Основные кинематические уравнения равномерного движения

Гурский И.П. Кинематика прямолинейного движения материальной точки //Квант

Гурский И.П. Кинематика прямолинейного движения материальной точки //Квант. — 1973. — № 11. — С. 57-60.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант».

Равномерное прямолинейное движение

Равномерным прямолинейным движением называется движение, при котором материальная точка за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Уравнение такого движения в векторной форме записывается так:

где — перемещение, — скорость движения, t — время.

Движение материальной точки всегда рассматривается относительно какого-либо тела, которое в данной задаче принимается за неподвижное и называется телом отсчета. С ним связывается система координат; вместе с телом отсчета они образуют систему отсчета. Для прямолинейного движения достаточно выбрать одну ось координат, например ОХ. Тогда положение точки будет определяться его координатой х. Уравнение равномерного движения в скалярной форме будет выглядеть так:

где x₀ — координата точки в момент времени t = 0.

Правильный выбор системы отсчета часто существенно облегчает решение задачи. Рассмотрим несколько конкретных задач.

Задача 1. Пассажир, сидящий у окна поезда, идущего со скоростью υ₁ = 72 км/ч, видит встречный поезд, идущий со скоростью υ₂ = 31,4 км/ч, в течение 10 секунд. Определить длину встречного поезда.

За тело отсчета примем пассажира, а ось координат направим по направлению скорости встречного поезда. Величины скоростей υ₁ и υ₂ заданы относительно некоторой неподвижной системы отсчета, например земли. По отношению же к пассажиру, движущемуся со скоростью υ₁, встречный поезд имеет так называемую относительную скорость υ_2отн, которая равна

или в скалярной форме

Тогда искомая длина встречного поезда l равна

Задача 2. Рыбак плывет на лодке вверх по реке; проезжая под мостом, он уронил в воду соломенную шляпу. Через полчаса он это обнаружил и, повернув назад, догнал шляпу в 5 км ниже моста. Какова скорость течения реки, если рыбак, двигаясь вверх и вниз по реке, греб одинаково?

Свяжем систему отсчета с водой в реке, то есть со шляпой. Рыбак удаляется от шляпы и приближается к ней с одной и той же скоростью, следовательно, он догонит ее через полчаса после того, как обнаружил потерю, или через час после падения шляпы в воду. За это время шляпа относительно земли проплыла 5 км. Значит, скорость течения реки равна 5 км/ч.

Равнопеременное прямолинейное движение

Если скорость материальной точки не постоянна, но в любые равные промежутки времени она изменяется на одну и ту же величину, то в этом случае говорят о равнопеременном движении. Движение называют равноускоренным, если скорость увеличивается, и равнозамедленным, если скорость уменьшается.

Для решения задач на эту тему достаточно знать уравнения для скорости и перемещения. В скалярной форме они записываются так:

Здесь υ₀ — начальная скорость точки, х₀ — начальная координата, а — ускорение, υ и х — соответственно скорость и координата точки в момент времени t. Величины υ₀, a, υ и х будем считать положительными, когда их направление совпадает с положительным направлением выбранной оси координат ОХ, отрицательными — в противном случае.

Начинать решение задачи полезно с краткой записи ее условия, по возможности полностью переводя задачу на язык условных обозначений. При этом надо следить за тем, чтобы единицы измерения всех величин были даны в одной и той же системе единиц. Все расчеты лучше проводить в общем виде, то есть в буквенных обозначениях, а численные значения подставлять в окончательный результат.

Решим следующие задачи.

Задача 3. Два велосипедиста едут друг другу навстречу: один из них, имея скорость 5,4 км/ч, спускается с горы с ускорением 0,2 м/с 2 ; другой, имея скорость 18 км/ч, поднимается в гору с ускорением — 20 см/с 2 . Через сколько времени они встретятся?

Пусть начало координат совпадает с начальным положением первого велосипедиста, а положительное направление оси координат — с направлением его начальной скорости. Тогда краткая запись условия задачи будет выглядеть так:

υ₀₁ = 5,4 км/ч = 1,5 м/с

Запишем уравнения движения для каждого велосипедиста:

(1)

(2)

причем а₁ = а₂ по условию. В момент встречи

(3)

Решая совместно уравнения (1) — (3), получим

На этом можно было бы закончить решение, но в данном случае следует убедиться в том, что полученный ответ имеет физический смысл. Для этого найдем скорость второго велосипедиста через 30 с после начала движения:

= –5 м/с + 0,2 м/с 2 • 30 с = 1 м/с.

Оказывается, что второй велосипедист к этому времени будет скатываться с горы, а не подниматься в гору. Очевидно, что данная задача составлена некорректно.

Задача 4. Аэростат поднимается с земли вертикально вверх с ускорением 2,45 м/с 2 . Через 8 секунд от начала движения из его гондолы выпадает предмет. Через сколько времени и с какой скоростью этот предмет упадет на землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Так как сначала предмет движется вместе с аэростатом, то через t₁ = 8 с он поднимется на некоторую высоту h₁ и будет иметь скорость υ₁ причем

и

Дальнейшее движение предмета можно описать по-разному.

Часто задачи такого типа решаются в два этапа. Сначала рассматривается замедленное движение предмета вверх до наибольшей высоты, затем — свободное падение на землю. Задача, однако, решается проще, если считать, что предмет одновременно участвует в двух независимых друг от друга движениях: он равномерно со скоростью υ₁ поднимается вверх и свободно падает. Свяжем систему отсчета с землей, а ось координат направим вверх. Тогда уравнение движения предмета с высоты h₁ до земли запишется так:

(t₂ — время движения предмета). Подставляя в это уравнение выражения для h₁ и υ₁, получим

Задача 5. Тело брошено вертикально вверх с некоторой начальной скоростью. Когда оно достигло высшей точки подъема на высоте Н = 100 м от земли, из того же начального пункта и с той же начальной скоростью брошено второе тело. На какой высоте они встретятся? Какие они будут иметь скорости в момент встречи? С какой начальной скоростью были брошены тела? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Рассмотрим сначала некоторые особенности движения тела, брошенного вертикально вверх. Это сложное движение является суммой двух простых — равномерного движения и свободного падения. Причем каждое движение происходит независимо от другого и от того, поднимается или опускается тело. Поэтому можно сказать, что время прохождения телом одного и того же участка пути вверх и вниз одно и то же и что скорости тела на некоторой высоте при движении вверх или вниз одинаковы по величине.

Покажем, например, что время подъема тела до максимальной высоты равно времени падения до начального положения и что конечная скорость по величине равна начальной скорости. Пусть начальная скорость тела равна υ₀. Запишем уравнения для скорости и координаты (начало координат свяжем с точкой бросания и ось координат направим вверх):

В точке максимального подъема υ = 0, поэтому

Теперь тело начинает свободно падать. Обозначим время падения t’, а конечную скорость υ’ и запишем уравнения для свободного падения

Теперь вернемся к нашей конкретной задаче. Согласно сказанному выше, время подъема второго тела до высоты h (рис. 1), равное времени падения первого тела с высоты H — h, составляет половину времени свободного падения первого тела с высоты Н до земли, то есть

Скорости тел в момент встречи одинаковы по величине и равны

Начальная скорость .

В заключение рассмотрим задачу на построение графиков.

Задача 6. Дан график зависимости скорости движения тела от времени (рис. 2, а). Построить графики ускорения, перемещения и пути.

Прежде всего, посмотрим, как движется тело в различные моменты времени. Из графика скорости видно, что на первом этапе (от 0 до t₁) тело движется равноускоренно; на втором (от t₁ до t₂) — равнозамедленно; на третьем (от t₂ до t₃) — равноускоренно, но в обратном направлении; на четвертом (от t₃ до t₄) — равнозамедленно; на пятом (от t₄ до t₅) — равноускоренно в первоначальном направлении и т. д. Графики зависимости ускорения, перемещения и пути от времени показаны на рисунках 2, б, в и г соответственно.

1. По двум параллельным путям в одном направлении идут два поезда: пассажирский — длиной 200 м со скоростью 72 км/ч и товарный — длиной 400 м со скоростью 45 км/ч. Сколько времени пассажирский поезд будет обгонять товарный?

2. Замыкающий колонны войск, растянувшейся на 2,5 км и идущей со скоростью 5 км/ч, послал мотоциклиста с извещением командиру, находящемуся во главе колонны. Командир принимал извещение и писал ответ, стоя на обочине дороги, в. течение трех минут. Определить среднюю скорость мотоциклиста, если он вернулся к замыкающему через 9 мин 27 с.

3. Два велосипедиста едут навстречу друг другу: один из них, имея скорость 7,2 км/ч, спускается с горы с ускорением 0,30 м/с 2 ; другой, имея скорость 36 км/ч, поднимается с ускорением —0,20 м/с 2 . Каково было расстояние между велосипедистами в начальный момент, если они встретились через 0,5 минуты? При какой наибольшей длине горы задача имеет решение?

4. С некоторой высоты падает тело. Через 2 с с той же высоты падает второе тело. Через сколько секунд после начала падения первого тела удвоится расстояние, разделяющее тела до начала падения второго тела? Сопротивлением воздуха пренебречь.

5. Вертолет поднимается вверх со скоростью 10 м/с. На высоте 100 м из него выбрасывается вверх предмет со скоростью 2 м/с относительно вертолета. Найти наибольшую высоту, которой достигнет предмет, а также через сколько времени и с какой скоростью предмет упадет на землю.

6. Тело бросают вверх со скоростью 20 м/с. Какова высота точки, которую тело проходит дважды с промежутком 3 с? Сопротивлением воздуха пренебречь.

7. Дан график зависимости ускорения от времени (рис. 3). Построить график зависимости величины перемещения от скорости.

Основные кинематические уравнения равномерного движения

лЙОЕНБФЙЛБ ЙЪХЮБЕФ ТБЪМЙЮОЩЕ НЕИБОЙЮЕУЛЙЕ ДЧЙЦЕОЙС ФЕМ ВЕЪ ТБУУНПФТЕОЙС РТЙЮЙО ЧЩЪЩЧБАЭЙИ ЬФЙ ДЧЙЦЕОЙС.

1.1.1 лЙОЕНБФЙЛБ РПУФХРБФЕМШОПЗП ДЧЙЦЕОЙС

рТЙ РПУФХРБФЕМШОПН ДЧЙЦЕОЙЙ ФЕМБ ЧУЕ ФПЮЛЙ ФЕМБ ДЧЙЦХФУС ПДЙОБЛПЧП, Й, ЧНЕУФП ФПЗП ЮФПВЩ ТБУУНБФТЙЧБФШ ДЧЙЦЕОЙЕ ЛБЦДПК ФПЮЛЙ ФЕМБ, НПЦОП ТБУУНБФТЙЧБФШ ДЧЙЦЕОЙЕ ФПМШЛП ПДОПК ЕЗП ФПЮЛЙ.

пУОПЧОЩЕ ИБТБЛФЕТЙУФЙЛЙ ДЧЙЦЕОЙС НБФЕТЙБМШОПК ФПЮЛЙ: ФТБЕЛФПТЙС ДЧЙЦЕОЙС, РЕТЕНЕЭЕОЙЕ ФПЮЛЙ, РТПКДЕООЩК ЕА РХФШ, ЛППТДЙОБФЩ, УЛПТПУФШ Й ХУЛПТЕОЙЕ.

