Основные свойства дроби 6 класс уравнения

Урок 8 Бесплатно Основное свойство дроби

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина.

Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей («треть», «четверть» и т. д.), для половины это не так — ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два».

Сегодня мы познакомимся с основным свойством любой из таких дробей.

Основное свойство дроби

Возьмем круг, разделим его на три равные части и закрасим две из них.

Каждую из 3-х частей поделим еще на 4 равные части.

Посмотрим, что получилось:

Получим, что весь круг поделен на \( \textbf<3>\cdot\textbf<4>=\textbf <12>\) частей, а в двух закрашенных частях круга будет \(\textbf<2>\cdot\textbf<4>=\textbf <8>\) таких частей.

Можно записать иначе:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

В этом заключается основное свойство дроби.

Две равные дроби являются различными записями одного и того же числа.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

С дробями можно легко познакомиться в быту. Достаточно вспомнить как выглядят настенные часы.

Там есть разделение на часы, минуты, а стрелки могут показывать, на какие части делится весь циферблат.

При этом мы будем получать дроби со знаменателями 12 (если делим на части по часам) или 60 (если делим на части по минутам).

Половина циферблата — это 6 часов из 12 или 30 минут из 60.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Примеры решения задач на основное свойство дроби

Любое математическое правило или свойство можно применить на практике.

Посмотрим, как применяется основное свойство дроби.

Пример:

Решение

Мы видим, что неизвестен числитель второй дроби, но дроби между собой равны.

Значит, используя основное свойство дроби, выясним, во сколько раз отличаются знаменатели дробей.

Проще делить больший знаменатель на меньший.

12 разделим на 4 и получим 3

Теперь найдем неизвестный числитель.

Мы посчитали, что a = 3 Подставив в формулу это значение, получим:

Получаем девять в числителе второй дроби:

Здесь видим подтверждение того факта, что равные дроби являются различными записями одного и того же числа.

Пример:

На тетрадном листе начертите луч длиной 10 клеток. Отметьте на нем точки с координатами:

Решение

Начертим луч и отметим нужные нам координаты, используя основное свойство дроби, где это требуется.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Основное свойство дроби применяют для приведения дробей к новому знаменателю или сокращению дробей.

Это используется для упрощения вычислений, решения уравнений и задач.

В следующих уроках вы подробнее познакомитесь с каждым из этих правил.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Интересная информация

В русском языке слово «дробь» появилось в VIII веке. Оно происходит от глагола «дробить» — разбивать, ломать на части.

Современное обозначение дробей берет своё начало в Древней Индии, затем его стали использовать и арабы.

В старых руководствах есть следующие названия дробей на Руси:

1 /₂ — половина, полтина

1 /₃ — треть

1 /₄ — четь

1 /₆ — полтреть

1 /₈ — полчеть

1 /₁₂ — полполтреть

1 /₁₆ — полполчеть

1 /₂₄ — полполполтреть (малая треть)

1 /₃₂ — полполполчеть (малая четь)

1 /₅ — пятина

Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления, она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.

Использовалась в России земельная мера четверть и более мелкая — получетверть, которая называлась осьмина.

Это были конкретные дроби, единицы для измерения площади земли. Но осьминой нельзя было измерить время или скорость и др.

Значительно позднее осьмина стала означать отвлеченную дробь 1/8, которой можно выразить любую величину.

О применении дробей в России XVII века можно прочитать в книге В. Беллюстина «Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики» следующее:

«В рукописи XVII в. «Статиячисленная о всяких долях указ «начинается прямо с письменного обозначения дробей и с указания числителя и знаменателя.

При выговаривании дробей интересны такие особенности: четвертая часть называлась четью, доли же со знаменателем от 5 до 11 выражались словами с окончанием «ина», так что 1/7— седмина, 1/5— пятина, 1/10— десятина; доли же со знаменателями, большими 10, выговаривались с помощью слов «жеребей», например 5/13— пять тринадцатых жеребьёв.

Нумерация дробей была прямо заимствована из западных источников: числитель назывался «верхним числом», знаменатель «исподним».

Заключительный тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — ½ или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

• Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
• Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

• подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
• умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

• если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
• делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

Основное свойство дроби: формулировка, доказательство, примеры применения

В данной статье разберем, в чем заключается основное свойство дроби, сформулируем его, приведем доказательство и наглядный пример. Затем рассмотрим, как применять основное свойство дроби при совершении действий сокращения дробей и приведения дробей к новому знаменателю.

Основное свойство дроби, формулировка, доказательство и примеры

Все обыкновенные дроби обладают важнейшим свойством, которое мы и называем основным свойством дроби, и звучит оно следующим образом:

Если числитель и знаменатель одной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то в итоге получится дробь, равная заданной.

Представим основное свойство дроби в виде равенства. Для натуральных чисел a , b и m будут справедливыми равенства:

a · m b · m = a b и a : m b : m = a b

Рассмотрим доказательство основного свойства дроби. Опираясь на свойства умножения натуральных чисел и свойства деления натуральных чисел, запишем равенства: ( a · m ) · b = ( b · m ) · a и ( a : m ) · b = ( b : m ) · a . Таким образом, дроби a · m b · m и a b , а также a : m b : m и a b являются равными по определению равенства дробей.

Разберем пример, который графически проиллюстрирует основное свойство дроби.

Допустим, у нас есть квадрат, разделенный на 9 «больших» частей-квадратов. Каждый «большой» квадрат разделен на 4 меньших по размеру. Возможно сказать, что заданный квадрат поделен на 4 · 9 = 36 «маленьких» квадратов. Выделим цветом 5 «больших» квадратов. При этом окрашенными будут 4 · 5 = 20 «маленьких» квадратов. Покажем рисунок, демонстрирующий наши действия:

Окрашенная часть – это 5 9 исходной фигуры или 20 36 , что является тем же самым. Таким образом, дроби 5 9 и 20 36 являются равными: 5 9 = 20 36 или 20 36 = 5 9 .

Эти равенства, а также равенства 20 = 4 · 5 , 36 = 4 · 9 , 20 : 4 = 5 и 36 : 4 = 9 дают возможность сделать вывод, что 5 9 = 5 · 4 9 · 4 и 20 36 = 20 · 4 36 · 4 .

Чтобы закрепить теорию, разберем решение примера.

Задано, что числитель и знаменатель некоторой обыкновенной дроби умножили на 47 , после чего эти числитель и знаменатель разделили на 3 . Равна ли полученная в итоге этих действий дробь заданной?

Решение

Опираясь на основное свойство дроби, можно говорить о том, что умножение числителя и знаменателя заданной дроби на натуральное число 47 даст в результате дробь, равную исходной. То же самое мы можем утверждать, производя дальнейшее деление на 3 . В конечном счете мы получим дробь, равную заданной.

Ответ: да, полученная в итоге дробь будет равна исходной.

Применение основного свойства дроби

Основное свойство применяется, когда нужно привести дроби к новому знаменателю и при сокращении дробей.

Приведение дроби к новому знаменателю – это действие замены заданной дроби равной ей дробью, но с большими числителем и знаменателем. Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на необходимое натуральное число. Действия с обыкновенными дробями были бы невозможны без способа приводить дроби к новому знаменателю.

Сокращение дроби – действие перехода к новой дроби, равной заданной, но с меньшими числителем и знаменателем. Чтобы сократить дробь, нужно разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же необходимое натуральное число, которое будет называться общим делителем.

Возможны случаи, когда подобного общего делителя нет, тогда говорят о том, что исходная дробь несократима или не подлежит сокращению. В частности, сокращение дроби при помощи наибольшего общего делителя приведет дробь к несократимому виду.