Основное уравнение статики атмосферы ответ 3

Основное уравнение статики атмосферы. Применение барометрической формулы. Барическая ступень

Теперь поставим вопрос: по какому закону меняется ат­мосферное давление с высотой? Допустим, что известно давление на одном уровне. Каково оно в тот же момент на другом, выше- или нижележащем уровне?

Возьмем вертикальный столб воздуха с поперечным сече­нием, равным единице, и выделим в этом столбе бесконечно тонкий слой, ограниченный снизу поверхно­стью на высоте , а сверху – поверхностью на высоте ; толщина слоя, таким образом, (рис. 1). На нижнюю поверхность выделенного элементарного объема смежный воздух действует с силой давления, направленной снизу вверх; величина этой силы на рассматриваемую поверхность с площадью, равной единице, и будет давлением воздуха на этой поверхности. На верхнюю поверхность элементарного объема смежный воздух действует с силой давления, направленной сверху вниз. Числовая величина этой силы есть давление на верхней границе. Это давление отличается от давления на нижней границе на бесконечно малую величину , причем заранее не известно, будет ли положительным или отрицательным, т.е. будет ли давление на верхней границе выше или ниже, чем на нижней границе.

Рис. 1. Силы, действующие на элементарный объем воздуха

Что касается сил давления, действующих на боковые стенки объема, то допустим, что в горизонтальном направлении атмосферное давление не меняется. Это значит, что силы давления, действующие со всех сторон на боковые стенки, уравновешива­ются; их равнодействующая равна нулю. Отсюда следует, что воздух в горизонтальном направлении не обладает ускорением и не перемещается.

Кроме того, воздух в рассматриваемом элементарном объеме испытывает силу тяжести, которая направлена вниз и равна ускорению силы тяжести (ускорению свободно падающего тела), умноженному на массу воздуха во взятом объеме. Так как при поперечном сечении, равном единице, объем равен , то масса воздуха в нем равна ,где – плотность воздуха, а сила тяжести равна . Допустим, что в атмосфере существует равновесие также и в вертикальном направлении, т.е. что взятый объем воздуха не имеет никакого ускорения также и по вертикали и, таким образом, остается на одном и том же уровне, несмотря на наличие веса. Это значит, что сила тяжести (вес) и силы давления уравновешиваются. Вниз направлены сила давления и вес ;возьмем их с отрицательным знаком. Вверх направлена сила давления , которую возьмем с положительным знаком. Сумму всех этих трех сил приравняем нулю и, таким образом, получим

, (18)

. (19)

Отсюда следует, что при положительном имеем отрицательное , т.е. что с высотой атмосферное давление падает, при этом разность давлений на нижней и верхней границах рассматриваемого элементарного объема равна весу воздуха в этом объеме.

Уравнение (19) носит название основного уравнения статики атмосферы. Это дифференциальное уравнение говорит о том, как меняется давление при бесконечно малом приросте высоты.

Основное уравнение статики можно написать еще так:

, (20)

Величина падение давления на единицу прироста высоты, т.е. вертикальный барический градиент (вертикальный градиент давления). Это равнодействующая сил давления, направленных сверху и снизу на единицу нашего объема.

Разделив ее на плотность , мы получим — силу вертикального барического градиента, отнесенную к единице массы и направленную вверх.

Второй член – это сила тяжести, действующая на ту же еди­ницу массы и направленная вниз. Она равна силе барического градиента, но направлена в противоположную сторону. Следовательно, основное уравнение статикиатмосферы выражает условие равновесия между двумя силами, действующими на единицу массы воздуха по вертикали, – силой вертикального барического градиента и силой тяжести.

Чтобы получить выражение для изменения давления при конечном приросте высоты, нужно уравнение (19) проинтегрировать в пределах от уровня с давлением до вышележащего уровня с давлением . При этом плотность воздуха является переменной величиной, функцией высоты.

