Основные уравнения электродинамики в комплексной форме

Свинец

0,4810 7

 10 -9

Вода морская

1.4 Закон полного тока. Первое уравнение Максвелла

Формулируются закон полного тока. Вводится понятие тока смещения. Рассматривается характер обобщения закона полного тока.

В начале 19 века датский физик Х. Эрстед установил важнейший для теории электромагнетизма экспериментальный факт, который заключается в том, что протекание электрического тока по проводнику приводит к возникновению в окружающем пространстве магнитного поля (например, пространственная ориентация магнитной стрелки компаса вблизи проводника с током).

Н

Рисунок 1.5- К пояснению закона полного тока.
а основании открытия Эрстеда, Ампер сформулировал закон полного тока:
Циркуляция по контуру L вектора напряженности магнитного поля Н, вызванного протеканием токов I₁, I₂, I₃,…, равна полному току I_:
. (1.13)

Или согласно (1.9):

= , (1.14)

где: S – поверхность, ограниченная контуром L.

Максвелл дополнил закон Ампера, впервые предположив, что закон полного тока справедлив не только для постоянных полей, но и для переменных полей, если к току проводимости добавить еще один ток, названный им током смещения. Выясним характер его возникновения. Из практики известен факт протекания переменного электрического тока по цепи, содержащей конденсатор (см.рис.1.6.). Это означает, что ток течет не только по проводнику (I_пр), но и по п

Рисунок 1.6- Возникновение тока смещения.

рост-ранству между обкладками конденсатора, в котором отсутствуют какие-либо носители электрического заряда.

Поэтому, можно предположить, что в рассматриваемой области протекает некий ток, природа которого принципиально отлична от природы тока проводимости, изученного Вами ранее (например, в курсе общей физики), поскольку этот ток обусловлен не движением электрических зарядов, а движением материи между обкладками конденсатора в форме поля. Данный ток, получивший название тока смещения, вызван существованием переменного электрического поля:

.

По аналогии с (1.9) можно ввести понятие плотности тока смещения:

.

Поскольку (см.ур-е.1.7) , то:

.

Следовательно, ток смещения фактически состоит из двух составляющих:

1.) — плотность электрического тока смещения в вакууме. Этот ток образован изменением во времени напряженности электрического поля.

2.) — плотность электрического тока поляризации. Этот ток образован попеременным смещением в атомах вещества связанных зарядов (например, смещением орбит электронов относительно положительно заряженных ядер атомов).

Отличительной особенностью тока проводимости от тока смещения является следующее: ток проводимости связан с движением свободных электрически заряженных частиц под действием электрического поля, тогда как ток смещения определяется лишь изменением во времени вектора электрической индукции.

С учетом изложенного, закон полного тока для переменных полей, называемый обобщенным законом полного тока или 1-ым уравнением Максвелла в интегральной форме, запишется следующим образом:

Теорема Стокса: Циркуляция поля по контуру L равна потоку ротора вектора через любую поверхность S, ограниченную этим контуром:

где: – некоторая векторная величина.

Рисунок 1.7- К пояснению закона М. Фарадея

Рисунок 1.8- К выводу сопротивления цилиндрического проводника.

. (1.15)
Циркуляция вектора напряженности магнитного поля Н по любому замкнутому контуру L равна сумме истинного электрического тока и тока смещения, протекающих сквозь поверхность, ограниченную этим контуром.
Уравнение (1.15) записано в интегральной форме, т.е. в нем магнитное поле в некоторой области связывается с токами, имеющимися в этой области.

Однако во многих случаях представляет интерес связь между векторами поля в данной точке с токами (или зарядами) действующих в этой же точке. Математически это означает, что необходимо перейти от интегральной формы представления к дифференциальной.

Чтобы это осуществить с 1-ым уравнением Максвелла, используем теорему Стокса (известную из высшей математики).

,

или: . (1.16)

Уравнение (1.16) называют 1-ым уравнением Максвелла в дифференциальной форме.

1.5 Закон электромагнитной индукции.

Второе уравнение Максвелла

Формулируется закон Фарадея и характер

обобщения этого закона, сделанный Максвеллом.

В
S
1831 г. М. Фарадей экспериментально обнаружил возникновение напряжения на концах катушки, помещенной в переменное магнитное поле и на основании своих опытов сформулировал закон электромагнитной индукции (закон Фарадея):

Электрический ток I_пр, индуцируемый в замкнутом проводнике с сопротивлением R, равен скорости убывания магнитного потока Ф, проходящего через поверхность S, ограниченную контуром проводника L. I_пр R = . (1.17)

Из курса общей физики связь между магнитным потоком и вектором магнитной индукции определяется выражением:

,

тогда: I_пр R = –. (1.18)

Максвелл обобщил закон Фарадея, придав термину “контур” более широкий смысл. В формулировке Фарадея ”контур” – это замкнутая цепь проводника (проволочки), в формулировке Максвелла “контур” – это произвольно расположенная в пространстве замкнутая линия (проведенная, например, частично в диэлектрике и частично в проводнике ).

