Логарифмические уравнения и системы
п.1. Методы решения логарифмических уравнений
При решении логарифмических уравнений используются следующие основные методы:
1) переход от логарифмического уравнения к равносильному уравнению \(f(x)=g(x)\) с системой неравенств, описывающих ОДЗ;
2) графический метод;
3) замена переменной.
п.2. Решение уравнений вида \(\log_a f(x)=\log_a g(x)\)
Неравенства \( \begin
Решать логарифмическое уравнение принято в таком порядке:
1) решить систему неравенств и получить промежутки допустимых значений для \(x\) в явном виде;
2) решить уравнение \(f(x)=g(x)\);
3) из полученных корней выбрать те, что входят в промежутки допустимых значений. Записать ответ.
Однако, если выражения \(f(x)\) и \(g(x)\) слишком сложны для явного решения, возможен другой порядок действий:
1) решить уравнение \(f(x)=g(x)\);
2) провести подстановку: полученные корни подставить в выражения для \(f(x)\) и \(g(x)\), и проверить, получатся ли положительные значения для этих функций;
3) из корней выбрать те, для которых подстановка оказалась успешной. Записать ответ.
Например:
Решим уравнение \(\lg(2x+3)+\lg(x+4)=\lg(1-2x)\)
Найдем ОДЗ в явном виде:
\( \begin
Решаем уравнение:
\(\lg\left((2x+3)(x+4)\right)=\lg(1-2x)\)
\((2x+3)(x+4)=1-2x\)
\(2x^2+11x+12-1+2x=0\)
\(2x^2+13x+11=0\)
\((2x+11)(x+1)=0\)
\( \left[ \begin
Корень \(x_1=-5,5\notin \left(-\frac32;\frac12\right),\) т.е. не подходит.
Корень \(x_2=-1\in \left(-\frac32;\frac12\right)\) — искомое решение.
Ответ: -1
п.3. Решение уравнений вида \(\log_ f(x)=\log_ g(x)\)
Как и в предыдущем случае, можно сначала найти ОДЗ, а потом решать уравнение.
Или же, можно решить уравнение, а потом проверить требования ОДЗ прямой подстановкой полученных корней.
Например:
Решим уравнение \(\log_
Найдем ОДЗ в явном виде:
\( \begin
Решаем уравнение:
\(x^2-4=2-x\)
\(x^2+x-6=0\)
\((x+3)(x-2)=0\)
\( \left[ \begin
Ответ: -3
В логарифмическом уравнении перед отбрасыванием логарифмов основания обязательно должны быть равны. Не забывайте это проверять!
Например:
Решим уравнение \(\log_<2>(x+1)=\log_<4>(x+3)\)
Основания \(2\ne 4\), и нельзя сразу написать \(x+1=x+3\).
Нужно привести к одному основанию, преобразовав левую часть:
\(\log_2(x+1)=\log_<2^2>(x+1)^2=\log_4(x+1)^2\)
Тогда исходное уравнение примет вид: \(\log_4(x+1)^2=\log_4(x+3)\)
И теперь: \((x+1)^2=x+3\)
\(x^2+x-2=0\)
\((x+2)(x-1)=0\)
\( \left[ \begin
Что касается ОДЗ, то её нужно искать для исходного уравнения:
\( \begin
Корень \(x_1=-2\lt -1\) — не подходит.
Ответ: 1
Преобразования могут расширить первоначальную область допустимых значений (например, при возведении в квадрат), и вы включите в решение лишние корни.
Преобразования также могут сузить ОДЗ (например, при взятии корня), и некоторые решения окажутся потеряны.
Поэтому ОДЗ определяется для исходного уравнения (выражения, неравенства), а не того, которое получено после преобразований.