мЙОЙА, РП ЛПФПТПК ДЧЙЦЕФУС НБФЕТЙБМШОБС ФПЮЛБ Ч РТПУФТБОУФЧЕ, ОБЪЩЧБАФ ФТБЕЛФПТЙЕК.

рЕТЕНЕЭЕОЙЕН НБФЕТЙБМШОПК ФПЮЛЙ ЪБ ОЕЛПФПТЩК РТПНЕЦХФПЛ ЧТЕНЕОЙ ОБЪЩЧБЕФУС ЧЕЛФПТ РЕТЕНЕЭЕОЙС &#8710r=r-r₀, ОБРТБЧМЕООЩК ПФ РПМПЦЕОЙС ФПЮЛЙ Ч ОБЮБМШОЩК НПНЕОФ ЧТЕНЕОЙ Л ЕЕ РПМПЦЕОЙА Ч ЛПОЕЮОЩК НПНЕОФ.

уЛПТПУФШ НБФЕТЙБМШОПК ФПЮЛЙ РТЕДУФБЧМСЕФ УПВПК ЧЕЛФПТ, ИБТБЛФЕТЙЪХАЭЙК ОБРТБЧМЕОЙЕ Й ВЩУФТПФХ РЕТЕНЕЭЕОЙС НБФЕТЙБМШОПК ФПЮЛЙ ПФОПУЙФЕМШОП ФЕМБ ПФУЮЕФБ. чЕЛФПТ ХУЛПТЕОЙС ИБТБЛФЕТЙЪХЕФ ВЩУФТПФХ Й ОБРТБЧМЕОЙЕ ЙЪНЕОЕОЙС УЛПТПУФЙ НБФЕТЙБМШОПК ФПЮЛЙ ПФОПУЙФЕМШОП ФЕМБ ПФУЮЕФБ.

1.1.2 тБЧОПНЕТОПЕ РТСНПМЙОЕКОПЕ ДЧЙЦЕОЙЕ

тБЧОПНЕТОЩН РТСНПМЙОЕКОЩН ДЧЙЦЕОЙЕН ОБЪЩЧБЕФУС ФБЛПЕ РТСНПМЙОЕКОПЕ ДЧЙЦЕОЙЕ, РТЙ ЛПФПТПН НБФЕТЙБМШОБС ФПЮЛБ (ФЕМП) ДЧЙЦЕФУС РП РТСНПК Й Ч МАВЩЕ ТБЧОЩЕ РТПНЕЦХФЛЙ ЧТЕНЕОЙ УПЧЕТЫБЕФ ПДЙОБЛПЧЩЕ РЕТЕНЕЭЕОЙС.

чЕЛФПТ УЛПТПУФЙ ТБЧОПНЕТОПЗП РТСНПМЙОЕКОПЗП ДЧЙЦЕОЙС НБФЕТЙБМШОПК ФПЮЛЙ ОБРТБЧМЕО ЧДПМШ ЕЕ ФТБЕЛФПТЙЙ Ч УФПТПОХ ДЧЙЦЕОЙС. чЕЛФПТ УЛПТПУФЙ РТЙ ТБЧОПНЕТОПН РТСНПМЙОЕКОПН ДЧЙЦЕОЙЙ ТБЧЕО ЧЕЛФПТХ РЕТЕНЕЭЕОЙС ЪБ МАВПК РТПНЕЦХФПЛ ЧТЕНЕОЙ, РПДЕМЕООПНХ ОБ ЬФПФ РТПНЕЦХФПЛ ЧТЕНЕОЙ:

рТЙНЕН МЙОЙА, РП ЛПФПТПК ДЧЙЦЕФУС НБФЕТЙБМШОБС ФПЮЛБ, ЪБ ПУШ ЛППТДЙОБФ пи, РТЙЮЕН ЪБ РПМПЦЙФЕМШОПЕ ОБРТБЧМЕОЙЕ ПУЙ ЧЩВЕТЕН ОБРТБЧМЕОЙЕ ДЧЙЦЕОЙС ФПЮЛЙ. фПЗДБ, УРТПЕГЙТПЧБЧ ЧЕЛФПТЩ r Й v, ОБ ЬФХ ПУШ, ДМС РТПЕЛГЙК ∆r_x = |∆r| Й ∆v_x = |∆v| ЬФЙИ ЧЕЛФПТПЧ НЩ НПЦЕН ЪБРЙУБФШ:

, ПФУАДБ РПМХЮБЕН ХТБЧОЕОЙЕ ТБЧОПНЕТОПЗП ДЧЙЦЕОЙС: ∆r_x = v_x · t .

ф.Л. РТЙ ТБЧОПНЕТОПН РТСНПМЙОЕКОПН ДЧЙЦЕОЙЙ S = |∆r|, НПЦЕН ЪБРЙУБФШ: S_x = v_x · t. фПЗДБ ДМС ЛППТДЙОБФЩ ФЕМБ Ч МАВПК НПНЕОФ ЧТЕНЕОЙ ЙНЕЕН:

ЗДЕ И₀ — ЛППТДЙОБФБ ФЕМБ Ч ОБЮБМШОЩК НПНЕОФ t = 0.

рТЙНЕТ 1. хТБЧОЕОЙЕ ДЧЙЦЕОЙС ФЕМБ ДБОП Ч ЧЙДЕ И = 4 — 3t. пРТЕДЕМЙФШ ОБЮБМШОХА ЛППТДЙОБФХ ФЕМБ, УЛПТПУФШ ДЧЙЦЕОЙС Й РЕТЕНЕЭЕОЙС ФЕМБ ЪБ 2 УЕЛХОДЩ.

тЕЫЕОЙЕ: уТБЧОЙН ДБООПЕ ХТБЧОЕОЙЕ ДЧЙЦЕОЙС ФЕМБ У ХТБЧОЕОЙЕН ДЧЙЦЕОЙС Ч ПВЭЕН ЧЙДЕ: И = И₀ + v_x t Й И = 4 — 3t.

пЮЕЧЙДОП, ЮФП И₀ = 4Н, v_x = — 3Н/У (ЪОБЛ «-» ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ОБРТБЧМЕОЙЕ УЛПТПУФЙ ОЕ УПЧРБДБЕФ У ОБРТБЧМЕОЙЕН ПУЙ пи, Ф.Е. ПОЙ РТПФЙЧПРПМПЦОП ОБРТБЧМЕОЩ). рЕТЕНЕЭЕОЙЕ ФЕМБ ОБКДЕН РП ЖПТНХМЕ: S = И — И₀. лПОЕЮОХА ЛППТДЙОБФХ И НПЦОП ПРТЕДЕМЙФШ, РПДУФБЧМСС Ч ХТБЧОЕОЙЕ ДЧЙЦЕОЙС ЧТЕНС t₁: И = 4 — 3t₁. ч ПВЭЕН ЧЙДЕ ЖПТНХМБ РЕТЕНЕЭЕОЙС: S = 4 — 3t₁ — И₀ = 4 — 3t₁ — 4 = — 3t₁ = -3 · 2 = — 6 Н (фЕМП ДЧЙЦЕФУС Ч ПФТЙГБФЕМШОПН ОБРТБЧМЕОЙЙ ПУЙ пи).

рТЙНЕТ 2.мПДПЮОЙЛ РЕТЕЧПЪЙФ РБУУБЦЙТПЧ У ПДОПЗП ВЕТЕЗБ ОБ ДТХЗПК ЪБ ЧТЕНС t =10 НЙО. РП ФТБЕЛФПТЙЙ бч. уЛПТПУФШ ФЕЮЕОЙС ТЕЛЙ vТ = 0,3 Н/У, ЫЙТЙОБ ТЕЛЙ 240 Н. у ЛБЛПК УЛПТПУФША v ПФОПУЙФЕМШОП ЧПДЩ Й РПД ЛБЛЙН ХЗМПН α Л ВЕТЕЗХ ДПМЦОБ ДЧЙЗБФШУС МПДЛБ, ЮФПВЩ ДПУФЙЮШ ДТХЗПЗП ВЕТЕЗБ ЪБ ХЛБЪБООПЕ ЧТЕНС?

t = 10 НЙО = 660 У.

v’ — ? α — ?

тЕЫЕОЙЕ: рТЙНЕН ВЕТЕЗ ЪБ ОЕРПДЧЙЦОХА УЙУФЕНХ ПФУЮЕФБ. фПЗДБ ПФОПУЙФЕМШОП ВЕТЕЗБ УЛПТПУФШ МПДЛЙ ТБЧОБ:

ьФБ УЛПТПУФШ (ТЙУХОПЛ 1.1), СЧМСЕФУС УХННПК ДЧХИ УЛПТПУФЕК: УЛПТПУФЙ МПДЛЙ ПФОПУЙФЕМШОП ЧПДЩ v’ (УЛПТПУФЙ ПФОПУЙФЕМШОП РПДЧЙЦОПК УЙУФЕНЩ ПФУЮЕФБ) Й УЛПТПУФЙ ТЕЛЙ v_Т (УЛПТПУФЙ УБНПК РПДЧЙЦОПК УЙУФЕНЩ ПФУЮЕФБ ПФОПУЙФЕМШОП ОЕРПДЧЙЦОПК). рП ЪБЛПОХ УМПЦЕОЙС УЛПТПУФЕК: v =v_Т + v’. фБЛ ЛБЛ РП ХУМПЧЙА ЪБДБЮЙ УЛПТПУФШ МПДЛЙ ПФОПУЙФЕМШОП ВЕТЕЗБ ОБРТБЧМЕОБ ЧДПМШ бч, Б УЛПТПУФШ ТЕЛЙ РЕТРЕОДЙЛХМСТОП бч, ФП УЛПТПУФШ МПДЛЙ ПФОПУЙФЕМШОП ЧПДЩ(РП ФЕПТЕНЕ рЙЖБЗПТБ):

йУЛПНЩК ХЗПМ НПЦОП ОБКФЙ ЙЪ ЧЩТБЦЕОЙС:

пФЧЕФ: v’ = 0.5 Н /У, α = arctg ≈ 53 0 .

1.1.3 оЕТБЧОПНЕТОПЕ ДЧЙЦЕОЙЕ

дЧЙЦЕОЙЕ, РТЙ ЛПФПТПН ЪБ ТБЧОЩЕ РТПНЕЦХФЛЙ ЧТЕНЕОЙ ФЕМП УПЧЕТЫБЕФ ОЕТБЧОЩЕ РЕТЕНЕЭЕОЙС ОБЪЩЧБАФ ОЕТБЧОПНЕТОЩН ЙМЙ РЕТЕНЕООЩН. уТЕДОЕК УЛПТПУФША v_УТ ОБЪЩЧБЕФУС ЧЕМЙЮЙОБ, ТБЧОБС ПФОПЫЕОЙА РЕТЕНЕЭЕОЙС ФЕМБ ∆r ЪБ ОЕЛПФПТЩК РТПНЕЦХФПЛ ЧТЕНЕОЙ ∆t Л ЬФПНХ РТПНЕЦХФЛХ:

нПДХМШ УТЕДОЕК УЛПТПУФЙ ПРТЕДЕМСЕФУС ЛБЛ ПФОПЫЕОЙЕ РХФЙ ∆S, РТПКДЕООПЗП ФЕМПН ЪБ ОЕЛПФПТЩК РТПНЕЦХФПЛ ЧТЕНЕОЙ, Л ЬФПНХ РТПНЕЦХФЛХ:

оБРТБЧМЕОЙЕ ЧЕЛФПТБ УТЕДОЕК УЛПТПУФЙ v_УТ УПЧРБДБЕФ У ОБРТБЧМЕОЙЕН ∆r (ТЙУХОПЛ 1.2).