Представим (1.18) в более общем виде. Поскольку ток проводимости (см.ур-е.1.9) есть: , то предположив, что плотность электрического тока распределена равномерно по поперечному сечению проводника S₁, можно записать в этом случае:

,

Наконец, используя закон Ома в дифференциальной форме , окончательно получаем:

,

где: ? – удельная проводимость.

Из курса общей физики известно, что сопротивление цилиндрического проводника длиной l (см.рис.1.8.) определяется как: R = , или в общем виде (при замкнутом контуре L):

R = .

.

. (1.19)

Это и есть второе уравнение Максвелла в интегральной форме:

Циркуляция вектора напряженности электрического поля Е (т.е. электродвижущая сила) по любому замкнутому контуру L равна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего этот контур с обратным знаком.

У

Рисунок 1.9- Возбуждение вихревого электрического поля
равнение (1.19) показывает, что изменение во времени вектора магнитной индукции, возбуждает в пространстве вихревое электрическое поле (см.рис.1.9).

Используя теорему Стокса, запишем 2-ое уравнение Максвелла в дифферен-циальной форме:

Окончательно:

(1.20)

1.6. Теорема Гаусса. Третье и четвертое уравнения

Формулируются теоремы Гаусса для электрической и магнитной индукции и характер обобщения этих теорем, сделанных Максвеллом. Дается физическая трактовка непрерывности магнитных силовых линий.

В

Рисунок 1.10- К теореме Гаусса для электрической индукции

электростатике известна теорема Гаусса, полученная на основе экспериментальных данных и устанавливающая связь между вектором электрической индукции и величиной порождающего его электрического заряда q.

Теорема Гаусса для электрической индукции:

Поток вектора электрической индукции через любую замкнутую поверхность S равен электрическому заряду, заключенному внут-ри этой поверхности.

. (1.21)

Данное выражение устанавливает:

• источниками силовых линий электрического поля могут являться только электрические заряды.
• силовые линии вектора электрической индукции выходят (начинаются) на положительном заряде и входят (заканчиваются) на отрицательном заряде. Т.е. силовые линии вектора имеют исток и сток.

Количественно поток вектора электрической индукции через некоторую замкнутую поверхность S можно оценить числом пересекающих эту поверхность силовых линий. Причем:

• если число входящих линий больше выходящих, то поток считается отрицательным;
• если число входящих линий меньше выходящих, то поток считается положительным.

Поясним сказанное рис.1.11. Для соответствующих объемов V₁, V₂ и V₃ имеем:

; ; .

Максвелл обобщил теорему Гаусса, предложив рассматривать ее не только для постоянных полей, но и для переменных полей.

Представим (1.21) в более общем виде. Если в некотором замкнутом объеме V, ограниченном поверхностью S заключено несколько электрических зарядов, то совокупный заряд в этой области представляется через объемную плотность электрического заряда ?:

.

. (1.22)

Полученное выражение носит название 3-го уравнения Максвелла: в интегральной форме:

Поток вектора электрической индукции через любую замкнутую поверхность S равна сумме зарядов в объеме V, ограниченном этой поверхностью.
Для того, чтобы записать 3-е уравнение Максвелла в дифференциальной форме используем теорему Остроградского-Гаусса.

,

. (1.23)
У
 Из математики:

Теорема Остроградского -Гаусса:

Поток поля через замкнутую поверхность S равен интегралу от дивергенции по объему V, ограниченному этой поверхностью:

где: – некоторая векторная величина.

Рисунок 1.11- Количественная оценка потока вектора электрической индукции

Рисунок 1.12- К теореме Гаусса для магнитной индукции

равнение (1.23) носит название 3-го уравнения Максвелла в дифференциальной форме.

Из курса общей физики Вам известен экспериментальный факт, что силовые линии магнитного поля независимо от того, создано ли это поле постоянным магнитом или катушкой с переменным током, образуют в пространстве замкнутые линии (например, опыт с железными опилками и постоянным магнитом из школьной программы по физике).

Расположим внутри области существо-вания магнитного поля произвольный объем V, ограниченный поверхностью S. Из замкнутости силовых линий следует, что число входящих линий всегда будет равно числу входящих. Следовательно поток вектора магнитной индукции будет равен нулю. Этот факт закреплен в теореме Гаусса для магнитной индукции:

Поток вектора магнитной индукции В через любую замкнутую поверхность S равен нулю:

. (1.24)

Уравнение (1.24) устанавливает:

• силовые линии вектора магнитной индукции всегда непрерывны, т.е. образуют замкнутые линии.
• в природе не существует магнитных зарядов.

