Основные понятия равносильности уравнений на множествах

Равносильность уравнений на множествах. Основные понятия.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Равносильность уравнений на множествах. Основные понятия.

Тип уроков: комбинированные уроки изучения нового материала, обобщения и систематизации знаний.

· обобщить и систематизировать знания учащихся по наиболее важным вопросам, связанным с преобразованиями и решением уравнений с одной переменной.

· развитие мышления учащихся; развитие познавательного интереса и умений учебно-познавательной деятельности.

· воспитание организованности, самоконтроля и взаимоконтроля.

Организационные формы общения: индивидуальная, групповая.

2.Актуализация опорных знаний

1. Все корни исходного уравнения являются корнями его уравнения-следствия.
2. Возведение в четную степень может привести к появлению корней, посторонних для исходного уравнения.
3. Следствием уравнения является уравнение
4. Следствием уравнения является уравнение
5. Следствием уравнения является уравнение .
6. Следствием уравнения 1 является уравнение .
7. Следствием уравнения является уравнение =0.
8. Следствием уравнения является уравнение .
9. Следствием уравнения является уравнение .
10. Следствием уравнения является уравнение .
11. Следствием уравнения является уравнение .
12. Следствием уравнения является уравнение .
13. Следствием уравнения является уравнение .
14. Следствием уравнения является уравнение .
15. Следствием уравнения является уравнение .
16. Следствием уравнения является уравнение .
17. Следствием уравнения является уравнение .
18. Следствием уравнения является уравнение .

3. Изучение новой темы

Объяснить п.10.1 стр 266-267

Решить в классе №10.2(а,в,д,ж), 10.3 (а,в,д,ж,и,л,н,п)

5. Подведение итогов

Домашнее задание №10.2 (б,г,е,з), 10.3 (б,г,е,з,к,м,о)

1. Найдите корень уравнения:

2. Найдите корень уравнения:

3. Решите уравнение

Найдите корень уравнения

5. Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

6. Найдите корень уравнения

7. Найдите корень уравнения

Найдите корень уравнения

9. Найдите корень уравнения

Найдите решение уравнения:

Равносильность уравнений на множествах

Данная презентация подготовлена для проведения урока алгебры и начала математического анализа в 11 классе по учебнику Никольского

Просмотр содержимого документа
«Равносильность уравнений на множествах»

Равносильность уравнений на множествах

Урок алгебры 11 класс

Учитель математики МБОУ

« Школа № 3г. Феодосии Республики Крым».

Равносильность уравнений на множествах

Цель: ввести понятия равносильных уравнений на множествах; перечислить основные преобразования, приводящие к уравнениям, равносильным на множествах; научиться решать уравнения путем замены его равносильным уравнением на множестве.

• Пусть даны два уравнения f(x)=g(x) и p(x)=h(x) и пусть дано некоторое множество чисел М
• Если любой корень первого уравнения, принадлежащий множеству М, является корнем второго уравнения, а любой корень второго уравнения, принадлежащий множеству М, является корнем первого уравнения, то такие уравнения называют равносильными на множестве М.
• Если каждое из этих уравнений не имеет корней на множестве М , то такие уравнения называются равносильными на множестве М

• Замену одного уравнения другим уравнением, равносильным ему на множестве М , называют равносильным переходом на множестве М от одного уравнения к другому.
• Если два уравнения равносильны на множестве всех действительных чисел, то в таких случаях говорят, что уравнения равносильны, опуская слова на множестве действительных чисел.

Основные преобразования уравнений, приводящие исходное уравнение к уравнению, равносильному ему на некотором множестве чисел

• Возведение уравнения f(x)=g(x) в четную степень, приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве М, на котором обе функции неотрицательны.
• Умножение ( деление) обеих частей уравнения на функцию ψ, приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве М, на котором функция ψ определена и отлична от нуля.

0, a ≠1 приводит к уравнению f(x)=g(x), равносильному исходному на том множестве М, на котором положительны обе функции f и g . Приведение подобных членов ( h(x)-h(x)=0) приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве М, на котором определена функция h(x) , т,е. на области существования функции h(x). » width=»640″

Основные преобразования уравнений, приводящие исходное уравнение к уравнению, равносильному ему на некотором множестве чисел

• Потенцирование логарифмического уравнения

приводит к уравнению f(x)=g(x), равносильному исходному на том множестве М, на котором положительны обе функции f и g .