рТЙ ОЕПЗТБОЙЮЕООПН ХНЕОШЫЕОЙЙ ∆t, v_УТ УФТЕНЙФУС Л РТЕДЕМШОПНХ ЪОБЮЕОЙА, ЛПФПТПЕ ОБЪЩЧБЕФУС НЗОПЧЕООПК УЛПТПУФША. йФБЛ, НЗОПЧЕООБС УЛПТПУФШ v ЕУФШ РТЕДЕМ, Л ЛПФПТПНХ УФТЕНЙФУС УТЕДОСС УЛПТПУФШ v_УТ, ЛПЗДБ РТПНЕЦХФПЛ ЧТЕНЕОЙ ДЧЙЦЕОЙС УФТЕНЙФУС Л ОХМА:

йЪ ЛХТУБ НБФЕНБФЙЛЙ ЙЪЧЕУФОП, ЮФП РТЕДЕМ ПФОПЫЕОЙС РТЙТБЭЕОЙС ЖХОЛГЙЙ Л РТЙТБЭЕОЙА БТЗХНЕОФБ, ЛПЗДБ РПУМЕДОЙК УФТЕНЙФУС Л ОХМА РТЕДУФБЧМСЕФ УПВПК РЕТЧХА РТПЙЪЧПДОХА ЬФПК ЖХОЛГЙЙ РП ДБООПНХ БТЗХНЕОФХ. рПЬФПНХ:

нЗОПЧЕООБС УЛПТПУФШ v ЕУФШ ЧЕЛФПТОБС ЧЕМЙЮЙОБ, ТБЧОБС РЕТЧПК РТПЙЪЧПДОПК ТБДЙХУБ — ЧЕЛФПТБ ДЧЙЦХЭЕКУС ФПЮЛЙ РП ЧТЕНЕОЙ. фБЛ ЛБЛ УЕЛХЭБС Ч РТЕДЕМЕ УПЧРБДБЕФ У ЛБУБФЕМШОПК, ФП ЧЕЛФПТ УЛПТПУФЙ v ОБРТБЧМЕО РП ЛБУБФЕМШОПК Л ФТБЕЛФПТЙЙ Ч УФПТПОХ ДЧЙЦЕОЙС (ТЙУХОПЛ 1.2).

рП НЕТЕ ХНЕОШЫЕОЙЕ ∆t РХФШ ∆S ЧУЕ ВПМШЫЕ ВХДЕФ РТЙВМЙЦБФШУС Л |∆r|, РПЬФПНХ НПДХМШ НЗОПЧЕООПК УЛПТПУФЙ:

фБЛЙН ПВТБЪПН, НПДХМШ НЗОПЧЕООПК УЛПТПУФЙ v ТБЧЕО РЕТЧПК РТПЙЪЧПДОПК РХФЙ РП ЧТЕНЕОЙ :

рТЙ ОЕТБЧОПНЕТОПН ДЧЙЦЕОЙЙ ФЕМБ ЕЗП УЛПТПУФШ ОЕРТЕТЩЧОП ЙЪНЕОСЕФУС. лБЛ ВЩУФТП ЙЪНЕОСЕФУС УЛПТПУФШ ФЕМБ, РПЛБЪЩЧБЕФ ЧЕМЙЮЙОБ, ЛПФПТБС ОБЪЩЧБЕФУС ХУЛПТЕОЙЕН. уТЕДОЙН ХУЛПТЕОЙЕН ОЕТБЧОПНЕТОПЗП ДЧЙЦЕОЙС Ч ЙОФЕТЧБМЕ ПФ t ДП t + ∆t ОБЪЩЧБЕФУС ЧЕЛФПТОБС ЧЕМЙЮЙОБ, ТБЧОБС ПФОПЫЕОЙА ЙЪНЕОЕОЙС УЛПТПУФЙ ∆v Л ЙОФЕТЧБМХ ЧТЕНЕОЙ ∆t:

нЗОПЧЕООЩН ХУЛПТЕОЙЕН Б Ч НПНЕОФ ЧТЕНЕОЙ t ВХДЕФ РТЕДЕМ УТЕДОЕЗП ХУЛПТЕОЙС:

фБЛЙН ПВТБЪПН, ХУЛПТЕОЙЕ ∆Б ЕУФШ ЧЕЛФПТОБС ЧЕМЙЮЙОБ, ТБЧОБС РЕТЧПК РТПЙЪЧПДОПК УЛПТПУФЙ РП ЧТЕНЕОЙ. ч ДБООПК УЙУФЕНЕ ПФУЮЕФБ ЧЕЛФПТ ХУЛПТЕОЙС НПЦЕФ ВЩФШ ЪБДБО РТПЕЛГЙСНЙ ОБ УППФЧЕФУФЧХАЭЙЕ ЛППТДЙОБФОЩЕ ПУЙ (РТПЕЛГЙСНЙ Б_И, Б_Х, Б_z).

уПУФБЧМСАЭБС Б_τ ЧЕЛФПТБ ХУЛПТЕОЙС, ОБРТБЧМЕООБС ЧДПМШ ЛБУБФЕМШОПК Л ФТБЕЛФПТЙЙ Ч ДБООПК ФПЮЛЕ, ОБЪЩЧБЕФУС ФБОЗЕОГЙБМШОЩН (ЛБУБФЕМШОЩН) ХУЛПТЕОЙЕН. фБОЗЕОГЙБМШОПЕ ХУЛПТЕОЙЕ ИБТБЛФЕТЙЪХЕФ ЙЪНЕОЕОЙЕ ЧЕЛФПТБ УЛПТПУФЙ РП НПДХМА. чЕЛФПТ Б_τ ОБРТБЧМЕО Ч УФПТПОХ ДЧЙЦЕОЙС ФПЮЛЙ РТЙ ЧПЪТБУФБОЙЙ ЕЕ УЛПТПУФЙ (ТЙУХОПЛ 1.3 — Б) Й Ч РТПФЙЧПРПМПЦОХА УФПТПОХ — РТЙ ХВЩЧБОЙЙ УЛПТПУФЙ (ТЙУХОПЛ 1.3 — В).

фБОЗЕОГЙБМШОБС УПУФБЧМСАЭБС ХУЛПТЕОЙС Б_τ ТБЧОБ РЕТЧПК РТПЙЪЧПДОПК РП ЧТЕНЕОЙ ПФ НПДХМС УЛПТПУФЙ, ПРТЕДЕМСС ФЕН УБНЩН ВЩУФТПФХ ЙЪНЕОЕОЙС УЛПТПУФЙ РП НПДХМА:

чФПТБС УПУФБЧМСАЭБС ХУЛПТЕОЙС, ТБЧОБС:

ОБЪЩЧБЕФУС ОПТНБМШОПК УПУФБЧМСАЭЕК ХУЛПТЕОЙС Й ОБРТБЧМЕОБ РП ОПТНБМЙ Л ФТБЕЛФПТЙЙ Л ГЕОФТХ ЕЕ ЛТЙЧЙЪОЩ (РПЬФПНХ ЕЕ ОБЪЩЧБАФ ФБЛ ЦЕ ГЕОФТПУФТЕНЙФЕМШОЩН ХУЛПТЕОЙЕН).

рПМОПЕ ХУЛПТЕОЙЕ ЕУФШ ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛБС УХННБ ФБОЗЕОГЙБМШОПК Й ОПТНБМШОПК УПУФБЧМСАЭЙИ:

рТЙНЕТ 1. рХУФШ И ЧПЪТБУФБЕФ РТПРПТГЙПОБМШОП ЛЧБДТБФХ ЧТЕНЕОЙ, Ф.Е. И = б·t 2 . юЕНХ ТБЧОБ НЗОПЧЕООБС УЛПТПУФШ Ч НПНЕОФ ЧТЕНЕОЙ t₁ — ?

тЕЫЕОЙЕ: ч ПВЭЕН УМХЮБЕ РТПЙЪЧПДОБС ПФ УФЕРЕООПК ЖХОЛГЙЙ t n ЪБРЙУЩЧБЕФУС Ч ЧЙДЕ:

нЗОПЧЕООБС УЛПТПУФШ ПРТЕДЕМСЕФУС:

пФЧЕФ: ч НПНЕОФ ЧТЕНЕОЙ t₁ ЙНЕЕН v = 2·Б·t₁.

рТЙНЕТ 2. ъБЧЙУЙНПУФШ РТПКДЕООПЗП ФЕМПН РХФЙ S ПФ ЧТЕНЕОЙ t ЪБДБЕФУС ХТБЧОЕОЙЕН S = At — Bt 2 + Ct 3 , ЗДЕ б = 2 Н/У, ч = 3 Н/У 2 , у = 4 Н/У 3 .

оБКФЙ: Б) ЪБЧЙУЙНПУФШ УЛПТПУФЙ v Й ХУЛПТЕОЙС a ФЕМБ ПФ ЧТЕНЕОЙ t;

В) ТБУУФПСОЙЕ S, УЛПТПУФШ v Й ХУЛПТЕОЙЕ Б ФЕМБ ЮЕТЕЪ ЧТЕНС t =2 У РПУМЕ ОБЮБМБ ДЧЙЦЕОЙС.

S = At — Bt 2 + Ct 3 , б = 2 Н/У, ч = 3 Н/У 2 , у = 4 Н/У 3 ;

В) S -? , V -? , a-? РТЙ t = 2 c.

Б) уЛПТПУФШ ФЕМБ: v = ds /dt ; v = A — 2Bt + 3Ct 2 ; v = 2 — 6t + 12t 2 Н/У. хУЛПТЕОЙЕ ФЕМБ: Б = dv /dt; Б= — 2B + 6уt; a = — 6 + 24t Н/У 2 .

В) тБУУФПСОЙЕ, РТПКДЕООПЕ ФЕМПН, S = 2t — 3t 2 + 4t 3 . фПЗДБ ЮЕТЕЪ ЧТЕНС t = 2c ЙНЕЕН: S = 24 Н; v = 38 Н/У; Б = 42 Н/У 2 .

пФЧЕФ: v = 2 — 6t + 12t 2 ; a = — 6 + 24 t Н/У 2 ; S = 24 Н; v = 38 Н/У; Б = 42 Н/У 2 .

1.1.4 тБЧОПРЕТЕНЕООПЕ РТСНПМЙОЕКОПЕ ДЧЙЦЕОЙЕ

тБЧОПРЕТЕНЕООЩН ОБЪЩЧБЕФУС ДЧЙЦЕОЙЕ, РТЙ ЛПФПТПН УЛПТПУФШ ФЕМБ (НБФЕТЙБМШОПК ФПЮЛЙ) ЪБ МАВЩЕ ТБЧОЩЕ РТПНЕЦХФЛЙ ЧТЕНЕОЙ ЙЪНЕОСЕФУС ПДЙОБЛПЧП, Ф.Е. ОБ ТБЧОЩЕ ЧЕМЙЮЙОЩ. ьФП ДЧЙЦЕОЙЕ НПЦЕФ ВЩФШ ТБЧОПХУЛПТЕООЩН Й ТБЧОПЪБНЕДМЕООЩН.

