Основное уравнение теории удара имеет выражение

Основное уравнение теории удара

При движении тела под действием сил, которые до сих пор рассматривались, скорости точек тела изменяются непрерывно, т. е. за любой бесконечно малый промежуток времени скорость получает бесконечно малое приращение. Этот результат непосредственно следует из теоремы об изменении количества движения.

Действительно, допустим, имеется точка с массой т, на которую действуют силы (К = l, 2, . , п). Представим импульс любой из этих сил за промежуток времени t в виде , где есть среднее значение силы за время t. Тогда теорема об изменении количества движения этой точки дает:

.

Отсюда видно, что, если время t бесконечно мало (стремится к нулю), то при обычных силах и приращение скорости будет тоже величиной бесконечно малой (стремящейся к нулю).

Однако, если в числе действующих сил будут очень большие силы (порядка 1/τ), то приращение скорости за малый промежуток времени окажется величиной конечной.

Явление, при котором скорости точек тела за очень малый промежуток времени t изменяются на конечную величину, называется ударом.

Силы, при действии которых происходит удар, будем называтьударными силами . Очень малый промежуток времени t, в течение которого происходит удар, назовем временем удара.

Так как ударные силы очень велики и за время удара изменяются в значительных пределах, то в теории удара в качестве меры взаимодействия тел рассматривают не сами ударные силы, а их импульсы, которые называют ударными импульсами. Величина ударного импульса определяется равенством:

(1)

Из определения следует, что ударный импульс будет величиной конечной. Импульсы неударных сил за время t будут величинами очень малыми и ими можно пренебречь. Будем в дальнейшем обозначать скорость точки в начале удара , а скорость в конце удара . Тогда равенство (1) примет вид:

. (2)

Этот результат выражает теорему об изменении количества движения точки при ударе:изменение количества движения материальной точки за время удара равно сумме действующих на точку ударных импульсов.

Уравнение (2) являетсяосновным уравнением теории удара.

Отметим, что перемещение точки за время удара будет равно , где – среднее значение скорости за время t. Так как t очень мало, то это перемещение будет также величиной очень малой, которой практически можно пренебречь. Итак, из всех полученных результатов вытекает:

1) действием неударных сил (таких, например, как сила тяжести) за время удара можно пренебречь;

2) перемещениями точек тела за время удара можно пренебречь и считать тело во время удара неподвижным;

3) изменение скоростей точек тела за время удара определяется основным уравнением теории удара (2).

iSopromat.ru

В теории удара, явление, при котором за очень малый промежуток времени скорости точек тела изменяются на конечную величину, называют ударом.

Силы, возникающие при таком взаимодействии, называются ударными.

Основные понятия

Ударная сила F достигает значительной величины. Импульс ударной силы называется ударным импульсом и является конечной величиной:

где τ – продолжительность удара (очень малый промежуток времени, в течение которого происходит удар).

В теории удара принимаются следующие основные допущения:

• скорости точек изменяются практически мгновенно на конечную величину;
• импульсами неударных сил пренебрегают;
• точки системы за время удара не перемещаются.

В теории удара применяют теорему об изменении количества движения материальной точки: изменение количества движения материальной точки за время удара равно действующему на эту точку ударному импульсу

где m – масса точки, ν – скорость точки до удара, u – скорость точки после удара.

При проекции на координатные оси можно получить три скалярных уравнения:

Для механической системы, состоящей из n точек, уравнение (2) можно представить в виде

где m – масса k-той точки, ν_k и u_k – скорости k-той точки соответственно до и после удара, S_k (e) – равнодействующая всех внешних ударных импульсов, приложенных к k-той точке.

Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе звучит так: изменение количества движения механической системы за время удара равно геометрической сумме всех внешних ударных импульсов, действующих на эту систему.

Уравнение (4) можно записать в виде

где m – масса всей системы, ν_c и u_c – скорости центров масс системы соответственно в начале и в конце удара.

В проекциях на координатные оси получаем:

Теорема об изменении кинетического момента при ударе формулируется следующим образом: изменение кинетического момента механической системы за время удара относительно какого-либо центра равно геометрической сумме моментов всех внешних ударных импульсов, действующих на эту систему относительно того же центра

где L₀ (1) и L₀ (2) – кинетические моменты системы относительно центра соответственно до и после удара:

∑M₀S_k (e) – сумма моментов внешних ударных импульсов относительно точки O:

В проекциях на координатные оси уравнение (7) принимает вид:

Кинетическая энергия до удара для двух соударяющихся точек или тел, движущихся поступательно, записывается в виде

где v₁ и v₂ – скорости соударяющихся точек или тел до удара.

Кинетическая энергия точек или тел, движущихся поступательно, после удара равна

где u₁ и u₂ – скорости точек или тел после удара.

Стадии удара

При ударе двух тел различают две стадии удара. Первая стадия: тела входят в контакт друг с другом и после этого центры масс их продолжают сближаться за счет деформации тел (упругих и пластических). Первая стадия – стадия деформации – заканчивается тогда, когда деформации обоих тел достигают максимального значения.

Вторая стадия – стадия восстановления: упругие свойства тел, если они имели место, заставляют центры масс удаляться друг от друга. В то время как пластические деформации (если они имели место) остаются. Упругие деформации полностью исчезают и тела начинают двигаться порознь.

Степень восстановления формы тел зависит от упругих свойств материалов этих тел и характеризуется соотношением скоростей тел до и после удара.

Ньютоном введен коэффициент восстановления при ударе, величина которого определяется по формуле

где v и u – относительные скорости соударяющихся тел соответственно до и после удара.

Если тело падает с высоты H и после удара о неподвижную поверхность поднимается на высоту h, то коэффициент восстановления равен

Если удар абсолютно упругий, то соударяющиеся тела полностью восстанавливают свою форму, при этом k = 1. Если удар абсолютно неупругий, то тела на второй стадии не восстанавливают свою форму, при этом k = 0.

Промежуточные значения соответствуют случаям не вполне упругого удара. Случай абсолютно упругого удара ( k = 1) имеет лишь теоретическое значение. В зависимости от материала соударяющихся тел коэффициент восстановления имеет различные значения.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Основное уравнение теории удара имеет выражение

Основные положения теории удара.

В курсе теоретической механики теорию удара рассматривают как процесс соударения материальных точек и тел со сравнительно малыми относительными скоростями. Для этого используют модель Гюйгенса-Ньютона, в которой интегрально учитываются потери энергии при наличии местных упругопластических деформаций.

Более точной является физическая модель удара, в которой рассматриваются происходящие во времени местные деформации сплошной среды. Для изучения процессов деформирования при этом привлекают теории упругости, пластичности и распространения волн в теле. При значительных относительных скоростях удара (до нескольких километров в секунду) применяют гидродинамическую или специальную теорию высокоскоростного удара.

В излагаемой ниже теории удара рассматривают такие ударные явления, при которых происходит конечное изменение скоростей точек механической системы за весьма малый промежуток времени «тау», называемый временем удара.

Запишем дифференциальное уравнение движения материальной точки массой m в виде:

и проинтегрируем его в пределах от 0 до «тау»:

Ударная сила, действующая на тело, изменяется во времени, как показано на рис. 20.2.

В контакте тел образуются местные упругопластические деформации, зависящие от физических свойств тел. Процесс удара разбивается на две фазы. В первой фазе — фазе деформирования происходит сближение тел в точке А по общей нормали до тех пор, пока нормальная составляющая относительной скорости точки контакта тел не обратится в нуль в момент времени тау1. Фаза деформирования характеризуется импульсом ударной силы S1. Далее начинается вторая фаза — фаза восстановления, при которой тела в месте контакта восстанавливают свою форму вследствие упругих сил. Нормальная составляющая относительной скорости точки контакта меняет знак и возрастает, но из-за пластических деформаций не достигает своего первоначального значения. Импульс ударной силы в этой фазе равен S2.

Введем коэффициент восстановления К, который характеризует свойства материалов соударяющихся тел:

где S1, S’1, S2, S’2 — импульсы ударных сил в фазах деформирования и восстановления для первого и второго тел соответственно.

Коэффициент восстановления определяют экспериментально. Так как после удара в общем случае полного восстановления формы тел не происходит, то 0 =(3. 5)Т. Это означает, что время удара должно быть велико, чтобы из места соударения не была безвозвратно удалена упругая энергия волнами возмущения.

Например, для стержней Т=2L/с, с=(Е/«ро»)^(1/2), где L, E, «ро» — длина, модуль упругости и плотность стержня. Для стального стержня скорость распространения упругих волн (скорость звука) с=5000м/с. Пусть время удара «тау»=0,001 с, тогда длина стержней, при которых можно использовать данную теорию, должна быть L