Уравнение (1.24) кроме того, носит название 4-го уравнения Максвелла в интегральной форме.

Используя теорему Остроградского-Гаусса представим 4-ое уравнение Максвелла в дифференциальной форме:
,

(1.25)

1.7 Закон сохранения заряда. Уравнение непрерывности

Рассматривается фундаментальное свойство электрических зарядов — принцип их локального сохранения.

Из 1-го и 3-го уравнения Максвелла следует важный вывод, на котором хотелось бы остановиться поподробнее. Возьмем 1-е уравнение Максвелла:

.

Далее берем операцию div от обеих частей этого выражения:

.

Из высшей математики известно, что операция дивергенции ротора какой-либо векторной величины тождественна равна нулю, тогда:

,

или ,

или .

Используя 3-е уравнение Максвелла , получаем:

.

Проинтегрируем по объему V обе части уравнения:

.

Применим к левой части теорему Остроградского-Гаусса, тогда:
,

. (1.26)

где: I_пр – ток, пересекающий замкнутую поверхность S, ограничивающую объем V, в котором находится заряд Q.
Полученное выражение (1.26) выражает закон сохранения заряда:

Электрический токI, выходящий за некоторый промежуток времени через замкнутую поверхностьS, ограничивающую объемV, равен величине уменьшения находящегося в объеме зарядаQза тот же промежуток времени.
Закон сохранения заряда устанавливает, что заряд не может переместится из одной точки в другую не создав между ними тока. С другой стороны, если не происходит изменение заряда в объеме V, то ток проводимости равен нулю. Это означает в свою очередь, что:

• либо ток вообще отсутствует;
• либо распределение зарядов по всему объему проводника остается неизменным во времени, т.е. количество зарядов поступивших за некоторый промежуток времени в замкнутый объем, в точности равно количеству зарядов, вытекающих за тот же промежуток времени из этого объема. Очевидно, что это имеет место в случае постоянного электрического тока. Поэтому для постоянного электрического тока получаем:

(1.27)

Данное уравнение носит название уравнения непрерывности постоянного тока в интегральной форме.

Из него следует (сравните, например, с 4-ым уравнением Максвелла), что силовые линии плотности постоянного тока проводимости непрерывны, т.е. образуют замкнутые линии, и ток через любую замкнутую поверхность равен нулю.

1.8 Полная система уравнений электродинамики.

Уравнения Максвелла в комплексной форме

Рассматривается физический смысл уравнений Максвелла. Формулируются уравнения Максвелла для гармонических полей.

Сведем вместе основные уравнения макроскопической электродинамики, с помощью которых можно описать все многообразие свойств электромагнитных явлений. Эти уравнения (см. раздел 1.41.6) могут быть записаны либо в интегральной, либо в дифференциальной форме. Интегральная форма записи уравнений устанавливает связь между величинами в разных точках поля или на разных отрезках (поверхностях). Дифференциальная форма описывает соотношение между величинами вблизи одной и той же точки поля в определенный момент времени. Чаще всего именно это форма записи уравнений Максвелла используется на практике при исследовании электромагнитных полей, изменяющихся от точки к точке.

В дифференциальной форме: В интегральной форме:

1. rot = 1. =
2. rot = —(1.28) 2. = — (1.29)
3. div = ? 3.
4. div = 0 4.

Полная система уравнений электродинамики включает в себя: приведенные выше 4-ре уравнения Максвелла и уравнения (их называют материальными уравнениями), которые связывают между собой векторы и , и ,и . В случае линейных изотропных сред, материальные уравнения имеют вид (см. ур-я 1.4, 1.6 и 1.7):

, , . (1.30)

1-ое и 2-ое уравнения Максвелла считаются основными уравнениями электродинамики, 3-е и 4-е – дополнительными, т.к. они вытекают из первых двух.

Сформулируем основные выводы (физический смысл), следующие из уравнений Максвелла:

1. Всякое изменение во времени электрического или магнитного поля приводит к возникновению соответственно вихревого магнитного или вихревого электрического поля. Независимое существование друг от друга переменных электрических и магнитных полей невозможно, они непрерывно переходят одно в другое.
2. Независимое существование электрических и магнитных полей возможно только в случае статических (неподвижных) зарядов и постоянных магнитов.
3. Источниками электрического поля являются заряды и токи, поэтому электрическое поле может быть как потенциальным (заряды), так и вихревым (токи).
4. Источниками магнитного поля являются движущиеся заряды (токи проводимости) или возмущение электрического поля (ток смещения), поэтому магнитное поле всегда имеет вихревой характер.
5. Силовые линии электрического поля могут иметь истоки и стоки, тогда как силовые линии магнитного поля всегда непрерывны, т.е. замыкаются на себя.

