциональности к в формуле $Θ=kT$ называется постоянной Больцмана в честь Л. Больцмана — одного из основателей молекулярно-кинетической теории газа. Этот коэффициент составляет $k=1.38^<-23>$ Дж/К.
Постоянная Больцмана связывает температуру $Θ$ в энергетических единицах с температурой $Т$ в кельвинах. Это одна из наиболее важных постоянных в молекулярно-кинетической теории.
Температура как мера кинетической энергии
Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории, записанного в форме $p=<2>/<3>
и определения абсолютной температуры согласно $
Средняя кинетическая энергия хаотического поступательного движения молекул газа пропорциональна абсолютной температуре.
Из полученного результата однозначно следует, что абсолютная температура есть мера средней кинетической энергии движения молекул.
Соотношение между температурой и кинетической энергией справедливо не только для разреженных газов (идеальных газов), но также для любых тел, подчиняющихся законам механики Ньютона. Оно справедливо и для жидкостей, и для твердых тел, атомы которых колеблются около положения равновесия.
Уравнение $р = nkТ$
Из формулы $p=<2>/<3>n
где $k$ — постоянная Больцмана.
Из формулы $p=nkT$ очевидно, что при одинаковых давлениях и температурах концентрация молекул у всех газов одинакова.
Отсюда следует известный закон Авогадро: в равных объемах газов при одинаковых температурах и давлениях содержится одинаковое число молекул.
Средняя скорость теплового движения молекул может быть также выражена через абсолютную температуру, если в формуле $E↖<->=<3>/<2>kT$ заменить $E↖<->$ на $
Квадратный корень из этой величины называется средней квадратичной скоростью:
Уравнение Менделеева-Клапейрона (уравнение состояния идеального газа)
Уравнение состояния идеального газа — это зависимость между параметрами идеального газа — давлением $р$, объемом $V$ и абсолютной температурой $Т$, определяющими его состояние:
где $В$ зависит от массы газа $m$ и его молекулярной массы $М$. В таком виде уравнения впервые получено в 1834 г. французским ученым Б. П. Э. Клапейроном и называется уравнением Клапейрона.
В 1874 г. Д. И. Менделеев вывел уравнение состояния для одного моля идеального газа: $pV=RT$, где $R$ — универсальная газовая постоянная. Если молярная масса газа $М$, то
Уравнение состояния в форме $pV=
Уравнение состояния $pV=
где $N_А$ — постоянная Авогадро, $N$ — число молекул в теле.
В результате получим:
Внутренняя энергия идеального одноатомного газа
Поскольку молекулы идеального газа не взаимодействуют друг с другом, их потенциальная энергия считается равной нулю. Внутренняя энергия идеального газа определяется только кинетической энергией беспорядочного поступательного движения его молекул. Для ее вычисления нужно умножить среднюю кинетическую энергию одного атома $E↖<->=<3>/<2>kT$ на число атомов $N=
Учитывая, что $kN_A=R$, получим значение внутренней энергии идеального газа:
Внутренняя энергия идеального одноатомного газа прямо пропорциональна его температуре.
Если воспользоваться уравнением Клапейрона-Менделеева, то выражение для внутренней энергии идеального газа можно представить в виде:
Следует отметить, что, согласно выражению для средней кинетической энергии одного атома $(E↖<->=<3>/<2>kT)$ и в силу хаотичности движения, на каждое из трех возможных направлении движения или каждую степень свободы по оси $X,Y$ и $Z$ приходится одинаковая энергия $
Число степеней свободы — это число возможных независимых направлений движения молекулы.
Газ, каждая молекула которого состоит из двух атомов, называется двухатомным. Каждый атом может двигаться по трем направлениям, поэтому общее число возможных направлений движения — $6$. За счет связи между молекулами число степеней свободы уменьшается на одну, поэтому число степеней свободы для двухатомной молекулы равно пяти.
Средняя кинетическая энергия двухатомной молекулы равна $<5>/<2>kT$. Соответственно внутренняя энергия идеального двухатомного газа равна:
Формулы для внутренней энергии идеального газа можно обобщить:
где $i$ — число степеней свободы молекул газа ($i = 3$ для одноатомного и $i=5$ для двухатомного газа).