п.4. Примеры
Пример 1. Решите уравнения:
a) \( \log_2(x+1)-\log_2(x-1)=1 \)
ОДЗ: \( \begin
\(\log_2\left((x+1)(x-1)\right)=\log_22\)
\(x^2-1=2\Rightarrow x^2 =3\)
\( \left[ \begin
Ответ: \(\sqrt<3>\)
б) \( 2\log_5(x-1)=\log_5(1,5x+1) \)
ОДЗ: \( \begin
Преобразуем: \(2\log_5(x-1)=\log_5(x-1)^2\)
Получаем: \(\log_5(x-1)^2=\log_5(1,5x+1)\)
\((x-1)^2=1,5x+1\)
\(x^2-2x+1-1,5x-1=0\Rightarrow x^2-3,5x=0\Rightarrow x(x-3,5)=0\)
\( \left[ \begin
Ответ: 3,5
в) \( \log_3(3-x)+\log_3(4-x)=1+2\log_3 2 \)
ОДЗ: \( \begin
Преобразуем: \(1+2\log_3 2=\log_3 3+\log_3 2^2=\log_3(3\cdot 4)=\log_3 12\)
Получаем: \(\log_3\left((3-x)(4-x)\right)=\log_3 12\)
\((3-x)(4-x)=12\Rightarrow 12-7x+x^2=12\Rightarrow x(x-7)=0\)
\( \left[ \begin
Ответ: 0
г) \( \log_2^2x+\log_2 x^2+1=0 \)
ОДЗ: \(x\gt 0\)
\(\log_2x^2=2\log_2x\)
Получаем: \(\log_2^2x+2\log_2x+1=0\)
Замена: \(t=\log_2 x\)
\(t^2+2t+1=0\Rightarrow(t+1)^2=0\Rightarrow t=-1\)
Возвращаемся к исходной переменной: \(\log_2x=-1\)
\(x=2^<-1>=\frac12\)
Ответ: \(\frac12\)
д) \( x^<\lg x>=10 \)
ОДЗ: \(x\gt 0\)
Замена: \(t=\lg x\). Тогда \(x=10^t\)
Подставляем:
\((10^t)^t=10\Rightarrow 10^
Возвращаемся к исходной переменной:
\( \left[ \begin
Оба корня подходят.
Ответ:
e) \( \sqrt
ОДЗ: \( \begin
\( \left[ \begin
Ответ: 0
ж) \( \log_<5x-2>2+2\log_<5x-2>x=\log_<5x-2>(x+1) \)
ОДЗ: \( \begin
Преобразуем: \(\log_<5x-2>2+2\log_<5x-2>x=\log_<5x-2>(2x^2)\)
Подставляем: \(\log_<5x-2>(2x^2)=\log_<5x-2>(x+1)\)
\( 2x^2=x+1\Rightarrow 2x^2-x-1=0\Rightarrow (2x+1)(x-1)=0 \Rightarrow \left[ \begin
Ответ: 1
Пример 2*. Решите уравнения:
a) \( \log_4\log_2\log_3(2x-1)=\frac12 \)
ОДЗ: \( \begin
\( \Rightarrow \begin
Решаем:
\(\log_2\log_3(2x-1)=4^<1/2>=2\)
\(\log_3(2x-1)=2^2=4\)
\(2x-1=3^4=81\)
\(2x=82\)
\(x=41\)
Ответ: 41
б) \( \log_2(9-2^x)=25^<\log_5\sqrt<3-x>> \)
ОДЗ: \( \begin
Преобразуем: \(25^<\log_5\sqrt<3-x>>=25^<\log_<5^2>(\sqrt<3-x>)^2>=25^<\log_<25>(3-x)>=3-x\)
Подставляем: \(\log_2(9-2^x)=3-x\)
\(9-2^x=2^<3-x>\)
\(9-2^x-\frac<8><2^x>=0\)
Замена: \(t=2^x\gt 0\)
\( 9-t-\frac8t=0\Rightarrow \frac<-t^2+9t-8>
Возвращаемся к исходной переменной:
\( \left[ \begin
По ОДЗ \(x\lt 3\), второй корень не подходит.
