Основного уравнения гидростатики в дифференциальной

Вывод основного уравнения гидростатики.

Для вывода основного уравнения гидростатики необходимо проин­тегрировать полученные дифференциальные уравнения равновесия (2.1).

Умножим каждый член первого из уравнений Эйлера на dx, второго и третьего — на dy и dz соответственно и сложим почленно. В результате получим (2.2)

Очевидно, что правая часть уравнения (2.2) представляет собой полный дифференциал давления dp, поскольку давление является функци­ей координат р = f(x,y,z). Но если правая часть уравнения есть полный дифференциал, то и левая его часть должна быть полным дифференциалом какой-то функции. В случае, когда р = const (жидкость однородная и не­сжимаемая), существует некая функция координат U = f(x, у, z) которая обладает следующим свойством:

Силы, для которых такая функция существует, называются силами, имеющими потенциал. Функция U называется силовой потенциальной функцией.

Тогда уравнение равновесия (2.2) можно записать в виде 𝜌 dU = dp. (2.3)

Из этого можно сделать вывод, что несжимаемая жидкость может находиться в равновесии только под действием объемных сил, имеющих потенциал.

Как известно, к таким силам относится, например, сила тяжести. Ес­ли на жидкость действует только одна объемная сила — сила тяжести, то можем записать Х = 0, 7 = 0, Z = -g.

Уравнение равновесия тогда примет вид: —𝜌gdz=dp.

Считая р = const, интегрируем и получаем

Отсюда видно, что в покоящейся жидкости, на которую действуют только силы тяжести, давление есть функция только одной координаты — z. Это уравнение, записанное в виде называют основным уравнением гидростатики.

Константу в уравнении (2.4) определим из граничного условия.

Расположим начало координат на поверхности жидкости, где р = ро, при z = 0. Тогда имеем:const = — ро.

Используем новую переменную — глубину погружения от поверхно­сти жидкости h = — z. Тогда окончательно получим уравнение для гидро­статического давления:p = po+pgh. (2.5)

Таким образом, давление в любой точке жидкости, находящейся под действием силы тяжести, складывается из давления на поверхности и про­изведения объемного веса жидкости на глубину погружения этой точки. Из уравнения видно, что давление изменяется линейно с глубиной погруже­ния.

Дата добавления: 2015-04-18 ; просмотров: 23 ; Нарушение авторских прав

Дифференциальные уравнения гидростатики (равновесия). Закон Паскаля

Для выяснения закона распределения гидростатического давления в покоящейся жидкости рассмотрим общий случай равновесия жидкого тела, находящегося в состоянии относительного покоя.

Выделим в жидкости, находящейся в равновесии, элементарный параллелепипед (рис. 3.3) со сторонами и центром в точке Ц. Рассматриваемый параллелепипед находится в покое под действием: а) поверхностных сил давления окружающей жидкости, направленных внутрь параллелепипеда нормально к его граням; б) объемных (массовых) сил, действующих на каждую частицу жидкости (силы тяжести и силы инерции переносного движения в случае относительного покоя).

Пусть р — гидростатическое давление в точке Ц.

Тогда, учитывая непрерывность изменения напряжения в жидкой среде и пренебрегая величинами бесконечно малыми, стремящимися к нулю при уменьшении параллелепипеда до размеров точки, мы можем определить среднее гидростатическое напряжение на соответствующих гранях параллелепипеда по следующим выражениям:

для грани ABCD

для грани EFGH

Аналогичные выражения могут быть написаны и для гидростатических напряжений по другим граням.

Равнодействующую массовых сил, действующих на единицу массы жидкости (ускорение массовых сил), обозначим через F, а проекции ее на оси координат — соответственно через F_x, F_y, F_z и на любое направление — через F_n..

Тогда, условие равновесия сил, действующих на выделенный параллелепипед, заключающееся в равенстве нулю суммы проекций всех сил на избранное направление, можно записать, например, для оси ОХ в виде

Вообще, очевидно, для любого избранного направления будем иметь:

представляет собой общие условия равновесия жидкости, данные Эйлером.

