Основное уравнение равномерного движения в гидравлике

Вопрос №20. Основное уравнение равномерного движения жидкости. Формула Шези.

Рассмотрим прямолинейное равномерное движение жидкости. Живые сечения в этом случае могут быть произвольной формы, но не должны изменяться по всей длине рассматриваемого участка. В таком потоке потери напора определяются лишь потерями по длине.

Выделим из потока участок жидкости длиной l и запишем уравнение Бернулли для сечений 1 и 2( рис. 32 )

z1 , z2 — ординаты центра тяжести сечений 1,2,

p1 , p2 — давление в центрах тяжести этих сечений,

v1 , v2 — средние скорости в этих сечениях,

h1-2 — потери напора по длине.

Так как движение равномерное, то v1 =v2 и уравнение можно переписать так:

. (1)

В случае равномерного движения разность удельных потенциальных энергий равна потере напора по длине.

Для вычисления этой разности напишем сумму проекций на ось А-А всех сил, действующих на участке 1-2. Эти силы следующие:

1) сила тяжести жидкости

,

2) силы давления на плоские сечения

, , ,

,

где t — сила трения на единицу площади смачиваемой поверхности

русла, c — смоченный периметр,

4) силы давления стенок на жидкость ( эти силы не подсчитываем, так как они параллельны оси А-Аи, следовательно, их проекции на ось А-А равны нулю ).

Спроектируем все эти силы на ось А-А:

.

.

Подставим выражение для сил в уравнение

.

Разделим обе части этого равенства на , имеем

. (2)

Сравнивая выражения (1) и (2), находим

,

.

Отношение площади живого сечения S к смоченному периметру c называется гидравлическим радиусом

.

Величина обозначается через i и называется гидравлическим уклоном.

.

Это уравнение называется основным уравнением равномерного движения.

Величина имеет размерность квадрата скорости

.

Выражение — называется динамической скоростью, обозначается v*

.

Формула Шези — формула для определения средней скорости потока при установившемся равномерном турбулентном движении жидкости в области квадратичного сопротивления для случая безнапорного потока. Опубликована французским инженером-гидравликом А. Шези (AntoinedeChézy, 1718–1798) в 1769 году. Применяется для расчётов потоков в речных руслах и канализационых системах.

,

где V — средняя скорость потока, м/с;

C — коэффициент сопротивления трения по длине (коэффициент Шези), являющийся интегральной характеристикой сил сопротивления;

R — гидравлический радиус, м;

I — гидравлический уклон м/м.

Формула Шези имеет то же предназначение, что и формула Дарси-Вейсбаха. Коэффициент потерь на трение связан с коэффициентом сопротивления С следующей зависимостью:

.

Коэффициент сопротивления C может быть определён по формуле Н. Н. Павловского:

где n — коэффициент шероховатости, характеризующий состояние поверхности русла, для случая канализационных труб принимается в диапазоне (0,012. 0,015); для других случаев nbsp;— информация приведена в литературе [1]

у — показатель степени, зависящий от величины коэффициента шероховатости и гидравлического радиуса:

Эта формула рекомендуется для значений R [2]

Дата добавления: 2015-04-18 ; просмотров: 161 ; Нарушение авторских прав

Основы гидравлики

Учебные вопросы:

Основные физические свойства жидкости.

В отличие от твердого тела жидкость характеризуется малым сцеплением между частицами, вследствие чего она обладает текучестью и принимает форму сосуда, в который ее помещают.

Жидкости подразделяют на два вида:

Капельные жидкости обладают большим сопротивлением сжатию (практически несжимаемы) и малым сопротивлением касательным и растягивающим усилиям (из-за незначительного сцепления частиц и малых сил трения между частицами).

К капельным жидкостям относятся вода, бензин, керосин, нефть, ртуть и другие

Газообразные жидкости характеризуются почти полным отсутствием сопротивления сжатию.К газообразным жидкостям относятся все газы.

К основным физическим свойствам жидкости относятся:

Плотность — это отношение массы к объему, занимаемому этой массой. Плотность измеряют в системе СИ в килограммах на кубический метр (кг/м3). Плотность воды составляет 1000 кг/м3.