Ответ: 0
в) \( \lg\sqrt
ОДЗ: \( \begin
Преобразуем: \(\lg 30-1=\lg 30-\lg 10=\lg\frac<30><10>=\lg 3\)
Подставляем: \(\lg\sqrt
\(\frac12\lg(x-5)+\frac12\lg(2x-3)=\lg 3\ |\cdot 2\)
\(\lg(x-4)+\lg(2x-3)=2\lg 3\)
\(\lg\left((x-5)(2x-3)\right)=\lg 3^2\)
\((x-5)(2x-3)=9\Rightarrow 2x^2-13x+15-9=0 \Rightarrow 2x^2-13x+6=0\)
\( (2x-1)(x-6)=0\Rightarrow \left[ \begin
Ответ: 6
г) \( \frac<1><\lg x>+\frac<1><\lg 10x>+\frac<3><\lg 100x>=0 \)
ОДЗ: \( \begin
Преобразуем: \(\lg 10x=\lg 10+\lg x=1+\lg 10\)
\(\lg 100x=\lg 100+\lg x=2+\lg x\)
Подставляем: \(\frac<1><\lg x>+\frac<1><1+\lg x>+\frac<3><2+\lg x>=0\)
Замена: \(t=\lg x\)
\begin
$$ \left[ \begin
Ответ: \(\left\<10\frac<-4\pm\sqrt<6>><5>\right\>\)
e) \( x^<\frac<\lg x+7><4>>=10^ <\lg x+1>\)
ОДЗ: \(x\gt 0\)
Замена: \(t=\lg x.\) Тогда \(x=10^t\)
Подставляем: \begin
$$ \left[ \begin
Ответ: \(\left\<0,0001;\ 10\right\>\)
ж) \( 4^<\log_3(1-x)>=(2x^2+2x+5)^ <\log_3 2>\)
ОДЗ: \( \begin
По условию: \begin
Пример 3. Решите систему уравнений:
a) \( \begin
ОДЗ: \( \begin
Из первого уравнения: \(\lg(xy)=\lg 2\Rightarrow xy=2\)
Получаем: \( \begin
Решаем биквадратное уравнение: \begin
Получаем две пары решений: \( \left[ \begin
Ответ: \(\left\<(1;2),(2,1)\right\>\)
б) \( \begin
ОДЗ: \(x\gt 0,\ x\ne 1\)
Логарифмируем: \( \begin
Замена: \(z=\log_x3\) \begin
Ответ: (3;2)
в*) \( \begin
ОДЗ: \( \begin
Сделаем замену \(t=\log_x y\). Тогда \(\log_y x=\frac<1><\log_x y>=\frac1t\)
Подставим в первое уравнение и решим его: \begin
Ответ: \(\left\<(8;2),\left(\frac14; 64\right)\right\>\)
г*) \( \begin
ОДЗ: \(x+y\gt 0\)
Прологарифмируем первое уравнение по 3: \begin
Решим последнее уравнение относительно \(t=x+y\) \begin
Получаем систему линейных уравнений: \begin
Ответ: (4;1)
Методическая разработка «Методы решение логарифмических уравнений»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Выберите документ из архива для просмотра:
Выбранный для просмотра документ Методы решения логарифмических уравнений.docx
Процесс решения любого логарифмического уравнения заключается в переходе от уравнения с логарифмами к уравнению без них
И это решение состоит из двух равноценных частей:
1) нахождение области допустимых значений (ОДЗ),
2) решение самого уравнения.
Эти части решаются независимо друг от друга. Главное — в самом конце не забыть результаты сопоставить, лишнее выбросить.
ОДЗ — это те значения х , которые разрешены для исходного примера . А как искать ОДЗ? Внимательно осматриваем пример и ищем опасные места. Места, в которых возможны запретные действия . Таких запретных действий в математике очень мало. ( Нельзя делить на ноль, в корнях чётной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным, выражение стоящее под логарифмом должно быть неотрицательным и основание логарифма а >0 и а ≠1.)
П ростейшие логарифмические уравнения
Умение решать простейшие логарифмические уравнения — это очень важно. Дело в том, что даже самые злые и замороченные уравнения обязательно сводятся к простейшим! Собственно, простейшие уравнения — это финишная часть решения любых уравнений.
Уравнения вида log а f(х) = log а g(х)
Простейшее уравнение log а f(х) = log а g(х) решается методом потенцирования. Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их:
log а f(х) = log а g(х) f(х) = g(х) , при f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1. т.е. если равны логарифмы по одному и тому же основанию, то и равны логарифмируемые выражения. В виде равносильного перехода:
Ликвидировать логарифмы безо всяких опасений можно, если у них:
а) одинаковые числовые основания
в) логарифмы слева-справа чистые (безо всяких коэффициентов) и находятся в гордом одиночестве
-В уравнении log 3 х = 2log 3 (3х-1) убирать логарифмы нельзя. Двойка справа не позволяет . Коэффициент.