Перейдем к представлению уравнений Максвелла в комплексной форме. Необходимость такого представления связана с тем, что на практике очень часто приходится иметь дело с электромагнитными полями, создаваемыми периодически изменяющимися во времени токами и зарядами.

Любая, переменная во времени, величина может быть представлена рядом Фурье в виде суммы дискретных гармонических колебаний:

.

В случае же монохроматических (“одноцветных”) гармонических колебаний:

.

Величина ? = 2?f = 2?/? – называется круговой частотой гармонических колебаний.

Анализ гармонических колебаний значительно упрощается при введении метода комплексных амплитуд (“символический метод”). В основу этого метода положена формула Эйлера:

,

тогда гармоническую скалярную величину, например U(t), можно представить как вещественную часть следующей комплексной величины:

,

где: — комплексная амплитуда;

— комплексная скалярная величина.

Рассмотрим теперь представление векторной гармонической величины комплексным вектором.

В общем случае вектор , изменяющийся во времени по гармоническому закону в некоторой точке пространства, записывается в виде:

, (1.31)

г

Рисунок 1.13- Проекции вектора в прямоугольной системе координат

де: А_mx,, A_my, A_mz – амплитуды отдельных составляющих вектора;

, , – единичные орты в прямо-угольной системе координат.

По сути (1.31) есть проекция вектора на оси прямоугольной системы координат (x, y, z), см.рис.1.9.

Представим теперь выражение для вектора (1.31) через комплексный вектор .

, (1.32)

где: — комплексная амплитуда вектора

— комплексный вектор

Если комплексный вектор удовлетворяет некоторому линейному дифференциальному уравнению, то это означает, что данному уравнению удовлетворяет как вещественная так и мнимая часть этого комплексного вектора. Поэтому: если требуется найти решение дифференциального уравнения (а уравнения Максвелла как раз такими и являются) в виде вектора (см (1.31)), то искать его проще сначала в виде комплексного вектора, а затем уже взять от него вещественную часть.

Применим вышеизложенное для полученных уравнений Максвелла в комплексной форме. Для этого представим векторы , ,,ив виде комплексных векторов:

; .

Тогда, подставив их в дифференциальную форму уравнений Максвелла (1.28) получим:

(1.33)

Данные уравнения носят название уравнений Максвелла в комплексной форме. В дальнейшем, при использовании (1.33) индекс m будем опускать.

1.9 Классификация электромагнитных полей.

Разграничение сред по признаку электропроводности

Приводятся критерии классификации электромагнитных полей. Рассматривается относительность разграничения сред по электропроводности.

Критериями классификации электромагнитных полей служит характер их зависимости от времени и величина тока проводимости. В связи с этим, принято различать следующие виды электромагнитных полей:

1. Статические поля

• характеризуются постоянством во времени, т.е. d/dt = 0
• отсутствием тока проводимости I_пр = 0

Положив эти значения в уравнения Максвелла, увидим, что система уравнений распадается на две полностью независимые системы:

а) Величины первой системы характеризуют электрическое поле:

(1.34а)

б) Величины второй системы характеризуют магнитостатическое поле:

(1.34б)

Таким образом, электростатические поля и магнитостатические поля можно рассматривать независимо друг от друга, в этом и заключается одна из их особенностей. Электростатическое поле порождается неподвижными электрическими зарядами, магнитостатическое поле порождается неподвижными постоянными магнитами.

1. Стационарные поля

• характеризуются постоянством во времени, т.е. d/dt = 0
• наличием тока проводимости

В этом случае уравнения Максвелла приводятся к виду:

(1.35)

Нетрудно заметить, что в стационарных полях уже существует связь между электрическими и магнитными полями, которая осуществляется через плотность тока проводимости (поскольку ).

1. Квазистационарные поля

• характеризуются тем, что d/dt  0, однако плотность тока проводимости намного больше плотности тока смещения, т.е.:

В этом случае уравнения Максвелла принимают вид:

(1.36)

К квазистационарным полям относят электромагнитные явления, протекающие достаточно медленно. Рассмотрим пример.

Рисунок 1.14- К пояснению характера образования квазистационарного электромагнитного процесса

Пусть в некотором объеме V распро-страняется переменный электромагнитный процесс (см. рис.1.14). Предположим, что в некоторый момент времени t₁ в сечении S₁ существует некое электрическое поле характеризуемое как:

Очевидно, что на расстоянии L от S₁ (т.е. в сечении S₂) электрическое поле будет:

где:  — время прохождения электромагнитного процесса отрезка L, , с — скорость света. Чтобы было равно , необходимо, чтобы  = 0, или , или   L, где: – длина волны.
Вывод: Для рассматриваемого объема V можно говорить о почти постоянном (квазистационарном) характере электромагнитного поля только в том случае если выполняется условие:

Данное условие получило название условия квазистационарности. Следовательно, при любой скорости электромагнитного процесса система может быть квазистационарной, если ее размеры достаточно малы по отношению к длине волны.
4.Быстропеременные поля.

