Основные характеристики сау дифференциальное уравнение и передаточная функция

Дифференциальные уравнения и передаточные функции звеньев и САУ.

При исследовании и расчете САУ исходят из математического описания, происходящих в них процессах. Для линейных САУ широко используется для этой цели операторный метод. Его сущность в том, что исследуемая система разделяется на звенья направленного действия. Совокупность этих звеньев совместно с линиями связи между ними, характеризующими их взаимодействие, образуют структурную схему САР. Они отражают математически динамические свойства системы. Разбиение системы на звенья существенно облегчает их расчет. Процессы, протекающие в САУ, описываются дифференциальными. уравнениями. Задача составления дифференциальных уравнений системы сводится к составлении системы отдельных звеньев. Любое звено автоматической системы предназначено для измерения, усиления или какого-либо другого преобразования сигнала. В связи с этим для любого элемента характерной являются связи между его входным и выходным сигналом. Именно эта связь и может быть представлена дифференциальными уравнением, которое математически выражает физические процессы в звене, т. е. процессы формирования выходного сигнала элемента, при подаче на его вход входного сигнала. Для облегчения исследования сложных систем дифференциальных уравнений, описывающие поведение системы заменяются алгебраическими, с помощью преобразований Лапласа. Если имеется некоторая функция f(t) независимой вещественной переменной t, то преобразование Лапласа, производимое над этой функцией и обращающее ее в функцию F(x), определяются след соотношением

где p-произвольная комплексная величина, имеющая вещественную и мнимую часть. При этом функция f(t) называется оригиналом, а F(p)-изображением функции. Сокращенно преобразования Лапласа обозначаются:

Для линейных звеньев связь между входным и выходным сигналом может быть описана линейным дифференциальным уравнением следующего вида:

Воспользовавшись преобразованием Лапласа, дифференциальным уравнением (1) может быть представлено в следующем виде:

Левая часть равенства в скобках — выходной операторный полином, правая – входной.

Передаточной функцией звена или системы автоматического управления называется отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу входной величины.

1) При р=0 выражение передаточной функции превращается в коэффициент усиления. W(p)=K.

2) Из выражения передаточной функции видно, что изображение выходной величины равно:

Этим выражением можно пользоваться при определении характера переходных процессов, возникающих в системе, при подаче на ее вход любого произвольно меняющегося входного воздействия. Анализ и синтез систем автоматического управления предполагает предварительное получение информации о виде передаточной функции. Для ряда типовых динамических звеньев передаточные функции являются одинаковыми, отличие может состоять в коэффициенте выражений передаточных функций.

Дата добавления: 2015-10-19 ; просмотров: 5921 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Основные характеристики сау дифференциальное уравнение и передаточная функция

Понятие линейного динамического звена

САУ удобно представлять для анализа и при синтезе в виде взаимосвязанной совокупности отдельных элементов динамических звеньев.

Под динамическим звеном понимают в общем случае абстрактное устройство, имеющее вход и выход, и для которого задано уравнение, связывающее сигналы на входе и выходе, как это показано на рис. 1.

Подробное изучение свойств реальных объектов управления и систем автоматического управления приводит к описанию динамических звеньев в виде нелинейных дифференциальных уравнений. Но во многих случаях их можно линеаризовать, то есть заменить нелинейные уравнения линейными, приближенно описывающими процессы в системах. Тем самым осуществляется декомпозиция задач анализа и синтеза систем, то есть первоначально используют линейное представление, а затем осуществляют учет вносимых нелинейностями особенностей. Такому подходу способствует то, что, в большинстве случаев, нормально функционирующая система работает в режиме малых отклонений, при которых нелинейности не проявляются. В дальнейшем мы будем рассматривать преимущественно аппарат изучения линейных систем, а особенности систем других классов: нелинейных, импульсных, цифровых и стохастических, будут излагаться позднее в других учебных дисциплинах.

Если уравнение, связывающее сигналы и , линейно, то говорят о линейном динамическом звене

Уравнение линейного динамического звена имеет следующий общий вид:

где — постоянные коэффициенты, .

Использовать такое описание динамического звена в задачах анализа и синтеза систем и объектов управления не рационально, поэтому существуют и иные формы описания и представления динамических звеньев и систем в целом.