Для идеальных газов внутренняя энергия зависит только от одного макроскопического параметра — температуры и не зависит от объема, т. к. потенциальная энергия равна нулю (объем определяет среднее расстояние между молекулами).
Для реальных газов потенциальная энергия не равна нулю. Поэтому внутренняя энергия в термодинамике в общем случае однозначно определяется параметрами, характеризующими состояние этих тел: объемом ($V$) и температурой ($Т$).
Изопроцессы в газах
Изопроцессами называются процессы, протекающие при неизменном значении одного из параметров: давления ($р$), объема ($V$), температуры ($Т$).
В идеальном газе эти процессы подчиняются газовым законам.
Газовыми законами называются количественные зависимости между двумя параметрами газа при фиксированном значении третьего параметра.
Закон Бойля-Мариотта
Закон Бойля-Мариотта — один из основных газовых законов, он описывает изотермические процессы в газе.
Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянной температуре называется изотермическим.
Для данной массы произведение давления газа на его объем постоянно, если температура газа не меняется.
$pV=const$ при $T=const$
Этот закон был экспериментально открыт английским ученым Р. Бойлем в 1662 г., в 1676 г. его сформулировал также французский ученый Э. Мариотт.
Закон строго выполняется только для идеальных газов. Для реальных газов он выполняется достаточно хорошо при небольших давлениях и высоких температурах. Так, при давлении $100$ атм. и температуре $0°$С отклонение измеренного значения $рV$ от расчетного составляет $7%$. Закон Бойля-Мариотта, как и другие газовые законы, является следствием уравнения состояния идеального газа.
Графики зависимости $p(V)$ при $T=const$ ($p=
Закон Шарля
Давление $p$ данной массы газа при постоянном объеме пропорционально температуре.
$p=constT$ при $T=const$
Закон был открыт французским физиком Ж. Шарлем в 1787 году.
Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном объеме называется изохорным (от греч. hora — пространство).
Закон Шарля, как и другие газовые законы, является следствием уравнения состояния идеального газа:
Согласно $
/
В соответствии с $
/
Изохорный процесс используется в газовых термометрах постоянного объема.
Закон Гей-Люссака
При постоянном давлении $р$ объем $V$ идеального газа меняется линейно с температурой.
где $V_0$ — начальный объем, $t$ — разность начальной и конечной температур. Коэффициент теплового расширения идеальных газов $α=(<1>/<273.15>)K^<-1>$ одинаков для всех газов.
Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном давлении называется изобарным (от греч. baros — вес, тяжесть).
Закон открыт французским ученым Ж. Гей-Люссаком в 1802 г. и независимо от него Дж. Дальтоном в 1801 г.
Закон Гей-Люссака, как и другие газовые законы, является следствием уравнения состояния идеального газа. Это становится очевидным, если в $V=V_0(1+αt)$ заменить $t$ абсолютной температурой $T=t+273.15$, а коэффициент расширения $α$ — его численным значением $<1>/<273.15>$:
Для газа данной массы отношение объема к температуре постоянно, если давление газа не меняется.
Согласно $
Эта зависимость графически изображается прямой, которая называется изобарой.
Различным давлениям соответствуют разные изобары. С ростом давления объем газа при постоянной температуре, согласно закону Бойля—Мариотта, уменьшается, поэтому изобара, соответствующая более высокому давлению $р_2$, лежит ниже изобары, соответствующей более низкому давлению $р_1$.
В области низких температур все изобары идеального газа сходятся в точке $Т=0$, но это не означает, что объем реального газа действительно обращается в нуль. При низких температурах все газы обращаются в жидкости, а к жидкостям уравнение состояния не применимо.
http://interneturok.ru/lesson/physics/10-klass/osnovy-molekulyarno-kineticheskoy-teorii/osnovnoe-uravnenie-molekulyarno-kineticheskoy-teorii
http://examer.ru/ege_po_fizike/teoriya/izoprocessy