Основное уравнение равномерного установившегося движения

Вопрос №20. Основное уравнение равномерного движения жидкости. Формула Шези.

Рассмотрим прямолинейное равномерное движение жидкости. Живые сечения в этом случае могут быть произвольной формы, но не должны изменяться по всей длине рассматриваемого участка. В таком потоке потери напора определяются лишь потерями по длине.

Выделим из потока участок жидкости длиной l и запишем уравнение Бернулли для сечений 1 и 2( рис. 32 )

z1 , z2 — ординаты центра тяжести сечений 1,2,

p1 , p2 — давление в центрах тяжести этих сечений,

v1 , v2 — средние скорости в этих сечениях,

h1-2 — потери напора по длине.

Так как движение равномерное, то v1 =v2 и уравнение можно переписать так:

. (1)

В случае равномерного движения разность удельных потенциальных энергий равна потере напора по длине.

Для вычисления этой разности напишем сумму проекций на ось А-А всех сил, действующих на участке 1-2. Эти силы следующие:

1) сила тяжести жидкости

,

2) силы давления на плоские сечения

, , ,

,

где t — сила трения на единицу площади смачиваемой поверхности

русла, c — смоченный периметр,

4) силы давления стенок на жидкость ( эти силы не подсчитываем, так как они параллельны оси А-Аи, следовательно, их проекции на ось А-А равны нулю ).

Спроектируем все эти силы на ось А-А:

.

.

Подставим выражение для сил в уравнение

.

Разделим обе части этого равенства на , имеем

. (2)

Сравнивая выражения (1) и (2), находим

,

.

Отношение площади живого сечения S к смоченному периметру c называется гидравлическим радиусом

.

Величина обозначается через i и называется гидравлическим уклоном.

.

Это уравнение называется основным уравнением равномерного движения.

Величина имеет размерность квадрата скорости

.

Выражение — называется динамической скоростью, обозначается v*

.

Формула Шези — формула для определения средней скорости потока при установившемся равномерном турбулентном движении жидкости в области квадратичного сопротивления для случая безнапорного потока. Опубликована французским инженером-гидравликом А. Шези (AntoinedeChézy, 1718–1798) в 1769 году. Применяется для расчётов потоков в речных руслах и канализационых системах.

,

где V — средняя скорость потока, м/с;

C — коэффициент сопротивления трения по длине (коэффициент Шези), являющийся интегральной характеристикой сил сопротивления;

R — гидравлический радиус, м;

I — гидравлический уклон м/м.

Формула Шези имеет то же предназначение, что и формула Дарси-Вейсбаха. Коэффициент потерь на трение связан с коэффициентом сопротивления С следующей зависимостью:

.

Коэффициент сопротивления C может быть определён по формуле Н. Н. Павловского:

где n — коэффициент шероховатости, характеризующий состояние поверхности русла, для случая канализационных труб принимается в диапазоне (0,012. 0,015); для других случаев nbsp;— информация приведена в литературе [1]

у — показатель степени, зависящий от величины коэффициента шероховатости и гидравлического радиуса:

Эта формула рекомендуется для значений R [2]

Дата добавления: 2015-04-18 ; просмотров: 161 ; Нарушение авторских прав

Лекция 5. Основное уравнение равномерного движения

Галина Ахматова 5 лет назад Просмотров:

1 Лекция 5 Цель: изучение потерь на трение по длине и потерь на местных сопротивлениях. Задачи: классифицировать потери и дать методику их расчета. Желаемый результат: Студенты должны знать: особенности и формулы расчета потерь на трение по длине и потерь на местных сопротивлениях. Учебные вопросы:. Основное уравнение равномерного движения. Виды гидравлических сопротивлений и потери напора. 3. Потери на трение по длине. 4. Потери на местных сопротивлениях. 5. Внезапное расширения потока. 6. Местные потери при ламинарном движении жидкости. 7. Гидравлический удар. Основное уравнение равномерного движения Установим закономерность между потерями напора и силами трения. Для этого выделим в трубе или открытом канале с движущейся жидкостью объем жидкости ограниченный двумя поперечными сечениями — и — находящимися на расстоянии l друг от друга. Выделенный объем жидкости находится в равномерном движении. Рассмотрим движение только под действием сил тяжести при наличие свободной поверхности (безнапорное движение). Так как движение равномерное (без ускорения) силы инерции не возникают.

2 Выделим элемент длиной l. Его масса где ρ плотность жидкости; — площадь сечения; Сила трения действующая на этот элемент: где где — смоченный периметр та сила в единицу времени производит работу Работа сил трения на поверхности соприкасания по закону сохранения энергии равна энергии затрачиваемой потоком на трение на рассматриваемом участке. Количество затраченной энергии в единицу времени: Приравнивая правые части получим где — гидравлический радиус; — гидравлический уклон. Гидравлические сопротивления. Потери по длине трубопровода Потери напора на трение по длине круглых труб h l oпределяется по формуле Дарси: h l l где трение; — коэффициент гидравлического трения; l — длина трубы на которой определяется потеря напора на — диаметр трубы ; — средняя скорости жидкости;

3 — ускорение силы тяжести равное 98 м/с. Многочисленными экспериментами установлено что коэффициент гидравлического трения зависит в общем случае от числа Рейнольдса Re и относительной шероховатости стенок трубы / : f Re где — высота выступов шероховатости внутренних стенок трубы. Преобладание того или иного фактора зависит от режима течения жидкости. Существует пять зон гидравлического сопротивления.. Зона вязкого сопротивления. Движение ламинарное Re 4 б) при 4000 ( 500 ) / э. В этой зоне основным фактором влияющим на сопротивление является шероховатость стенок трубы

5 f Для определения коэффициента гидравлического трения можно воспользоваться следующими формулами : а) формула Прандтля-Никурадзе. 3 7 l б) формула Б.Л.Шифринсона ; Местные потери напора Местные потери напора — это потери обусловленные местными гидравлическими сопротивлениями то есть такими элементами трубопроводов в которых вследствие изменения поперечных размеров или конфигурации происходит деформация потока. Местные потери энергии имеют ту же физическую природу что и потери по длине — это результат преобразования части механической энергии в тепловую за счет преодоления касательных напряжений трения. Основные виды местных потерь напора можно условно подразделить на ряд групп соответствующих определенным видам местных сопротивлений: потери связанные с изменением поперечного сечения потока (внезапное или плавное расширение и сужение); потери вызванные изменением направления потока (колена угольники отводы); потери связанные с протеканием жидкости через арматуру различного типа

6 (краны вентили задвижки заслонки сетки фильтры); потери связанные с разделением и слиянием потоков (тройники крестовины). Местные потери напора определяются по формуле Вейсбаха h i где h i — потери напора на местном сопротивлении м; — коэффициент местного сопротивления зависит от вида местного сопротивления; — средняя скорость движения жидкости обычно принимается перед местным сопротивлением м/с ; — ускорение силы тяжести = 98 м/с. Коэффициенты местных сопротивлений преимущественно определяются опытным путем. Для характерных местных сопротивлений значения коэффициентов местных сопротивлений приводятся в справочной литературе по гидравлике. В некоторых случаях коэффициент местного сопротивления можно определить теоретически. Рассмотрим случай внезапного расширения потока. Потери напора при внезапном расширении потока определяются по формуле Борда: h.р. или h в.р. в.р где α — коэффициент Кориолиса в узком сечении трубы; — средняя скорость в узкой части трубы; — средняя скорость в широкой части трубы; в.р — коэффициент местного сопротивления при внезапном расширении потока жидкости равный в.р части. где — диаметр трубы в узкой части; — диаметр трубы в широкой

7 Рис. Внезапное расширение потока В некоторых случаях потери напора при внезапном расширении потока определяются пропорционально скоростному напору в узкой части трубы h в.р. ‘ в.р. где ‘ в.р. В основу формулы Борда положены два существенных допущения: ) пренебрежение силами внешнего трения на участке между сечениями — и -; ) принятие распределения давления в сечении — по гидростатическому закону. Учитывая это обстоятельство необходимо ввести поправочный коэффициент k тогда h в.р. k в.р k ‘ в.р. Поправочный коэффициент к устанавливается опытным путем. Потери напора на местных сопротивлениях в общем случае определяются из уравнения Д.Бернулли составленного для сечений до и после сопротивления: z p p z h — где z z — высота центров тяжести сечений относительно горизонтальной плоскости сравнения; Р Р — давления в рассматриваемых сечениях; α α — коэффициенты Кориолиса; — средние скорости

8 движения жидкости в рассматриваемых сечениях; ρ — плотность жидкости; — ускорение силы тяжести; h — — потери напора между рассматриваемыми сечениями. Выразим из этого уравнения потери напора: h = z — p z p h + h = z p z p где h — разность напоров до и после местного сопротивления. При равенстве диаметров до и после местного сопротивления потери напора равны разности напоров до и после местного сопротивления. h i = h. Гидравлический удар Гидравлическим ударом называется резкое повышение давления возникающее в напорном трубопроводе при внезапном торможении потока рабочей жидкости. тот процесс является очень быстротечным и характеризуется чередованием резких повышений и понижений давления которое связано с упругими деформациями жидкости и стенок трубопровода. Гидравлический удар чаще всего возникает при резком открытии или закрытии крана или другого устройства управляемого потоком. Пусть в конце трубы по которой движется жидкость со скоростью υ 0 произведено мгновенное закрытие крана (рис.а). При этом скорость частиц натолкнувшихся на кран будет погашена а их кинетическая энергия перейдет в работу деформации стенок трубы и жидкости. При этом стенки трубы растягиваются а жидкость сжимается в соответствии с увеличением давления на величину ΔP уд которое называется ударным. Область (сечение n — n) в которой происходит увеличение давления называется ударной волной. Ударная волна распространяется вправо со скоростью c называемой скоростью ударной волны.

9 Рис. Стадии гидравлического удара Когда ударная волна переместится до резервуара жидкость окажется остановленной и сжатой во всей трубе а стенки трубы — растянутыми. Ударное повышение давления распространится на всю длину трубы (рис. б). Далее под действием перепада давления ΔP уд частицы жидкости устремятся из трубы в резервуар причем это течение начнется с сечения непосредственно прилегающего к резервуару. Теперь сечение n-n перемещается обратно к крану с той же скоростью c оставляя за собой выровненное давление P 0 (рис. в). Жидкость и стенки трубы предполагаются упругими поэтому они возвращаются к прежнему состоянию соответствующему давлению P 0. Работа деформации полностью переходит в кинетическую энергию и жидкость в трубе приобретает первоначальную скорость υ 0 но направленную теперь в противоположную теперь сторону. С этой скоростью весь объем жидкости стремится оторваться от крана в результате возникает отрицательная ударная волна под давлением P 0 — ΔP уд которая направляется от крана к резервуару со скоростью c оставляя за собой сжавшиеся стенки трубы и расширившуюся жидкость что

10 обусловлено снижением давления (рис. д). Кинетическая энергия жидкости вновь переходит в работу деформаций но противоположного знака. Состояние трубы в момент прихода отрицательной ударной волны к резервуару показано на рис. е. Так же как и для случая изображенного на рис. б оно не является равновесным. На рис. ж показан процесс выравнивания давления в трубе и резервуаре сопровождающийся возникновением движения жидкости со скоростью υ 0. Очевидно что как только отраженная от резервуара ударная волна под давлением ΔP уд достигнет крана возникнет ситуация уже имевшая место в момент закрытия крана. Весь цикл гидравлического удара повторится. Повышение давления при гидравлическом ударе можно определить по формуле ΔP уд = ρυ 0 c Данное выражение носит название формулы Жуковского. В нем скорость распространения ударной волны c определится по формуле: где — диаметр трубопровода; E — модуль упругости материала трубы; δ — толщина стенки трубопровода; Е ж — объемный модуль упругости жидкости; Для воды эта скорость равна 435 м/с для бензина 6 м/с для масла м/с. Вопросы для самопроверки:. Записать уравнение равномерного движения.. Записать формулу потерь напора по длине в круглой трубе. 3. От каких факторов зависит коэффициент гидравлического трения в общем случае? 4. Как изменяется коэффициент гидравлического трения в зоне вязкого сопротивления при уменьшении вязкости и неизменном расходе?

11 5. Какой степени средней скорости пропорциональны потери напора по длине в случае равномерного ламинарного движения жидкости. 6. Записать формулу потерь напора на местном сопротивлении 7. От каких факторов зависит коэффициент местного сопротивления?

Основное уравнение равномерного движения

Равномерным движением называется установившееся движение, при котором скорости частиц жидкости не изменяются вдоль траекторий. При равномерном движении жидкости в водопроводах, а также в открытых руслах живые сечения, средние скорости течения и глубины по длине потока остаются постоянными.

Выведем основное уравнение равномерного движения, на основании которого выявим факторы, влияющие на величину гидравлических потерь по длине трубопровода.

Рассмотрим поток жидкости произвольной формы площадью , имеющий по длине постоянное живое сечение и наклоненный к горизонту под углом(рис. 5.1). Выделим в потоке сечениями 1-1 и 2-2 отсек длинойl. Действие отброшенной жидкости слева и справа заменим давлениями р₁ и р₂, которые создают внешние силы, приводящие жидкость в движение: ;. К ним относятся и сила тяжести отсека жидкости:

.

На жидкость действуют также силы сопротивления движению. Эти силы приложены вдоль поверхности стенок. Обозначим через удельную силу трения, через– длину смоченного периметра. Тогда сила трения

.

Составим уравнение равновесия сил, действующих на выделенный отсек.

По условию равномерного движения, внешние силы, приводящие жидкость в движение, должны быть равны силам сопротивления, т.е. если спроектировать все силы на ось потока, получим

,

где .

.

Разделим все слагаемые на и сгруппируем

. (5.1)

Сравним выражение (5.1) с уравнением Бернулли для потока реальной жидкости:

.

. (5.2)

Так как — гидравлический радиус, то выражение (5.2) представим в виде

. (5.3)

разделим левую и правую часть выражения (5.3) на l:

или

. (5.4)

Выражения (5.2), (5.3) и (5.4) являются уравнениями равномерного движения.

Формулы для определения гидравлических потерь

Линейные потери. Основной формулой линейных потерь, наиболее полно вскрывающей их суть, является формула Дарси – Вейсбаха:

, (5.5)

где — коэффициент гидравлического трения, он зависит от режима движения жидкости и относительной шероховатости, т.е.;— соответственно длина и диаметр трубопровода;— скорость движения жидкости.

Формула (5.5) является универсальной. По ней можно подсчитать линейные потери в трубопроводах любого назначения, но в настоящее время этой формулой пользуются при расчете объемного гидравлического привода.

при расчете водопроводных систем широко используются табличные методы. Так линейные потери можно определить по формуле

, (5.6)

где — гидравлический уклон, т.е. потери, приходящиеся на единицу длины трубопровода, берется из таблиц в зависимости от материала трубопровода, его диаметра и расхода;l — длина расчетного участка трубопровода.

Линейные потери водопроводных систем определяются так же по зависимости

, (5.7)

где l — длина расчетного участка; Q — расход по участку; К — расходная характеристика, берется из таблиц в зависимости от материала трубопровода и его диаметра.

рассмотрим особенности расчета безнапорных систем, каковыми являются каналы, лотки и т.п. устройства.

При равномерном движении жидкости в подобных системах уравнение Бернулли для потока реальной жидкости, составленное для сечений 1-1 и 2-2 (рис.5.2) имеет вид

,

т.е. разница геометрических напоров затрачивается на преодоление линейных потерь. Таким образомт движение жидкости обеспечивается наличием гидравлического уклона i, который в данном случае равен геометрическому:

Поэтому при проектировании каналов большой протяженности используют естественный уклон местности и в этом случае определяют пропускную способность канала и его размеры по формуле Шези:

(5.8)

где — живое сечение канала;R — гидравлический радиус; С — коэффициент Шези, который зависит от гидравлического радиуса и коэффициента шероховатости.

Коэффициент Шези берется из таблиц или определяется по формулам, например, по формуле Маннинга

.

При необходимости решаются и другие задачи.

Местные потери. Для их определения пользуются единственной формулой

, (5.9)

где — коэффициент местного сопротивления, берется из таблиц и графиков, вычисляется по специальным формулам в зависимости от вида местного сопротивления;V — скорость движения жидкости в трубопроводе, где установлено местное сопротивление.