Подвергнем уравнение (1) преобразованию Лапласа, считая начальные условия нулевыми и заменяя оригиналы сигналов их изображениями по Лапласу

Используя теоремы преобразования Лапласа линейности и дифференцирования, получим операторное уравнение, связывающие изображения входного и выходного сигналов

Преобразуем уравнение (2) к следующему виду

Получим из (3) отношение изображений выходного и входного сигналов

Отношение (4) не зависит от изображений сигналов, определяется только параметрами самого динамического звена (), имеет вид дробно-рациональной функции.

Отношение изображений выходного и входного сигналов называют передаточной функцией динамического звена

называют характеристическим уравнением динамического звена, так как знаменатель передаточной функции это характеристический полином дифференциального уравнения, описывающего динамическое звено.

Определим передаточную функцию динамического звена по его принципиальной электрической схеме

По второму закону Кирхгоффа запишем уравнения описывающие схему

С учетом того, что

Получим операторные уравнения

Из второго уравнения выразим значение изображения тока

Подставим полученное выражение в первое уравнение системы

В итоге получаем искомую передаточную функцию

Графически передаточные функции динамического звена представляют в следующем виде:

Если известно изображение входного сигнала и передаточная функция динамического звена, всегда можно найти изображение выходного сигнала при нулевых начальных условиях

.(5)

В общем случае САУ состоит из множества динамических звеньев, сигналы с выходов звеньев могут суммироваться или вычитаться, суммироваться с внешними для САУ сигналами. Суммирование и вычитание изображений сигналов могут быть представлено графически с помощью суммирующих звеньев:

Показанная выше неоднозначность графического представления вычитания изображений на суммирующем элементе связана с различием в стандартах разных стран.

Используя графическое представление передаточных функций звеньев и суммирующие звенья, можно в графической форме представить операторные уравнения, описывающие САУ. Такое графическое представление операторных уравнений в ТАУ называют структурной схемой.

По математической модели объекта управления в форме системы дифференциальных уравнений определить структурную схему объекта.

Получим систему операторных уравнений, подвергнув исходную систему дифференциальных уравнений преобразованию Лапласа и заменив оригиналы изображениями,

Из первого уравнения системы операторных уравнений, которое описывает динамическое звено объекта управления, после преобразований получим

Тогда передаточная функция этого звена имеет вид

а выражение описывает суммирующее звено . Таким образом, получены два фрагмента структурной схемы

Из второго уравнения системы операторных уравнений, которое описывает динамическое звено объекта управления, после преобразований получим, вводя обозначение,

Тогда передаточная функция этого звена имеет вид

а выражение описывает суммирующее звено . Таким образом, получены еще два фрагмента структурной схемы

Соединим все фрагменты структурной схемы объекта управления, объединяя одноименные сигналы, либо разветвляя их с помощью точек ветвления , показанных на схеме. В результате получим

Временные характеристики динамического звена

Временной или импульсной характеристикой динамического звена называют реакцию звена на , обозначая ее как . При этом схема эксперимента имеет вид

Выясним, что представляет собой временная характеристика, то есть почему ее называют характеристикой динамического звена?

Для этого рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией

В этом случае, в соответствии с (5), имеем

Получаем, что передаточная функция звена это изображение по Лапласу импульсной характеристики динамического звена. В свою очередь, импульсная характеристика может быть определена по передаточной функции

при использовании разложения в форму Хэвисайта и обратное преобразование Лапласа.

Знание импульсной характеристики позволяет определить реакцию динамического звена на сигнал любой формы.

Для динамического звена с передаточной функцией преобразуем (5), используя теорему об умножении изображений преобразования Лапласа,

а если легко получить , тогда

Переходной характеристикой или переходной функцией динамического звена называют реакцию динамического звена на , обозначая ее как . При этом схема эксперимента имеет вид

Для анализа переходной характеристики рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией

В этом случае, в соответствии с (5), имеем

По теореме об интегрировании оригинала имеем

Переходная функция является интегралом по времени от импульсной характеристике и наоборот

Переходная характеристика динамического звена может быть определена по передаточной функции

Контрольные вопросы и задачи

Что такое линейное динамическое звено?