Умножив уравнения Эйлера соответственно иа dx, dy, dz и сложив их, получим:

Учитывая, что левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал гидростатического давления, получим:

Уравнение (14) может иметь смысл только при условии, что и выражение в скобках в правой части его также представляет собой полный дифференциал некоторой функции U(x у, z), которую по аналогии с теоретической механикой назовем силовой функцией. Следовательно, проекции ускорения массовых сил должны определяться следующими соотношениями:

Как известно из теоретической механики, в этом случае должна существовать некоторая функция координат П(х, у, х), называемая потенциальной энергией, равная силовой функции, взятой с обратным знаком. Из этого следует:

и уравнение (14) можно переписать в виде

Интегрируя (15), получим

или

где С — произвольная постоянная интегрирования.

В нашем случае потенциальная энергия относится к единице массы, и поэтому будем ее называть удельной потенциальной энергией.

В формуле (16) удельная потенциальная энергия П и давление р соответствуют одной и той же частичке жидкости, находящейся в относительном покое.

Для двух частиц одного и того же объема одной и той же однородной жидкости уравнение (16) можно написать в виде

Поверхностью равного давления в жидкости называется поверхность, все точки которой испытывают одинаковое давление.

Уравнение такой поверхности мы получим из (14) или (17), полагая р = const или: dp = 0. При этом

Таким образом, все частички жидкости, расположенные на поверхности равного давления, обладают одинаковой удельной потенциальной энергией, соответствующей массовым силам.

Одной из поверхностей равного давления является свободная поверхность жидкости, т. е. поверхность жидкости, граничащая с газовой средой (в гидротехнике обычно с воздухом), так как во всех ее точках давление равно внешнему давлению р₀.

Уравнение поверхности равного давления (18) можно рассматривать как уравнение работы массовых сил при элементарном перемещении по поверхности равного давления. Из равенства нулю этой работы следует:

ускорение массовых сил, действующих на жидкость, находящуюся в относительном покое, в любой точке жидкости направлено по нормали к поверхности равного давления, проходящей через эту точку.

В условиях земного притяжения в гидростатике из массовых сил действует только сила тяжести. Принимая положительным направление оси z вертикально вверхисчитая для небольших поверхностей силы тяжести параллельными друг другу, будем иметь:

или

Интегрируя (20), получим:

или (так как pg = )

где С — произвольная постоянная интегрирования.

Полученное уравнение делением обеих частей на можно привести к виду

Для любых двух частиц одного и того же объема жидкости уравнение (21) можно представить в виде

Это уравнение выражает гидростатический закон распределения давления и называется основным уравнением гидростатики.

Основное уравнение гидростатики было получено ранее при помощи анализа действия сил, поделив формулу (10) на мы получим правую часть формулы (21). Однако зависимость, полученная интегрированием дифференциальных уравнений движения, имеет более обобщенный характер.

Основное уравнение гидростатики (22) может быть использовано для обоснования закона Паскаля.

Возьмем внутри однородной покоящейся жидкости две произвольные точки с отметками z₁ и z₂ относительно некоторой произвольно выбранной плоскости отсчета. Давления в этих точках равны соответственно р₁ и р₂ и связаны уравнением (22).

Увеличим, не нарушая равновесия, в точке z₁ давление на . В этом случае соответственно должно измениться давление и в точке z₂ на величину . Для нового состояния основное уравнение будет иметь вид

Отсюда следует так называемый закон Паскаля:

всякое изменение давления в какой-либо точке покоящейся жидкости, не нарушающее ее равновесия, передается в остальные ее точки без изменений.

Для решения прикладных задач важно уметь определять гидростатическое давление в точке.

Пусть z — координата произвольной точки А (рис. 3.4) внутри покоящейся жидкости, в которой необходимо определить давление р. z ₀— координата точки В того же объема, давление в которой известно и равно р₀

Применим основное уравнение гидростатики (22):

откуда

где есть не что иное, как глубина погружения одной точки под другой.

Из этой формулы следует, что чем ниже расположена точка, тем большее давление она испытывает.

