Основные виды тригонометрических уравнений (задание 13)
Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся виды тригонометрических уравнений и способы их решения.
\(\blacktriangleright\) Квадратные тригонометрические уравнения
Если после преобразования уравнение приняло следующий вид: \[<\Large
то такое уравнение с помощью замены \(f(x)=t\) сводится к квадратному уравнению.
Часто при решении таких уравнений используются
основные тождества: \[\begin
формулы двойного угла: \[\begin
Пример 1. Решить уравнение \(6\cos^2x-13\sin x-13=0\)
С помощью формулы \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\) уравнение сводится к виду:
\(6\sin^2x+13\sin x+7=0\) . Сделаем замену \(t=\sin x\) . Т.к. область значений синуса \(\sin x\in [-1;1]\) , то \(t\in[-1;1]\) . Получим уравнение:
\(6t^2+13t+7=0\) . Корни данного уравнения \(t_1=-\dfrac76, \ t_2=-1\) .
Таким образом, корень \(t_1\) не подходит. Сделаем обратную замену:
\(\sin x=-1 \Rightarrow x=-\dfrac<\pi>2+2\pi n, n\in\mathbb
Пример 2. Решить уравнение \(5\sin 2x=\cos 4x-3\)
С помощью формулы двойного угла для косинуса \(\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha\) имеем:
\(\cos4x=1-2\sin^22x\) . Сделаем эту подстановку и получим:
\(2\sin^22x+5\sin 2x+2=0\) . Сделаем замену \(t=\sin 2x\) . Т.к. область значений синуса \(\sin 2x\in [-1;1]\) , то \(t\in[-1;1]\) . Получим уравнение:
\(2t^2+5t+2=0\) . Корни данного уравнения \(t_1=-2, \ t_2=-\dfrac12\) .
Таким образом, корень \(t_1\) не подходит. Сделаем обратную замену: \(\sin 2x=-\dfrac12 \Rightarrow x_1=-\dfrac<\pi><12>+\pi n, \ x_2=-\dfrac<5\pi><12>+\pi n, n\in\mathbb
Пример 3. Решить уравнение \(\mathrm
Т.к. \(\mathrm
\(t+\dfrac3t+4=0 \Rightarrow \dfrac
Сделаем обратную замену:
\(\blacktriangleright\) Кубические тригонометрические уравнения
Если после преобразования уравнение приняло следующий вид: \[<\Large
то такое уравнение с помощью замены \(f(x)=t\) сводится к кубическому уравнению.
Часто при решении таких уравнений в дополнение к предыдущим формулам используются
формулы тройного угла: \[\begin
Пример 4. Решить уравнение \(11\cos 2x-3=3\sin 3x-11\sin x\)
При помощи формул \(\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x\) и \(\cos2x=1-2\sin^2x\) можно свести уравнение к уравнению только с \(\sin x\) :
\(12\sin^3x-9\sin x+11\sin x-3+11-22\sin^2 x=0\) . Сделаем замену \(\sin x=t, \ t\in[-1;1]\) :
\(6t^3-11t^2+t+4=0\) . Подбором находим, что один из корней равен \(t_1=1\) . Выполнив деление в столбик многочлена \(6t^3-11t^2+t+4\) на \(t-1\) , получим:
\((t-1)(2t+1)(3t-4)=0 \Rightarrow\) корнями являются \(t_1=1, \ t_2=-\dfrac12, \ t_3=\dfrac43\) .
Таким образом, корень \(t_3\) не подходит. Сделаем обратную замену:
\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения второй степени: \[I. \quad <\Large>, \quad a\ne 0,c\ne 0\]
Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения \(x\) , при которых \(\cos x=0\) или \(\sin x=0\) . Действительно, если \(\cos x=0\) , то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: \(a\sin^2 x=0\) , откуда следует, что и \(\sin x=0\) . Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если \(\cos x=0\) , то \(\sin x=\pm 1\) .
Аналогично и \(\sin x=0\) не является решением такого уравнения.
Значит, данное уравнение можно делить на \(\cos^2 x\) или на \(\sin^2 x\) . Разделим, например, на \(\cos^2 x\) :
Таким образом, данное уравнение при помощи деления на \(\cos^2x\) и замены \(t=\mathrm
\(at^2+bt+c=0\) , способ решения которого вам известен.
Уравнения вида \[I’. \quad <\Large>, \quad a\ne0,c\ne 0\] с легкостью сводятся к уравнению вида \(I\) с помощью использования основного тригонометрического тождества: \[d=d\cdot 1=d\cdot (\sin^2x+\cos^2x)\]
Заметим, что благодаря формуле \(\sin2x=2\sin x\cos x\) однородное уравнение можно записать в виде
\(a\sin^2 x+b\sin 2x+c\cos^2x=0\)
Пример 5. Решить уравнение \(2\sin^2x+3\sin x\cos x=3\cos^2x+1\)
Подставим вместо \(1=\sin^2x+\cos^2x\) и получим:
\(\sin^2x+3\sin x\cos x-4\cos^2x=0\) . Разделим данное уравнение на \(\cos^2x\) :
\(\mathrm
\(t^2+3t-4=0\) . Корнями являются \(t_1=-4, \ t_2=1\) . Сделаем обратную замену:
\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения первой степени: \[II.\quad <\Large>, a\ne0, b\ne 0\]
Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения \(x\) , при которых \(\cos x=0\) или \(\sin x=0\) . Действительно, если \(\cos x=0\) , то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: \(a\sin x=0\) , откуда следует, что и \(\sin x=0\) . Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если \(\cos x=0\) , то \(\sin x=\pm 1\) .
Аналогично и \(\sin x=0\) не является решением такого уравнения.
Значит, данное уравнение можно делить на \(\cos x\) или на \(\sin x\) . Разделим, например, на \(\cos x\) :
\(a \ \dfrac<\sin x><\cos x>+b \ \dfrac<\cos x><\cos x>=0\) , откуда имеем \(a\mathrm
Пример 6. Решить уравнение \(\sin x+\cos x=0\)
Разделим правую и левую части уравнения на \(\sin x\) :
\(1+\mathrm
\(\blacktriangleright\) Неоднородные тригонометрические уравнения первой степени: \[II.\quad <\Large>, a\ne0, b\ne 0, c\ne 0\]
Существует несколько способов решения подобных уравнений. Рассмотрим те из них, которые можно использовать для любого такого уравнения:
1 СПОСОБ: при помощи формул двойного угла для синуса и косинуса и основного тригонометрического тождества: \(<\large<\sin x=2\sin<\dfrac x2>\cos<\dfrac x2>, \qquad \cos x=\cos^2 <\dfrac x2>-\sin^2 <\dfrac x2>,\qquad c=c\cdot \Big(\sin^2 <\dfrac x2>+\cos^2 <\dfrac x2>\Big)>>\) данное уравнение сведется к уравнению \(I\) :
Пример 7. Решить уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)
Распишем \(\sin 2x=2\sin x\cos x, \ \cos 2x=\cos^2x-\sin^2 x, \ -1=-\sin^2 x-\cos^2x\) . Тогда уравнение примет вид:
\((1+\sqrt3)\sin^2x+2\sin x\cos x+(1-\sqrt3)\cos^2x=0\) . Данное уравнение с помощью деления на \(\cos^2x\) и замены \(\mathrm
\((1+\sqrt3)t^2+2t+1-\sqrt3=0\) . Корнями этого уравнения являются \(t_1=-1, \ t_2=\dfrac<\sqrt3-1><\sqrt3+1>=2-\sqrt3\) . Сделаем обратную замену:
2 СПОСОБ: при помощи формул выражения функций через тангенс половинного угла: \[\begin
Пример 8. Решить то же уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)
\(\dfrac<(\sqrt3+1)t^2+2t+1-\sqrt3><1+t^2>=0 \Rightarrow (\sqrt3+1)t^2+2t+1-\sqrt3=0\) (т.к. \(1+t^2\geqslant 1\) при всех \(t\) , то есть всегда \(\ne 0\) )
Таким образом, мы получили то же уравнение, что и, решая первым способом.
3 СПОСОБ: при помощи формулы вспомогательного угла.
\[<\large\,\sin (x+\phi),>> \quad \text <где >\cos \phi=\dfrac a<\sqrt>\]
Для использования данной формулы нам понадобятся формулы сложения углов: \[\begin
Пример 9. Решить то же уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)
Т.к. мы решаем уравнение, то можно не преобразовывать левую часть, а просто разделить обе части уравнения на \(\sqrt<1^2+(-\sqrt3)^2>=2\) :
\(\dfrac12\sin 2x-\dfrac<\sqrt3>2\cos 2x=-\dfrac12\)
Заметим, что числа \(\dfrac12\) и \(\dfrac<\sqrt3>2\) получились табличные. Можно, например, взять за \(\dfrac12=\cos \dfrac<\pi>3, \ \dfrac<\sqrt3>2=\sin \dfrac<\pi>3\) . Тогда уравнение примет вид:
\(\sin 2x\cos \dfrac<\pi>3-\sin \dfrac<\pi>3\cos 2x=-\dfrac12 \Rightarrow \sin\left(2x-\dfrac<\pi>3\right)=-\dfrac12\)
Решениями данного уравнения являются:
Заметим, что при решении уравнения третьим способом мы добились “более красивого” ответа (хотя ответы, естественно, одинаковы), чем при решении первым или вторым способом (которые, по сути, приводят уравнение к одному и тому же виду).
Таким образом, не стоит пренебрегать третьим способом решения данного уравнения.
\(\blacktriangleright\) Если тригонометрическое уравнение можно свести к виду \[<\Large>, \text <где >a\ne 0, b\ne 0,\] то с помощью формулы \[<\large<(\sin x\pm\cos x)^2=1\pm2\sin x\cos x>> \ \ (*)\] данное уравнение можно свести к квадратному.
Для этого необходимо сделать замену \(t=\sin x\pm \cos x\) , тогда \(\sin x\cos x=\pm \dfrac
Заметим, что формула \((*)\) есть не что иное, как формула сокращенного умножения \((A\pm B)^2=A^2\pm 2AB+B^2\) при подстановке в нее \(A=\sin x, B=\cos x\) .
Пример 10. Решить уравнение \(3\sin 2x+3\cos 2x=16\sin x\cos^3x-8\sin x\cos x\) .
Вынесем общий множитель за скобки в правой части: \(3\sin 2x+3\cos 2x=8\sin x\cos x(2\cos^2 x-1)\) .
По формулам двойного угла \(2\sin x\cos x=\sin 2x, 2\cos^2x-1=\cos 2x\) имеем: \[3(\sin 2x+\cos 2x)=4\sin 2x\cos 2x\] Заметим, что полученное уравнение как раз записано в необходимом нам виде. Сделаем замену \(t=\sin 2x+\cos 2x\) , тогда \(\sin 2x\cos 2x=\dfrac
По формулам вспомогательного аргумента \(\sin2x+\cos 2x=\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)\) , следовательно, сделав обратную замену: \[\left[ \begin
\(\Rightarrow \left[ \begin
\(\blacktriangleright\) Формулы сокращенного умножения в тригонометрическом варианте:
\(I\) Квадрат суммы или разности \((A\pm B)^2=A^2\pm 2AB+B^2\) :
\((\sin x\pm \cos x)^2=\sin^2 x\pm 2\sin x\cos x+\cos^2x=(\sin^2 x+\cos^2 x)\pm 2\sin x\cos x=1\pm \sin 2x\)
\(II\) Разность квадратов \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) :
\((\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x\)
\(III\) Сумма или разность кубов \(A^3\pm B^3=(A\pm B)(A^2\mp AB+B^2)\) :
\(\sin^3x\pm \cos^3x=(\sin x\pm \cos x)(\sin^2x\mp \sin x\cos x+\cos^2x)=(\sin x\pm \cos x)(1\mp \sin x\cos x)=\)
\(=(\sin x\pm \cos x)(1\mp \frac12\sin 2x)\)
\(IV\) Куб суммы или разности \((A\pm B)^3=A^3\pm B^3\pm 3AB(A\pm B)\) :
\((\sin x\pm \cos x)^3=(\sin x\pm \cos x)(\sin x\pm \cos x)^2=(\sin x\pm \cos x)(1\pm \sin 2x)\) (по первой формуле)
Основные тригонометрические уравнения и их решения
Методы решения тригонометрических уравнений.
1. Алгебраический метод.
( метод замены переменной и подстановки ).
2. Разложение на множители.
П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .
Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:
sin x + cos x – 1 = 0 ,
преобразуем и разложим на множители выражение в
левой части уравнения:
П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,
sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,
sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,
П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,
2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,
cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,
cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,
1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,
3. Приведение к однородному уравнению.
а) перенести все его члены в левую часть;
б) вынести все общие множители за скобки;
в) приравнять все множители и скобки нулю;
г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на
cos ( или sin ) в старшей степени;
д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,
корни этого уравнения: y 1 = — 1, y 2 = — 3, отсюда
1) tan x = –1, 2) tan x = –3,
4. Переход к половинному углу.
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.
Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =
= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,
2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,
tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
5. Введение вспомогательного угла.
где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:
6. Преобразование произведения в сумму.
П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .
Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:
Тригонометрические уравнения
Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.
Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.
$1$ радиан $=<180>/<π>≈57$ градусов
Значения тригонометрических функций некоторых углов
$α$ | $0$ | $<π>/<6>$ | $<π>/<4>$ | $<π>/<3>$ | $<π>/<2>$ | $π$ |
$sinα$ | $0$ | $<1>/<2>$ | $<√2>/<2>$ | $<√3>/<2>$ | $1$ | $0$ |
$cosα$ | $1$ | $<√3>/<2>$ | $<√2>/<2>$ | $<1>/<2>$ | $0$ | $-1$ |
$tgα$ | $0$ | $<√3>/<3>$ | $1$ | $√3$ | $-$ | $0$ |
$ctgα$ | $-$ | $√3$ | $1$ | $<√3>/<3>$ | $0$ | $-$ |
- Периоды повтора значений тригонометрических функций
Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$
- Знаки тригонометрических функций по четвертям
Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.
Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить что:
- если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ ($π/2$ и $<3π>/<2>$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
- чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.
Преобразовать $сos (90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.
Чтобы определить знак перед $sinα$, предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому перед $sinα$ нужен знак $-$.
$сos (90° + α)= — sinα$ — это конечный результат преобразования
Вычислить $cos 840°$
У косинуса период повторения $2π$ или $360°$, мы можем из угла вычитать количество градусов кратное периоду.
$cos 840°=cos(720°+120°)=cos 120°$
По формуле приведения представим $120°$ как $90°+30°$
$cos(90°+30°) = -sin30= — 0.5$
Четность тригонометрических функций
Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$
Синус, тангенс и котангенс, нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$
Тригонометрические тождества
3. $sin^ <2>α+cos^ <2>α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)
Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса
Вычислить $sin t$, если $cos t = <5>/ <13>; t ∈(<3π>/<2>;2π)$
Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈(<3π>/<2>;2π)$ — это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус.
Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения.
Арккосинус
Если, $|а|≤1$, то $arccos а$ – это такое число из отрезка $[0;π]$, косинус которого равен $а$.
$arcos(-a) = π-arccosa$, где $0≤а≤1$
Уравнение вида $cos t=a$, eсли, $|а|≤1$, имеет решение
$cos t =1, t = 2πk;k∈Z$
$cos t = 0, t = <π>/<2>+πk;k∈Z$
$cos t = -1, t=π+2πk;k∈Z$
Найдите наименьший положительный корень уравнения сos $<2πx>/<3>=-<√3>/<2>$
Далее избавимся от всех величин, мешающих иксу. Для этого разделим обе части уравнения на $<2π>/<3>$
Чтобы найти наименьший положительный корень, подставим вместо к целые значения
Нам подходит $1.25$ – это и есть результат
Арксинус
Если, $|а|≤1$, то $arcsin a$ – это такое число, из отрезка $[-<π>/<2>;<π>/<2>]$, синус которого равен $а$.
$arcsin(-a)= — arcsin a$, где $0≤а≤1$
Если, $|а|≤1$, то уравнение $sin t =a$ можно решить и записать двумя способами:
1. $t_1 = arcsin a+2πk;k∈Z$
$t_2 = (π- arcsin a)+ 2πk;k∈Z$
Арктангенс
$arctg a$ — это такое число, из отрезка $[-<π>/<2>;<π>/<2>]$, тангенс которого равен $а.$
$arctg(-a)= — arctg a$
Уравнение $tg t = a$ имеет решение $t= arctg a+πk;k∈Z$
http://www.sites.google.com/site/trigonometriavneskoly/metody-resenia-trigonometriceskih-uravnenij
http://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/triginometricheskie_uravneniya