Это такие электромагнитные поля, которые полностью характеризуются системой уравнений Максвелла (1.28 или 1.29) без каких либо упрощений.
Перейдем теперь к рассмотрению вопроса о разграничении сред по признаку электропроводности. В разделе 1.3, в зависимости от значения принимаемой удельной проводимости , среды разделялись на диэлектрики и проводники. Другой мерой оценки явления электропроводности может служить плотность полного тока:

.

Для идеального диэлектрика ( = 0): , тогда как для идеального проводника (  ): . Следовательно, любую реальную среду можно считать диэлектриком если: .

Если же , то такую среду можно считать проводником. Применим данный критерий к гармонически изменяющимся во времени полям. Для них:

.

Среда характеризуется как диэлектрик если:

, или . (1.38 а)

Среда характеризуется как проводник если:

, или . (1.38 б)

Из (1.38) видно, что деление сред на проводники и диэлектрики по их электропроводимости относительно, т.к. критерий оценки включает в себя еще и частоту. Это означает, что одна и та же среда может вести себя как проводник на одних частотах, и как диэлектрик на других.

Частота на которой выполняется условие () носит название граничной f_гр. Тогда, если рабочая частота f_раб  f_гр, то среда считается диэлектриком. Если же f_раб . 10 -3 см/м. Тогда из условия: , определяем f_гр = , где: — диэлектрическая проницаемость вакуума. Подставив значения в (1.38 а), получим: f_гр  500 кГц.

Это означает, что:

• при f = 50 Гц – вода является проводником (хорошо известный из практики факт);
• при f = 1 ГГц – вода будет является диэлектриком.

Н. Н. Федоров. Основы электродинамики

М.: «Высшая школа», 1980. — 399 с.

§ 1.1. Место электродинамики среди технических дисциплин. Назначение электродинамики и основные этапы ее развития
§ 1.2. Система единиц. Закон Кулона. Вектор напряженности электрического поля Е. Разность потенциалов U. Теорема Гаусса для вакуума
§ 1.3. Теорема Гаусса для вещества. Вектор электрического смещения D. Первое материальное уравнение среды. Первое уравнение непрерывности
§ 1.4. Вектор магнитной индукции В. Связь вектора В с током
§ 1.5. Воздействие внешнего магнитного поля на вещество. Вектор напряженности магнитного поля Н. Закон полного тока. Второе материальное уравнение среды. Второе уравнение непрерывности
§ 1.6. Электрическая проводимость среды. Закон Ома в дифференциальной и интегральной формах. Сторонний электрический ток. Ток смещения. Обобщенный закон полного тока
§ 1.7. Теорема Гаусса для вещества в случае проводящей среды
§ 1.8. Закон электромагнитной индукции Фарадея. Сторонний магнитный ток. Магнитная проводимость среды. Закон электромагнитной индукции в расширенной форме. Перестановочная двойственность интегральных уравнений электродинамики
§ 1.9. Вид интегрального соотношения случае среды, обладающей магнитной проводимостью
§ 1.10. Комплексные амплитуды векторов поля, зарядов и токов. Уравнения электродинамики для комплексных амплитуд в интегральной форме. Интегральные уравнения электродинамики в случае спектральных сигналов

§ 2.1. Теорема Остроградского-Гаусса. Теорема Стокса
§ 2.2. Переход от интегральных уравнений электродинамики к дифференциальным. Применение принципа перестановочной двойственности к дифференциальным уравнениям электродинамики
§ 2.3. Дифференциальные уравнения электродинамики в случае квазистатических и статических полей
§ 2.4. Несамостоятельность некоторых уравнений электродинамики

§ 3.1. Вывод первого закона Кирхгофа на основании уравнений электродинамики
§ 3.2. Вывод второго закона Кирхгофа на основании уравнений электродинамики

§ 4.1. Теорема Пойнтинга для мгновенных значений векторов поля
§ 4.2. Теорема Пойнтинга для комплексных амплитуд векторов поля

§ 5.1. Постановка вопроса
§ 5.2. Теорема единственности решения уравнений Максвелла для ограниченного объема
§ 5.3. Теорема единственности решения уравнений Максвелла для неограниченного объема

§ 6.1. Постановка вопроса
§ 6.2. Волновые уравнения для векторов поля
§ 6.3. Уравнения Гельмгольца для векторов поля

§ 7.1. Постановка вопроса
§ 7.2. Определение вида скалярных уравнений, соответствующих уравнениям Гельмгольца в декартовой системе координат
§ 7.3. Плоские волны
§ 7.4. Групповая скорость
§ 7.5. Распространение плоских волн в различных средах
§ 7.6. Поляризация плоских волн
§ 7.7. Ортогональность векторов Е(t) и Н(t)

§ 8.1. Постановка вопроса
§ 8.2. Граничные условия для нормальных составляющих векторов поля
§ 8.3. Граничные условия для тангенциальных составляющих вектороеполя

§ 9.1. Постановка вопроса
§ 9.2. Вывод основных уравнений. Законы Снеллиуса. Коэффициенты отражения и преломления
§ 9.3. Угол полного преломления (угол Брюстера)
§ 9.4. Полное внутреннее отражение
§ 9.5. Падение плоской волны на плоскую границу раздела с идеальным металлом
§ 9.6. Падение плоской волны на границу раздела с реальным металлом
§ 9.7. Мощность потерь в реальном металле

§ 10.1. Постановка вопроса
§ 10.2. Случай первый. Вектор Е лежит в плоскости падения. Волны электрического типа
§ 10.3. Случай второй. Вектор Е перпендикулярен плоскости падения. Волны магнитного типа
§ 10.4. Двухплоскостной волновод

§ 11.1. Постановка вопроса
§ 11.2. Система скалярных уравнений Максвелла в обобщенной ортогональной криволинейной системе координат
§ 11.3. Волны электрического и магнитного типов

§ 12.1. Постановка вопроса
§ 12.2. Основные сведения о процессах в волноводах быстрых волн
§ 12.3. Упрощение уравнений, связывающих поперечные составляющие поля с продольными, при использовании волноводов быстрых волн
§ 12.4. Основные сведения о процессах в волноводах медленных волн
§ 12.5. Основные сведения о процессах в волноводах, канализирующих волны типа Т

§ 13.1. Решение основного уравнения для продольных составляющих поля в прямоугольном волноводе
§ 13.2. Волны электрического типа
§ 13.3. Волны магнитного типа
§ 13.4. Фазовая скорость, длина волны в волноводе, критическая длина волны, критическая частота. Волны основных типов в прямоугольном волноводе
§ 13.5. Условия существования волн различных типов в прямоугольном волноводе
§ 13.6. Определение картин поля в прямоугольном волноводе с помощью граничных условий у поверхности идеального металла
§ 13.7. Аналитический метод построения картин поля в прямоугольном волноводе

§ 14.1. Решение основного уравнения для продольных составляющих поля в круглом волноводе
§ 14.2. Волны электрического типа
§ 14.3. Волны магнитного типа
§ 14.4. Фазовая скорость, длина волны в волноводе, критическая длина волны. Волны основных типов в круглом волноводе
§ 14.5. Условия существования волн различных типов в круглом волноводе
§ 14.6. Картины поля в круглом волноводе

§ 15.1. Возможные типы волн в круглом коаксиальном волноводе
§ 15.2. Волны типа Т
§ 15.3. Волны электрического и магнитного типов

§ 16.1. Постановка вопроса
§ 16.2. Вывод основных соотношений
§ 16.3. Четные и нечетные волны. Определение трансцендентных уравнений для поперечных волновых чисел
§ 16.4. Решение трансцендентных уравнений и определение поперечных волновых чисел. Критические частоты в случае электрических волн различных типов
§ 16.5. Коэффициент замедления поверхностных волн
§ 16.6. Групповая скорость поверхностных волн
§ 16.7. Картины поля при использовании диэлектрической пластины в качестве замедляющей системы

§ 17.1. Постановка вопроса
§ 17.2. Вывод основного уравнения для продольных составляющих поля быстрой волны внутри круглого диэлектрического стержня и его решение
§ 17.3. Вывод основного уравнения для продольных составляющих поля медленной волны вне диэлектрического стержня и его решение
§ 17.4. Определение поперечных составляющих поля быстрой и медленной волн
§ 17.5. Определение поперечных волновых чисел g, р и продольного волнового числа h. Возможность раздельного существования волн электрического и магнитного типов

§ 18.1. Постановка вопроса
§ 18.2. Вывод основного уравнения для продольных составляющих поля медленной волны и его решение. Составляющие поля в спиральном волноводе
§ 18.3. Определение поперечного и продольного волновых чисел

§ 19.1. Постановка вопроса
§ 19.2. Вывод основного уравнения для продольной составляющей электрического поля в гребенчатом волноводе и его решение
§ 19.3. Определение поперечного и продольного волновых чисел

§ 20.1. Постановка вопроса
§ 20.2. Вывод уравнений для мощностей, теряемых в металле и диэлектрике волновода. Определение коэффициентов затухания

§ 21.1. Общие сведения об объемных резонаторах
§ 21.2. Вывод выражений для составляющих поля электрического типа в резонаторе, созданном на базе прямоугольного волновода быстрых волн
§ 21.3. Вывод выражений для составляющих поля магнитного типа в резонаторе, созданном на базе прямоугольного волновода быстрых волн
§ 21.4. Определение резонансной частоты и основных типов волн в случае волн электрического и магнитного типов в резонаторе, созданном на базе прямоугольного волновода быстрых волн
§ 21.5. Условия существования в резонаторе волн заданного типа
§ 21.6. Картины поля в прямоугольном резонаторе

§ 22.1. Вывод выражений для составляющих поля электрического типа в резонаторе, созданном на базе круглого волновода быстрых волн
§ 22.2. Вывод выражений для составляющих поля магнитного типа в резонаторе, созданном на базе круглого волновода быстрых волн
§ 22.3. Определение резонансной частоты и основных типов волн в случае волн электрического и магнитного типов в резонаторе, созданном на базе круглого волновода быстрых волн
§ 22.4. Условия существования в резонаторе волн заданного типа
§ 22.5. Картины поля в круглом резонаторе

§ 23.1. Постановка вопроса
§ 23.2. Вывод выражений для составляющих поля в коаксиальном объемном резонаторе, работающем на волнах типа Т

§ 24.1. Постановка
§ 24.2. Вывод соотношений для составляющих поля магнитного типа в Н-образном металлодиэлектрическом волноводе медленных волн
§ 24.3. Определение составляющих поля в объемном резонаторе, созданном на базе Н-образного металлодиэлектрического волновода, в случае четных волн магнитного типа
§ 24.4. Определение поперечных волновых чисел g, р и резонансной частоты Н-образного металлодиэлектрического резонатора

§ 25.1. Постановка вопроса
§ 25.2. Вывод общего выражения для добротности объемных резонаторов

§ 26.1. Постановка вопроса
§ 26.2. Определение эквивалентных параметров объемных резонаторов

§ 27.1. Постановка вопроса
§ 27.2. Исходные уравнения электродинамики для векторов поля с участием сторонних токов. Векторный электрический потенциал
§ 27.3. Векторный магнитный потенциал

§ 28.1. Постановка вопроса
§ 28.2. Разложение векторного уравнения Гельмгольца на скалярные. Решение однородного скалярного уравнения Гельмгольца в сферической системе координат
§ 28.3. Первая и вторая теоремы Грина
§ 28.4. Использование второй теоремы Грина с целью получения решения уравнения Гельмгольца для векторного электрического потенциала. Условия излучения
§ 28.5. Отыскание решения уравнения Гельмгольца для векторного магнитного потенциала

§ 29.1. Постановка вопроса
§ 29.2. Определение векторного электрического потенциала в поле элементарного электрического вибратора
§ 29.3. Определение составляющих поля элементарного электрического вибратора
§ 29.4. Ближняя, промежуточная и дальняя зоны поля элементарного электрического вибратора
§ 29.5. Мощность, излучаемая элементарным электрическим вибратором в окружающее пространство. Сопротивление излучения
§ 29.6. Диаграмма направленности поля излучения элементарного электрического вибратора в дальней зоне

§ 30.1. Постановка вопроса
§ 30.2. Определение составляющих поля элементарного магнитного вибратора
§ 30.3. Физический аналог элементарного магнитного вибратора. Элементарный щелевой вибратор
§ 30.4. Мощность, излучаемая элементарным магнитным вибратором в окружающее пространство. Сопротивление излучения. Диаграмма направленности

§ 31.1. Постановка вопроса
§ 31.2. Вывод леммы Лоренца для ограниченного и неограниченного объемов
§ 31.3. Теорема взаимности для элементарных вибраторов как пример применения леммы Лоренца

§ 32.1. Постановка вопроса
§ 32.2. Общие принципы возбуждения в волноводах поля заданного типа
§ 32.3. Условия ортогональности волн в волноводах
§ 32.4. Определение амплитудных коэффициентов поля, возбужденного в волноводах заданной системой сторонних токов

§ 33.1. Постановка вопроса
§ 33.2. Условия ортогональности волн в объемных резонаторах
§ 33.3. Определение амплитудных коэффициентов поля, возбужденного в объемных резонаторах заданной системой сторонних токов

§ 34.1. Постановка вопроса
§ 34.2. Вид тензоров диэлектрической и магнитной проницаемостей намагниченных плазмы и феррита
§ 34.3. Продольное распространение плоских волн в намагниченной ферритовой среде. Эффект Фарадея
§ 34.4. Поперечное распространение плоских волн в намагниченной ферритовой среде. Эффект Коттона-Мутона

§ 35.1. Постановка вопроса
§ 35.2. Дифракция плоской волны на бесконечном идеально проводящем металлическом цилиндре
§ 35.3. Первая и вторая граничные задачи электродинамики и соответствующие им теоремы. Теорема эквивалентности
§ 35.4. Определение суммарного поля, создаваемого сторонними токами в случае присутствия в рассматриваемой части пространства дополнительных поверхностей. Формулы типа Гюйгенса-Кирхгофа
§ 35.5. Дифракция плоских волн на отверстии в бесконечно протяженном идеально проводящем экране

§ 36.1. Постановка вопроса
§ 36.2. Математические условия электродинамического подобия

§ 37.1. Постановка вопроса
§ 37.2. Движение электрона в электромагнитном полеc
§ 37.3. Фиктивный угол пролета электронов
§ 37.4. Полный ток, возникающий между электродами
§ 37.5. Взаимодействие между электронным потоком и электрическим полем
§ 37.6. Возбуждение поля электронным пучком

Приложения

§ I.1. Понятие о дивергенции и роторе векторной функции
§ I.2. Понятие о градиенте скалярной функции
§ I.3. Криволинейная ортогональная обобщенная система координат
§ I.4. Выражения для дивергенции, ротора и градиента в криволинейной ортогональной обобщенной системе координат
§ I.5. Выражения для дивергенции, ротора и градиента в конкретных системах координат
§ I.6. Некоторые векторные тождества
§ I.7. Выражения для ∇²U и ∇²a в криволинейной ортогональной обобщенной системе координат

§ II.1. Расчет коэффициентов затухания поля h′ в прямоугольных волноводах в случае волн магнитного типа
§ II.2. Расчет коэффициентов затухания поля h′ в прямоугольных волноводах в случае волн электрического типа
§ II.3. Расчет коэффициентов затухания поля h′ в круглых волноводах в случае волн магнитного типа
§ II.4. Расчет коэффициентов затухания поля h′ в круглых волноводах в случае волн электрического типа

§ III.1. Определение добротностей прямоугольных объемных резонаторов в случае волн магнитного типа
§ III.2. Определение добротностей прямоугольных объемных резонаторов в случае волн электрического типа
§ III.3. Определение добротностей цилиндрических объемных резонаторов в случае волн магнитного типа
§ III.4. Определение добротностей цилиндрических объемных резонаторов в случае волн электрического типа

§ IV.1. Пример расчета амплитудного коэффициента волны типа Н₁₀ в прямоугольном волноводе
§ IV.2. Пример расчета амплитудного коэффициента волны типа Н₁₀₁ в прямоугольном объемном резонаторе

§ VI.1. Расчет сопротивлений излучения возбуждающих устройств в волноводах
§ VI.2. Расчет входных сопротивлений объемных резонаторов

Метод комплексных амплитуд

Все реальные электромагнитные процессы можно предс­тавить либо в виде суммы дискретных гармонических колебаний, либо в виде непрерывного спектра гармонических колебаний. Поэтому изучение гармонических во времени электромагнитных полей представляет большой практический и теоретический интерес. Такие поля часто называют также монохроматическими. В буквальном переводе «монохроматический» означает «одно­цветный». Название взято из оптики: как известно, каждому цвету соответствуют колебания определенной частоты.

Анализ гармонических процессов существенно упрощается при использовании метода комплексных амплитуд. В этом случае вместо любой скалярной функции, изменяющейся по закону

,

где ψm – амплитуда; φ – начальная фаза; ω = 2πf= 2π/T; а f и Т – частота и период гармонического колебания, вводится в рас­смотрение комплексная функция

.

Величину принято называть комплексной амплитудой функции . Для перехода от комплексной функции к исходной функции нужно взять от реальную часть .

Аналогично вместо вектора

(1.58)

можно ввести в рассмотрение комплексный вектор

(1.59)

— комплексная амплитуда вектора а.

Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному значению исходной функции нужно вычислить реальную часть произведения на exp (i ωt):

Отметим, что в общем случае вместо разложения вектора а по ортам декартовой системы координат (1.58) может оказаться необходимым разложение по каким-либо другим ортогональным векторам, что не вносит в рассмотрение никаких принципиальных изменений. Если функции а и ψ удовлетворяют линейным урав­нениям, то таким же уравнениям будут удовлетворять соответ­ствующие комплексные функции и . Однако определение комплексных функций во многих случаях оказывается проще опре­деления исходных функций. Это объясняется тем, что диффе­ренцирование комплексной функции по времени равносильно умножению ее на iω: ; , а интегрирование по времени – делению на iω: ; .