Основные понятия теории систем уравнений

Системы линейных уравнений: основные понятия

— это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:

Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных. В школьной алгебре так обычно и бывает, однако для высшей алгебры это, вообще говоря, неверно.

— это последовательность чисел ( k ₁, k ₂, . k_n ), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x ₁, x ₂, . x_n дает верное числовое равенство.

Соответственно, решить систему уравнений — значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:

1. Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Достаточно редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким методом решать систему.
2. Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. Классический вариант, хорошо известный еще со школьной скамьи.
3. Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений. Это самый жесткий вариант. Недостаточно указать, что «система имеет бесконечное множество решений» — надо описать, как устроено это множество.

Переменная x_i называется , если она входит только в одно уравнение системы, причем с коэффициентом 1. Другими словами, в остальных уравнениях коэффициент при переменной x_i должен быть равен нулю.

Если в каждом уравнении выбрать по одной разрешенной переменной, получим набор разрешенных переменных для всей системы уравнений. Сама система, записанная в таком виде, тоже будет называться разрешенной. Вообще говоря, одну и ту же исходную систему можно свести к разным разрешенным, однако сейчас нас это не волнует. Вот примеры разрешенных систем:

Обе системы являются разрешенными относительно переменных x ₁, x ₃ и x ₄. Впрочем, с тем же успехом можно утверждать, что вторая система — разрешенная относительно x ₁, x ₃ и x ₅. Достаточно переписать самое последнее уравнение в виде x ₅ = x ₄.

Теперь рассмотрим более общий случай. Пусть всего у нас k переменных, из которых r являются разрешенными. Тогда возможны два случая:

1. Число разрешенных переменных r равно общему числу переменных k : r = k . Получаем систему из k уравнений, в которых r = k разрешенных переменных. Такая система является совместной и определенной, т.к. x ₁ = b ₁, x ₂ = b ₂, . x_k = b_k ;
2. Число разрешенных переменных r меньше общего числа переменных k : r k . Остальные ( k − r ) переменных называются свободными — они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Так, в приведенных выше системах переменные x ₂, x ₅, x ₆ (для первой системы) и x ₂, x ₅ (для второй) являются свободными. Случай, когда есть свободные переменные, лучше сформулировать в виде теоремы:

Обратите внимание: это очень важный момент! В зависимости от того, как вы запишете итоговую систему, одна и та же переменная может быть как разрешенной, так и свободной. Большинство репетиторов по высшей математике рекомендуют выписывать переменные в лексикографическом порядке, т.е. по возрастанию индекса. Однако вы совершенно не обязаны следовать этому совету.

Теорема. Если в системе из n уравнений переменные x ₁, x ₂, . x_r — разрешенные, а x _{r + 1}, x _{r + 2}, . x _k — свободные, то:

1. Если задать значения свободным переменным ( x _{r + 1} = t _{r + 1}, x _{r + 2} = t _{r + 2}, . x_k = t_k ), а затем найти значения x ₁, x ₂, . x_r , получим одно из решений.
2. Если в двух решениях значения свободных переменных совпадают, то значения разрешенных переменных тоже совпадают, т.е. решения равны.

В чем смысл этой теоремы? Чтобы получить все решения разрешенной системы уравнений, достаточно выделить свободные переменные. Затем, присваивая свободным переменным разные значения, будем получать готовые решения. Вот и все — таким образом можно получить все решения системы. Других решений не существует.

Вывод: разрешенная система уравнений всегда совместна. Если число уравнений в разрешенной системе равно числу переменных, система будет определенной, если меньше — неопределенной.

И все бы хорошо, но возникает вопрос: как из исходной системы уравнений получить разрешенную? Для этого существует метод Гаусса.

Системы линейных алгебраических уравнений: основные понятия, виды

Определение СЛАУ

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:

$$\left\<\begin a_ <11>\cdot x_<1>+a_ <12>\cdot x_<2>+\ldots+a_ <1 n>\cdot x_=b_ <1>\\ a_ <21>\cdot x_<1>+a_ <22>\cdot x_<2>+\ldots+a_ <2 n>\cdot x_=b_ <2>\\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . \\ a_ \cdot x_<1>+a_ \cdot x_<2>+\ldots+a_ \cdot x_=b_ \end\right.$$

Упорядоченный набор значений $$\left\^<0>, x_<2>^<0>, \ldots, x_^<0>\right\>$$ называется решением системы, если при подстановке в уравнения все уравнения превращаются в тождество.

Задание. Проверить, является ли набор $<0,3>$ решением системы $\left\<\begin 3 x-2 y=-6 \\ 5 x+y=3 \end\right.$

Решение. Подставляем в каждое из уравнений системы $x=0$ и $y=3$:

$$5 x+y=3 \Rightarrow 5 \cdot 0+3=3 \Rightarrow 3=3$$

Так как в результате подстановки получили верные равенства, то делаем вывод, что заданный набор является решением указанной СЛАУ.

Ответ. Набор $<0,3>$ является решением системы $\left\<\begin 3 x-2 y=-6 \\ 5 x+y=3 \end\right.$

Виды систем

СЛАУ называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение.

В противном случае система называется несовместной.

Система $\left\<\begin 3 x-2 y=-6 \\ 5 x+y=3 \end\right.$ является совместной, так как она имеет, по крайней мере, одно решение $x=0$, $y=3$

Система $\left\<\begin 5 x+y=-6 \\ 5 x+y=3 \end\right.$ является несовместной, так как выражения, стоящие в левых частях уравнений системы равны, но правые части не равны друг другу. Ни для каких наборов $$ это не выполняется.

Система называется определённой, если она совместна и имеет единственное решение.

В противном случае (т.е. если система совместна и имеет более одного решения) система называется неопределённой.

Система называется однородной, если все правые части уравнений, входящих в нее, равны нулю одновременно.

Система называется квадратной, если количество уравнений равно количеству неизвестных.

Система $\left\<\begin 3 x-2 y=-6 \\ 5 x+y=3 \end\right.$ квадратная, так как неизвестных две и это число равно количеству уравнений системы.

Матричная запись систем уравнений

Исходную СЛАУ можно записать в матричном виде:

Задание. Систему $\left\<\begin x-y+z-4 t=0 \\ 5 x+y+t=-11 \end\right.$ записать в матричной форме и выписать все матрицы, которые ей соответствуют.

Решение. Заданную СЛАУ записываем в матричной форме $A. X=B$ , где матрица системы:

$$A=\left(\begin 1 & -1 & 1 & -4 \\ 5 & 1 & 0 & 1 \end\right)$$

то есть, запись СЛАУ в матричной форме:

$$\left(\begin 1 & -1 & 1 & -4 \\ 5 & 1 & 0 & 1 \end\right)\left(\begin x \\ y \\ z \\ t \end\right)=\left(\begin 0 \\ -11 \end\right)$$

Расширенная матрица системы

Задание. Записать матрицу и расширенную матрицу системы $\left\<\begin 2 x_<1>+x_<2>-x_<3>=4 \\ x_<1>-x_<2>=5 \end\right.$

Решение. Матрица системы $A=\left(\begin 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end\right)$ , тогда расширенная матрица $\tilde=(A \mid B)=\left(\begin 2 & 1 & -1 & 4 \\ 1 & -1 & 0 & 5 \end\right)$

Системы уравнений: определение, виды, примеры решения

Статья знакомит с таким понятием, как определение системы уравнений и ее решением. Будут рассмотрены часто встречающиеся случаи решений систем. Приведенные примеры помогут подробно пояснить решение.

Определение системы уравнений

Чтобы перейти к определению системы уравнений, необходимо обратить внимание на два момента: вид записи и ее смысл. Чтобы понять это, нужно подробно остановиться на каждом из видов, тогда сможем прийти к определению систем уравнений.

Например, возьмем два уравнения 2 · x + y = − 3 и x = 5 , после чего объединим фигурной скобкой такого плана:

2 · x + y = — 3 , x = 5 .

Уравнения, объединенные фигурной скобкой, считаются записями систем уравнений. Они задают множества решений уравнений данной системы. Каждое решение должно являться решением всех заданных уравнений.

Другими словами это означает, что любые решения первого уравнения будут решениями всех уравнений, объединенных системой.

Системы уравнений – это некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой, имеющих множество решений уравнений, которые одновременно являются решениями для всей системы.

Основные виды систем уравнений

Видов уравнений достаточно много, как систем уравнений. Для того, чтобы было удобно решать и изучать их, подразделяют на группы по определенным характеристикам. Это поможет в рассмотрении систем уравнений отдельных видов.

Для начала уравнения классифицируются по количеству уравнений. Если уравнение одно, то оно является обычным уравнением, если их более, тогда имеем дело с системой, состоящей из двух или более уравнений.

Другая классификация затрагивает число переменных. Когда количество переменных 1 , говорят, что имеем дело с системой уравнений с одной неизвестной, когда 2 – с двумя переменными. Рассмотрим пример

x + y = 5 , 2 · x — 3 · y = 1

Очевидно, что система уравнений включает в себя две переменные х и у .

При записи таких уравнений считается число всех переменных, имеющихся в записи. Их наличие в каждом уравнении необязательно. Хотя бы одно уравнение должно иметь одну переменную. Рассмотрим пример системы уравнений

2 x = 11 , x — 3 · z 2 = 0 , 2 7 · x + y — z = — 3

Данная система имеет 3 переменные х , у , z . Первое уравнение имеет явный х и неявные у и z . Неявные переменные – это переменные, имеющие 0 в коэффициенте. Второе уравнение имеет х и z , а у неявная переменная. Иначе это можно записать таким образом

2 x + 0 · y + 0 · z = 11

А другое уравнение x + 0 · y − 3 · z = 0 .

Третья классификация уравнений – это вид. В школе проходят простые уравнения и системы уравнений, начиная с систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Имеется в виду, что система включает в себя 2 линейных уравнения. Для примера рассмотрим

2 · x — y = 1 , x + 2 · y = — 1 и — 3 · x + y = 0 . 5 , x + 2 2 3 · y = 0

Это основные простейшие линейные уравнения. Далее можно столкнуться с системами, содержащими 3 и более неизвестных.

В 9 классе решают уравнения с двумя переменными и нелинейные. В целых уравнениях повышается степень для увеличения сложности. Такие системы называют системами нелинейных уравнений с определенным количеством уравнений и неизвестных. Рассмотрим примеры таких систем

x 2 — 4 · x · y = 1 , x — y = 2 и x = y 3 x · y = — 5

Обе системы с двумя переменными и обе являются нелинейными.

При решении можно встретить дробно-рациональные уравнения. Например

x + y = 3 , 1 x + 1 y = 2 5

Могут называть просто системой уравнений без уточнения, каких именно. Редко уточняют сам вид системы.

Старшие классы переходят к изучению иррациональных, тригонометрических и показательных уравнений. Например,

x + y — x · y = 5 , 2 · x · y = 3 , x + y = 5 · π 2 , sin x + cos 2 y = — 1 , y — log 3 x = 1 , x y = 3 12 .

Высшие учебные заведения изучают и исследуют решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Левая часть таких уравнений содержит многочлены с первой степенью, а правая – некоторые числа. Отличие от школьных в том, что количество переменных и количество уравнений может быть произвольным, чаще всего несовпадающим.

Решение систем уравнений

Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара переменных, которая при подстановке обращает каждое уравнение в верное числовое неравенство, то есть является решением для каждого уравнения данной системы.

К примеру, пара значений х = 5 и у = 2 являются решением системы уравнений x + y = 7 , x — y = 3 . Потому как при подстановке уравнения обращаются в верные числовые неравенства 5 + 2 = 7 и 5 − 2 = 3 . Если подставить пару х = 3 и у = 0 , тогда система не будет решена, так как подстановка не даст верное уравнение, а именно, мы получим 3 + 0 = 7 .

Сформулируем определение для систем, содержащих одну и более переменных.

Решение системы уравнений с одной переменной – это значение переменной, которая является корнем уравнений системы, значит, все уравнения будут обращены в верные числовые равенства.

Рассмотрим на примере системы уравнений с одной переменной t

t 2 = 4 , 5 · ( t + 2 ) = 0

Число — 2 – решение уравнения, так как ( − 2 ) · 2 = 4 , и 5 · ( − 2 + 2 ) = 0 являются верными числовыми равенствами. При t = 1 система не решена, так как при подстановке получим два неверных равенства 12 = 4 и 5 · ( 1 + 2 ) = 0 .

Решение системы с тремя и более переменными называют тройку, четверку и далее значений соответственно, которые обращают все уравнения системы в верные равенства.

Если имеем значения переменных х = 1 , у = 2 , z = 0 , то подставив их в систему уравнений 2 · x = 2 , 5 · y = 10 , x + y + z = 3 , получим 2 · 1 = 2 , 5 · 2 = 10 и 1 + 2 + 0 = 3 . Значит, эти числовые неравенства верные. А значения ( 1 , 0 , 5 ) не будут решением, так как, подставив значения, второе из них будет неверное, как и третье: 5 · 0 = 10 , 1 + 0 + 5 = 3 .

Системы уравнений могут не иметь решений вовсе или иметь бесконечное множество. В этом можно убедиться при углубленном изучении данной тематики. Можно прийти к выводу, что системы уравнений – это пересечение множеств решений всех ее уравнений. Раскроем несколько определений:

Несовместной называют систему уравнений, когда она не имеет решений, в противном случае ее называют совместной.

Неопределенной называют систему, когда она имеет бесконечное множество решений, а определенной при конечном числе решений либо при их отсутствии.

Такие термины редко применяются в школе, так как рассчитаны для программ высших учебных заведений. Знакомство с равносильными системами углубит имеющиеся знания по решению систем уравнений.