— В примере log 3 х+log 3 (х+1) = log 3 (3+х) тоже нельзя потенцировать уравнение. В левой части нет одинокого логарифма. Их там два .
Короче, убирать логарифмы можно, если уравнение выглядит так и только так: log а (. ) = log а (. )
В скобках, где многоточие, могут быть какие угодно выражения. Простые, суперсложные, всякие. Какие угодно. Важно то, что после ликвидации логарифмов у нас остаётся более простое уравнение
Пример 1. Решите уравнение:
Решение: способ 1 . В область допустимых значений (ОДЗ) входят только те x , при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:
Видим логарифмы по одному и тому же основанию равны, значит, равны и логарифмируемые выражения .
В область допустимых значений входит только первый корень. Ответ: 7. ОДЗ можно было не решать, а просто записать. В конце каждый корень подставить в ОДЗ. Если с каждым неравенством ОДЗ получится верное числовое неравенство, то он идет в Решение: способ 2 . Если это уравнение решим путем равносильных переходов , то ОДЗ нашли бы без всяких квадратных неравенств и пересечений. Итак
Уравнение х 2 — 5х – 14 = 0 имеет корни х 1 = 7, х 2 = -2. В область допустимых значений входит только первый корень. Ответ: x = 7.
Пример 2 . Решите уравнение
Решение. Решим методом равносильных переходов . Тогда уравнение равносильно системе
Корни уравнения -2 и 5. Только -2 ϵ ОДЗ . Ответ: -2
Итак уравнения такого вида решили 2-мя способами: 1) отдельно найдя ОДЗ и отдельно решив само уравнение; 2) используя равносильные переходы. Какой способ вам по душе?
Уравнение log a f ( x ) = b — п ростейшее логарифмическое уравнение, где а и b — числа; а >0, a ≠1. Переменная х присутствует только внутри аргумента.
1 ) Применение определения логарифма
Решение уравнений применением определения логарифма
Решение уравнения
основано на применении определения логарифма и в решении равносильного уравнения
Для уравнений log a f ( x ) = b записывать область определения не нужно ( f ( x ) >0 ) , потому что она будет выполняться автоматически . Так как в какую бы степень мы бы не возводили положительное число а , на выходе мы все равно получим положительное число, т.е. если а > 0, то a b > 0 всегда => f ( x ) = a b > 0.
Пример 1 . Решите уравнение log 5 ( x – 2) = 1
Решение: Переменная х встречается лишь в одном log и стоит в его аргументе, значит находить ОДЗ не надо. log 5 ( x – 2) = 1 x – 2 = 5 1 x – 2 = 5 x = 7. Ответ: 7.
Пример 2 . Решите уравнение
Решение: Три раза выполним переход: log a f ( x ) = b f ( x ) = a b
2). Решение простейшего логарифмического уравнения log a f ( x ) = b представлением числа в виде логарифма b = log a a b (методом потенцирования).
Пример 3 . Решите уравнение:
Решение: Это простейшее логарифмическое уравнение, поэтому нет необходимости найти ОДЗ, потому что 3х – 1>0 будет выполняться автоматически. Слева у нас стоит выражение с логарифмом, а справа – число . Что делать? Нужно сделать так, чтобы справа тоже было выражение с логарифмом по основанию 0,5 а затем просто сбросить логарифмы. Так как −3 = −3*1 = -3* log 0,5 0,5= log 0,5 0,5 −3 тогда уравнение примет вид: log 0,5 (3 x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Все десятичные дроби переводите в обычные, когда вы решаете логарифмическое уравнение.
Заметим что 0,5 -3 = (1/2) −3 = (2 -1 ) -3 = 2 3 = 8 и получим
Пример 4 . Решите уравнение
Решение: Это простое логарифмическое уравнение, поэтому можно не найти ОДЗ. Первый шаг- дробь справа представим в виде логарифма. Получим:
Учитывая, что 16 1/4 = (2 4 ) 1/4 = 2
избавляемся от знака логарифма и получаем обычное иррациональное уравнение: где надо будет учесть ОДЗ.
