Основные составляющие уравнения теплового баланса

Основные составляющие уравнения теплового баланса

Ключевые слова конспекта: количество теплоты, уравнение теплового баланса, закон сохранения энергии в тепловых процессах.

Для механических явлений при определённых условиях выполняется закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия системы тел сохраняется, если они взаимодействуют силами тяготения или упругости. Если действуют силы трения, то полная механическая энергия тел не сохраняется, часть её (или вся) превращается в их внутреннюю энергию.

При изменении состояния тела (системы) меняется его внутренняя энергия. Состояние тела и соответственно его внутреннюю энергию можно изменить двумя способами: в процессе теплопередачи или путём совершения внешними силами работы над телом (работа, например, силы трения). Мерой изменения внутренней энергии тела в процессе теплообмена выступает количество теплоты (Q).

Уравнение теплового баланса

В изолированной системе при смешивании горячей и холодной воды, количество теплоты Q₁, отданное горячей водой, равно количеству теплоты Q₂, полученному холодной водой, т.е.: |Q₁|= |Q₂| . Q₁ (выделенное) 0.

Q_{отданное} + Q_{полученное} = 0

Записанное равенство называется уравнением теплового баланса (эта формула и уравнение, используемое в 8 классе!). Определение: суммарное количества теплоты, которое выделяется в теплоизолированной системе равно суммарному количеству теплоты, которое в этой системе поглощается.

Уравнение теплового баланса связывает количество теплоты, полученное одним телом, и количество теплоты, отданное другим телом при теплообмене. При этом в теплообмене могут участвовать не два тела, а три и более: Q₁ + Q₂ + Q₃ + … = 0

Уравнение теплового баланса – это закон сохранения энергии для процессов теплообмена в термоизолированных системах. Оно даёт возможность определить те или иные величины. В частности, значения удельной теплоёмкости веществ определяют из уравнения теплового баланса.

◊◊◊ Обратите внимание! В более старших классах используется следующее определение «уравнения теплового баланса»: Если в изолированной системе тел не происходит никаких превращений энергии кроме теплообмена, то количество теплоты, отданное телами, внутренняя энергия которых уменьшается, равно количеству теплоты, полученному телами, внутренняя энергия которых увеличивается. При этом суммарная энергия системы не изменяется«. А также используется другая формула уравнения (с учетом интегральной формы Первого начала термодинамики):

Закон сохранения энергии в тепловых процессах

Закон сохранения энергии в тепловых процессах выполняется при нагревании тел за счёт энергии, выделяющейся при сгорании топлива. Топливо — это природный газ, дрова, уголь, нефть. При его сгорании происходит химическая реакция окисления — атомы углерода соединяются с атомами кислорода, содержащимися в воздухе, и образуется молекула оксида углерода (углекислого газа) С0₂. При этом выделяется энергия.

При сгорании различного топлива одинаковой массы выделяется разное количество теплоты. Например, хорошо известно, что природный газ является энергетически более выгодным топливом, чем дрова. Это значит, что для получения одного и того же количества теплоты, масса дров, которые нужно сжечь, должна быть существенно больше массы природного газа. Следовательно, различные виды топлива с энергетической точки зрения характеризуются величиной, называемой удельной теплотой сгорания топлива.

Конспект урока «Уравнение теплового баланса».

Тепловое равновесие и уравнение теплового баланса

Тела, температура которых отличается, могут обмениваться тепловой энергией. То есть, между телами будет происходить теплообмен. Самостоятельно тепловая энергия переходит от более нагретых тел к менее нагретым.

Что такое теплообмен и при каких условиях он происходит

Тела, имеющие различные температуры, будут обмениваться тепловой энергией. Этот процесс называется теплообменом.

Теплообмен – процесс обмена тепловой энергией между телами, имеющими различные температуры.

Рассмотрим два тела, имеющие различные температуры (рис. 1).

Тело, имеющее более высокую температуру, будет остывать и отдавать тепловую энергию телу, имеющему низкую температуру. А тело с низкой температурой будет получать количество теплоты и нагреваться.

На рисунке, горячее тело имеет розовый оттенок, а холодное изображено голубым цветом.

Когда температуры тел выравниваются, теплообмен прекращается.

Чтобы теплообмен происходил, нужно, чтобы тела имели различные температуры.

Когда температура тел выравняется, теплообмен прекратится.

Тепловое равновесие — это состояние, при котором тела имеют одинаковую температуру.

Уравнение теплового баланса и сохранение тепловой энергии

Когда тело остывает, оно отдает тепловую энергию (теплоту). Утерянное количество теплоты Q имеет знак «минус».

А когда тело нагревается – оно получает тепловую энергию. Приобретенное количество теплоты Q имеет знак «плюс».

Эти факты отражены на рисунке 2.

Закон сохранения тепловой энергии: Количество теплоты, отданное горячим телом равно количеству теплоты, полученному холодным телом.

Примечание: Существует и другая формулировка закона сохранения энергии: Энергия не появляется сама собой и не исчезает бесследно. Она переходит из одного вида в другой.

Уравнение теплового баланса

Тот факт, что тепловая энергия сохраняется, можно записать с помощью математики в виде уравнения. Такую запись называют уравнением теплового баланса.

Запишем уравнение теплового баланса для двух тел, обменивающихся тепловой энергией:

\(\large Q_<\text<остывания горяч>> \left( \text <Дж>\right) \) – это количество теплоты горячее тело теряет.

\(\large Q_<\text<нагревания холод>> \left( \text <Дж>\right) \) – это количество теплоты холодное тело получает.

В левой части уравнения складываем количество теплоты каждого из тел, участвующих в теплообмене.

Записываем ноль в правой части уравнения, когда теплообмен с окружающей средой отсутствует. То есть, теплообмен происходит только между рассматриваемыми телами.

В некоторых учебниках применяют сокращения:

\[\large Q_ <1>+ Q_ <2>= 0 \]

Примечание: Складывая два числа мы получим ноль, когда эти числа будут:

• равными по модулю и
• имеют различные знаки (одно число — знак «плюс», а второе – знак «минус»).

Если несколько тел участвуют в процессе теплообмена

Иногда в процессе теплообмена участвуют несколько тел. Тогда, для каждого тела нужно записать формулу количества теплоты Q. А потом все количества теплоты подставить в уравнение для теплового баланса:

\[\large \boxed < Q_<1>+ Q_ <2>+ Q_ <3>+ \ldots + Q_ = 0 > \]

• Q для каждого нагреваемого тела будет обладать знаком «+»,
• Q для каждого охлаждаемого тела — знаком «-».

Пример расчетов для теплообмена между холодным и горячим телом

К горячей воде, массой 200 грамм, имеющей температуру +80 градусов Цельсия, добавили холодную воду, в количестве 100 грамм при температуре +15 градусов Цельсия. Какую температуру будет иметь смесь после установления теплового равновесия? Считать, что окружающая среда в теплообмене не участвует.

Примечание: Здесь мы рассматриваем упрощенную задачу, для того, чтобы облегчить понимание закона сохранения энергии. Мы не учитываем в этой задаче, что вода содержится в емкости. И часть тепловой энергии будет затрачиваться на то, чтобы изменить температуру емкости.

При решении других задач обязательно учитывайте, что емкость, в которой будет содержаться вещество, имеет массу. И часть тепловой энергии будет затрачиваться на то, чтобы изменить температуру емкости.

Решение:

В условии сказано, что окружающая среда в теплообмене не участвует. Поэтому, будем считать рассматриваемую систему замкнутой. А в замкнутых системах выполняются законы сохранения. Например, закон сохранения энергии.

Иными словами, с сосудом и окружающим воздухом теплообмен не происходит и, все тепловая энергия, отданная горячей водой, будет получена холодной водой.

1). Запишем уравнение теплового баланса, в правой части которого можно записать ноль:

2). Теперь запишем формулу для каждого количества теплоты:

Примечания:

1. \(\large c_<\text<воды>> \) – удельную теплоемкость воды находим в справочнике;
2. Массу воды переводим в килограммы;
3. Горячая вода остывает и отдает тепловую энергию. Поэтому, разность \(\large (t_<\text<общ>> — t_<\text<горяч>> ) \) будет иметь знак «минус», потому, что конечная температура горячей воды меньше ее начальной температуры;
4. Холодная вода получает тепловую энергию и нагревается. Из-за этого, разность \(\large (t_<\text<общ>> — t_<\text<холодн>> ) \) будет иметь знак «плюс», потому, что конечная температура холодной воды больше ее начальной температуры;

3). Подставим выражения для каждого Q в уравнение баланса:

4). Для удобства, заменим символы числами:

\[\large 4200 \cdot 0,2 \cdot (t_<\text<общ>> — 80 ) + 4200 \cdot 0,1 \cdot (t_<\text<общ>> — 15 ) = 0 \]

\[\large 840 \cdot (t_<\text<общ>> — 80 ) + 420 \cdot (t_<\text<общ>> — 15 ) = 0 \]

Раскрыв скобки и решив это уравнение, получим ответ:

Ответ: Температура смеси после прекращения теплообмена будет равна 58,33 градуса Цельсия.

Задача для самостоятельного решения:

В алюминиевом калориметре массой 100 грамм находится керосин массой 250 грамм при температуре +80 градусов Цельсия. В керосин поместили свинцовый шарик, массой 300 грамм. Начальная температура шарика +20 градусов Цельсия. Найдите температуру тел после установления теплового равновесия. Внешняя среда в теплообмене не участвует.

Примечание к решению: В левой части уравнения теплового баланса теперь будут находиться три слагаемых. Потому, что мы учитываем три количества теплоты:

• \(\large Q_ <1>\) – охлаждение алюминия от температуры +80 градусов до конечной температуры;
• \(\large Q_ <2>\) – охлаждение керосина от температуры +80 градусов до конечной температуры;
• \(\large Q_ <3>\) – нагревание свинца от температуры +20 градусов до конечной температуры;

А справа в уравнение теплового баланса запишем ноль. Так как внешняя среда в теплообмене не участвует.

Уравнение теплового баланса

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 265.

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 265.

Решение задач термодинамики заключается в нахождении неизвестных величин в процессе обмена теплом внутри рассматриваемой системы. Важнейшим этапом решения является составление уравнения теплового баланса. Далее с помощью обычных математических правил находятся неизвестные величины. Рассмотрим порядок построения этого уравнения.

Теплообмен в системе

В соответствии с положениями молекулярно-кинетической теории (МКТ), температура тела – это количественная характеристика энергии молекул тела. Каждая молекула обладает некоторой кинетической энергией, и средняя энергия молекулы пропорциональна температуре ($k$ – постоянная Больцмана):

В равновесном состоянии температура тела во всех точках системы одинакова, и, следовательно, средняя энергия также одинакова. При столкновениях молекулы обмениваются энергией, однако, в среднем, каждая молекула получает от соседних ту же энергию, что и отдает им.

Что произойдет, если система будет образована с телами разной температуры ?

Разная температура тел означает, что молекулы этих тел имеют разную среднюю энергию. При столкновениях молекул более энергичные молекулы горячего тела будут отдавать молекулам холодного тела гораздо больше энергии, чем молекулы холодного тела смогут отдать молекулам горячего. При этом сами молекулы горячего тела, отдавая энергию, теряют скорость (а значит, и температуру), а молекулы холодного тела – скорость увеличивают (а значит, и температуру).

Такой процесс передачи энергии молекул от горячего тела к холодному называется теплообменом.

Уравнение теплового баланса

Поскольку количество молекул пропорционально массе тела, а средняя энергия молекулы пропорциональна температуре, то количество тепла, отданное или принятое телом, пропорционально массе и разности температур до и после обмена:

При этом величина $Δt$ (а значит, и $Q$) будет положительна, если тело нагревается, и отрицательна, если тело охлаждается. Для окончательного нахождения количества тепла, принятого или отданного телом, необходимо ввести коэффициент пропорциональности, физический смысл которого состоит в том, что это количество энергии, необходимое, чтобы нагреть 1кг вещества на 1К. Данный коэффициент называется удельной теплоемкостью, обозначается латинской буквой «c», и имеет размерность в $Дж \over кг × К$.

Рис. 2. Теплоемкость.

Таким образом, количество тепла, переданное n-му телу, равно:

$$Q_n = c_n m_n Δt_n$$

Поскольку система замкнута, то, согласно Закону сохранения энергии, общее количество энергии в системе остается постоянным. Теплообмен состоит лишь в том, чтобы энергия распределилась по системе равномерно. То есть, сумма количества тепла, переданного или принятого каждым телом в системе равна нулю:

В результате мы получили формулу уравнения теплового баланса. Подставив значения количества тепла, полученное или отданное каждым телом в системе, и решив получившееся уравнение, можно найти неизвестные величины.

Подчеркнем, что система должна быть замкнутой – то есть теплоизолированной от внешнего мира. Обычно изоляция осуществляется с помощью специального теплообменного аппарата – калориметра.

Рис. 3. Калориметр.

Порядок составления уравнения теплового баланса

Для составления уравнения теплового баланса необходимо рассмотреть все тела в представленной системе. Каждое тело обладает определенной массой $m_n$ и теплоемкостью $c_n$.

Кроме того, в начальный момент каждое тело имело некоторую температуру $t_n$, а в после теплообмена во всей системе установилась новая температура $t_<рез>$. Следовательно, у каждого из тел надо определить разность температур $Δt_n = t_<рез>-t_n$ (эта величина будет положительной для нагреваемых тел, и отрицательной для охлаждаемых).

Подставляя эти три параметра (теплоемкость, массу и разность температур) в формулу количества тепла для каждого тела, получаем выражения для $Q_1$,$Q_2$,$Q_3$…, сумма этих составляющих по Закону сохранения энергии равна нулю. В результате имеем готовое уравнение теплового баланса для данной системы, из которого возможно определение неизвестной величины.

Что мы узнали?

Уравнение теплового баланса следует из закона сохранения энергии. Оно означает, что сумма тепла, полученная нагреваемыми телами равна сумме тепла, отданного охлаждаемыми, общее количество переданного тепла всеми телами равно нулю. Составив уравнение теплового баланса для системы, можно найти неизвестную величину.