• Приведение подобных членов ( h(x)-h(x)=0) приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве М, на котором определена функция h(x) , т,е. на области существования функции h(x).

Основные преобразования уравнений, приводящие исходное уравнение к уравнению, равносильному ему на некотором множестве чисел

• Применение некоторых формул

( логарифмических, тригонометрических и др.) приводит к уравнению, равносильному исходному на множестве М, на котором определены обе части применяемых формул.

Работаем в классе:

• № 10.5 (а,в)
• № 10.6 ( а, в)
• № 10.7 ( а, в)
• № 10.8 ( а,в)
• № 10.11( а,в)

«Равносильность уравнений» в 11 классе
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме » Равносильность уравнений»..

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе

Тема: «Равносильность уравнений»

Тип уроков: комбинированные уроки изучения нового материала, обобщения и систематизации знаний.

• обобщить и систематизировать знания учащихся по наиболее важным вопросам, связанным с преобразованиями и решением уравнений с одной переменной.
• развитие мышления учащихся; развитие познавательного интереса и умений учебно-познавательной деятельности.
• воспитание организованности, самоконтроля и взаимоконтроля.

Организационные формы общения: индивидуальная, групповая.

Оборудование: модуль «Решение иррациональных уравнений».

I Организационный этап — 2 мин.

II Актуализация опорных знаний — 4 мин.

III Цели урока — 2 мин.

IV Изучение теоретического материала и способов деятельности — 20 мин.

V Закрепление учебного материала — 12 мин.

V Закрепление учебного материала — 25 мин.

VI Самостоятельная работа — 10 мин.

VII Домашнее задание — 3 мин.

VIII Выводы по уроку — 2 мин.

I Организационный этап

II Актуализация опорных знаний

Краткое обсуждение с учащимися тех теоретических знаний, которыми они обладают и пользуются при решении уравнений.

Допустим, нам необходимо решить уравнение

Преобразуем данное уравнение, выстраивая цепочку уравнений и стараясь получить уравнение вида а х = b , т.е. линейное уравнение

6х — 15 = 2х + 5, 6х — 2х = 5 + 15, 4х = 20.

Откуда получаем, что 5 — корень уравнения. Причём, как последнего уравнения, так и любого из уравнений данной цепочки, так как они являются равносильными уравнениями. По сути, решением уравнения и является выстраивание подобных цепочек уравнений.

Однако при преобразовании уравнений (и неравенств в том числе) далеко не всегда легко получить им равносильные уравнения. И как быть тогда?

Изучением этих крайне важных вопросов нам и предстоит заняться.

Мы вернёмся к целому ряду понятий, связанных с решением уравнений, с которыми вы неплохо знакомы, и посмотрим на них как бы несколько иначе, глубже, обобщим и дополним рядом важных и принципиальных положений.

IV Изучение теоретического материала и способов деятельности

1) Определение. Два уравнения с одной переменной f(х) = g(х) и h(х) = р(х) называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Например, уравнения — 4 = 0 и ( х + 2)(2 Х — 4 ) = 0 равносильны; равносильны и уравнения х 2 + 1 = 0 и = — 2 — они не имеют корней.

2) Определение . Если каждый корень уравнения f(х) = g(х) (1)

является в то же время корнем уравнения h(х) = р(х) (2),

то уравнение (2) называется следствием уравнения (1).

Например, уравнение х — 2 = 3 имеет корень 5 , уравнение — 25 = 0 имеет корни ± 5 . Так как корень уравнения х — 2 = 3 является корнем уравнения х 2 — 25 = 0 , то уравнение х 2 — 25 = 0 является следствием,, уравнения х — 2 = 3.

Следовательно, два уравнения называют равносильными тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

3) Если в ходе преобразований, при переходе от одного из уравнений к уравнению-следствию, мы неуверенны в равносильности выполняемого перехода, то у последнего уравнения могут появиться посторонние корни в отношении исходного уравнения. Поэтому все полученные корни уравнения- следствия необходимо проверить, подставляя их в исходное уравнение. Тем самым, проверка найденных корней уравнения является не проверкой верности выполненных технических преобразований, а неотъемлемой частью, этапом решения уравнения.

4) Итак, мы выяснили, что в процессе решения уравнений (а ещё более при решении неравенств) на каждом этапе преобразований крайне важно знать, равносильный ли переход мы совершаем. Сформулируем и обсудим ряд важных для нас положений.

Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечётную степень, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Теорема 3 . Показательное уравнение (где > 1, 1 ) равносильно уравнению f(х) = g(х).

Определение . Областью определения уравнения f(х) = g(х) или ОДЗ переменной уравнения называется множество тех значений х , при которых одновременно имеют смысл обе части уравнения f(х) = g(х).

Теорема 4 . Если обе части уравнения f(х) = g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое имеет смысл всюду в области определения (ОДЗ) уравнения f(х) = g(х) и при этом нигде в этой области h(х) 0 , то уравнения f(х) = g(х) и h(х)∙ f(х) = h(х) g(х) равносильны.

То есть, мы можем обе части уравнения умножать или делить на одно и то же отличное от нуля число, не нарушая при этом равносильности уравнений.

Теорема 5. Если обе части уравнения f(х) = g(х) неотрицательны на ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же степень n получится уравнение g n (x), равносильное исходному уравнению.

Теорема 6. Если f(х)>0, = g(х)>0 , то уравнение log α 2 f(x) = log α g(x) , где а>0, , равносильно уравнению f(х) = g(х).

5) Рассмотрим применение теоретических положений на практике. Пусть нам дано уравнение х — 1 = 3 , корень которого равен 4 .

а) Умножив обе части уравнения на выражение х — 2 , получим уравнение (х — 1 )(х — 2) = 3(х — 2). Решим полученное уравнение

х 2 — Зх + 2 = Зх — 6, х 2 — 6х + 8 = 0, x 1 = 2, х 2 = 4.

То есть, уравнение-следствие имеет два корня 2 и 4 , причём, 2 -посторонний корень для исходного уравнения. Каким образом у исходного уравнения появился посторонний корень? — Если бы мы вначале преобразовали исходное уравнение к виду х — 4 = 0 . За тем домножили обе части уравнения на х — 2 . То получили бы уравнение (х — 4)(х — 2) = 0 , которое равносильно совокупности уравнении . Тогда понятно, что уравнение х — 2 = 0 , по отношению к исходному уравнению х — 4 = 0 , является посторонним уравнением, отсюда и появление постороннего корня. Фактически мы умножили обе части исходного уравнения на выражение х — 2 , допуская при этом его равенство нулю, что невозможно по теореме 4 .

б) Возведём в квадрат обе части уравнения х — 1 = 3 . Получим уравнение-следствие (х-1) 2 = 9 . Откуда х 2 — 2х — 8 = 0, х 1 = — 2, х 2 = 4 . Вновь у уравнения-следствия появляется посторонний корень по отношению к исходному уравнению. Преобразовав уравнение (х-1) 2 = 9 к виду (х-4)(х+ 2)=0 , получаем постороннее уравнение х + 2 = 0 и посторонний корень -2 . Нарушено условие теоремы 5: возводя в квадрат, мы «забыли», что при возведении в квадрат должно выполняться условие х — 1 >0 .

в) Рассмотрим уравнение ln (2х — 4) = 1n(3х — 5). Потенцируя, получим уравнение 2х — 4 = Зх — 5. Откуда х = 1 . Проверкой убеждаемся, что 1 является посторонним корнем для исходного уравнения. В данном случае произошло не появление постороннего уравнения, а расширение ОДЗ исходного уравнения. У исходного уравнения ОДЗ: (2; + ), у полученного уравнения ОДЗ — вся числовая прямая. Тем самым не нарушены требования теоремы 6.

6) Выводы. Исходное уравнение преобразуется в процессе решения в уравнение-следствие, значит, необходимо обязательное выполнение проверки всех найденных корней, если: расширилась ОДЗ уравнения; возводились в одну и ту же чётную степень обе части уравнения; выполнялось умножение обеих частей уравнения на одно и тоже выражение с переменной.

V Закрепление учебного материала

1) № 1663; № 1665(а, в); № 1666 (а, б).

2) Переходя к решению уравнений, мы будем стараться учесть следующие два момента. С одной стороны наши решения уравнений должны содержать необходимое теоретическое обоснование нашей деятельности. С другой стороны мы будем учитывать, что в дальнейшем, при решении неравенств, в большинстве случаев от нас потребуется обеспечение равносильности переходов в преобразованиях, и поэтому уже на данном этапе — при решении уравнений, мы будем отрабатывать именно эти навыки, дабы обеспечить преемственность способов деятельности.