Используются также укрупненные показатели: – килопаскаль — 1 кПа= 103 Па; – мегапаскаль — 1 МПа = 106 Па.

Сжимаемость жидкости — это ее свойство изменять объем при изменении давления. Это свойство характеризуется коэффициентом объемного сжатия или сжимаемости, выражающим относительное уменьшение объема жидкости при увеличении давления на единицу площади. Для расчетов в области строительной гидравлики воду считают несжимаемой. В связи с этим при решении практических задач сжимаемостью жидкости обычно пренебрегают.

Величина, обратная коэффициенту объемного сжатия, называется модулем упругости. Модуль упругости измеряется в паскалях

Температурное расширение жидкости при ее нагревании характеризуется коэффициентом температурного расширения, который показывает относительное увеличение объема жидкости при изменении температуры на 1 С.

В отличие от других тел объем воды при ее нагревании от 0 до 4 °С уменьшается. При 4 °С вода имеет наибольшую плотность и наибольший удельный вес; при дальнейшем нагревании ее объем увеличивается. Однако в расчетах многих сооружений при незначительных изменениях температуры воды и давления изменением этого коэффициента можно пренебречь.

Вязкость жидкости — ее свойство оказывать сопротивление относительному движению (сдвигу) частиц жидкости. Силы, возникающие в результате скольжения слоев жидкости, называют силами внутреннего трения, или силами вязкости.

Силы вязкости проявляются при движении реальной жидкости. Если жидкость находится в покое, то вязкость ее может быть принята равной нулю. С увеличением температуры вязкость жидкости быстро уменьшается; остается почти постоянной при изменении давления.

Гидростатика

Гидростатикой называется раздел гидравлики, в котором рассматриваются законы равновесия жидкости и их практическое применение.

В покоящейся жидкости всегда присутствует сила давления, которая называется гидростатическим давлением.

Жидкость оказывает силовое воздействие на дно и стенки сосуда. Частицы жидкости, расположенные в верхних слоях водоема, испытывают меньшие силы сжатия, чем частицы жидкости, находящиеся у дна.

Гидростатическое давление обладает свойствами

• Свойство 1. В любой точке жидкости гидростатическое давление перпендикулярно площадке касательной к выделенному объему и действует внутрь рассматриваемого объема жидкости.
• Свойство 2. Гидростатическое давление неизменно во всех направлениях.
• Свойство 3. Гидростатическое давление в точке зависит от ее координат в пространстве.

Основное уравнение гидростатики

Рассмотрим распространенный случай равновесия жидкости, когда на нее действует только одна массовая сила – сила тяжести, и получим уравнение, позволяющее находить гидростатическое давление в любой точке рассматриваемого объема жидкости. Это уравнение называется основным уравнением гидростатики.

Пусть жидкость содержится в сосуде (рис.8 ) и на ее свободную поверхность действует давление P0 . Найдем гидростатическое давление P в произвольно взятой точке М, расположенной на глубине h. Выделим около точки М элементарную горизонтальную площадку dS и построим на ней вертикальный цилиндрический объем жидкости высотой h. Рассмотрим условие равновесия указанного объема жидкости, выделенного из общей массы жидкости. Давление жидкости на нижнее основание цилиндра теперь будет внешним и направлено по нормали внутрь объема, т.е. вверх.

Запишем сумму сил, действующих на рассматриваемый объем в проекции на вертикальную ось:

Последний член уравнения представляет собой вес жидкости, заключенный в рассматриваемом вертикальном цилиндре объемом hdS. Силы давления по боковой поверхности цилиндра в уравнение не входят, т.к. они перпендикулярны к этой поверхности и их проекции на вертикальную ось равны нулю. Сократив выражение на dS и перегруппировав члены, найдем:

Полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики. По нему можно посчитать давление в любой точке покоящейся жидкости. Это давление, как видно из уравнения, складывается из двух величин: давления P0 на внешней поверхности жидкости и давления, обусловленного весом вышележащих слоев жидкости.

Пьезометрический и гидростатический напоры

Рассмотрим закрытый сосуд с жидкостью, к которому в точках А и В на произвольной глубине присоединены пьезометры I и II (рис. 9).