Рис.3.4. Схема для определения гидростатического давления в точке

Если точка В взята на свободной поверхности (рис. 3.4), то z₀—z есть глубина h погружения точки, а — давление на свободной поверхности и

Формула (24) является формулой гидростатического давления в точке на глубине h под свободной поверхностью.

Таким образом, гидростатическое давление в данной точке покоящейся жидкости складывается из внешнего давления на поверхности и давления h, зависящего только от глубины погружения h и удельного веса жидкости .

В гидротехнической практике в большинстве случаев внешним давлением является давление атмосферы ( ).

Эпюра гидростатического давления на наклонную стенку показана на рис. 3.5, а давление в точке поверхности находится по формуле

т.е. в системе координат р, l зависимость изображается прямой линией. Треугольник АВС представляет собой диаграмму давления и называется эпюрой манометрического давления.

Рис.3.5. Схема к определению гидростатического давления на стенку

Заметим, что стеклянная трубка может служить для измерения давления в жидкости и поэтому называется пьезометром

Основное дифференциальное уравнение гидростатики

Страницы работы

Содержание работы

Основное дифференциальное уравнение гидростатики

Рассмотрим внутри покоящейся жидкости параллелепипед с ребрами (рис. 2.3), расположенными параллельно координатным осям О_x, O_y, O_z и равными соответственно dx, dy, dz. Принимая во внимание, что уравнения моментов не имеют смысла, рассмотрим уравнение равновесия сил в проекциях на координатные оси.

å Х = 0; å Y = 0; å Z = 0. (2.12)

Для оси О_х имеем

dP — dP₁ + dFcosa = 0, (2.13)

где dP = pdydz и dP₁ = p ¢ dydz;

P₁ и P ¢ — средние гидростатические давления соответственно на площадки АВСДА и А ¢ В ¢ С ¢ Д ¢ А ¢ .

Принимая во внимание, что гидростатическое давление является функцией координат, среднее гидростатическое давление на площадке А ¢ В ¢ С ¢ Д ¢ А ¢ будет равно

p ¢ = . (2.14)

Тогда, силу dP₁ можно определить, как

. (2.15)

Объемная сила для массы dm, заключенной в объеме параллелепипеда, определится как

dF = dmjcosa = dmX = rdxdydzX. (2.16)

Подставляя значения слагаемых, получаем:

pdydz- + rXdxdydz = 0. (2.17)

Проводя преобразования (раскрывая скобки и сокращая на dxdydz ) получаем

. (2.18)

Аналогично получаются и уравнения проекций сил на оси Oy и Ox.

Тогда, систему уравнений описывающих условия равновесия жидкости (уравнение Эйлера) можно записать в виде

. (2.19)

Запишем уравнение Эйлера в виде

. (2.20)

Умножая каждое из записанных уравнений на dx,dy и dz соответственно, и проводя сложение правых и левых частей уравнений, получим

. (2.21)

Принимая во внимание, что левая часть записанного уравнения представляет собой полный дифференциал dp функции p = p(x, y, z), имеем

dp = r (Xdx + Ydy + Zdz). (2.22)

Данное уравнение называется основным дифференциальным уравнением гидростатики.

Логично предположить, что правая часть уравнения представляет также полный дифференциал некоторой функции

Xdx + Ydy +Zdz = dU. (2.23)

Следовательно, X = ¶U/¶x; Y = ¶U/¶y; Z = ¶U/¶z.

Величины x, y, z представляют собой проекции ускорения объемной силы, которые можно рассматривать как проекций самой объемной силы, отнесенной к единице массы данной жидкости.

; (2.24)

; (2.25)

. (2.26)

Функция U (x, y, z) является потенциалом сил или так называемой “силовой функцией”.

Таким образом, равновесие жидкости возможно, если объемные силы имеют потенциал.

Для поверхностей уровня наблюдается равенство давлений во всех точках — p = const и dp = 0.

Тогда, основное уравнение гидродинамики запишется в виде

Xdx + Ydy + Zdz = 0. (2.27)

Основные свойства поверхностей уровня:

1. Две поверхности уровня не пересекаются между собой.

2. Внешние объемные силы направлены нормально к поверхности уровня.