Основные уравнения движения по физике

Механическое движение

О чем эта статья:

Механическое движение

Когда мы идем в школу или на работу, автобус подъезжает к остановке или сладкий корги гуляет с хозяином, мы имеем дело с механическим движением.

Механическим движением называется изменение положения тел в пространстве относительно других тел с течением времени.

«Относительно других тел» — очень важные слова в этом определении. Для описания движения нам нужны:

• тело отсчета
• система координат
• часы

В совокупности эти три параметра образуют систему отсчета.

В механике есть такой раздел — кинематика. Он отвечает на вопрос, как движется тело. Дальше мы с помощью кинематики опишем разные виды механического движения. Не переключайтесь 😉

Прямолинейное равномерное движение

Движение по прямой, при котором тело проходит равные участки пути за равные промежутки времени называют прямолинейным равномерным. Это любое движение с постоянной скоростью.

Например, если у вас ограничение скорости на дороге 60 км/ч, и у вас нет никаких препятствий на пути — скорее всего, вы будете двигаться прямолинейно равномерно.

Мы можем охарактеризовать это движение следующими величинами.

Скалярные величины (определяются только значением)

• Время — в международной системе единиц СИ измеряется в секундах [с].
• Путь — длина траектории (линии, по которой движется тело). В случае прямолинейного равномерного движения — длина отрезка [м].

Векторные величины (определяются значением и направлением)

• Скорость — характеризует быстроту перемещения и направление движения материальной точки [м/с].
• Перемещение — вектор, проведенный из начальной точки пути в конечную [м].

Проецирование векторов

Векторное описание движения полезно, так как на одном чертеже всегда можно изобразить много разнообразных векторов и получить перед глазами наглядную «картину» движения.

Однако всякий раз использовать линейку и транспортир, чтобы производить действия с векторами, очень трудоёмко. Поэтому эти действия сводят к действиям с положительными и отрицательными числами — проекциями векторов.

Если вектор сонаправлен с осью, то его проекция равна длине вектора. А если вектор противоположно направлен оси — проекция численно равна длине вектора, но отрицательна. Если вектор перпендикулярен — его проекция равна нулю.

Скорость может определяться по вектору перемещения и пути, только это будут две разные характеристики.

Скорость — это векторная физическая величина, которая характеризует быстроту перемещения, а средняя путевая скорость — это отношение длины пути ко времени, за которое путь был пройден.

Скорость

— скорость [м/с]
— перемещение [м]
— время [с]

Средняя путевая скорость

V ср.путевая = S/t

V ср.путевая — средняя путевая скорость [м/с]
S — путь [м]
t — время [с]

Задача

Найдите, с какой средней путевой скоростью должен двигаться автомобиль, если расстояние от Санкт-Петербурга до Великого Новгорода в 210 километров ему нужно пройти за 2,5 часа. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Возьмем формулу средней путевой скорости
V ср.путевая = S/t

Подставим значения:
V ср.путевая = 210/2,5 = 84 км/ч

Ответ: автомобиль будет двигаться со средней путевой скоростью равной 84 км/ч

Уроки физики в онлайн-школе Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!

Уравнение движения

Одной из основных задач механики является определение положения тела относительно других тел в данный момент времени. Для решения этой задачи помогает уравнение движения, то есть зависимость координаты тела от времени х = х(t).

Уравнение движения

x(t) — искомая координата в момент времени t [м]
x₀ — начальная координата [м]
v_x — скорость тела в данный момент времени [м/с]
t — момент времени [с]

Если положительное направление оси ОХ противоположно направлению движения тела, то проекция скорости тела на ось ОХ отрицательна, скорость меньше нуля (v

Уравнение движения при движении против оси

x(t) — искомая координата в момент времени t [м]
x₀ — начальная координата [м]
v_x — скорость тела в данный момент времени [м/с]
t — момент времени [с]

Прямолинейное равноускоренное движение

Чтобы разобраться с тем, что за тип движения в этом заголовке, нужно ввести новое понятие — ускорение.

Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. В международной системе единиц СИ измеряется в метрах, деленных на секунду в квадрате.

СИ — международная система единиц. «Перевести в СИ» означает перевод всех величин в метры, килограммы, секунды и другие единицы измерения без приставок. Исключение — килограмм с приставкой «кило».

Итак, равноускоренное прямолинейное движение — это движение с ускорением по прямой линии. Движение, при котором скорость тела меняется на равную величину за равные промежутки времени.

Уравнение движения и формула конечной скорости

Основная задача механики не поменялась по ходу текста — определение положения тела относительно других тел в данный момент времени. У равноускоренного движения в уравнении появляется ускорение.