еУМЙ ОБРТБЧМЕОЙЕ ХУЛПТЕОЙС Б УПЧРБДБЕФ У ОБРТБЧМЕОЙЕН УЛПТПУФЙ v ФПЮЛЙ, ДЧЙЦЕОЙЕ ОБЪЩЧБЕФУС ТБЧОПХУЛПТЕООЩН. еУМЙ ОБРТБЧМЕОЙЕ ЧЕЛФПТПЧ Б Й v РТПФЙЧПРПМПЦОЩ, ДЧЙЦЕОЙЕ ОБЪЩЧБЕФУС ТБЧОПЪБНЕДМЕООЩН.

рТЙ ТБЧОПРЕТЕНЕООПН РТСНПМЙОЕКОПН ДЧЙЦЕОЙЙ ХУЛПТЕОЙЕ ПУФБЕФУС РПУФПСООЩН Й РП НПДХМА Й РП ОБРТБЧМЕОЙА (Б = const). рТЙ ЬФПН УТЕДОЕЕ ХУЛПТЕОЙЕ Б_УТ ТБЧОП НЗОПЧЕООПНХ ХУЛПТЕОЙА Б ЧДПМШ ФТБЕЛФПТЙЙ ФПЮЛЙ. оПТНБМШОПЕ ХУЛПТЕОЙЕ РТЙ ЬФПН ПФУХФУФЧХЕФ ( Б_n=0 ).

йЪНЕОЕОЙЕ УЛПТПУФЙ ∆v = v — v₀ Ч ФЕЮЕОЙЙ РТПНЕЦХФЛБ ЧТЕНЕОЙ ∆t = t — t₀ РТЙ ТБЧОПРЕТЕНЕООПН РТСНПМЙОЕКОПН ДЧЙЦЕОЙЙ ТБЧОП: ∆v = a·∆t, ЙМЙ v — v₀ = a·(t — t₀). еУМЙ Ч НПНЕОФ ОБЮБМБ ПФУЮЕФБ ЧТЕНЕОЙ (t₀) УЛПТПУФШ ФПЮЛЙ ТБЧОБ v₀ (ОБЮБМШОБС УЛПТПУФШ) Й ХУЛПТЕОЙЕ Б ЙЪЧЕУФОП, ФП УЛПТПУФШ v Ч РТПЙЪЧПМШОЩК НПНЕОФ ЧТЕНЕОЙ t: v = v₀ + a·t. рТПЕЛГЙС ЧЕЛФПТБ УЛПТПУФЙ ОБ ПУШ пи УЧСЪБОБ У УППФЧЕФУФЧХАЭЙНЙ РТПЕЛГЙСНЙ ЧЕЛФПТПЧ ОБЮБМШОПК УЛПТПУФЙ Й ХУЛПТЕОЙС ХТБЧОЕОЙЕН: v_И = v_0И ± a_И·t. бОБМПЗЙЮОП ЪБРЙУЩЧБАФУС ХТБЧОЕОЙС ДМС РТПЕЛГЙК ЧЕЛФПТБ УЛПТПУФЙ ОБ ДТХЗЙЕ ЛППТДЙОБФОЩЕ ПУЙ.

чЕЛФПТ РЕТЕНЕЭЕОЙС ∆r ФПЮЛЙ ЪБ РТПНЕЦХФПЛ ЧТЕНЕОЙ ∆t = t — t₀ РТЙ ТБЧОПРЕТЕНЕООПН РТСНПМЙОЕКОПН ДЧЙЦЕОЙЙ У ОБЮБМШОПК УЛПТПУФША v₀ Й ХУЛПТЕОЙЕН Б ТБЧЕО:

Б ЕЗП РТПЕЛГЙС ОБ ПУШ пи (ЙМЙ РЕТЕНЕЭЕОЙЕ ФПЮЛЙ ЧДПМШ УППФЧЕФУФЧХАЭЕК ПУЙ ЛППТДЙОБФ) РТЙ t₀ = 0 ТБЧОБ:

рХФШ S_x, РТПКДЕООЩК ФПЮЛПК ЪБ РТПНЕЦХФПЛ ЧТЕНЕОЙ ∆t = t — t₀ Ч ТБЧОПРЕТЕНЕООПН РТСНПМЙОЕКОПН ДЧЙЦЕОЙЙ У ОБЮБМШОПК УЛПТПУФША v₀ Й ХУЛПТЕОЙЕН Б, РТЙ t₀ = 0 ТБЧЕО:

фБЛ ЛБЛ ЛППТДЙОБФБ ФЕМБ ТБЧОБ И = И₀ + S, ФП ХТБЧОЕОЙЕ ДЧЙЦЕОЙС ФЕМБ ЙНЕЕФ ЧЙД:

чПЪНПЦОП ФБЛ ЦЕ РТЙ ТЕЫЕОЙЙ ЪБДБЮ ЙУРПМШЪПЧБФШ ЖПТНХМХ:

рТЙНЕТ 1. хУЛПТЕОЙЕ БЧФПНПВЙМС ТБЧОП Б = — 4 Н/У₂. юФП ЬФП ПЪОБЮБЕФ?

тЕЫЕОЙЕ: хУЛПТЕОЙЕ БЧФПНПВЙМС ПФТЙГБФЕМШОП, УМЕДПЧБФЕМШОП, УЛПТПУФШ ЕЗП ХНЕОШЫБЕФУС, Ф.Е. БЧФПНПВЙМШ ФПТНПЪЙФ. еЗП УЛПТПУФШ ХНЕОШЫБЕФУС ОБ 4 Н/У ЪБ ЛБЦДХА УЕЛХОДХ.

рТЙНЕТ 2. дЧБ ЧЕМПУЙРЕДЙУФБ ЕДХФ ОБЧУФТЕЮХ ДТХЗ ДТХЗХ. пДЙО, ЙНЕС УЛПТПУФШ 18 ЛН/Ю, ДЧЙЦЕФУС ТБЧОПЪБНЕДМЕООП, У ХУЛПТЕОЙЕН 20 УН/У 2 , ДТХЗПК, ЙНЕС УЛПТПУФШ 5,4 ЛН/Ю, ДЧЙЦЕФУС ТБЧОПХУЛПТЕООП У ХУЛПТЕОЙЕН 0,2 Н/У 2 . юЕТЕЪ ЛБЛПЕ ЧТЕНС ЧЕМПУЙРЕДЙУФЩ ЧУФТЕФСФУС Й ЛБЛПЕ РЕТЕНЕЭЕОЙЕ УПЧЕТЫЙФ ЛБЦДЩК ЙЪ ОЙИ ДП ЧУФТЕЮЙ, ЕУМЙ ТБУУФПСОЙЕ НЕЦДХ ОЙНЙ Ч ОБЮБМШОЩК НПНЕОФ ЧТЕНЕОЙ 130 Н?

v₀₁ = 18 ЛН/Ю = 5 Н/У,

a₁ = 20 УН/У 2 = 0,2 Н/У 2 ,

Б)	В)
тЕЫЕОЙЕ: рХУФШ ПУШ пи УПЧРБДБЕФ У ОБРТБЧМЕОЙЕН ДЧЙЦЕОЙС РЕТЧПЗП ЧЕМПУЙРЕДЙУФБ, Б ОБЮБМП ЛППТДЙОБФ У ФПЮЛПК O, Ч ЛПФПТПК ПО ОБИПДЙМУС Ч НПНЕОФ ЧТЕНЕОЙ t = 0 (ТЙУХОПЛ 1.4). фПЗДБ ХТБЧОЕОЙС ДЧЙЦЕОЙС ЧЕМПУЙРЕДЙУФБ ФБЛПЧЩ : (Ф.Л. Б1И= — Б1; И01 = 0); (Ф.Л. v2x = — v02 Й a2x = — a2). ч НПНЕОФ ЧУФТЕЮЙ Ч ФПЮЛЕ б: t = t1; x1 = x2. фПЗДБ РПМХЮЙН ТБЧЕОУФЧП: , ПФЛХДБ v01·t1 + v02·t1 = И02, Ф.Л. Б1 = Б2, пРТЕДЕМЙН РЕТЕНЕЭЕОЙЕ ЛБЦДПЗП ДП ЧУФТЕЮЙ. 1.1.5 уЧПВПДОПЕ РБДЕОЙЕ ФЕМ. дЧЙЦЕОЙЕ ФЕМБ, ВТПЫЕООПЗП ЧЕТФЙЛБМШОП ЧЧЕТИ уЧПВПДОЩН РБДЕОЙЕН ОБЪЩЧБЕФУС ДЧЙЦЕОЙЕ, ЛПФПТПЕ УПЧЕТЫЙМП ВЩ ФЕМП ФПМШЛП РПД ДЕКУФЧЙЕН УЙМЩ ФСЦЕУФЙ ВЕЪ ХЮЕФБ УПРТПФЙЧМЕОЙС ЧПЪДХИБ. рТЙ УЧПВПДОПН РБДЕОЙЙ ФЕМБ У ОЕВПМШЫПК ЧЩУПФЩ h ПФ РПЧЕТИОПУФЙ ъЕНМЙ (h ≪RЪ, ЗДЕ RЪ — ТБДЙХУ ъЕНМЙ) ПОП ДЧЙЦЕФУС У РПУФПСООЩН ХУЛПТЕОЙЕН g, ОБРТБЧМЕООЩН ЧЕТФЙЛБМШОП ЧОЙЪ. хУЛПТЕОЙЕ g ОБЪЩЧБЕФУС ХУЛПТЕОЙЕН УЧПВПДОПЗП РБДЕОЙС. пОП ПДОП Й ФПЦЕ ДМС ЧУЕИ ФЕМ Й ЪБЧЙУЙФ МЙЫШ ПФ ЧЩУПФЩ ОБД ХТПЧОЕН НПТС Й ПФ ЗЕПЗТБЖЙЮЕУЛПК ЫЙТПФЩ. еУМЙ Ч НПНЕОФ ОБЮБМБ ПФУЮЕФБ ЧТЕНЕОЙ (t0 = 0) ФЕМП ЙНЕМП УЛПТПУФШ v0, ФП РП ЙУФЕЮЕОЙЙ РТПЙЪЧПМШОПЗП РТПНЕЦХФЛБ ЧТЕНЕОЙ ∆t = t — t0 УЛПТПУФШ ФЕМБ РТЙ УЧПВПДОПН РБДЕОЙЙ ВХДЕФ: v = v0 + g·t. рХФШ h, РТПКДЕООЩК ФЕМПН Ч УЧПВПДОПН РБДЕОЙЙ, Л НПНЕОФХ ЧТЕНЕОЙ t: нПДХМШ УЛПТПУФЙ ФЕМБ РПУМЕ РТПИПЦДЕОЙС Ч УЧПВПДОПН РБДЕОЙЙ РХФЙ h ОБИПДЙФУС ЙЪ ЖПТНХМЩ: рТПДПМЦЙФЕМШОПУФШ ∆t УЧПВПДОПЗП РБДЕОЙС ВЕЪ ОБЮБМШОПК УЛПТПУФЙ (v0 = 0) У ЧЩУПФЩ h: рТЙНЕТ 1. фЕМП РБДБЕФ ЧЕТФЙЛБМШОП ЧОЙЪ У ЧЩУПФЩ 20 Н ВЕЪ ОБЮБМШОПК УЛПТПУФЙ. пРТЕДЕМЙФШ: 1) РХФШ h, РТПКДЕООЩК ФЕМПН ЪБ РПУМЕДОАА УЕЛХОДХ РБДЕОЙС, 2) УТЕДОАА УЛПТПУФШ РБДЕОЙС vУТ, 3) УТЕДОАА УЛПТПУФШ ОБ ЧФПТПК РПМПЧЙОЕ РХФЙ vУТ2.	тЕЫЕОЙЕ: оБРТБЧЙН ПУШ Х ЧЕТФЙЛБМШОП ЧОЙЪ, Й РХУФШ ОБЮБМП ЛППТДЙОБФ УПЧРБДБЕФ У ОБЮБМШОЩН РПМПЦЕОЙЕН ФЕМБ (ТЙУХОПЛ 1.5). 1) уПЗМБУОП ЖПТНХМЕ: ХТБЧОЕОЙЕ ДЧЙЦЕОЙС ЪБРЙЫЕФУС Ч ЧЙДЕ: Ч НПНЕОФ РБДЕОЙС ОБ ЪЕНМА Х = h0. пФУАДБ ЧТЕНС ДЧЙЦЕОЙС ФЕМБ: ъБ ЧТЕНС ( t — ∆t) ФЕМП РТПЫМП РХФШ рХФШ ЪБ РПУМЕДОАА УЕЛХОДХ ТБЧЕО: 2) фЕМП РТПЫМП РХФШ h0. чТЕНС ДЧЙЦЕОЙС . фПЗДБ УТЕДОСС УЛПТПУФШ РБДЕОЙС ЙМЙ , 3) дМС ПРТЕДЕМЕОЙС УТЕДОЕК УЛПТПУФЙ ОБ ЧФПТПК РПМПЧЙОЕ РХФЙ, ОЕПВИПДЙНП ХЪОБФШ ЧТЕНС, ЪБ ЛПФПТПЕ ЬФБ ЮБУФШ РХФЙ РТПКДЕОБ. чТЕНС ДЧЙЦЕОЙС ОБ ЧФПТПК РПМПЧЙОЕ РХФЙ ТБЧОП РПМОПНХ ЧТЕНЕОЙ РПМЕФБ t НЙОХУ ЧТЕНС t1, ЪБФТБЮЕООПЕ ОБ РТПИПЦДЕОЙЕ РЕТЧПК РПМПЧЙОЩ РХФЙ. чТЕНС t1 ОБИПДЙФУС ЙЪ ХТБЧОЕОЙС:	,Ф.Е.

фБЛЙН ПВТБЪПН,

уМЕДПЧБФЕМШОП,

рТЙ ДЧЙЦЕОЙЙ ФЕМБ ЧЕТФЙЛБМШОП ЧЧЕТИ У ОБЮБМШОПК УЛПТПУФША v₀, ХУЛПТЕОЙЕ ФЕМБ ТБЧОП ХУЛПТЕОЙА УЧПВПДОПЗП РБДЕОЙС g. оБ ХЮБУФЛЕ ДП ОБЙЧЩУЫЕК ФПЮЛЙ РПДЯЕНБ ДЧЙЦЕОЙЕ ФЕМБ СЧМСЕФУС ТБЧОПЪБНЕДМЕООЩН, Б РПУМЕ ДПУФЙЦЕОЙС ЬФПК ФПЮЛЙ — УЧПВПДОЩН РБДЕОЙЕН ВЕЪ ОБЮБМШОПК УЛПТПУФЙ.

уЛПТПУФШ ФЕМБ Ч РТПЙЪЧПМШОЩК НПНЕОФ ЧТЕНЕОЙ t ПФ ОБЮБМБ ДЧЙЦЕОЙС ОЕЪБЧЙУЙНП ПФ ФПЗП, ТБУУНБФТЙЧБЕФУС МЙЫШ РПДЯЕН ФЕМБ ЙМЙ ЕЗП ПРХУЛБОЙЕ РПУМЕ ДПУФЙЦЕОЙС ОБЙЧЩУЫЕК ФПЮЛЙ, ТБЧОБ v = v₀ + g·t.

чЕЛФПТ РЕТЕНЕЭЕОЙС ∆r ФЕМБ ЪБ РТПЙЪЧПМШОЩК РТПНЕЦХФПЛ ЧТЕНЕОЙ ∆t = t — t₀, РТЙ ХУМПЧЙЙ t₀ = 0, ТБЧЕО:

ч НПНЕОФ ЧТЕНЕОЙ t_РПД, УППФЧЕФУФЧХАЭЙК ОБЙВПМШЫЕНХ РПДЯЕНХ ФЕМБ ОБД ФПЮЛПК ВТПУБОЙС (ЛПЗДБ Х = Х_НБИ ЙМЙ ЧЩУПФБ РПДЯЕНБ ФЕМБ НБЛУЙНБМШОБ h = h_max = Х_max — Х₀) УЛПТПУФШ ФЕМБ УФБОЕФ ТБЧОБ ОХМА: v = v₀ — g·t_РПД = 0, ПФЛХДБ t_РПД = v₀/g, Ч ЬФПФ НПНЕОФ ОБРТБЧМЕОЙЕ ДЧЙЦЕОЙС ФЕМБ ЙЪНЕОСЕФУС ОБ РТПФЙЧПРПМПЦОПЕ.

нБЛУЙНБМШОБС ЧЩУПФБ РПДЯЕНБ ФЕМБ ОБД ФПЮЛПК ВТПУБОЙС:

1.1.6 дЧЙЦЕОЙЕ ФЕМБ, ВТПЫЕООПЗП РПД ХЗМПН Л ЗПТЙЪПОФХ Й ВТПЫЕООПЗП ЗПТЙЪПОФБМШОП У ОЕЛПФПТПК ЧЩУПФЩ

дЧЙЦЕОЙЕ ФЕМБ, ВТПЫЕООПЗП У ОЕЛПФПТПК ЧЩУПФЩ, НПЦОП ТБЪМПЦЙФШ ОБ ДЧБ ОЕЪБЧЙУЙНЩИ ДЧЙЦЕОЙС: ТБЧОПНЕТОПЕ РТСНПМЙОЕКОПЕ, РТПЙУИПДСЭЕЕ Ч ЗПТЙЪПОФБМШОПН ОБРТБЧМЕОЙЙ УП УЛПТПУФША υ_И , ТБЧОПК ОБЮБМШОПК УЛПТПУФЙ ВТПУБОЙС υ₀ (υ_И = υ₀), Й УЧПВПДОПЕ РБДЕОЙЕ У ЧЩУПФЩ, ОБ ЛПФПТПК ОБИПДЙМПУШ ФЕМП Ч НПНЕОФ ВТПУБОЙС, У ХУЛПТЕОЙЕН g. дМС ПРЙУБОЙС ЬФПЗП ДЧЙЦЕОЙС ЧЩВЙТБАФ РТСНПХЗПМШОХА УЙУФЕНХ ЛППТДЙОБФ ИпХ. фТБЕЛФПТЙС ДЧЙЦЕОЙС СЧМСЕФУС ЧЕФЧШ РБТБВПМЩ (ТЙУХОПЛ 1.6).

хТБЧОЕОЙЕ ДЧЙЦЕОЙС РП ПУСН пИ Й пХ:

уЛПТПУФШ ФЕМБ Ч МАВПК ФПЮЛЕ ФТБЕЛФПТЙЙ НПЦОП ПРТЕДЕМЙФШ РП ЖПТНХМЕ:

рТЙ ЬФПН ЧТЕНС РПМЕФБ УЧСЪБОП У ЧЕТФЙЛБМШОПК УПУФБЧМСАЭЕК ДЧЙЦЕОЙС. дБМШОПУФШ РПМЕФБ — У ЗПТЙЪПОФБМШОПК.

рТЙНЕТ 1. у ВБЫОЙ ЧЩУПФПК о = 25 Н ЗПТЙЪПОФБМШОП ВТПЫЕО ЛБНЕОШ УП УЛПТПУФША υ₀ = 15 Н/У. оБКФЙ: УЛПМШЛП ЧТЕНЕОЙ ЛБНЕОШ ВХДЕФ Ч ДЧЙЦЕОЙЙ; ОБ ЛБЛПН ТБУУФПСОЙЙ S_x ПФ ПУОПЧБОЙЙ ВБЫОЙ ПО ХРБДЕФ ОБ ЪЕНМА; У ЛБЛПК УЛПТПУФША υ ПО ХРБДЕФ ОБ ЪЕНМА; ЛБЛПК ХЗПМ φ УПУФБЧЙФ ФТБЕЛФПТЙС ЛБНОС У ЗПТЙЪПОФПН Ч ФПЮЛЕ ЕЗП РБДЕОЙС ОБ ЪЕНМА.

рЕТЕНЕЭЕОЙЕ ВТПЫЕООПЗП ЗПТЙЪПОФБМШОП ЛБНОС НПЦОП ТБЪМПЦЙФШ ОБ ДЧБ (ТЙУХОПЛ 1.7): ЗПТЙЪПОФБМШОПЕ S_x Й ЧЕТФЙЛБМШОПЕ S_y.

рТЙНЕОСС ЪБЛПО ОЕЪБЧЙУЙНПУФЙ ДЧЙЦЕОЙС, ЙНЕЕН:

, , ПФУАДБ,

1)

2) S_x = L = v₀·t = 15 · 2,26 = 33,9 Н;

3) v_Х = g · t = 9,81 · 2,26 = 22,1 Н/У,

4)

дЧЙЦЕОЙЕ ФЕМБ, ВТПЫЕООПЗП РПД ХЗМПН Л ЗПТЙЪПОФХ, ФБЛЦЕ НПЦОП ТБЪМПЦЙФШ ОБ ДЧБ ОЕЪБЧЙУЙНЩИ ДЧЙЦЕОЙС: ТБЧОПНЕТОПЕ РТСНПМЙОЕКОПЕ, РТПЙУИПДСЭЕЕ Ч ЗПТЙЪПОФБМШОПН ОБРТБЧМЕОЙЙ У ОБЮБМШОПК УЛПТПУФША v_0И = v₀·Cosα Й УЧПВПДОПЕ РБДЕОЙЕ У ОБЮБМШОПК УЛПТПУФША v_0Х = v₀·Sinα, (ТЙУХОПЛ 1.8). зДЕ α — ХЗПМ НЕЦДХ ОБРТБЧМЕОЙСНЙ ЧЕЛФПТБ УЛПТПУФЙ υ₀ Й ПУША пИ. фТБЕЛФПТЙЕК ФБЛПЗП ДЧЙЦЕОЙС СЧМСЕФУС РБТБВПМБ. хТБЧОЕОЙС ДЧЙЦЕОЙС РТЙНХФ ЧЙД:

уЛПТПУФШ ФЕМБ Ч МАВПК ФПЮЛЕ ФТБЕЛФПТЙЙ:

рТЙНЕТ 2. фЕМП ВТПЫЕОП РПД ХЗМПН α Л ЗПТЙЪПОФХ У ОБЮБМШОПК УЛПТПУФША υ₀. пРТЕДЕМЙФШ ЧТЕНС РПМЕФБ t, НБЛУЙНБМШОХА ЧЩУПФХ о РПДЯЕНБ Й ДБМШОПУФШ L РПМЕФБ.

тЕЫЕОЙЕ: лБЛ ПВЩЮОП ЪБДБЮБ ОБЮЙОБЕФУС У ЧЩСЧМЕОЙС УЙМ, ДЕКУФЧХАЭЙИ ОБ ФЕМП. оБ ФЕМП ДЕКУФЧХЕФ ФПМШЛП УЙМБ ФСЦЕУФЙ, РПЬФПНХ Ч ЗПТЙЪПОФБМШОПН ОБРТБЧМЕОЙЙ ПОП РЕТЕНЕЭБЕФУС ТБЧОПНЕТОП, Б Ч ЧЕТФЙЛБМШОПН — ТБЧОПРЕТЕНЕООП У ХУЛПТЕОЙЕН g.

вХДЕН ТБУУНБФТЙЧБФШ ЧЕТФЙЛБМШОХА Й ЗПТЙЪПОФБМШОХА УПУФБЧМСАЭЙЕ ДЧЙЦЕОЙС ФЕМБ РП ПФДЕМШОПУФЙ, ДМС ЬФПЗП ТБЪМПЦЙН ЧЕЛФПТ ОБЮБМШОПК УЛПТПУФЙ ОБ ЧЕТФЙЛБМШОХА ( υ₀·Sinα ) Й ЗПТЙЪПОФБМШОХА ( υ₀·Cosα ) УПУФБЧМСАЭЙЕ (ТЙУХОПЛ 1.9).

оБЮОЕН ТБУУНБФТЙЧБФШ ЧЕТФЙЛБМШОХА УПУФБЧМСАЭХА ДЧЙЦЕОЙС. чТЕНС РПМЕФБ t = t₁ + t₂, ЗДЕ t₁ — ЧТЕНС РПДЯЕНБ (ФЕМП ДЧЙЦЕФУС РП ЧЕТФЙЛБМЙ ТБЧОПЪБНЕДМЕООП), t₂ — ЧТЕНС УРХУЛБ (ФЕМП ДЧЙЦЕФУС РП ЧЕТФЙЛБМЙ ТБЧОПХУЛПТЕООП).

чЕТФЙЛБМШОБС УЛПТПУФШ ФЕМБ Ч ОБЙЧЩУЫЕК ФПЮЛЕ ФТБЕЛФПТЙЙ (РТЙ t = t₁) ТБЧОБ ПЮЕЧЙДОП ОХМА. у ДТХЗПК УФПТПОЩ, ЬФБ УЛПТПУФШ НПЦЕФ ВЩФШ ЧЩТБЦЕОБ РТЙ РПНПЭЙ ЖПТНХМЩ ЪБЧЙУЙНПУФЙ УЛПТПУФЙ ТБЧОПЪБНЕДМЕООПЗП ДЧЙЦЕОЙС ПФ ЧТЕНЕОЙ.

пФУАДБ, РПМХЮБЕН: 0 = υ₀Sinα — g·t₁ ЙМЙ

(1.2)

рПДУФБЧЙН (1.1) Ч (1.2)

чТЕНС УРХУЛБ t₂ НПЦОП ЧЩЮЙУМЙФШ, ТБУУНПФТЕЧ РБДЕОЙЕ ФЕМБ У ЙЪЧЕУФОПК ЧЩУПФЩ о ВЕЪ ОБЮБМШОПК ЧЕТФЙЛБМШОПК УЛПТПУФЙ:

рПМОПЕ ЧТЕНС РПМЕФБ:

дМС ОБИПЦДЕОЙС ДБМШОПУФЙ РПМЕФБ L ОЕПВИПДЙНП ПВТБФЙФШУС Л ЗПТЙЪПОФБМШОПК УПУФБЧМСАЭЕК ДЧЙЦЕОЙС ФЕМБ. лБЛ ХЦЕ ПФНЕЮБМПУШ, РП ЗПТЙЪПОФБМЙ ФЕМП РЕТЕНЕЭБЕФУС ТБЧОПНЕТОП.

1.1.7 тБЧОПРЕТЕНЕООПЕ ДЧЙЦЕОЙЕ ФПЮЛЙ РП ПЛТХЦОПУФЙ

дЧЙЦЕОЙЕ РП ПЛТХЦОПУФЙ СЧМСЕФУС РТПУФЕКЫЙН РТЙНЕТПН ЛТЙЧПМЙОЕКОПЗП ДЧЙЦЕОЙС. уЛПТПУФШ υ ДЧЙЦЕОЙС РП ПЛТХЦОПУФЙ ОБЪЩЧБЕФУС МЙОЕКОПК (ПЛТХЦОПК) УЛПТПУФША. рТЙ ТБЧОПНЕТОПН ДЧЙЦЕОЙЙ РП ПЛТХЦОПУФЙ НПДХМШ НЗОПЧЕООПК УЛПТПУФЙ НБФЕТЙБМШОПК ФПЮЛЙ У ФЕЮЕОЙЕН ЧТЕНЕОЙ ОЕ ЙЪНЕОСЕФУС. дЧЙЦХЭБСУС ФПЮЛБ ЪБ ТБЧОЩЕ РТПНЕЦХФЛЙ ЧТЕНЕОЙ РТПИПДЙФ ТБЧОЩЕ РП ДМЙОЕ ДХЗЙ ПЛТХЦОПУФЙ. фБОЗЕОГЙБМШОПЕ ХУЛПТЕОЙЕ РТЙ ТБЧОПНЕТОПН ДЧЙЦЕОЙЙ ФПЮЛЙ РП ПЛТХЦОПУФЙ ПФУХФУФЧХЕФ ( a_τ ). йЪНЕОЕОЙЕ ЧЕЛФПТБ УЛПТПУФЙ υ РП ОБРТБЧМЕОЙА ИБТБЛФЕТЙЪХЕФУС ОПТНБМШОЩН ХУЛПТЕОЙЕН a_n, ЛПФПТПЕ ОБЪЩЧБЕФУС ФБЛЦЕ ГЕОФТПУФТЕНЙФЕМШОЩН ХУЛПТЕОЙЕН.

ч ЛБЦДПК ФПЮЛЕ ФТБЕЛФПТЙЙ ЧЕЛФПТ a_n ОБРТБЧМЕО РП ТБДЙХУХ Л ГЕОФТХ ПЛТХЦОПУФЙ, Б ЕЗП НПДХМШ ТБЧЕО:

рТЙ ПРЙУБОЙЙ НЕИБОЙЮЕУЛПЗП ДЧЙЦЕОЙС, Ч ЮБУФОПУФЙ ДЧЙЦЕОЙС РП ПЛТХЦОПУФЙ, ОБТСДХ У РТСНПХЗПМШОПК ДЕЛБТФПЧПК УЙУФЕНПК ЛППТДЙОБФ ЙУРПМШЪХЕФУС РПМСТОБС УЙУФЕНБ ЛППТДЙОБФ. рПМПЦЕОЙЕ ФПЮЛЙ н ОБ ЛБЛПК-ФП РМПУЛПУФЙ (ОБРТЙНЕТ, ипх) ПРТЕДЕМСЕФУС ДЧХНС РПМСТОЩНЙ ЛППТДЙОБФБНЙ: НПДХМЕН r ТБДЙХУБ ЧЕЛФПТБ ФПЮЛЙ Й ХЗМПН φ — ХЗМПЧПК ЛППТДЙОБФПК, ЙМЙ РПМСТОЩН ХЗМПН (ТЙУХОПЛ 1.10).

хЗПМ φ ПФУЮЙФЩЧБЕФУС ПФ ПУЙ пи ДП ТБДЙХУБ-ЧЕЛФПТБ r РТПФЙЧ ЮБУПЧПК УФТЕМЛЙ. фПЮЛХ п Ч ЬФПН УМХЮБЕ ОБЪЩЧБАФ РПМАУПН УЙУФЕНЩ ЛППТДЙОБФ. уПЧНЕУФЙН РПМАУ ЛППТДЙОБФ УЙУФЕНЩ У ГЕОФТПН ПЛТХЦОПУФЙ, РП ЛПФПТПК ДЧЙЦЕФУС НБФЕТЙБМШОБС ФПЮЛБ; ФПЗДБ r = R (ТЙУХОПЛ 1.11), Б ЙЪНЕОЕОЙЕ РПМПЦЕОЙС ФПЮЛЙ ОБ ПЛТХЦОПУФЙ НПЦЕФ ВЩФШ ПИБТБЛФЕТЙЪПЧБОП ЙЪНЕОЕОЙЕН ∆φ ХЗМПЧПК ЛППТДЙОБФЩ ФПЮЛЙ: ∆φ = φ₂ -φ₁.

хЗПМ ∆φ ОБЪЩЧБЕФУС ХЗМПН РПЧПТПФБ ТБДЙХУБ — ЧЕЛФПТБ ФПЮЛЙ. ьМЕНЕОФБТОЩЕ (ВЕУЛПОЕЮОП НБМЩЕ) ХЗМЩ РПЧПТПФБ ТБУУНБФТЙЧБАФУС ЛБЛ ЧЕЛФПТЩ.

нПДХМШ ЧЕЛФПТБ dφ ТБЧЕО ХЗМХ РПЧПТПФБ. оБРТБЧМЕОЙЕ ЧЕЛФПТБ dφ УПЧРБДБЕФ У ОБРТБЧМЕОЙЕН РПУФХРБФЕМШОПЗП ДЧЙЦЕОЙС ПУФТЙС ЧЙОФБ, ЗПМПЧЛБ ЛПФПТПЗП, ЧТБЭБЕФУС Ч ОБРТБЧМЕОЙЙ ДЧЙЦЕОЙС ФПЮЛЙ РП ПЛТХЦОПУФЙ, Ф.Е. РПДЮЙОСЕФУС РТБЧЙМХ РТБЧПЗП ЧЙОФБ (ТЙУХОПЛ 1.12).

CТЕДОЕК ХЗМПЧПК УЛПТПУФША ДЧЙЦЕОЙС ФПЮЛЙ РП ПЛТХЦОПУФЙ ЧПЛТХЗ ПУЙ ОБЪЩЧБЕФУС ЧЕМЙЮЙОБ ω_cp, ТБЧОБС ПФОПЫЕОЙА ХЗМБ РПЧПТПФБ ∆φ ТБДЙХУ-ЧЕЛФПТБ ФПЮЛЙ ЪБ РТПНЕЦХФПЛ ЧТЕНЕОЙ ∆t Л ДМЙФЕМШОПУФЙ ЬФПЗП РТПНЕЦХФЛБ:

хЗМПЧПК УЛПТПУФША (НЗОПЧЕООПК ХЗМПЧПК УЛПТПУФША) ω ОБЪЩЧБЕФУС РТЕДЕМ, Л ЛПФПТПНХ УФТЕНЙФУС УТЕДОСС ХЗМПЧБС УЛПТПУФШ РТЙ ВЕУЛПОЕЮОПН ХНЕОШЫЕОЙЙ РТПНЕЦХФЛБ ЧТЕНЕОЙ ∆t, ЙМЙ РЕТЧБС РТПЙЪЧПДОБС ПФ ХЗМБ РПЧПТПФБ РП ЧТЕНЕОЙ:

чЕЛФПТ ω ОБРТБЧМЕО ЧДПМШ ПУЙ ЧТБЭЕОЙС РП РТБЧЙМХ РТБЧПЗП ЧЙОФБ, Ф.Е. ФБЛЦЕ ЛБЛ Й dφ (ТЙУХОПЛ 1.13).

рТЙ ТБЧОПНЕТОПН ДЧЙЦЕОЙЙ ФПЮЛЙ РП ПЛТХЦОПУФЙ ЪБ МАВЩЕ ТБЧОЩЕ РТПНЕЦХФЛЙ ЧТЕНЕОЙ ХЗМЩ РПЧПТПФБ ЕЕ ТБДЙХУ-ЧЕЛФПТБ ПДЙОБЛПЧЩ. уМЕДПЧБФЕМШОП, РТЙ ФБЛПН ДЧЙЦЕОЙЙ НЗОПЧЕООБС ХЗМПЧБС УЛПТПУФШ ТБЧОБ УТЕДОЕК ХЗМПЧПК УЛПТПУФЙ: ω = ω_cp. хЗПМ РПЧПТПФБ ∆ω ТБДЙХУ-ЧЕЛФПТБ ФПЮЛЙ, ТБЧОПНЕТОП ДЧЙЦХЭЕКУС РП ПЛТХЦОПУФЙ, ТБЧЕО:

рТПНЕЦХФПЛ ЧТЕНЕОЙ ф, Ч ФЕЮЕОЙЙ ЛПФПТПЗП ФПЮЛБ УПЧЕТЫБЕФ ПДЙО РПМОЩК ПВПТПФ РП ПЛТХЦОПУФЙ, ОБЪЩЧБЕФУС РЕТЙПДПН ПВТБЭЕОЙС (РЕТЙПДПН ЧТБЭЕОЙС), Б ЧЕМЙЮЙОБ υ, ПВТБФОБС РЕТЙПДХ:

,

ЮБУФПФПК ПВТБЭЕОЙС (ЮБУФПФПК ЧТБЭЕОЙС). ъБ ПДЙО РЕТЙПД ХЗПМ РПЧПТПФБ ТБДЙХУ-ЧЕЛФПТБ ФПЮЛЙ ТБЧЕО 2π ТБД, РПЬФПНХ 2π = ωT, ПФЛХДБ T = 2π/ω, ЙМЙ ω = 2π/ф = 2πν.

мЙОЕКОБС υ Й ХЗМПЧБС ω УЛПТПУФЙ УЧСЪБОЩ УППФОПЫЕОЙЕН: υ = ω·R. ьФП ЧЙДОП ЙЪ УМЕДХАЭЕЗП ЧЩЧПДБ:

рТЙНЕТ 1. пРТЕДЕМЙФШ НПДХМШ УЛПТПУФЙ Й ГЕОФТПУФТЕНЙФЕМШОПЗП ХУЛПТЕОЙС ФПЮЕЛ ЪЕНОПК РПЧЕТИОПУФЙ ОБ ЬЛЧБФПТЕ. тБДЙХУ ъЕНМЙ РТЙОСФШ ТБЧОЩН 6400 ЛН.

R = 6400 ЛН = 6,4·10 6 Н;

ф = 24 Ю = 8,64·10 4 У;

тЕЫЕОЙЕ: фПЮЛЙ ЪЕНОПК РПЧЕТИОПУФЙ ОБ ЬЛЧБФПТЕ ДЧЙЦХФУС РП ПЛТХЦОПУФЙ ТБДЙХУБ R, РПЬФПНХ НПДХМШ ЙИ УЛПТПУФЙ:

пФЧЕФ: υ = 465 Н/У, Б_ГУ = 0,034 Н /У 2 .

1.1.8 чТБЭБФЕМШОПЕ ДЧЙЦЕОЙЕ БВУПМАФОП ФЧЕТДПЗП ФЕМБ ЧПЛТХЗ ОЕРПДЧЙЦОПК ПУЙ

дМС ЛЙОЕНБФЙЮЕУЛПЗП ПРЙУБОЙС ЧТБЭБФЕМШОПЗП ДЧЙЦЕОЙС БВУПМАФОП ФЧЕТДПЗП ФЕМБ ЧПЛТХЗ ЛБЛПК-ФП ОЕРПДЧЙЦОПК ПУЙ ЙУРПМШЪХАФУС ФЕ ЦЕ ЧЕМЙЮЙОЩ (Й ХТБЧОЕОЙС УЧСЪЙ НЕЦДХ ОЙНЙ), ЮФП Й ДМС ПРЙУБОЙС ДЧЙЦЕОЙС ФПЮЛЙ РП ПЛТХЦОПУФЙ. рТЙ ЧТБЭБФЕМШОПН ДЧЙЦЕОЙЙ БВУПМАФОП ФЧЕТДПЗП ФЕМБ ЧПЛТХЗ ОЕРПДЧЙЦОПК ПУЙ ЪБ РТПНЕЦХФПЛ ЧТЕНЕОЙ ∆t ХЗМЩ РПЧПТПФБ ТБДЙХУ-ЧЕЛФПТПЧ ТБЪМЙЮОЩИ ФПЮЕЛ ФЕМБ ПДЙОБЛПЧЩ. хЗПМ РПЧПТПФБ ∆φ, УТЕДОСС ω_cp Й НЗОПЧЕООБС ω ХЗМПЧЩЕ УЛПТПУФЙ ИБТБЛФЕТЙЪХАФ ЧТБЭБФЕМШОПЕ ДЧЙЦЕОЙЕ ЧУЕЗП БВУПМАФОП ФЧЕТДПЗП ФЕМБ Ч ГЕМПН.

мЙОЕКОБС УЛПТПУФШ υ ЛБЛПК-МЙВП ФПЮЛЙ БВУПМАФОП ФЧЕТДПЗП ФЕМБ РТПРПТГЙПОБМШОП ТБУУФПСОЙА R ФПЮЛЙ ПФ ПУЙ ЧТБЭЕОЙС:

рТЙ ТБЧОПНЕТОПН ЧТБЭБФЕМШОПН ДЧЙЦЕОЙЙ БВУПМАФОП ФЧЕТДПЗП ФЕМБ ХЗМЩ РПЧПТПФБ ФЕМБ ЪБ МАВЩЕ ТБЧОЩЕ РТПНЕЦХФЛЙ ЧТЕНЕОЙ ПДЙОБЛПЧЩ ( ∆φ = const ) Й НЗОПЧЕООБС ХЗМПЧБС УЛПТПУФШ ФЕМБ ТБЧОБ УТЕДОЕК ХЗМПЧПК УЛПТПУФЙ ( ω = ω_cp ). фБОЗЕОГЙБМШОЩЕ ХУЛПТЕОЙС a_τ Х ТБЪМЙЮОЩИ ФПЮЕЛ БВУПМАФОП ФЧЕТДПЗП ФЕМБ ПФУХФУФЧХАФ ( a_τ = 0 ), Б ОПТНБМШОПЕ (ГЕОФТПУФТЕНЙФЕМШОПЕ ) ХУЛПТЕОЙЕ a_n ЛБЛПК-МЙВП ФПЮЛЙ ФЕМБ ЪБЧЙУЙФ ПФ ЕЕ ТБУУФПСОЙС R ДП ПУЙ ЧТБЭЕОЙС:

чЕЛФПТ a_n ОБРТБЧМЕО Ч ЛБЦДЩК НПНЕОФ ЧТЕНЕОЙ РП ТБДЙХУХ ФТБЕЛФПТЙЙ ФПЮЛЙ Л ПУЙ ЧТБЭЕОЙС.

рТЙ ОЕТБЧОПНЕТОПН ЧТБЭБФЕМШОПН ДЧЙЦЕОЙЙ БВУПМАФОП ФЧЕТДПЗП ФЕМБ ХЗМЩ РПЧПТПФБ ФЕМБ ЪБ МАВЩЕ ТБЧОЩЕ РТПНЕЦХФЛЙ ЧТЕНЕОЙ ОЕПДЙОБЛПЧЩ. хЗМПЧБС УЛПТПУФШ ФЕМБ ω У ФЕЮЕОЙЕН ЧТЕНЕОЙ ЙЪНЕОСЕФУС.

уТЕДОЙН ХЗМПЧЩН ХУЛПТЕОЙЕН ε_УТ Ч РТПНЕЦХФЛЕ ЧТЕНЕОЙ ∆t = t₂ — t₁ ОБЪЩЧБЕФУС ЖЙЪЙЮЕУЛБС ЧЕМЙЮЙОБ, ТБЧОБС ПФОПЫЕОЙА ЙЪНЕОЕОЙС ХЗМПЧПК УЛПТПУФЙ ∆ω = ω₂ — ω₁ ЧТБЭБАЭЕЗПУС ФЕМБ ЪБ РТПНЕЦХФПЛ ЧТЕНЕОЙ ∆t Л ДМЙФЕМШОПУФЙ ЬФПЗП РТПНЕЦХФЛБ:

еУМЙ ХЗМПЧБС УЛПТПУФШ ЪБ РТПЙЪЧПМШОЩЕ ПДЙОБЛПЧЩЕ РТПНЕЦХФЛЙ ЧТЕНЕОЙ ЙЪНЕОСЕФУС ПДЙОБЛПЧП ( ∆ω₁₂ = ∆ω₃₄ Й Ф.Д.), ФП ε_УТ = const (ТБЧОПРЕТЕНЕООПЕ ЧТБЭЕОЙЕ).

хЗМПЧЩН ХУЛПТЕОЙЕН (НЗОПЧЕООЩН ХЗМПЧЩН ХУЛПТЕОЙЕН) ЧТБЭБАЭЕЗПУС ФЕМБ Ч НПНЕОФ ЧТЕНЕОЙ t ОБЪЩЧБЕФУС ЧЕМЙЮЙОБ ε, ТБЧОБС РТЕДЕМХ, Л ЛПФПТПНХ УФТЕНЙФУС УТЕДОЕЕ ХЗМПЧПЕ ХУЛПТЕОЙЕ ЪБ РТПНЕЦХФПЛ ЧТЕНЕОЙ ПФ t ДП t + ∆t РТЙ ВЕУЛПОЕЮОПН ХНЕОШЫЕОЙЙ ∆t, ЙМЙ, ХЗМПЧПЕ ХУЛПТЕОЙЕ — ЬФП РЕТЧБС РТПЙЪЧПДОБС ПФ ХЗМПЧПК УЛПТПУФЙ РП ЧТЕНЕОЙ ЙМЙ ЧФПТБС РТПЙЪЧПДОБС ПФ ХЗМБ РПЧПТПФБ РП ЧТЕНЕОЙ:

йЪНЕОЕОЙЕ ∆ω ХЗМПЧПК УЛПТПУФЙ БВУПМАФОП ФЧЕТДПЗП ФЕМБ ЪБ РТПНЕЦХФПЛ ЧТЕНЕОЙ ∆t = t — t₀ РТЙ ТБЧОПРЕТЕНЕООПН ЧТБЭБФЕМШОПН ДЧЙЦЕОЙЙ У ХЗМПЧЩН ХУЛПТЕОЙЕН ε: ∆ω = ε·∆t = ε(t — t₀). еУМЙ РТЙ t₀ = 0 ОБЮБМШОБС ХЗМПЧБС УЛПТПУФШ ФЕМБ ТБЧОБ ω₀, ФП Ч РТПЙЪЧПМШОЩК НПНЕОФ ЧТЕНЕОЙ t ХЗМПЧБС УЛПТПУФШ ФЕМБ ВХДЕФ ω = ω₀ + ε·t.

хЗПМ РПЧПТПФБ ∆φ ФЕМБ ЧПЛТХЗ ПУЙ ЪБ РТПНЕЦХФПЛ ЧТЕНЕОЙ ∆t = t — t₀ РТЙ ТБЧОПРЕТЕНЕООПН ДЧЙЦЕОЙЙ:

фБОЗЕОГЙБМШОБС УПУФБЧМСАЭБС ХУЛПТЕОЙС:

; υ = ω·R, РПЬФПНХ

оПТНБМШОБС УПУФБЧМСАЭБС ХУЛПТЕОЙС:

фБЛЙН ПВТБЪПН, УЧСЪШ НЕЦДХ МЙОЕКОЩНЙ Й ХЗМПЧЩНЙ ЧЕМЙЮЙОБНЙ ЧЩТБЦБЕФУС УМЕДХАЭЙНЙ ЖПТНХМБНЙ: S = R·φ, υ = ω·R, a_τ = R·ε, a_n = ω 2 ·R.

Методическая разработка на тему Кинематика

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Лекция Кинематика.doc

Лекция №1: « Кинематика материальной точки»

1.Основные понятия кинематики

2.Кинематические характеристики поступательного движения материальной точки

2.1 Путь, перемещение

2.2 Скорость средняя и мгновенная

2.3 Ускорение и его составляющие

2.4 Кинематические уравнения основных видов движения

2.4.1 Кинематические уравнения прямолинейного равномерного движения

2.4.2 Кинематические уравнения равноускоренного движения

3.Кинематические характеристики вращательного движения материальной точки

3.1 Угловой путь

3.2 Угловая скорость (средняя и мгновенная)

3.3 Угловое ускорение (среднее и мгновенное)

3.4 Период, частота

4. Кинематические уравнения основных видов движения по окружности

4.1 Кинематическое уравнение равномерного движения по окружности

4.2 Кинематическое уравнение равноускоренного движения по окружности

5.Связь между линейными и угловыми кинематическими характеристиками

1.Основные понятия кинематики

Часть физики, изучающая механическое движение тел, называется механикой. Основные законы механики установлены Галилео Галилеем ( G . Galilei 1564-1642) и окончательно сформулированы Исааком Ньютоном ( I . Newton 1643-1727). Механику Галилея-Ньютона называют классической механикой. В ней изучаются законы движения макроскопических тел (это все окружающие нас тела) со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света. Более общей теорией, в которой описываются и микроскопические тела (например, элементарные частицы) является, квантовая механика. Движение макроскопических тел с любыми скоростями, в том числе и со скоростями, сравнимыми со скоростью света, рассматривает релятивистская механика. Механика делится на 3 раздела: кинематику, динамику и статику.

Раздел физики, в котором механическое движение изучается без рассмотрения причин, определяющих характер движения, называется кинематикой. Основная задача кинематики – определение положения тела в пространстве и характеристик его движения в любой момент времени.

Механическим движением называют изменение с течением времени положения тела в пространстве.

Основными видами механического движения являются поступательное и вращательное движения.

Поступательным движением называется движение, при котором любая прямая, связанная с движущимся телом, остаётся параллельной самой себе. При поступательном движении все точки тела движутся одинаково, поэтому можно рассматривать движение тела независимо от его размеров и формы, как движение одной точки тела.

Вращательным движением называют движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Простейшей моделью тела является материальная точка. Материальной точкой называется обладающее массой тело, размерами которого можно пренебречь в данной задаче. Если размерами тела пренебречь нельзя, то его можно представить как совокупность материальных точек, рассматриваемых как единое целое, — то есть как систему материальных точек. В процессе движения расстояние между точками, составляющими тело, может меняться – в этом случае говорят о деформации тела. Если при рассмотрении движения деформация тела незначительна (ею можно пренебречь), тогда в качестве модели тела можно использовать модель абсолютно твердого тела. Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между двумя любыми точками которого не изменяется.

Для описания механического движения (изменение положения тела) вводят систему отчета. Системой отсчета называют тело отсчета, относительно которого определяется положение всех других тел, и связанные с этим телом часы.

Для определения положения материальной точки введем радиус-вектор материальной точки r – вектор, проведенный из начала отсчета (начала системы координат) в рассматриваемую материальную точку. Проекции радиус-вектора на оси OX , OY , OZ равны декартовым координатам точки = x , r = y , r = z .

При движении материальной точки её координаты с течением времени изменяются. В общем случае её движение определяется скалярными уравнениями:

,

Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения материальной точки.

2.Кинематические характеристики поступательного

движения материальной точки.

При движении точка (конец радиус-вектора) описывает некоторую линию – траекторию движения.

Траектория движения материальной точки – линия, представляющая собой совокупность точек, через которые прошла материальная точка в процессе её движения. В зависимости от формы линии траектория может быть прямолинейной или криволинейной.

Для описания движения введем физические величины, которыми будем характеризовать движение, они называются кинематическими характеристиками.

2.1 Путь, перемещение.

Путь S , пройденный материальной точкой – скалярная величина, равная длине участка траектории, который прошла точка за данный промежуток времени.

Перемещение за время — вектор, соединяющий некоторое положение точки с её положением спустя время :

При неравномерном движении – модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. Длина пути в данном случае вычисляется по формуле:

, .

2.2 Скорость средняя и мгновенная

Для характеристики движения материальной точки вводится векторная величина – скорость, которая определяет быстроту движения и направление в данный момент времени.

Средняя скорость – это векторная величина, численно равная отношению приращения радиус вектора к промежутку времени за который это приращение произошло :

, .

Направление вектора средней скорости совпадает с направлением радиус-вектора.

Мгновенная скорость – это векторная величина, численно равная пределу отношения перемещения к промежутку времени при стремлении данного промежутка к нулю, или является первой производной перемещения по времени:

, .

2.3 Ускорение и его составляющие

Скорость материальной точки может изменяться со временем как по величине, так и по его направлению. Быстрота изменения скорости характеризуется ускорением.

Среднее ускорение – это векторная физическая величина, численно равная отношению изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло:

, .

Мгновенное ускорение – это векторная величина, численно равная пределу отношения изменения скорости к промежутку времени при стремлении данного промежутка к нулю, или является первой производной скорости по времени, или второй производной перемещения по времени:

,

При равномерном движении по окружности ускорение разлагается на две составляющие: нормальную и тангенциальную.

Тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю и направлена по касательной к траектории:

.

Нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по направлению и направлена к центру кривизны траектории: , r — радиус кривизны траектории.

Полное ускорение – геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих:

, или в скалярном виде:.

2.4 Кинематические уравнения основных видов движения.

Рассмотрим частные случаи движения материальной точки, определяемые свойствами кинематических характеристик, и получим для этих случаев кинематические уравнения – зависимости кинематических характеристик от времени.

2.4.1.Равномерное прямолинейное движение , .

По определению или . Интегрируя левую часть от до и правую часть от до , , получаем , или .

Полученная зависимость радиус-вектора от времени вместе с выражениями, , представляют собой кинематические уравнения прямолинейного равномерного движения в векторном виде. Если ось OX направить вдоль направления скорости (вдоль траектории, которая прямолинейна), то уравнение для радиус-вектора в проекции на эту ось будет иметь вид , а путь, пройденный к моменту времени , будет определяться .

2.4.2Равноускоренное движение

По определению или . Интегрируя , получаем: или . Далее учтем, что , следовательно, . Интегрируя левую и правую части, получим .

Таким образом, в векторной форме кинематические уравнения равноускоренного движения имеют вид:

, , .

Одним из видов равноускоренного движения является свободное падение. Кинематические уравнения свободного падения имеют вид:

, , .

Примером равноускоренного движения является баллистическое движение без учета сопротивления воздуха – свободное движение тел в поле силы тяжести, в проекциях на оси X и Y кинематические уравнения примут вид:

Для тела, брошенного с начальной скоростью под углом к горизонту из начала координат, кинематические уравнения запишутся в виде:

и .

Траектория движения будет параболой, описываемой уравнением:

.

Из кинематических уравнений могут быть получены параметры полета тела: время полета , высота подъема , дальность полета :

, , .

3. Кинематические характеристики вращательного

движения материальной точки

3.1 Угловой путь

Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R . Её положение через промежуток времени зададим углом .

Угловой путь – это элементарный угол поворота:

, .

Радиан – это угол, который вырезает на окружности дугу, равную радиусу.

Направление углового пути определяется правилом правого винта: если головку винта вращать в направлении движения точки по окружности, то поступательное движение острия винта укажет направление .

Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения, они могут откладываться от любой точки оси вращения.

3.2 Угловая скорость (средняя и мгновенная)

Средняя угловая скорость – это физическая величина, численно равная отношению углового пути к промежутку времени:

, .

Мгновенная угловая скорость – это физическая величина, численно равная изменения пределу отношения углового пути к промежутку времени при стремлении данного промежутка к нулю, или является первой производной углового пути по времени:

, .

3.3 Угловое ускорение (среднее и мгновенное)

Среднее угловое ускорение – это физическая величина, численно равная отношению изменения угловой скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло:

, .

Мгновенное угловое ускорение – это физическая величина, численно равная пределу отношения изменения угловой скорости к промежутку времени при стремлении данного промежутка к нулю, или является первой производной угловой скорости по времени, или второй производной углового пути по времени:

, .

При ускоренном движении угловое ускорение совпадает по направлению с угловой скоростью. При замедленном вращении угловое ускорение направлено в противоположную относительно угловой скорости сторону.

3.4 Период, частота

Период – время одного полного оборота материальной точки.

,

Частота – число оборотов материальной точки в единицу времени.

,

4. Кинематические уравнения основных видов движения по окружности

Кинематические уравнения равномерного движения по окружности

При равномерном движении материальной точки по окружности кинематические уравнения в угловых переменных будут иметь вид:

, , .

Кинематические уравнения равноускоренного движения по окружности

При движении материальной точки по окружности с постоянным угловым ускорением кинематические уравнения будут иметь вид, аналогичный прямолинейному равноускоренному движению (процедура получения уравнений одинаковая):

, , .

5. Связь между линейными и угловыми величинами

Очевидно, что угловые переменные, введенные для вращения, и линейные переменные должны быть связаны друг с другом, так как с помощью тех и других можно описать одно и то же движение. Найдем эту связь.

По определению единицы измерения угла – радиана, дуга S окружности связана с радиусом окружности R соотношением или для приращений .

По определению величина скорости (модуль вектора скорости ) равна .

При длина хорды стремится к длине дуги , то есть , или . Тогда .

Окончательно получаем , то есть связь между скоростями имеет такой же вид, как связь между S и : .

В векторном виде, с учетом направлений векторов, можем записать: , где — радиус-вектор относительно центра вращения, его величина равна радиусу окружности, .

Теперь найдем связь между ускорениями. По определению , а поскольку

, то .

Первое слагаемое направлено по скорости, если , и против, если , то есть всегда параллельно скорости. Естественно, эту часть ускорения называют тангенциальной составляющей ускорения (тангенциальным ускорением):

.

Второе слагаемое направлено по радиусу к центру окружности, то есть перпендикулярно скорости. Эту часть ускорения называют нормальной составляющей ускорения (нормальным ускорением):