, решим равносильным переходом к системе:
Из полученных корней нас устраивает только первый, так как второй корень меньше нуля. Единственным ответом будет число 9. Ответ: 9 .
Уравнения, решаемые применением свойств логарифмов
Схема решения не простых логарифмических уравнений
1. Привести уравнение с помощью свойств логарифмов к виду:
2. Решить равносильное уравнение
f ( x ) = a b или f ( x ) = g ( x ) по их алгоритму .
Пример 1. Решите уравнение
Если lg ( x – 1) переведем в правую часть уравнения, то получим уравнение вида log а f(х) = log а g(х).
Если неравенства неудобные, ОДЗ можно не решать. Достаточно подставить результаты уравнения в записанные условия ОДЗ и проверить, какие решения проходят. Их и взять за ответы
Пример 2 . Решите уравнение
Если в уравнении содержатся логарифмы с разными основаниями, то, прежде всего, следует свести все логарифмы к одному основанию, используя формулы перехода , и
Пример 3 . Решите уравнение
Решение. ОДЗ: х > 0. Сразу видно, что у логарифмов основания разные. Используя формулу придем к одинаковому основанию
Уравнения, решаемые введением новой переменной
Если, в уравнение неоднократно, встречается некоторое определенное выражение, то оно решается введением новой переменной
Пример 1 . Решите уравнение
ОДЗ: x > 0. Введем новую переменную тогда получим квадратное уравнение:
Пример 2 . Решите уравнение
Оба корня удовлетворяют ОДЗ нашего уравнения.
Пример 3. Решите уравнение 4 log 25 5x + log 2 5 x – 5 = 0; ОДЗ: x > 0.
Тут 2 основания, выполним переход к основанию 5, используя формулу
2(log 5 5 + log 5 x) + log 2 5 x – 5 = 0.
2(1 + log 5 x) + log 2 5 x – 5 = 0.
Пусть log 5 x = t, тогда 2(1 + t) + t 2 – 5 = 0;
t = – 3 или t = 1; Обратно переходим на обозначение log 5 x = t:
x = 1/125. Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ:
Пример 4. Решите уравнение Решение: Область допустимых значений:
Решать систему необходимости нет. Пусть log 2 (5x – 1) = t, тогда
Уравнения, содержащие неизвестное и в основании и в аргументе.
Уравнение log f ( x ) g ( x ) = b похож е простейшему у равнению log a f ( x ) = b Сходство: в обеих уравнениях в левой части log , в правой число b . Отличие в том, что в первой переменная х присутствует не только внутри аргумента, но и в основании логарифма .
Но мы должны учесть определенные требования. 1) аргумент каждого из логарифмов должен быть больше 0: 2) осн о вание должно быть не только больше 0, но и отлично от 1
1 ) Применение определения логарифма
2 )Представление числа в виде логарифма
По определению логарифма х 2 – 5х + 10 = (х — 1) 2 х 2 – 5х + 10 = :х 2 – 2х + 1, -3х = -9 х = 3
Проверим принадлежность х = 3 ОДЗ: 3 2 – 5*3 + 10 > 0 верно, 3 – 1 > 0 верно 3 – 1 ≠ 1 верно
Пример 2 . Решите уравнение log х+1 (2 x 2 +1)=2 Решение: Решим методом равносильных переходов. Заменяем 2 на так как 2=2*1=2* log х + 1 (х+1)= log х + 1 (х+1) 2 тогда получим: log х+1 (2x 2 +1)= log х+1 (x+1) 2
Наше уравнение содержит неизвестное и в основании и в аргументе. Поэтому 1) аргумент каждого из логарифмов должен быть больше 0. 2) основание должно быть не только больше 0, но и ≠ 1 . В итоге получим систему:
Решим уравнение 2х 2 +1=(х+1) 2 , 2х 2 + 1 = х 2 + 2х + 1 х 2 — 2x = 0 x ( x — 2) = 0 x=2 или x=0. х=0 не соответствует системе. Ответ: 2.
Способ 2. ОДЗ: по определению логарифма получим : 2х 2 +1 = (х+1) 2 , 2х 2 +1 = х 2 + 2х + 1, х 2 – 2х = 0 x ( x – 2) = 0 x = 0, x = 2. Корень х = 0 не удовлетворяет третьему неравенству ОДЗ.