Давление на свободной поверхности в сосуде больше атмосферного. Трубка I сверху открыта и давление на свободной поверхности в ней равно атмосферному. Трубка II сверху запаяна, из нее удален воздух, т.е. давление в ней равно нулю.

Для определения вертикальных координат точек А и В проведем на произвольной высоте горизонтальную плоскость 0-0. Эта плоскость называется плоскостью сравнения. Вертикальное расстояние от плоскости сравнения до рассматриваемой точки называется геометрической высотой точки по отношению к плоскости сравнения и обозначается буквой. За плоскость сравнения может быть принят уровень земли, пола.

Так как давление в сосуде на свободной поверхности жидкости больше атмосферного, то в пьезометрических трубках I и II жидкость поднимется на большую высоту, чем уровень жидкости в сосуде. Обозначим высоту поднятия жидкости в открытом пьезометре через – пьезометрическая высота, а высоту поднятия жидкости в закрытом пьезометре через – приведенная высота.

Пьезометрическая высота – мера манометрического давления в точке А. Приведенная высота – мера абсолютного давления в точке В. Разность высот , равна высоте столба жидкости, соответствующей атмосферному давлению т.е. 10 м.в.ст.

Сумма геометрической высоты и пьезометрической для любой точки жидкости будет величиной постоянной и называется пьезометрическим напором:

Подставив это выражение в формулу (1) получим:

это сумма приведенной высоты и геометрической высоты положения, называемая гидростатическим напором Hs.

В уравнении (5) Hs=const для любой точки жидкости, а не зависит от положения точки. Значит:

Поэтому, сколько бы мы пьезометров не подключили, во всех пьезометрах жидкость установится на одном уровне: плоскость, соответствующая уровню П–П, называется пьезометрической плоскостью, а уровню Н–Н – напорной плоскостью.

Пьезометрический напор является мерой удельной потенциальной энергии жидкости. Предположим, что вес частицы жидкости в точке А. равен G. о отношении к плоскости сравнения О – О запас потенциальной энергии положения равен G*z, где -Z высота от плоскости О – О до точки А.

Под действием избыточного гидростатического давления Pm частица, находящаяся на глубине h , может подняться на высоту hp, то есть она обладает потенциальной энергией давления равной G*hp. Полная потенциальная энергия частицы жидкости весом G равна G*z+G*hp.

Удельная потенциальная энергия, т.е. энергия приходящаяся на единицу веса частицы будет соответственно равна:

Аналогично, гидростатический напор Hs является также мерой удельной потенциальной энергии жидкости, но большей по сравнению Hp на величину удельной потенциальной энергии атмосферного давления.

Вакуум. Закон Паскаля.

Вакуум — пространство, свободное от вещества. В технике и прикладной физике под вакуумом понимают среду, содержащую газ при давлении значительно ниже атмосферного. Вакуум характеризуется соотношением между длиной свободного падения молекул газа λ и характерным размером среды d. Под d может приниматься расстояние между стенками вакуумной камеры, диаметр вакуумного трубопровода и т. д. В зависимости от величины соотношения λ/d различают низкий, средний и высокий вакуум.

Насос для демонстрации вакуума

Законом Паскаля в гидростатике называется следующее утверждение,сформулированное французским учёным Блезом Паскалем: давление, производимое на жидкость или газ, передается в любую точку без изменений во всех направлениях.

На основе закона Паскаля работают различные гидравлические устройства: тормозные системы, гидравлические процессы и др.

В законе Паскаля речь идет не о давлениях в разных точках гидравлической системы, а о возмущениях давления в разных точках, поэтому закон справедлив и для жидкости в поле силы тяжести.

В случае движущейся несжимаемой жидкости можно условно говорить о справедливости закона Паскаля, ибо добавление произвольной постоянной величины к давлению не меняет вида уравнения движения жидкости, однако в этом случае термин закон Паскаля обычно не применяется. Для сжимаемых жидкостей (газов) закон Паскаля, вообще говоря, несправедлив.

Виды движения жидкости

Виды движения жидкости бывают:

Неустановившимся – называют движение жидкости, все или некоторые характеристики которого изменяются во времени, т. е. давление и скорость зависят как от координат , так и от времени

Примерами неустановившегося движения являются опорожнение резервуаров, водохранилищ, движение воды в реках при переменном уровне (при паводках, сбросах воды через плотину) и т. д.