Как определить передаточную функцию линейного динамического звена?

Перечислите основные элементы структурных схем систем управления.

Как определить по передаточной функции динамического звена его временные характеристики: импульсную и переходную?

Как по переходной характеристике определить импульсную характеристику динамического звена?

Определите передаточную функцию динамического звена по его принципиальной электрической схеме

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ САУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ И ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Объект управления (ОУ) — система, в которой происходит подлежащий управлению процесс. Взаимодействие с ОУ происходит через входы (которые являются причинами появления процессов в ОУ) и выходы (которые являются процессами-следствиями).

Управление — процесс на входе объекта управления, обеспечивающий такое протекание процессов на выходе объекта управления, которое обеспечи-вают достижение заданной цели управления.

Регулирование — частный случай управления, цель которого заключается в поддержании на заданном уровне одного или нескольких выходов объекта управления.

Система автоматического регулирования (САР) – совокупность объекта управления и автоматического регулятора, взаимодействующих между собой в соответствии с алгоритмом управления.

Регулирующий орган (РО) — совокупность устройств, с помощью кото-рых осуществляется управление входами объекта управления. Например, на-гревательные элементы в системе управления температурой, клапаны с элек-троприводом в системе регулирования расхода жидкости и т.д.

Управляемая величина (выходная величина — У) — показатель технологического процесса, которым необходимо управлять.

Управляющее воздействие (входная величина — Х) — физическая величина, посредством которой управляется показатель технологического процесса.

Задающее воздействие — определяет требуемый закон регулирования выходной величины.

Возмущающее воздействие f(t) — процесс на входе объекта управления,являющийся помехой управлению.

Воспринимающие органы (ВО или так называемые чувствительные эле-менты ЧЭ) — измеряют и преобразуют контролируемую или управляемую вели-чину объекта управления в сигнал, удобный для передачи и дальнейшей обра-ботки. К ним относятся датчики влажности, температуры (термопары, термосо-противления, термопреобразователи), освещенности и т.д.

Усилительные органы (УО или усилительные элементы УЭ) – устройства, не изменяющие физической природы сигнала, а производящие только усиление, т.е. увеличение его до требуемого значений. Сюда относятся магнитные пускатели, твердотельные и электромагнитные реле и т.д.

Преобразующие органы (ПО или элементы ПЭ) — преобразуют сигнал од-ной физической природы в сигналы другой физической природы для удобства дальнейшей передачи и обработки. Например, преобразователи неэлектрических величин в электрические.

Корректирующие органы (КО или элементы КЭ) — служат для коррекции САУ с целью улучшения их работы.

Исполнительный орган (ИО или элемент ИЭ) — вырабатывает и подает на регулирующий орган объекта управления управляющее воздействие.

Перечисленные выше термины поясняет рисунок 1, на котором изображе-на система автоматического управления (САУ), объектом управления которой является водонагреватель.

Нагретая вода

Вода

t_воды

Управляющее воздействие Х (напряжение питания)

Задающий орган (ограничивающее сопротивление)

Возмущающее воздействие (температура окружающего воздуха)

Регулирующий орган (нагревательный элемент)

Управляемая величина У (температура воды)

T_окр

Рисунок 1 — Водонагреватель как объект управления (Р — мощность нагревательного элемента)

Чаще всего объекты управления изображают графически в виде функ-циональных блоков (рис. 2).

ЗО

PОУ

ОУ

t_воды

U — управляющее воздействие (напряжение питания),

Р – мощность нагревательного элемента,

t_окр — возмущающее воздействие (температура окружающего воздуха),

t_воды — управляемая величина (температура воды),

РОУ — регулирующий орган (нагревательный элемент),

ОУ — объект управления водонагреватель),

ЗО — задающий орган (ограничивающее сопротивление).

Рисунок 2 – Водонагреватель в виде функциональных блоков

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ САУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ И ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ

САУ может быть смоделирована (представлена) дифференциальным уравнением. При составлении дифференциального уравнения объекта необходимо прежде всего выявить физический закон (или совокупность законов), определяющий его поведение. Таким законом может быть, например, закон сохранения энергии, закон равновесия электродвижущих сил и другие основные законы физики. Математическое выражение соответствующего физического закона и является исходным дифференциальным уравнением управляемого объекта.

Очень важной категорией в теории автоматического управления и регулирования является понятие передаточной функции. Передаточная функция является своего рода математической моделью САУ, т.к. полностью характеризует динамические свойства системы.

Под передаточной функцией элемента или системы понимают отношение операторного (лапласового) изображения соответствующей выходной величины к операторному изображению входной величины.

При этом также считают, что элемент или система находились при нулевых начальных условиях, т.е. элемент или система находились в установившемся состоянии, т.е. в состоянии покоя.

Следовательно, передаточная функция определяется в виде отношения (1):

(1)

Предположим, что линейная САУ описывается дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами и это уравнение имеет следующий вид:

(2)

где — выходная величина звена (системы);

— входная величина звена (в отклонениях от состояния равновесия);

, — постоянные коэффициенты, определяющие параметры звена.

При записи дифференциального уравнения члены, содержащие выходную величину и её производные, записывают в левой части уравнения, а все остальные члены – в правой.

Запись уравнения в форме (2) неудобна, особенно когда возникает необходимость исследовать взаимодействие отдельных звеньев системы при их соединении в различные цепи. Кроме того, решения уравнений с порядком выше третьего значительно усложняется и требует применения вычислительной техники. Поэтому для упрощения решения уравнения (2) используют средства описания динамических свойств системы через преобразование Лапласа. Основанием для этого служит то обстоятельство, что такое преобразование существенно облегчает исследование сложных систем, поскольку дифференциальные уравнения заменяются алгебраическими.

Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию F(p)комплексного переменного (изображение) с функцией f(x) действительного переменного (оригинал).

Преобразованием Лапласа от функции f(x) (оргигинала) называется функция:

(3)

f(x) называют оригиналом преобразования Лапласа, а F(p) — изображением преобразования Лапласа. f(x) и F(p) однозначно определяются друг относительно друга, то есть если известен оригинал f(x), то всегда можно узнать F(p), и наоборот, если известно F(p), то всегда можете получить f(x).

Преобразование Лапласа для типовых математических операций, а также для функций, часто встречающихся в задачах автоматического регулирования можно найти в учебниках.

Пользуясь преобразованием Лапласа, представим дифференциальное уравнение (2) в операторном виде:

(3)

(4)

(5)

есть оператор дифференцирования.

Для системы, описываемой операторным уравнением (4) передаточная функция будет иметь следующий вид:

(6)

Следовательно, передаточная функция равна отношению двух полиномов:

(7)

(8)

Как видно из уравнения (6), передаточная функция является дробно-рациональной функцией от независимого переменного p. Числитель передаточной функции является левой частью уравнения элемента или системы, а знаменатель — правой частью.

(9)

называется характеристическим уравнением звена или характеристическим полиномом звена.

В системах автоматического управления степень полинома знаменателя в выражении (6) всегда выше или равна степени полинома числителя, т.е. .

Из приведенных соотношений также видно, что передаточную функцию легко получить из дифференциального уравнения простой формальной заменой производных оператором р в соответствующей, а изображение выходной величины определяется передаточной функцией и изображением входной величины:

(10)

Запись соотношений между выходом и входом звена в виде последнего уравнения (10) имеет большое практическое значение и дает значительное преимущество при исследовании САР, т.к. оно позволяет графически изобразить звено следующим образом

Рис. 3 – Графическое изображение звена

В замкнутых САР имеется сложное взаимодействие блоков: выход одного блока может служить входом другого блока и т.д. Использование понятия передаточной функции звеньев позволяет без особого труда находить связь между любыми координатами всей системы на основании знания передаточных функций соответствующих звеньев, составляющих эту систему. Не представляет трудности при этом и составление общего графического изображения ее в виде структурной системы.

Рассмотрим также в общем виде очень важное понятие коэффициента передачи (коэффициента усиления) К в установившемся режиме для звена с произвольной передаточной функцией W(р).

Если на вход звена подать постоянный входной сигнал Х_вх.у, то выходной сигнал Х_вых.(t) при t → ∞,будет стремится к некоторому установившемуся значению

. (11)