Показательно – логарифмические уравнения
При решении уравнений, содержащих переменную и в основании, и в показателе степени, используется метод логарифмирования. Если при этом в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию этого логарифма.
Пример 1. Решить уравнение : х 1 – lgx = 0.01. Решение: ОДЗ: x > 0, x ≠ 1. Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 10, получим уравнение:
Положив t = lg x , придем к уравнению t 2 – t – 2 = 0 , откуда t 1 = -1, t 2 = 2. Таким образом, задача свелась к решению следующей совокупности уравнений:
Оба найденных значения входят в ОДЗ. Ответ: 0,1; 100
Пример 2 . Решить уравнение 3 2log 4 x +2 =16 x 2 .
Решение . Область определения x >0. Прологарифмируем обе части по основанию 4.
Используя свойства логарифмов, получим
Функционально – графический метод .
В одной и той же системе координат строим графики функции у= log 2 x и у = 3 – x
Ответ: 2.
Обычно графически метод применяется, если трудно найти других методов. Графически метод менее точный . Целесообразно его использовать, если стоит вопрос «Сколько корней имеет уравнение».
Метод использования монотонности функции
Есть способ, позволяющий не строить графики. Он заключается в следующем: если одна из функции y = f ( x ) возрастает, а другая y = g ( x ) убывает на промежутке Х, то уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет не более одного корня на промежутке Х.
Если корень имеется, то его можно угадать.
Пример 1. Решить уравнение: l og 3 x = 4- x Решение: ОДЗ х > 0. Так как функция у= log 3 х возрастающая, а функция у = 4-х убывающая на (0; + ∞ ), то заданное уравнение на этом интервале имеет один корень. Подбором определяем х = 3. Ответ: 3 .
Пример 2 . Решите уравнение : log 3 ( x + 1) + log 4 (5 x + 6) = 3. ОДЗ: х > -1
Решение: у = log 3 ( x + 1) – возрастающая функция, y = log 3 ( x + 1) – тоже возрастающая. Сумма двух возрастающих функции дает возрастающую функцию. В правой части постоянная функция у = 3. Значит уравнение имеет не более одного корня. Подбором определяем х = 2. Ответ: 2.
Логарифм. Основные способы решения логарифмических уравнений.
Логарифмическими уравнениями называют уравнения, в котором представлены неизвестные величины под знаком логарифма.
Логарифмические уравнения, так же как и показательные, относятся к трансцендентным.
Самым простым логарифмическим уравнением представлено уравнение следующее непосредственно из формулировки логарифма:
где а и b — заданные числа,
х — неизвестная переменная.
Если а – не отрицательное и не равное единице число, то у такого уравнения существует единственный корень:
При решении более трудных логарифмических уравнений, обыкновенно, приводим их или к решению алгебраических уравнений, или к решению уравнений типа Logаx=b.
Проанализируем это на нескольких отдельных уравнениях.
Найдем корни уравнения:
Отталкиваясь от формулировки логарифма из вышеприведенного уравнения получаем, что:
решив его имеем х = 2.
х= 2 — решение указанного уравнения.
Для нахождения ответа аналогичных уравнений применяем нижеследующее свойство логарифмов: если логарифмы двух чисел по одному и тому же основанию равны, то равны и сами эти числа.
И соответственно имеем, что если только у данного уравнения есть корни, то они будут удовлетворять уравнению:
Осуществим подстановку для проверки при х = 5
Следовательно, х= 5 — корень выбранного уравнения.
При х = -4 левая и правая части данного уравнения не существуют, поскольку x 2 — 17= — 1 2 x — 3log3x — 10 = 0.
Если log3x приравнять к у, то уравнение станет квадратным:
решив его получим:
Выполнив проверку видим, что эти две величины будут решением выбранного уравнения.
Отдельные уравнения решаются методом почленного логарифмирования. Так же в случае необходимости применяют формулу для перехода от одного основания логарифмов к другому.
http://infourok.ru/metodicheskaya-razrabotka-metody-reshenie-logarifmicheskih-uravnenij-4110454.html
http://www.calc.ru/Osnovnyye-Sposoby-Resheniya-Logarifmicheskikh-Uravneniy.html