сброс воды через плотину

Установившимся – наз. движение жидкости неизменное во времени, при котором давление и скорость являются функциями только координат, но не зависит от времени. u = f1(x, y, z); p = f2(x, y, z).

Установившееся движение подразделяется на:

Равномерное движение характеризуется постоянством параметров по длине потока. Примерами такого движения являются движения в трубах постоянного сечения и в каналах правильной формы. Поле линий тока равномерного движения – семейство параллельных прямых.

При неравномерном движении скорость, глубина, площади сечений потока изменяются по его длине. Из неравномерных движений можно выделить так называемое плавно изменяющееся движение, которое характеризуется малой кривизной линий тока и малым углом расхождения линий тока .

В зависимости от причин, вызывающих движение, и условий, в которых оно происходит, различают:

• напорное движение
• безнапорное движение

Напорное движение происходит в потоке, со всех сторон ограниченном твердыми стенками. Давление во всех точках потока отлично от атмосферного и может быть как больше, так и меньше последнего. Движение происходит под действием разности давлений по длине потока, которая может быть создана водонапорной башней, питающим баком, насосной установкой.

Безнапорное движение происходит под действием силы тяжести при наличии свободной поверхности жидкости. Примерами безнапорного движения является движение в реках, каналах и трубах, когда сечение последних не полностью заполнено жидкостью.

Гидродинамика

Предметом изучения гидродинамики является движущаяся жидкость. Как было указано ранее, все без исключения физические и химические процессы, которые составляют основу промышленных технологических процессов, происходят в динамических условиях, в условиях движения текучих сред.

При движении жидкостей под воздействием внешних сил в потоках прежде всего формируются поля скоростей микро- и макрочастиц, которые определяют формирование температурных и полей концентраций веществ, что в конечном итоге обусловливает скорость протекания процессов.

На движущуюся жидкость, кроме сил, которые действовали на покоящуюся жидкость (поверхностные силы гидростатического давления и массовые силы: силы тяжести и внешние силы инерции), действуют дополнительные силы инерции и силы трения. В отличие от гидростатического давления, величина которого не зависит от ориентации поверхности, на которое оно действует, возникающее при движении гидродинамическое давление благодаря развитию напряжениям сдвига (касательным силам), различно в направлении осей X, Y и Z.

Наличие сил внутреннего трения между движущимися частицами жидкости (в соответствии с законом внутреннего трения Ньютона) является первопричиной различия скоростей движения в различных точках по поперечному сечению канала. Характер этого различия, который обусловливается характером связи между давлением и скоростью движения частиц в любой точке потока. Это и является основной задачей теории гидродинамики.

Уравнение неразрывности потока.

Уравнение неразрывности потока отражает закон сохранения массы: количество втекающей жидкости равно количеству вытекающей. Например, на рис. 15 расходы во входном и выходном сечениях напорной трубы равны: q1 = q2.

Схема к уравнению неразрывности потока.

С учётом, что q = Vw, получим уравнение неразрывности потока:

Если отсюда выразим скорость для выходного сечения:

то легко заметить, что она увеличивается обратно пропорционально площади живого сечения потока. Такая обратная зависимость между скоростью и площадью является важным следствием уравнения неразрывности и применяется в технике, например, при тушении пожара для получения сильной и дальнобойной струи воды.

Ламинарный и турбулентный режим движения жидкости.

Наблюдения показывают, что в природе существует два разных движения жидкости:

• žслоистое упорядоченное течение – ламинарное движение, при котором слои жидкости скользят друг друга, не смешиваясь между собой;
• žтурбулентное неурегулированное течение, при котором частицы жидкости движутся по сложным траекториям, и при этом происходит перемешивание жидкости.