Пусть на дано уравнение g(x) Возведя в квадрат обе части уравнения, получим уравнение f(х) = g 2 (х) которое можно записать так:

( -g(x)) ( +g(x))=0

Откуда получаем совокупность уравнений: .

Имеем постороннее уравнение, и могут появиться посторонние корни. Следовательно, необходима проверка корней. Если мы захотим выполнить равносильный переход и обойтись без проверки, то исходное уравнение

равносильно смешанной системе:

3) Решим уравнения (двумя способами):

а) Первый способ. Решение. ОДЗ уравнения: х > — 11 . После возведения обеих частей уравнения в квадрат, получим уравнение-следствие х 2 -Зх-10 = 0 с корнями — 2 и 5 . Оба корня принадлежат ОДЗ уравнения, но это не меняет сути дела и мы вынуждены выполнить проверку корней.

Проверка. Подставив x 1 = — 2 , получим — неверное равенство, — 2 — посторонний корень.

Подставив х 2 = 5 , получим или 4 = 4 — верное равенство, 5 корень исходного уравнения.

а) Второй способ . Решение. Исходное уравнение равносильно системе

или решение системы и исходного

уравнения х 2 = 5.

б) Первый способ . Решение. ОДЗ уравнения: . Возведя обе части

уравнения в квадрат и приведя подобные слагаемые, получим уравнение х 2 — х = 0 . Откуда x 1 = 0, х 2 = 1 . Опять оба корня принадлежат ОДЗ уравнения, но будут ли они корнями исходного уравнения ничего сказать нельзя.

Проверка . Подставив x 1 = 0 , получим — верное равенство, 0 — корень исходного уравнения.

Подставив х 2 = 1 , получим — верное равенство, 1 — корень исходного уравнения.

б) Второй способ. Решение. Исходное уравнение равносильно системе

или . Откуда решение системы и исходного уравнения 0 и 1 .

в) Первый способ. Решение. ОДЗ уравнения: -1 . Возведя обе части уравнения в квадрат и приведя подобные слагаемые, получим уравнение . Откуда x 1 = 0, х 2 = . Оба корня принадлежат ОДЗ

уравнения. Выполним проверку.

Проверка . Подставив x 1 = 0 , получим — неверное равенство, 0 -посторонний корень.

Подставив х 2 = , получим — неверное равенство, -посторонний корень.

Оба корня принадлежат ОДЗ переменной уравнения, но при этом являются посторонними корнями. Ответ: корней нет.

в) Второй способ . Решение. Исходное уравнение равносильно системе или . Система решений не имеет, значит, и уравнение тоже решений не имеет.

Ответ: корней нет.

г) Первый способ . Решение. ОДЗ уравнения задаётся решением системы , или которая решений не имеет. Значит, ОДЗ уравнения — пустое множество, уравнение решений не имеет.

Ответ: корней нет.

г) Второй способ . Решение. Исходное уравнение равносильно системе или Система решений не имеет, значит, и исходное уравнение тоже решений не имеет.

Ответ: корней нет .

Решение. Произведение двух сомножителей равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю, а второй сомножитель при этом имеет смысл.

а) х 2 — 9 = 0, х = ± 3.

Проверим, имеет ли смысл при этих значениях второй сомножитель.

При x 1 =-3, — имеет смысл, поэтому — 3 — корень уравнения; при х 2 = 3, — не имеет смысла, 3 не является корнем уравнения.

Уравнение равносильно системе или

Решением системы является число 1 . Так как х 2 — 9 имеет смысл при всех значениях переменной, то 1 является и корнем исходного уравнения.

5) Выводы. При решении иррациональных уравнений — возведении обеих частей уравнения в чётную степень, принадлежность полученных корней ОДЗ уравнения не позволяет сделать вывод, о том являются ли эти корни посторонними или нет. Поэтому выполнение проверки корней обязательно и это этап решения уравнения. Если корень не принадлежит ОДЗ то он, конечно, посторонний корень уравнения. В то же время, записывая систему равносильную уравнению, мы не нарушаем логики решения уравнения: ведь уравнение с пустой ОДЗ равносильно системе, не имеющей решений.

VI Самостоятельная работа

Решить уравнение двумя способами.

I вариант II вариант

VII Домашнее задание

§ 55 по учебнику; № 1673 по задачнику (решить двумя способами).