Уравнение движения для равноускоренного движения

x(t) — искомая координата в момент времени t [м]
x₀ — начальная координата [м]
v_0x — начальная скорость тела в [м/с]
t — время [с]
a_x — ускорение [м/с 2 ]

Для этого процесса также важно уметь находить конечную скорость — решать задачки так проще. Конечная скорость находится по формуле:

Формула конечной скорости

— конечная скорость тела [м/с]
— начальная скорость тела [м/с]
— время [с]
— ускорение [м/с 2 ]

Задача

Найдите местоположение автобуса, который разогнался до скорости 60 км/ч за 3 минуты, через 0,5 часа после начала движения из начала координат.

Решение:

Сначала найдем ускорение автобуса. Его можно выразить из формулы конечной скорости:

Так как автобус двигался с места, . Значит

Время дано в минутах, переведем в часы, чтобы соотносилось с единицами измерения скорости.

3 минуты = 3/60 часа = 1/20 часа = 0,05 часа

Подставим значения:
a = v/t = 60/0,05 = 1200 км/ч 2
Теперь возьмем уравнение движения.
x(t) = x₀ + v_0xt + a_xt 2 /2

Начальная координата равна нулю, начальная скорость, как мы уже выяснили — тоже. Значит уравнение примет вид:

Ускорение мы только что нашли, а вот время будет равно не 3 минутам, а 0,5 часа, так как нас просят найти координату в этот момент времени.

Подставим циферки:
км

Ответ: через полчаса координата автобуса будет равна 150 км.

Движение по вертикали

Движение по вертикали — это частный случай равноускоренного движения. Дело в том, что на Земле тела падают с одинаковым ускорением — ускорением свободного падения. Для Земли оно приблизительно равно 9,81 м/с 2 , а в задачах мы и вовсе осмеливаемся округлять его до 10 (физики просто дерзкие).

Вообще в значении ускорения свободного падения для Земли очень много знаков после запятой. В школе обычно дают значение: g = 9,8 м/с 2 . В экзаменах ОГЭ и ЕГЭ в справочных данных дают g = 10 м/с 2 .

Частным случаем движения по вертикали (частным случаем частного случая, получается) считается свободное падение — это равноускоренное движение под действием силы тяжести, когда другие силы, действующие на тело, отсутствуют или пренебрежимо малы.

Помните о том, что свободное падение — это не всегда движение по вертикали из состояния покоя. Если мы бросаем тело вверх, то начальная скорость, конечно же, будет.

Кинематика

Механика — это раздел физики, изучающий механическое движение тел.

Кинематика — это раздел механики, в котором изучается механическое движение тел без учета причин, вызывающих это движение.

Материальная точка — тело, обладающее массой, размерами которого в данной задаче можно пренебречь, если

• расстояние, которое проходит тело, много больше его размера;
• расстояние от данного тела до другого тела много больше его размера;
• тело движется поступательно.

Система отсчета — это тело отсчета, связанная с ним система координат и прибор для измерения времени.
Траектория — это линия, которую описывает тело при своем движении.
Путь — это скалярная величина, равная длине траектории.
Перемещение — это вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением за данный промежуток времени.

Важно!
В процессе движения путь может только увеличиваться, а перемещение как увеличиваться, так и уменьшаться, например, когда тело поворачивает обратно.
При прямолинейном движении в одном направлении путь равен модулю перемещения, а при криволинейном — путь больше перемещения.
Перемещение на замкнутой траектории равно нулю.

Основная задача механики — определить положение тела в пространстве в любой момент времени.

Механическое движение и его виды

Механическое движение — это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

Механическое движение может быть:
1. по характеру движения

• поступательным — это движение, при котором все точки тела движутся одинаково и любая прямая, мысленно проведенная в теле, остается параллельна сама себе;
• вращательным — это движение, при котором все точки твердого тела движутся по окружностям, расположенным в параллельных плоскостях;
• колебательным — это движение, которое повторяется в двух взаимно противоположных направлениях;

2. по виду траектории

• прямолинейным — это движение, траектория которого прямая линия;
• криволинейным — это движение, траектория которого кривая линия;

• равномерным — движение, при котором скорость тела с течением времени не изменяется;
• неравномерным — это движение, при котором скорость тела с течением времени изменяется;

• равноускоренным — это движение, при котором скорость тела увеличивается с течением времени на одну и ту же величину;
• равнозамедленным — это движение, при котором скорость тела уменьшается с течением времени на одну и ту же величину.

Относительность механического движения

Относительность движения — это зависимость характеристик механического движения от выбора системы отсчета.

Правило сложения перемещений

Перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета равно векторной сумме перемещения тела относительно подвижной системы отсчета и перемещения подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета:

где ​ \( S \) ​ — перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета;
​ \( S_1 \) ​ — перемещение тела относительно подвижной системы отсчета;
​ \( S_2 \) ​ — перемещение подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета.