От чего зависит характер движения жидкости, установил Рейнольдс в 1883 году путем. Эксперименты показали, что переход от ламинарного к турбулентному движению происходит при определенной скорости (критическая скорость), которая для труб различных диаметров неодинакова: при увеличении диаметра она увеличивается, критическая скорость так же увеличивается при увеличении вязкости жидкости. Рейнольдс вывел общие условия существования ламинарного и турбулентных режимов движения жидкости. По Рейнольдсу режима движения жидкости зависят от безразмерного числа, которое учитывает основные, определяющие это движение: среднюю скорость, диаметр трубы, плотность жидкости и ее абсолютную вязкость.

Это число называется числом Рейнольдса:

Число Рейнольдса, при котором происходит переход от одного режима движения жидкости в другой режим, называется критическим .

При числе Рейнольдса наблюдается ламинарный режим движения, при числе Рейнольдса – турбулентный режим движения жидкости. Чаще критическое значение числа принимают равным это значение соответствует переходу движения жидкости от турбулентного режима к ламинарного.

При переходе от ламинарного режима движения жидкости к турбулентному критическое значение имеет большее значение. Критическое значение числа Рейнольдса увеличивается в трубах, сужаются, и уменьшается в тех, что расширяются. Это объясняется тем, что при сужении поперечного сечения скорость движения частиц увеличивается, поэтому тенденция к поперечного перемещения уменьшается.

Уравнение Бернулли.

Закон (уравнение) Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

p — плотность жидкости,

v— скорость потока,

h— высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,

p— давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости,

g— ускорение свободного падения.

Константа в правой части часто называется полным давлением и зависит, в общем случае, от линии тока.

Размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Следует обратить внимание на то, что третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления и не представляет собой запаса какого-либо специального вида энергии .

Соотношение, близкое к приведенному выше, было получено в 1739 г. Даниилом Бернулли, с именем которого обычно связывают интеграл Бернулли. В современном виде интеграл был получен Иоганном Бернулли около 1740 года.

Bernoulli Johann 1667-1748

СВОЙСТВА ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ

Список литературы:

ž1. В.П. Гусев «Основы гидравлики», Томск, 2009 г.

ž2. Бретшнайдер С. «Свойства газов и жидкостей», Москва

Основы гидравлики

Основы гидродинамики

Гидродинамикой называют раздел гидравлики, в котором изучается движение жидкости, обусловленное действием приложенных к ней внешних сил.

Состояние реальной движущейся жидкости в каждой ее точке характеризуется не только плотностью и вязкостью, но и скоростью частиц жидкости, а также гидродинамическим давлением.

Под частицей в гидродинамике понимают условно выделенный объем жидкости, который настолько мал, что можно пренебречь изменением его формы при движении.

При изучении законов движения реальной жидкости необходимо учитывать ее вязкость, что усложняет решение задач гидродинамики, поэтому рассмотрим вначале уравнения движения идеальной жидкости, а затем внесем в них поправки, учитывающие свойства реальной жидкости.

Основным объектом изучения гидродинамики является поток жидкости, под которым понимают движение массы жидкости, ограниченной полностью или частично какой-либо поверхностью (поверхностями) . Ограничивающая поверхность может быть твердой (стенки труб, берега и дно рек, каналов и т. д.) , жидкой (граница двух жидкостей с разными физическими свойствами) и газообразной (например, граница между поверхностью жидкости и атмосферой и т. п.) .

Движение жидкости может быть установившимся (стационарным) и неустановившимся (нестационарным) . Установившимся называют движение, при котором давление и скорость жидкости в любой точке занятого ею пространства с течением времени не изменяются. При неустановившемся движении в каждой точке пространства, занятом жидкостью, скорость и давление изменяются с течением времени.

Примером установившегося движения может послужить истечение жидкости из сосуда с поддерживаемым постоянно уровнем через коническую трубку (см. рис. 1) . Скорость движения жидкости в разных сечениях трубки будет различаться, но в каждом из сечений эта скорость будет постоянной, не изменяющейся во времени.
Если же в подобном опыте уровень жидкости в сосуде не поддерживать постоянным, то движение жидкости по той же конической трубке будет иметь нестационарный (неустановившийся) характер, поскольку в сечениях трубки скорость не будет постоянной во времени (будет уменьшаться с понижением уровня жидкости в сосуде) .