Плотность воздуха непосредственно не измеряется, поэтому выгодно представить ее через температуру и давление с помощью уравнения состояния газов . Подставив это значение для в уравнение (19), получим

(21)

. (22)

Возьмем определенные интегралы от обеих частей уравнения (22) в пределах от до и от до . При этом и , как постоянные, можно вынести за знак интеграла. Получим

(23)

. (24)

Температура – величина переменная, являющаяся функцией высоты. Но характер этой функции в разных случаях разный и, вообще говоря, не может быть точно выражен математически. Однако можно определить из наблюдений среднее значение температуры между уровнями и , а его уже можно вынести за знак интеграла. Определить можно с достаточным приближением, измерив, например, температуру на уровнях и и взяв среднюю арифметическую из этих двух значений. Тогда

, (25)

или, что то же самое,

, (26)

. (27)

Уравнение (26) или (27) представляет собой интеграл основного уравнения статики атмосферы. Его называют еще барометрической формулой высоты. Эта формула показывает, как меняется атмосферное давление с высотой в зависимости от температуры воздуха.

Выше было показано, что бесконечно малая разность давлений равна весу элементарного объема воздуха с толщиной . Следовательно, и конечная разность давлений между нижним и верхним уровнем равна весу воздушного столба между этими уровнями. Если за верхний уровень принять верхнюю границу атмосферы, на которой давление практически равно нулю, то очевидно, что давление на любом уровне равно весу всего столба атмосферы, простирающегося над данным уровнем.

Основное уравнение статики выводится в предположении равновесия воздуха по вертикали. В действительности может существовать какая-то равнодействующая сил тяжести и вертикального барического градиента, отличная от нуля. Но, как правило, эта равнодействующая незначительна, и ускорение, сообщаемое ею воздуху, мало. Основное уравнение статики будет при этом выполняться не абсолютно строго, но с большой степенью точности.

С помощью барометрической формулы можно решить следующие задачи:

1) зная давление на одном уровне и среднюю температуру столба воздуха, найти давление на другом уровне;

2) зная давление на обоих уровнях и среднюю температуру столба воздуха, найти разность уровней (барометрическое нивелирование);

3) зная разность уровней и величины давления на них, найти среднюю температуру столба воздуха.

Для практического использования барометрическая формула приводится к рабочему виду. От натуральных логарифмов переходят к десятичным, от абсолютной температуры — к температуре по Цельсию и подставляют числовые значения для и . При этом в случае влажного воздуха берется значение для сухого воздуха, умноженное на . Иначе можно сказать, что берется для сухого воздуха, но температура заменяется виртуальной температурой.

Кроме того, и ускорение силы тяжести gне есть величина строго постоянная — она меняется, хотя и немного, в зависимости от географической широты и высоты над уровнем моря. На это также вводятся поправки.

Важным вариантом первой задачи, поставленной выше, является приведение давления к уровню моря. Зная давление на некоторой станции, расположенной на высоте над уровнем моря, и температуру / на этой станции, вычисляют сначала воображаемую среднюю температуру между рассматриваемой станцией и уровнем моря (в действительности атмосферного столба между станцией и уровнем моря не будет). Для уровня станции берется фактическая температура, а для уровня моря — та же температура, но увеличенная в той мере, в какой в среднем меняется температура воздуха с высотой.

Средний вертикальный градиент температуры в тропосфере принимается равным 0,6° на 100 м.Следовательно, если станция имеет высоту 200 ми температура на ней +16°, то для уровня моря принимается температура +17,2°, а средняя температура столба между станцией и уровнем моря будет +16,6°. После этого по давлению на станции и по полученной средней температуре определяется давление на уровне моря. Для этого составляют особые таблицы для каждой станции.

Приведение давления к уровню моря очень важно. На приземные синоптические карты всегда наносится давление, приведенное к уровню моря. Этим исключается влияние различий в высотах станций на величины давления и становится возможным выяснить горизонтальное распределение давления.

Быстрые подсчеты, связанные с изменением давления с высотой, можно делать с помощью так называемой барической ступени. Напишем основное уравнение статики (19) так:

. (28)

Выражение называется барической ступенью (или барометрической ступенью). Барическая ступень – величина, обратная вертикальному барическому градиенту , составляющая, очевидно, прирост высоты, при котором атмосферное давление падает на единицу. Из формулы (28) видно, что барическая ступень обратно пропорциональна величине самого давления и прямо пропорциональна температуре воздуха. Чем больше высота и чем, следовательно, ниже давление, тем больше барическая ступень. При одном и том же давлении барическая ступень больше при более высокой температуре, чем при более низкой.

Допустим, что в теплом воздухе и в холодном воздухе давление внизу одинаково. Однако в теплом воздухе, где барическая ступень больше, давление падает с высотой медленнее, чем в холодном воздухе. Поэтому на высотах давление в теплом и холодном воздухе уже становится неодинаковым: в теплом воздухе оно будет выше, чем в холодном. Иными словами, теплые области в атмосфере являются в высоких слоях областями высокого давления, а холодные области – областями низкого давления.

Основное уравнение статики атмосферы ответ 3

Теперь поставим вопрос: по какому закону меняется ат­мосферное давление с высотой? Допустим, что известно давле­ние на одном уровне. Каково оно в тот же момент на другом, выше- или нижележащем уровне?

Возьмем вертикальный столб воздуха с поперечным сече­нием, равным единице, и выделим в этом столбе бесконечно тонкий слой, ограниченный снизу поверхно­стью на высоте z , а сверху — поверхностью на высоте z + dz ; толщина слоя, таким образом, dz (Рис. 3). На нижнюю поверх­ность выделенного элементарного объема смежный воздух действует с силой давления, направленной снизу вверх; величина этой силы на рассматриваемую поверхность с площадью, равной единице, и будет давле­нием воздуха р на этой поверхности. На верхнюю поверхность элементарного объе­ма смежный воздух действует с силой дав­ления, направленной сверху вниз. Числовая величина этой силы p + dp есть давление на верхней границе. Это давление отличается от давления на нижней границе на бесконечно малую вели­чину dp , причем заранее не известно, будет ли dp положитель­ным или отрицательным, т. е. будет ли давление на верхней границе выше или ниже, чем на нижней границе.

Рис. 3. Силы, действующие на элементарный объем воздуха

Что касается сил давления, действующих на боковые стенки объема, то допустим, что в горизонтальном направлении атмо­сферное давление не меняется. Это значит, что силы давления, действующие со всех сторон на боковые стенки, уравновешива­ются; их равнодействующая равна нулю. Отсюда следует, что воздух в горизонтальном направлении не обладает ускорением и не перемещается.

Кроме того, воздух в рассматриваемом элементарном объеме испытывает силу тяжести, которая направлена вниз и равна ускорению силы тяжести g , умноженному на массу воздуха во взятом объеме. Так как при поперечном сечении, равном единице, объем равен dz , то масса воздуха в нем равна ρ*dz , где ρ — плотность воздуха, а сила тяжести равна g ρ dz . Допустим, что в атмосфере суще­ствует равновесие также и в вертикальном направлении, т. е. что взятый объем воздуха не имеет никакого ускорения также и по вертикали и, таким образом, остается на одном и том же уровне, несмотря на наличие веса. Это значит, что сила тяжести (вес) и силы давления уравновешиваются. Вниз направлены сила давления p + dp и вес g ρ dz ; возьмем их с отрицательным знаком. Вверх направлена сила давления р, которую возьмем с положительным знаком. Сумму всех этих трех сил приравняем к нулю и, таким образом, получим

Отсюда следует, что при положительном dz имеем отрица­тельное dp , т. е. что с высотой атмосферное давление падает. При этом разность давлений на нижней и верхней границах рассматриваемого элементарного объема равна весу воздуха в этом объеме.

Уравнение носит название основного уравнения статики атмосферы. Это дифференциальное уравнение говорит о том, как меняется давление при бесконечно малом приросте высоты.

Основное уравнение статики можно написать еще так:

Величина –dp / dz — падение давления на единицу прироста высоты, т. е. вертикальный барический градиент (вертикальный градиент давления). Это равнодействующая сил давления, направленных сверху и снизу на единицу нашего объема.

Разделив ее на плотность ρ, мы получим –1/ρ* dp / dz — силу верти­кального барического градиента, отнесенную к единице массы и направленную вверх.

Второй член — это сила тяжести, действующая на ту же еди­ницу массы и направленная вниз. Она равна силе барического градиента, но направлена в противоположную сторону. Следова­тельно, основное уравнение статики выражает условие равнове­сия между двумя силами, действующими на единицу массы воз­духа по вертикали, — силой вертикального барического гради­ента и силой тяжести.

Чтобы получить выражение для изменения давления при конечном приросте высоты, нужно уравнение проинтегрировать в пределах от уровня z ₁ с давлением р₁ до вышележа­щего уровня z ₂ с давлением р₂. При этом плотность воздуха р является переменной величиной, функцией высоты.

В конце концов, получим формулу

Потенциируя ее, получим

Это уравнение представляет собой интеграл основ­ного уравнения статики атмосферы. Его называют еще баромет­рической формулой высоты. Эта формула показывает, как ме­няется атмосферное давление с высотой в зависимости от температуры воздуха.

Выше было показано, что бесконечно малая разность давле­ний равна весу элементарного объема воздуха с толщиной dz . Следовательно, и конечная разность давлений между нижним и верхним уровнем равна весу воздушного столба между этими уровнями. Если за верхний уровень принять верхнюю границу атмосферы, на которой давление практически равно нулю, то очевидно, что давление на любом уровне равно весу всего столба атмосферы, простирающегося над данным уровнем.

Основное уравнение статики выводится в предположении равновесия воздуха по вертикали. В действительности может су­ществовать какая-то равнодействующая сил тяжести и верти­кального барического градиента, отличная от нуля. Но, как правило, эта равнодействующая незначительна, и, стало быть, ускорение, сообщаемое ею воздуху, мало. Основное уравнение статики будет при этом выполняться не абсолютно строго, но с большой степенью точности.

Основное уравнение статики атмосферы

«Неподвижная» по отношению к Земле атмосфера подвержена силе тяготения или силе гравитации. Условие статического равновесия воздуха описывается уравнением статики атмосферы, связывающим давление воздуха p, плотность ρ, ускорение свободного падения g и высоту z:

или изменение атмосферного давления с высотой:

Из основного уравнения статики атмосферы следует, что:

• с увеличением высоты относительно земной поверхности давление в атмосфере всегда убывает;
• при подъёме на одну и ту же высоту (dz = const) уменьшение давления (−dz) тем больше, чем больше плотность воздуха ρ и ускорение свободного падения g;
• поскольку плотность воздуха убывает с высотой, то чем выше расположен уровень, тем меньше убывание давления при подъёме на одну и ту же высоту.

На основании уравнения статики атмосферы с помощью барометрических формул решается целый ряд практических задач:

• определяется превышение одного уровня z над другим, если известны p₀, t₀, p_z, t_z (барометрическое нивелирование);
• определяется давление p₀ на нижнем уровне, если известны z, p_z, t_z (приведение давления к какому-либо уровню, например, уровню моря);
• определяется давление на какой-либо высоте, если известны p₀, t₀, z.

Путем интегрирования выражения от z = 0 , где давление p₀ , до произвольной высоты z , где давление p , можно получить две интегральные формы основного уравнения статики атмосферы:

Эти уравнения используются для получения различных барометрических формул.

Литература

Гидрометеорологическое Обеспечение Мореплавания — Глухов В.Г., Гордиенко А.И., Шаронов А.Ю., Шматков В.А. [2014]