Правило сложения скоростей

Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчета и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета:

где ​ \( v \) ​ — скорость тела относительно неподвижной системы отсчета;
​ \( v_1 \) ​ — скорость тела относительно подвижной системы отсчета;
​ \( v_2 \) ​ — скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета.

Относительная скорость

Важно! Чтобы определить скорость одного тела относительно другого, надо мысленно остановить то тело, которое мы принимаем за тело отсчета, а к скорости оставшегося тела прибавить скорость остановленного, изменив направление его скорости на противоположное.

Пусть \( v_1 \) — скорость первого тела, а \( v_2 \) — скорость второго тела.
Определим скорость первого тела относительно второго \( v_ <12>\) :

Определим скорость второго тела относительно первого \( v_ <21>\) :

Следует помнить, что траектория движения тела и пройденный путь тоже относительны.

Если скорости направлены перпендикулярно друг к другу, то относительная скорость рассчитывается по теореме Пифагора:

Если скорости направлены под углом ​ \( \alpha \) ​ друг к другу, то относительная скорость рассчитывается по теореме косинусов:

Скорость

Скорость — это векторная величина, характеризующая изменение перемещения данного тела относительно тела отсчета с течением времени.

Обозначение — ​ \( v \) ​, единицы измерения — ​м/с (км/ч)​.

Средняя скорость — это векторная величина, равная отношению всего перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло:

Средняя путевая скорость — это скалярная величина, равная отношению всего пути, пройденного телом, к промежутку времени, за которое этот путь пройден:

Важно! Чтобы определить среднюю скорость на всем участке пути, надо время разделить на отдельные промежутки и все время представить в виде суммы этих промежутков.
Чтобы определить среднюю скорость за все время движения, надо путь разделить на отдельные участки и весь путь представить как сумму этих участков.

Мгновенная скорость — это скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории.
Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории движения.

Ускорение

Ускорение – это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости.

Обозначение — ​ \( a \) ​, единица измерения — м/с 2 .
В векторном виде:

где ​ \( v \) ​ – конечная скорость; ​ \( v_0 \) ​ – начальная скорость;
​ \( t \) ​ – промежуток времени, за который произошло изменение скорости.

В проекциях на ось ОХ:

где ​ \( a_n \) ​ – нормальное ускорение, ​ \( a_ <\tau>\) ​ – тангенциальное ускорение.

Тангенциальное ускорение сонаправлено с вектором линейной скорости, а значит, направлено вдоль касательной к кривой:

Нормальное ускорение перпендикулярно направлению вектора линейной скорости, а значит, и касательной к кривой:

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости, а скорость – векторная величина, которая имеет модуль (числовое значение) и направление.

Важно!
Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости. Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления скорости.
Если \( a_ <\tau>\) ≠ 0, \( a_n \) = 0, то тело движется по прямой;
если \( a_ <\tau>\) = 0, \( a_n \) = 0, ​ \( v \) ​ ≠ 0, то тело движется равномерно по прямой;
если \( a_ <\tau>\) = 0, \( a_n \) ≠ 0, тело движется равномерно по кривой;
если \( a_ <\tau>\) = 0, \( a_n \) = const, то тело движется равномерно по окружности;
если \( a_ <\tau>\) ≠ 0, \( a_n \) ≠ 0, то тело движется неравномерно по окружности.

Равномерное движение

Равномерное движение – это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения.

Скорость при равномерном движении – величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло:

Проекция вектора скорости на ось ОХ:

Проекция вектора скорости на координатную ось равна быстроте изменения данной координаты:

График скорости (проекции скорости)

График скорости (проекции скорости) представляет собой зависимость скорости от времени:

График скорости при равномерном движении – прямая, параллельная оси времени.
График 1 лежит над осью ​ \( t \) ​, тело движется по направлению оси ОХ.
Графики 2 и 3 лежат под осью ​ \( t \) ​, тело движется против оси ОХ.

Перемещение при равномерном движении – это величина, равная произведению скорости на время:

Проекция вектора перемещения на ось ОХ:

График перемещения (проекции перемещения)

График перемещения (проекции перемещения) представляет собой зависимость перемещения от времени:

График перемещения при равномерном движении – прямая, выходящая из начала координат.
График 1 лежит над осью \( t \) , тело движется по направлению оси ОХ.
Графики 2 и 3 лежат под осью \( t \) , тело движется против оси ОХ.

По графику зависимости скорости от времени можно определить перемещение, пройденное телом за время \( t \) . Для этого необходимо определить площадь фигуры под графиком (заштрихованной фигуры).

Координата тела при равномерном движении рассчитывается по формуле:

График координаты представляет собой зависимость координаты от времени: ​ \( x=x(t) \) ​.

График координаты при равномерном движении – прямая.
График 1 направлен вверх, тело движется по направлению оси ОХ:

График 2 параллелен оси ОХ, тело покоится.
График 3 направлен вниз, тело движется против оси ОХ:

Прямолинейное равноускоренное движение

Прямолинейное равноускоренное движение – это движение по прямой, при котором тело движется с постоянным ускорением:

При движении с ускорением скорость может как увеличиваться, так и уменьшаться.

Скорость тела при равноускоренном движении рассчитывается по формуле:

При разгоне (в проекциях на ось ОХ):

При торможении (в проекциях на ось ОХ):

График ускорения (проекции ускорения) при равноускоренном движении представляет собой зависимость ускорения от времени:

График ускорения при равноускоренном движении – прямая, параллельная оси времени.
График 1 лежит над осью t, тело разгоняется, ​ \( a_x \) ​ > 0.
График 2 лежит под осью t, тело тормозит, \( a_x \) \( v_ <0x>\) ​ > 0, ​ \( a_x \) ​ > 0.

График 2 направлен вниз, тело движется равнозамедленно в положительном направлении оси ОХ, \( v_ <0x>\) > 0, \( a_x \) \( v_ <0x>\) \( a_x \) \( t_2-t_1 \) ​. Для этого необходимо определить площадь фигуры под графиком (заштрихованной фигуры).

Перемещение при равноускоренном движении рассчитывается по формулам:

Перемещение в ​ \( n \) ​-ую секунду при равноускоренном движении рассчитывается по формуле:

Координата тела при равноускоренном движении рассчитывается по формуле:

Свободное падение (ускорение свободного падения)

Свободное падение – это движение тела в безвоздушном пространстве под действием только силы тяжести.

Все тела при свободном падении независимо от массы падают с одинаковым ускорением, называемым ускорением свободного падения.
Ускорение свободного падения всегда направлено к центру Земли (вертикально вниз).

Обозначение – ​ \( g \) ​, единицы измерения – м/с 2 .

Важно! \( g \) = 9,8 м/с 2 , но при решении задач считается, что \( g \) = 10 м/с 2 .

Движение тела по вертикали

Тело падает вниз, вектор скорости направлен в одну сторону с вектором ускорения свободного падения:

Если тело падает вниз без начальной скорости, то ​ \( v_0 \) ​ = 0.
Время падения рассчитывается по формуле:

Тело брошено вверх:

Если брошенное вверх тело достигло максимальной высоты, то ​ \( v \) ​ = 0.
Время подъема рассчитывается по формуле:

Движение тела, брошенного горизонтально

Движение тела, брошенного горизонтально, можно представить как суперпозицию двух движений:

1. равномерного движения по горизонтали со скоростью ​ \( v_0=v_ <0x>\) ​;
2. равноускоренного движения по вертикали с ускорением свободного падения ​ \( g \) ​ и без начальной скорости ​ \( v_<0y>=0 \) ​.

Скорость тела в любой момент времени:

Угол между вектором скорости и осью ОХ:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту (баллистическое движение)

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить как суперпозицию двух движений:

1. равномерного движения по горизонтали;
2. равноускоренного движения по вертикали с ускорением свободного падения.

Скорость тела в любой момент времени:

Угол между вектором скорости и осью ОХ:

Время подъема на максимальную высоту:

Максимальная высота подъема:

Максимальная дальность полета:

Важно!
При движении вверх вертикальная составляющая скорости будет уменьшаться, т. е. тело вдоль вертикальной оси движется равнозамедленно.
При движении вниз вертикальная составляющая скорости будет увеличиваться, т. е. тело вдоль вертикальной оси движется равноускоренно.
Скорость ​ \( v_0 \) ​, с которой тело брошено с Земли, будет равна скорости, с которой оно упадет на Землю. Угол ​ \( \alpha \) ​, под которым тело брошено, будет равен углу, под которым оно упадет.

При решении задач на движение тела, брошенного под углом к горизонту, важно помнить, что в точке максимального подъема проекция скорости на ось ОУ равна нулю:

Это облегчает решение задач:

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью – простейший вид криволинейного движения.

Траектория движения – окружность. Вектор скорости направлен по касательной к окружности.
Модуль скорости тела с течением времени не изменяется, а ее направление при движении по окружности в каждой точке изменяется, поэтому движение по окружности – это движение с ускорением.
Ускорение, которое изменяет направление скорости, называется центростремительным.
Центростремительное ускорение направлено по радиусу окружности к ее центру.

Центростремительное ускорение – это ускорение, характеризующее быстроту изменения направления вектора линейной скорости.
Обозначение – ​ \( a_ <цс>\) ​, единицы измерения – ​м/с 2​ .

Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью является периодическим движением, т. е. его координата повторяется через равные промежутки времени.
Период – это время, за которое тело совершает один полный оборот.
Обозначение – ​ \( T \) ​, единицы измерения – с.

где ​ \( N \) ​ – количество оборотов, ​ \( t \) ​ – время, за которое эти обороты совершены.
Частота вращения – это число оборотов за единицу времени.
Обозначение – ​ \( \nu \) ​, единицы измерения – с –1 (Гц).

Период и частота – взаимно обратные величины:

Линейная скорость – это скорость, с которой тело движется по окружности.
Обозначение – ​ \( v \) ​, единицы измерения – м/с.
Линейная скорость направлена по касательной к окружности:

Угловая скорость – это физическая величина, равная отношению угла поворота к времени, за которое поворот произошел.
Обозначение – ​ \( \omega \) ​, единицы измерения – рад/с .

Направление угловой скорости можно определить по правилу правого винта (буравчика).
Если вращательное движение винта совпадает с направлением движения тела по окружности, то поступательное движение винта совпадает с направлением угловой скорости.
Связь различных величин, характеризующих движение по окружности с постоянной по модулю скоростью:

Важно!
При равномерном движении тела по окружности точки, лежащие на радиусе, движутся с одинаковой угловой скоростью, т. к. радиус за одинаковое время поворачивается на одинаковый угол. А вот линейная скорость разных точек радиуса различна в зависимости от того, насколько близко или далеко от центра они располагаются:

Если рассматривать равномерное движение двух сцепленных тел, то в этом случае одинаковыми будут линейные скорости, а угловые скорости тел будут различны в зависимости от радиуса тела:

Когда колесо катится равномерно по дороге, двигаясь относительно нее с линейной скоростью ​ \( v_1 \) ​, и все точки обода колеса движутся относительно его центра с такой же линейной скоростью \( v_1 \) , то относительно дороги мгновенная скорость разных точек колеса различна.

Мгновенная скорость нижней точки ​ \( (m) \) ​ равна нулю, мгновенная скорость в верхней точке ​ \( (n) \) ​ равна удвоенной скорости ​ \( v_1 \) ​, мгновенная скорость точки ​ \( (p) \) ​, лежащей на горизонтальном радиусе, рассчитывается по теореме Пифагора, а мгновенная скорость в любой другой точке ​ \( (c) \) ​ – по теореме косинусов.

Кинематика в физике — основные понятия, формулы и определения с примерами

Содержание:

Основная задача механики — описание движения тел, т. е. выяснение закона (уравнения) их движения. Как отмечал А. Эйнштейн, наиболее фундаментальная проблема, остававшаяся нерешенной на протяжении тысячелетий, — это проблема движения. Собственно, учение о движении стало наукой лишь со времен Галилео Галилея и Исаака Ньютона.

Кинематика, изучает конкретные механические та их взаимодействия с другими телами. Она фактически объединяет простейшие пространственно-временные зависимости, в частности изменение координат тела со временем (как функцию времени).

Поэтому кинематику часто называют геометрией движения.

Кинематика изучает механические движения тел без учета их взаимодействия с другими телами.

Кинематика

Физика изучает разнообразные явления и процессы, происходящие вокруг нас. Как вам известно, в зависимости от их природы различают механические, тепловые, электрические, магнитные, световые и другие физические явления. Раздел физики, который объясняет движение и взаимодействие тел, называется механикой.

Слово «механика» впервые ввел Аристотель. Оно означает «машина».
Механика — одна из древнейших наук. Ее возникновение и развитие связано с практическими потребностями человека. Первые труды по механике, в которых рассматривались свойства простых механизмов и машин, появились еще в Древней Греции. Весомый вклад в ее становление сделали такие корифеи науки, как Аристотель (IV в. до н. э.), Архимед (III в. до н. э.), Леонардо да Винчи (XV в.), Галилео Галилей (XVII в.) и др. В завершенном виде как классическая теория она получила обоснование в работе Исаака Ньютона «Математические начала натуральной философии» (1687 г.). Современная механика, в основе которой лежит теория относительности, создана в начале XX в. Альбертом Эйнштейном.

Основная задача механики состоит в том, чтобы на основании параметров движения тела: координат, пройденного пути, перемещения, угла поворота, скорости, силы и т. д. — найти закон или уравнение, которое описывает это движение.

Основная задача механики состоит в том, чтобы найти уравнение движения тела с помощью параметров, описывающих это движение.
Т. е. если мы при помощи этих физических величин сможем установить положение тела в любой момент времени, то основная задача механики считается решенной. В зависимости от способов ее решения в механике выделяют три раздела: кинематика, динамика и статика.

Кинематика изучает, как движется тело, не вникая в причины, вызывающие именно такое движение. Поэтому кинематические уравнения состоят лишь из пространственных характеристик механического движения: пройденного пути, изменения координат тела, скорости и т. д. В них нет сил, изменяющих это движение.

В переводе с греческого слово кинематика» (kinematos) означает движение.

Механическое движение и траектория движения

Чаще всего в обыденной жизни мы наблюдаем явление, которое называется механическим движением. Например, автомобиль едет по дороге, в небе «плывут» тучи, ребенок катается на качелях, Луна вращается вокруг Земли и т. д. Во всех этих случаях происходит изменение положения одного тела или его частей относительно других. Чтобы убедиться в этом, необходимо выбрать тело отсчета, относительно которого можно фиксировать положение движущегося тела в любой момент времени. Тело отсчета выбирают произвольно. В приведенных примерах это может быть столб или дерево возле дороги, дом, поверхность Земли и т. д.

Для того чтобы описать движение тела, необходимо точно знать его местоположение в пространстве в произвольный момент времени, т. е. уметь определять изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Как известно, легче всего это можно сделать с помощью системы координат. Например, зафиксировать «адрес» тела как определенное его положение в пространстве, измерив расстояния или углы в некоторой системе координат.

Например, в географии положение тела на земной поверхности задается двумя числами на пересечении меридиана и параллели, которые называются географической долготой и широтой. В математике «адрес» точки чаще всего определяют ее координатами, в частности в прямоугольной (декартовой) системе координат на плоскости — это расстояния х и у (рис. 1.1).
Взаимные изменения положения тела или его частей в пространстве с течением времени называются механическим движением.

Систему координат, как правило, связывают с телом отсчета. В данном случае движущееся тело характеризуется изменением положения в пространстве относительно тела отсчета, т. е. изменением его координат с течением времени.

Математически это можно записать в таком виде: х = x(t); у = y(t).

Для того чтобы определить такое изменение в любой момент времени, с телом отсчета и системой координат необходимо связать средство измерения времени, к примеру секундомер или хронометр. Тогда тело отсчета, связанную с ним систему координат и секундомер как единое целое называют системой отсчета.

Как известно, реальные физические тела имеют форму и объем. Поэтому однозначно задать их положение в пространстве не всегда представляется возможным, поскольку различные их части имеют разные координаты. Однако эту проблему можно упростить, если не брать во внимание размеры тела. Такое возможно лишь при определенных условиях.

Чтобы выяснить их, рассмотрим движение автомобиля. На значительных расстояниях, например на шоссе между Киевом и Харьковом, размерами автомобиля можно пренебречь, поскольку они значительно меньше расстояния между этими городами. Поэтому нет необходимости рассматривать особенности движения каждой части кузова автомобиля — достаточно его представить как движение точки.

Таким образом, для упрощения описания движения тел, когда их размерами при определенных условиях можно пренебречь, применяют понятие материальной точки. Это условное тело, не имеющее размеров, которое определяет положение реального тела в пространстве при помощи координат такой, материальной точки. Ее геометрический образ — невесомая точка, не имеющая размеров. В случае поступательного движения, при котором все точки тела движутся одинаково, любое тело можно считать материальной точкой.

Материальная точка — это физическая модель, при помощи которой представляют реальное тело, пренебрегая его размерами.

Часто кроме движущихся предметов мы наблюдаем тела, пребывающие в состоянии покоя. Однако абсолютно неподвижных тел в природе не существует.

Рассмотрим такой пример. В вагоне на столе стоит бутылка с водой (рис. 1.2). Во время движения поезда разные наблюдатели — пассажир в купе и провожающий на перроне — оценят ее состояние движения по-разному. Для сидящего пассажира она неподвижна, поскольку расстояние от него до бутылки не изменяется. Для провожающего на перроне 16 она движется, потому что изменяет свое положение с течением времени в системе отсчета, связанной с перроном.

Следовательно, состояние покоя является относительным, равно как и состояние движения, поскольку зависит от выбранной системы отсчета. Поэтому в дальнейшем при рассмотрении движения тела мы в первую очередь будем определяться с выбором системы отсчета, потому что от этого нередко зависит сложность уравнений, описывающих данное движение. Правильный выбор системы отсчета ведет к упрощению уравнений движения.

Состояние покоя и состояние движения тела относительны, поскольку зависят от выбора системы отсчета.

Рассмотрим движущееся тело, последовательно фиксируя его положение в определенные моменты времени. Если теперь соединить все точки, в которых побывало тело во время своего движения, то получим мнимую линию, которая называется траекторией движения. Траектория движения может быть видимой (след от самолета на небосклоне, линия от карандаша или ручки при записи в тетради) и невидимой (полет птички, движение теннисного мяча и т. д.).

По форме траектории механическое движение бывает прямолинейным и криволинейным (рис. 1.3).

Положение броуновской частички через определенные промежутки времени.

Рис. 1.3. Различные формы траектории

Траектория прямолинейного движения — прямая линия. Например, падение тела с определенной высоты или движение шарика по наклонному желобу. Во время криволинейного движения тело перемещается по произвольной кривой. Часто реальное движение тел является комбинацией прямолинейного и криволинейного движений. Например, комбинированным есть движение автобуса по маршруту: на разных участках траектория его движения может быть и прямолинейной, и криволинейной.

Поскольку движение тел происходит в определенных системах отсчета, то и траектория рассматривается относительно них. Ведь она отображает во времени последовательные положения тела в некоторой системе отсчета. Поэтому она будет отличаться формой в различных системах отсчета, т. е. траектории движения также относительны. Например, все точки колеса велосипеда относительно его оси описывают окружность, однако в системе отсчета, связанной с землей, эта линия более сложная (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Траектория движения точки обода колеса велосипеда

Путь и перемещение

Зная траекторию движения, можно определить путь, пройденный телом: для этого необходимо измерить длину траектории между начальной и конечной точками движения.

Путь — это длина траектории, которую проходит тело или материальная точка за определенный интервал времени. Он обозначается латинской буквой l. Данная физическая величина является скалярной и характеризуется лишь значением длины траектории движения.

В Международной системе единиц (СИ) путь измеряется в метрах (м). На практике используют также другие единицы пути — километр (км), сантиметр (см) и др.

Часто, для того чтобы более полно охарактеризовать движение тела и найти его новое положение, кроме пройденного пути (длины траектории), необходимо указать также направление, в котором двигалось тело. Например, водителю автомобиля приходится ехать по извилистой дороге (рис. 1.5).

Пройденный путь — это длина дороги I, по которой ехал автомобиль. Водитель же совершил перемещение в пространстве из точки А в точку В, которое можно найти, соединив начальное и конечное положение тела прямой линией, указав при этом направление движения.

Следовательно, направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение движущегося тела с конечным, называется перемещением. Перемещение — это векторная величина. Оно обозначается латинской буквой Его значение характеризуется модулем вектора перемещения или для упрощения записи s.

Путь и перемещение могут отличаться своими значениями. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим движение велосипедиста по окружности радиуса R= 100 м (рис. 1.6).

Допустим велосипедист стартует в точке А. Проехав половину окружности, он окажется в точке В. Пройденный им путь равен дуге а модуль перемещения = 2R = 200 м.

В момент времени, когда велосипедист проедет окружности, пройденный им путь будет равен значение перемещения Когда велосипедист сделает полный оборот, пройденный путь будет равен модуль перемещения при этом равен нулю Таким образом, перемещение может равняться нулю даже в том случае, если тело перед этим осуществляло движение. Это возможно, когда начальное и конечное положения тела совпадают.

Путь и перемещение имеют также одинаковые значения, когда тело движется прямолинейно лишь в одном направлении.

В рассмотренном нами примере пройденный путь и перемещение разные, отличаются по своему значению. Возникает вопрос: могут ли они совпадать, быть одинаковыми? Можно легко убедиться в том, что такое возможно, если, во-первых, траектория движения будет прямой, во-вторых, движение происходит в одну сторону. Как подтверждение этого, рассмотрим — такой пример.

Допустим, что автомобиль движется прямолинейно по шоссе из пункта А в пункт В, а затем возвращается в пункт С. Расстояние между пунктами 2 км и 4 км соответственно, все они размещены на одной прямой (рис. 1.7).

Двигаясь из пункта А в пункт В, автомобиль проходит путь = 2 км + 4 км = 6 км, и модуль его перемещения равен = 6 км. Т. е. в данном случае путь и перемещение совпадают: После того как автомобиль развернулся и приехал в пункт С, его перемещение равно = 2 км, а пройденный путь составляет = 6 км + 4 км = 10 км, т. е. пройденный путь и перемещение отличаются:

Следовательно, пройденный путь и перемещение по своему значению одинаковы лишь в том случае, если тело движется по прямой и не изменяет направление движения.

Равномерное прямолинейное движение

Простейшим видом механического движения является равномерное прямолинейное движение. Это такое движение, при котором тело, двигаясь по прямой, за любые одинаковые интервалы времени совершает одинаковые перемещения. Его траектория — прямая линия. Поэтому его можно описать переменой одной из координат, например х = x(t), если координатная ось совпадает с направлением движения.

Пусть тело в начальный момент движения имеет координату (рис. 1.8); через некоторое время, совершив перемещение оно будет иметь координату х. Перемещение, характеризующее изменение положения тела в пространстве с течением времени, может происходить с разной скоростью. Скорость равномерного движения — это физическая величина, равная отношению перемещения ко времени, в течение которого оно произошло:

Как известно, в СИ скорость
измеряется в метрах за секунду (м/с). 1 м/с — это скорость такого равномерного прямолинейного движения, при которой тело за 1 с совершает перемещение 1 м. На практике используют также другие единицы скорости, например километр в час:

Поскольку перемещение — векторная величина, а время t -скалярная и всегда больше 0, то скорость также векторная величина, направление которой совпадает с направлением перемещения (рис. 1.9).

При равномерном движении значение скорости остается постоянным, поскольку за любые равные интервалы времени совершаются равные перемещения.

Как известно, основной задачей механики является определение положения тела в пространстве в произвольный момент времени. Следовательно, чтобы ее решить, надо найти координаты тела либо их изменение во времени: х — x(t). В механике такое уравнение называется уравнением движения. При решении задач с использованием уравнения движения векторные величины, характеризующие движение тела, записывают в проекциях на соответствующую ось. Следовательно, из формулы (1) получаем:

Из рисунков 1.8 и 1.9 понятно, что Воспользовавшись формулой (2), получим уравнение равномерного прямолинейного движения:

поэтому
Уравнения равномерного прямолинейного движения:

Рассмотрим теперь различные случаи равномерного прямолинейного движения (рис. 1.10).

Из рисунка следует, что если направление движения тела совпадает с направлением координатной оси, то > 0 и координата тела с течением времени возрастает: где v — модуль скорости.

Если же направление движения тела противоположно направлению координатной оси, то 0) либо устремляться вниз ( 0 (рис. 1.15) либо 0 и 0, скорость движения увеличивается, ведь — > 0, вектор совпадает с направлением движения.

Если скорость тела со временем уменьшается то вектор ускорения будет противоположным к направлению движения (рис. 1.25).

В данном случае в соответствии с выбранным направлением координатной оси ОХ проекция ускорения будет отрицательной

Вместе с тем знак проекции ускорения не определяет характер движения — оно ускоряющееся или замедляющееся, в зависимости от выбора системы отсчета. В этом легко убедиться, если рассмотреть случай, когда оба тела движутся в противоположных направлениях. Тогда одно из тел имеет положительную проекцию ускорения а другое — отрицательную хотя оба движутся равноускоренно.

Из формул (1) и (2) можно получить кинематическое уравнение скорости для равноускоренного движения:

или в проекциях на ось ОХ:

Выведем теперь кинематическое уравнение перемещения для равноускоренного движения. Учтем, что скорость во время такого движения постоянно изменяется, например сначала она равна а в конце движения она будет v. Поэтому в формуле перемещения можно воспользоваться понятием средней скорости (известное из курса физики 8-го класса):

Подставив в данную формулу уравнение (3) и произведя некоторые преобразования, получим:

или в проекциях на ось ОХ:

Если начальная скорость тела равна 0 то кинематическое уравнение перемещения приобретает вид:

или в проекциях на ось ОХ:

Для прямолинейного движения, учитывая, что получим кинематическое уравнение для координат или уравнение равноускоренного движения:

или для случая, когда = 0:

Следует помнить, что в ходе решения задач необходимо учитывать знаки проекций в соответствующих уравнениях.

При определении проекции перемещения не всегда известно время, в течение которого происходило движение. Тогда можно воспользоваться иным уравнением. Чтобы его получить, подставим в кинематическое уравнение выражение Сделав некоторые математические преобразования (предлагаем произвести их самостоятельно), получим формулу:

Отсюда Если

Задача №5

Водитель начинает тормозить в тот момент, когда спидометр автомобиля фиксирует скорость 72 км/ч. Через какое время автомобиль остановится, если он двигался с ускорением Каким был его тормозной путь?
Дано:

По условию задачи спидометр показывает начальную скорость автомобиля Движение автомобиля во время торможения — замедляющееся, поэтому вектор ускорения направлен в противоположную сторону от направления движения. Конечная скорость автомобиля v = 0 (он остановился).

следовательно, 0 = — at, отсюда

Ответ: автомобиль остановился через 10 с, проехав 100 м.

Задача №6

Шарик толкнули по наклонному желобу вверх со скоростью 6 м/с. Шарик движется с ускорением 0,5 Найти скорость шарика через 8 с и 14 с после начала движения.
Дано:

Решение

Направим ось ОХ вдоль желоба (см. рис.).

Учитывая знаки проекций скорости и ускорения, имеем

Отсюда уравнение для имеет такой вид:

Для имеем:

Анализируя полученные результаты, можно сделать вывод, что в первом случае шарик двигался вверх (> 0), а во втором случае он скатывался вниз, поскольку 0), либо падать вниз ( 0, то график имеет вид, представленный на рисунке 1.28. На графике зависимости координаты от времени, если вершина параболы смещается по оси ординат вверх или вниз в зависимости от значения

Если = 0 и

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.