Движение жидкости может быть равномерным и неравномерным.
Равномерным называют движение, при котором скорости в сходственных точках двух смежных сечений потока жидкости равны между собой. В противном случае движение неравномерное.
Если обратиться к предыдущему опыту с сосудом и конической трубкой, то можно заметить, что истечение жидкости через коническую трубку в обоих случаях (с постоянным и переменным уровнем в сосуде) равномерным не будет. Коническая трубка имеет непостоянное сечение, и скорость жидкости при движении по ней будет непрерывно изменяться.
Если заменить в этом опыте коническую трубку цилиндрической, то движение жидкости в ней будет равномерным.

Различают напорное и безнапорное движение жидкости. Если стенки полностью ограничивают поток жидкости, то движение жидкости называют напорным (например, перемещение жидкости по полностью заполненным трубам) .
Если же ограничение потока стенками частичное (например, движение воды в реках, каналах) , то такое движение называют безнапорным.
Напорные потоки иногда называют сплошь заполненными, а безнапорные – открытыми руслами.

Для того чтобы движение жидкости можно было считать полностью определенным, необходимо знать распределение величины и направления скорости частиц в потоке, а также зависимость этого распределения от времени.

Направление скоростей в потоке характеризуется линией тока.
Линия тока – воображаемая кривая, проведенная внутри потока жидкости таким образом, что скорости всех частиц, находящихся на ней в данный момент времени, касательны к этой кривой (см. рисунок) .
Линия тока отличается от траектории тем, что последняя отражает путь какой-либо одной частицы за некоторый промежуток времени, тогда как линия тока характеризует направление движения совокупности частиц жидкости в данный момент времени.
При установившемся движении линии тока совпадает с траекториями движения частиц жидкости.

Если в поперечном сечении потока жидкости выделить элементарную площадку ΔS и провести через точки ее контура линии тока, то получится так называемая трубка тока (см. рисунок) . Жидкость, находящаяся внутри трубки тока, образует элементарную струйку. Поток жидкости можно рассматривать как совокупность всех движущихся элементарных струек.

Живым сечением элементарной струйки называют поверхность, нормальную (перпендикулярную) к вектору скорости, т. е. к линии тока. Скорость движения частиц жидкости во всех точках каждого живого сечения элементарной струйки можно считать одинаковой ввиду незначительных размеров сечения, а сами сечения по той же причине можно считать плоскими.

Живое сечение потока определяют как сумму живых сечений элементарных струек, из которых он состоит. Следовательно, живое сечение потока представляет собой поверхность, во всех точках которой скорости частиц жидкости нормальны к элементам этой поверхности.
Следует отметить, что живое сечение может иметь форму плоской поверхности лишь для идеальной жидкости, в общем случае (для реальных жидкостей) оно имеет форму сложной криволинейной поверхности, т. е. скорости частиц потока жидкости распределены в любом его живом сечении неравномерно.

Линию соприкосновения жидкости с твердыми стенками, ограничивающими поток в данном живом сечении, называют смоченным периметром (см. рисунок) . Отношение площади живого сечения потока S к длине смоченного периметра χ называют гидравлическим радиусом потока жидкости:

Для труб круглого сечения, заполненных жидкостью, гидравлический радиус определяют по формуле:

Аналогично определяют гидравлический радиус в трубах других сечений:

для эллиптических труб с осями a и b :

R = ab/[2/3(a + b) — √ab] ;

для трубы в виде равностороннего треугольника со стороной a :

для трубы в виде прямоугольника со сторонами a и b :

для квадратной трубы со стороной a :

Объем или масса жидкости, протекающей через живое сечение потока в единицу времени, называют объемным ( Q ) или массовым ( m ) расходом жидкости.
Объемный расход жидкости Q измеряется в м 3 /с или л/с, массовый расход m – в кг/с. Объемный расход связан с массовым расходом зависимостью Q = m/ρ .

Плотность жидкости может быть различной в разных участках потока, и даже в разных точках живого сечения, например, из-за неравномерности распределения температуры. В общем случае непостоянной является и скорость в различных точках живого сечения потока: в центре потока она обычно больше, а у стенок, ограничивающих поток, — меньше (вплоть до полной остановки частиц) .
В связи с этим вводят понятие средней скорости потока, которую определяют, как отношение расхода к площади живого сечения: