Основные уравнения электростатики и магнитостатики

Основные уравнения электростатики и магнитостатики

Сравнение основных теорем электростатики и магнитостатики.

До сих пор мы изучали статические электрические и магнитные поля, то есть такие поля, которые создаются неподвижными зарядами и постоянными токами. Основные уравнения, описывающие свойства этих полей, приведены в таблице 1.

Таблица 1. Основные уравнения электростатики и магнитостатики.

Источники электрического поля — заряды

Соленоидальность магнитного поля

Теорема о циркуляции поля

Потенциальность электрического поля

Источники магнитного поля – токи

Первое, на что обращает внимание сравнение этих уравнений – это то, что постоянные электрическое и магнитное поля имеют различную физическую сущность: источниками электростатического поля являются заряды, источниками магнитного поля — постоянные токи; электростатическое поле является потенциальным, а магнитное – вихревым (соленоидальным).

Второе, что более важно для дальнейшего – это то, что система уравнений электростатики не содержит никаких характеристик магнитного поля, как и система уравнений магнитостатики не содержит никаких характеристик электрического поля. Другими словами, уравнения электростатики и магнитостатики являются независимыми, а электрические и магнитные поля, описываемые этими уравнениями, существуют отдельно одно от другого.

С другой стороны, нам известны по крайней мере два явления, которые указывают на взаимосвязь электрических и магнитных полей. Первое из них – появление магнитного поля у заряда, движущегося относительно неподвижного наблюдателя (или при движении наблюдателя относительно неподвижного заряда). В данном случае один и тот же объект – электрический заряд – является источником как электрического, так и магнитного полей (рис.15.1).

Рис.15.1. Движущийся электрический заряд является источником электромагнитного поля.

Другое явление это – явление электромагнитной индукции, в котором переменное магнитное поле является причиной возникновения электрического тока – направленного движения зарядов в проводнике (рис.15.2).

Рис.15.2. Переменное магнитное поле приводит в движение электрические заряды.

Глубокая взаимосвязь и взаимопревращаемость электрических и магнитных полей в природе были установлены Джеймсом Максвеллом (Maxwell J., 1831-1879), обобщившим труды Фарадея и создавшим теорию электромагнитного поля. В основе этой теории лежит система уравнений (получивших название уравнений Максвелла), которая позволила описать не только всю совокупность известных тогда электрических и магнитных явлений, но и предсказать новые явления, в частности, существование электромагнитных волн. Теория Максвелла является одной из самых совершенных физических теорий. Достаточно сказать, что она послужила базисом для создания А.Эйнштейном (Einstein A., 1879-1955) специальной теории относительности. Отметим также, что в настоящее время не известно ни одного экспериментального факта из области макроскопических электромагнитных явлений, который противоречил бы этой теории. Перейдем к изучению основ теории Максвелла.

4.12. Вихревое электрическое поле. Первое уравнение Максвелла.

Возникновение индукционного тока в неподвижном проводнике при изменении магнитного потока свидетельствует о появлении в контуре сторонних сил, приводящих в движение заряды. Как мы уже знаем, эти сторонние силы обусловлены возникающим в контуре особым вихревым электрическим полем , циркуляция которого по замкнутому контуру отлична от нуля и равна ЭДС индукции:

С другой стороны, в соответствии с основным законом электромагнитной индукции Фарадея, величина ЭДС индукции определяется скоростью изменения потока магнитной индукции, то есть:

где интегрирование производится по произвольной поверхности, опирающейся на контур.

Приравнивая эти выражения, находим:

Максвелл предположил, что изменяющееся со временем магнитное поле приводит к появлению в пространстве электрического поля , независимо от того присутствует в этом пространстве проводящий контур или нет (рис.15.3). Наличие контура лишь позволяет обнаружить это электрическое поле по возникновению индукционного тока в проводнике.

Рис.15.3. Вихревое электрическое поле.

В общем случае электрическое поле слагается из потенциального поля , циркуляция которого по замкнутому контуру равна нулю, и вихревого поля :

На основании сказанного, сложив циркуляции полей и , приходим к первому уравнению Максвелла в интегральной форме:

Интеграл в левой части берется по произвольному замкнутому контуру, в правой части – по произвольной поверхности, опирающейся на этот контур.

Постоянный электрический ток. Если в проводнике создать постоянное электрическое поле, свободные заряды будут двигаться под действием электростатических сил. Назовем электрическим током направленное движение заряженных частиц. Основной характеристикой тока является скалярная величина, называемая силой тока и векторная величина, называемая плотностью тока. Сила тока — это величина, численно равная заряду, проходящему через сечение проводника за единицу времени.

Основные теоремы электростатики и магнитостатики

Основные уравнения, описывающие свойства статических электрических и магнитных полей, приведены в табл. 4.1.

Закон	Электростатика	Магнитостатика
Теорема Гаусса	Источники электрического поля – заряды	Магнитных зарядов не существует
Теорема о циркуляции поля	Потенциальность электрического поля	Источники магнитного поля – токи (вихревой характер магнитного поля)
Материальные уравнения	,

Постоянные электрическое и магнитное поля имеют различную физическую сущность: источниками электростатического поля являются заряды, источниками магнитного поля – постоянные токи; электростатическое поле является потенциальным, а магнитное – вихревым (соленоидальным).

Система уравнений электростатики не содержит никаких характеристик магнитного поля, как и система уравнений магнитостатики не содержит никаких характеристик электрического поля, т.е. уравнения электростатики и магнитостатики являются независимыми, а электрические и магнитные поля, описываемые этими уравнениями, существуют отдельно одно от другого.

Однако известны явления, которые указывают на взаимосвязь электрических и магнитных полей. Например, появление магнитного поля вокруг движущегося заряда. В данном случае электрический заряд является источником электрического и магнитного полей. Другой пример – явление электромагнитной индукции.

Взаимосвязь и взаимопревращаемость электрических и магнитных полей в природе были установлены Дж. Максвеллом, обобщившим труды Фарадея и создавшим теорию электромагнитного поля. В основе этой теории лежит система уравнений Максвелла.

4.2. Вихревое электрическое поле.
Первое уравнение Максвелла

Индукционный ток в неподвижном проводнике появляется при изменении магнитного потока. Это свидетельствует о появлении в контуре сторонних сил, приводящих в движение заряды. Сторонние силы обусловлены возникающим в контуре особым вихревым электрическим полем , циркуляция которого по замкнутому контуру отлична от нуля и равна ЭДС индукции:

.

С учетом закона Фарадея для электромагнитной индукции (3.1) получаем:

. (4.1)

Максвелл предположил, что изменяющееся со временем магнитное поле приводит к появлению в пространстве электрического поля (рис. 4.1), независимо от того присутствует в этом пространстве проводящий контур или нет. Наличие контура лишь позволяет обнаружить это электрическое поле по возникновению индукционного тока в проводнике.

В общем случае электрическое поле слагается из потенциального поля , циркуляция которого по замкнутому контуру равна нулю, и вихревого поля :

, где .

Первое уравнение Максвелла в интегральной форме:

. (4.2)

Интеграл в левой части берется по произвольному замкнутому контуру, в правой части – по произвольной поверхности, опирающейся на этот контур.

4.3. Ток смещения.
Взаимопревращаемость электрических и магнитных полей.
Второе уравнение Максвелла

Максвелл предположил, что не только переменные магнитные поля являются источниками электрических полей, но и переменные электрические поля являются источниками магнитных полей. Согласно гипотезе Максвелла, изменяющееся во времени электрическое поле создает в окружающем пространстве вихревое магнитное поле, циркуляция которого по любому замкнутому контуру, равна скорости изменения потока электрической индукции через поверхность , ограниченную этим контуром, эта величина получила название тока смещения:

.

Смысл введения этой величины можно пояснить следующим опытом (рис. 4.2). Конденсатор, подключенный к источнику постоянного тока, представляет собой разрыв цепи для тока проводимости, поэтому в такой цепи ток не течет. При этом в конденсаторе имеется электрическое поле, индукция которого .

Если конденсатор подключить к источнику переменного тока, то, как показывает опыт, в цепи будет течь переменный ток. Его существование можно объяснить только тем, что в пространстве между обкладками ток проводимости замыкается током смещения, поскольку теперь . В этом случае конденсатор перестает представлять собой разрыв цепи.

В соответствии с гипотезой Максвелла полный ток в проводнике складывается из тока проводимости и тока смещения , каждый из которых является источником своего магнитного поля так, что общее магнитное поле, существующее вокруг проводника, есть. Следовательно, .

Если контур интегрирования охватывает несколько проводников с током, то в соответствии с теоремой о циркуляции магнитного поля:

, (4.3)

где – плотность тока, протекающего через поверхность .

Уравнение (4.3) является вторым уравнением Максвелла в интегральной форме. Физический смысл этого уравнения заключается в том, что источником магнитного поля являются токи проводимости и токи смещения. Следовательно, одним из основных свойств токов смещения является способность создавать магнитное поле. В отличие от токов проводимости токи смещения не выделяют тепло.

По аналогии с плотностью тока проводимости величину называют плотностью тока смещения.

Дата добавления: 2015-09-18 ; просмотров: 2613 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Основы и формулы магнитостатики

Вы будете перенаправлены на Автор24

Магнетизм – это раздел физики, который рассматривает взаимодействие между электрическими токами, между магнитами и токами, а также между магнитами.

Магнетизм долгое время считался независимой наукой от электричества. Но множество важнейших открытий Ампера и Фарадея доказали связь магнитных и электрических явлений. Благодаря этому учения о магнетизме стали составной частью науки об электричестве.

Основы магнитостатики: магнитное поле и его характеристики

Магнитостатика – это раздел классической электродинамики, который рассматривает взаимодействие постоянных электрических токов при помощи создаваемого ими постоянного магнитного поля, а также методы расчета магнитного поля.

Под случаем магнитостатики понимается выполнение определенных условий (постоянство полей и электрических токов или медленное изменение во времени) с целью использования методов магнитостатики в качестве точных.

Вместе с электростатикой магнитостатика представляют собой случай классической электродинамики. Их можно применять вместе или отдельно друг от друга – расчет магнитного и электрического полей в данном случае не имеет взаимозависимостей.

Магнитное поле исследовалось в течение нескольких столетий. Впервые магнитные явления были рассмотрены английским врачом Уильямом Гильбертом. Тогда считали, что электричество и магнетизм не имеют ничего общего. И лишь в начале XIX столетия было предположено, что магнетизм – это скрытая форма электричества. И только в 1820 году датский ученый Эрстед подтвердил это на опыте. После этого опыта было множество открытий, которые имели для физики огромное значение.

В начале XIX столетия было проведено множество опытов, в результате которых доказали, что постоянный магнит и любой проводник с электрическим током оказывают силовое воздействие на другие магниты и проводники с током через пространство.

Готовые работы на аналогичную тему

Для того чтобы исследовать магнитное поле применяли магнитную стрелку, которая подвешивалась на нить или уравновешивалась на острие. Стрелка, что была расположена произвольно, в каждой точке магнитного поля поворачивалась в определенном направлении. То происходило из-за того, что на стрелку действовал вращающий момент, который стремился расположить ее вдоль магнитного поля.

Благодаря целому ряду опытом удалось установить основные свойства магнитного поля. Вот некоторые из них:

1. Если подвесить на нити вблизи магнитной стрелки заряженный шарик из диэлектрика, то стрелка и шарик оставались неподвижными. Исходя из этого, был сделан вывод, что постоянные магниты не воздействуют на неподвижные заряды, и они не создают магнитного поля.
2. Если под прямоугольным проводником с током поместить магнитную стрелку, то она будет поворачиваться в таком направлении, чтобы расположиться перпендикулярно проводнику. Этот эксперимент был назван опытом Эрстеда. Как только менялось направление тока на противоположное, то это вызывало переориентацию магнитной стрелки на 180 градусов.
3. Пучок подвижных электронов оказывал воздействие на магнитную стрелку, что было аналогично проводнику с электрическим током. Этот эксперимент получил название опыт Иоффе.
4. Конфекционные токи, которые были образованы движущимися заряженными телами, по своему воздействию на магнитную стрелку были идентичны токам проводимости. Это опыт Эйхенвальда.

На основании всех вышеперечисленных экспериментов был сделан вывод, что магнитное поле формируется только при помощи движущихся зарядов или движущихся заряженных тел, а также при помощи постоянных магнитов. Именно этим магнитное поле и отличалось от электрического, которое может формироваться как движущимися, так и неподвижными зарядами.

Вектор магнитной индукции является основной характеристикой магнитного поля. В данной точке поля за направление магнитной индукции принимают такое направление, по которому располагается ось магнитной стрелки. Магнитные поля графически изображаются силовыми линиями магнитной индукции. Данные линии можно увидеть при помощи железных опилок. Если рассыпать опилки вокруг прямолинейного проводника и пропустить электрический ток, то они будут как маленькие магнитики, которые будут располагаться вдоль силовых линий магнитного поля.

Магнитные поля, которые существуют в природе, разнообразны по вызываемым эффектам и масштабам. Магнитное поле Земли, которое образует земную магнитосферу, простирается на 80 тысяч километров по направлению к Солнцу. Магнитное поле в околоземном пространстве формирует магнитную ловушку для заряженных частиц с высокими энергиями. Происхождение магнитного поля Земли также связывают с движениями жидкого вещества, что располагается в земном ядре. Из других планет солнечной системы лишь Сатурн и Юпитер обладают магнитными полями. Магнитное поле Солнца играет важную роль во всех происходящих процессах – появлении пятен, вспышек, возникновении солнечных космических лучей.

Во многих отраслях промышленности активно применяется магнитное поле. В частности, при очистке муки от металлических примесей. Просеиватели оснащены магнитами, которые задерживают мелкие частички железа, а также других металлических соединений, что могут находиться в муке.

Основные уравнения магнитостатики

Практически все уравнения магнитостатики линейные, впрочем, как и в классической электродинамике. Все это подразумевает значимую роль принципа суперпозиции в магнитостатике.

Для магнитостатики принцип суперпозиции может быть сформулирован следующим образом: магнитное поле, которое создается несколькими токами, — это векторная сумма полей, которые бы формировались каждым из этих токов в отдельности.

Этот принцип так же формируется и используется для вектора магнитной индукции, а также для векторного потенциала, и повсеместно применяется в их расчетах. Прямым образом это проявляется в случае с применяемым законом Био-Савара. Тут для расчета магнитного поля осуществляется суммирование малых вкладов, которые создаются каждым элементом тока, что протекает в разных точках пространства.

Итак, к основным уравнениям, что используются в магнитостатике, можно отнести:

Закон Био-Савара – Лапласа (тут учитывается величина магнитного поля, которое генерируется элементом тока):

$int \vec \vecl = \frac <4 pi> I = \frac<4 pi>int \vec\vecS $

Это же уравнение можно выразить в дифференциальной форме:

Уравнение силы Лоренца (силы, с которой магнитное поле действует на движение заряженной частицы):

Уравнение силы ампера (силы, с которой магнитное поле действует на элемент тока):

Для того чтобы рассчитать магнитное поле в магнитостатике пользуются понятием магнитного заряда. Он делает аналогию магнитостатики и электростатики более детальной, и позволяет применять те формулы, которые аналогичны формулам электростатики (но не для электрического, а для магнитного поля). Обычно подразумевается лишь формальное использование, поскольку магнитные заряды в реальности не обнаружены. Такое применение магнитных зарядов возможно при использовании теоремы эквивалентности поля магнитных зарядов и поля токов. Фиктивные магнитные заряды используются при решении задач (в качестве магнитного поля или для определения действий внешних магнитных полей на магнитное тело).