Основные уравнения электростатики записываемые для вектора индукции

Вектор электрической индукции

Вектором электрической индукции (электрического смещения) D → называют физическую величину, определяемую по системе С И :

D → = ε 0 E → + P → , где ε 0 — электрическая постоянная, E → — вектор напряженности, P → — вектор поляризации.

Вектор электрического смещения в СНС определяется как:

Вектор индукции

Значение вектора D → не является только полевым, потому как он учитывает поляризованность среды. Имеется связь с объемной плотностью заряда, выражаемая соотношением:

По уравнению d i v D → = ρ видно, что для D → единственным источником будут являться свободные заряды, на которых данный вектор начинается и заканчивается. В точках с отсутствующими свободными зарядами вектор электрической индукции является непрерывным. Изменения напряженности поля, вызванные наличием связанных зарядов, учитываются в самом векторе D → .

Связь вектора напряженности и вектора электрического смещения

При наличии изотропной среды запись связи вектора напряженности и вектора электрического смещения запишется как:

D → = ε 0 E → + ε 0 χ E → = ε 0 + ε 0 χ E → = ε ε 0 E → .

Где ε – диэлектическая проницаемость среды.

Наличие D → способствует облегчению анализа поля при наличии диэлектрика. Используя теорему Остроградского-Гаусса в интегральном виде с диэлектриком, фиксируется как:

Проходя через границу разделов двух диэлектриков для нормальной составляющей, вектор D → может быть записан:

D 2 n — D 1 n = σ

n 2 → D 2 → — D 1 → = σ ,

где σ – поверхностная плотность распределения зарядов на границе диэлектриков, n 2 → — нормаль, проведенная в сторону второй среды.

Формула тангенциальной составляющей:

D 2 τ = ε 2 ε 1 D 1 τ .

Единица вектора электрической индукции измеряется в системе С И как К л м 2 .

Поле вектора D → изображается при помощи линий электрического смещения.

Определение направления и густоты идет аналогично линиям вектора напряженности. Но линии вектора электрической индукции начинаются и заканчиваются только на свободных зарядах.

Имеются пластины плоского конденсатора с зарядом q . Произойдет ли изменение вектора электрической индукции при заполненном воздухом пространстве между пластинами и диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε ≠ ε υ o z d .

Поле конденсатора в первом случае характеризовалось вектором смещения ε v o z d = 1 , то есть D 1 → = ε v o z d ε 0 E 1 → = ε 0 E 1 → .

Необходимо заполнить пространство между пластинами конденсатора однородным и изотропным диэлектриком. При наличии поля в конденсаторе диэлектрик поляризуется. Тогда начинают появляться связанные заряды с плотностью σ s υ на его поверхности. Создается дополнительное поле с напряженностью:

Векторы полей E → ‘ и E 1 → имеют противоположные направления, причем:

Запись результирующего поля с диэлектриком примет вид:

E = E 1 — E ‘ = σ ε 0 — σ s υ ε 0 = 1 ε 0 σ — σ s υ .

Формула плотности связанных зарядов:

Произведем подстановку σ s υ = χ ε 0 E в E = E 1 — E ‘ = σ ε 0 — σ s υ ε 0 = 1 ε 0 σ — σ s υ , тогда:

Далее выражаем из ( 1 . 6 ) напряженность поля Е . Формула принимает вид:

E = E 1 1 + χ = E 1 ε .

Отсюда следует, что значение вектора электрической индукции в диэлектрике равняется:

D = ε ε 0 E 1 ε = ε 0 E 1 = D 1 .

Ответ: вектор электрической индукции не изменяется.

Была внесена пластина из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε без свободных зарядов в зазор между разноименными заряженными пластинами. На рисунке 1 показана при помощи штриховой линии замкнутая поверхность. Определить поток электрической индукции Φ D через эту поверхность.

Рисунок 1 . Замкнутая поверхность

Формула записи потока вектора электрического смещения Φ D через замкнутую поверхность S :

Φ D = ∫ S D → · d S → .

Используя теорему Остроградского-Гаусса, можно сказать, что Φ D равняется суммарному свободному заряду, находящемуся внутри заданной поверхности. Из условия видно отсутствие свободных зарядов в диэлектрике и в имеющемся пространстве между пластинами конденсатора, а поток вектора индукции равняется нулю.

Изображена замкнутая поверхность S , проходящая с захватом части пластины изотропного диэлектрика на рисунке 2 . Поток вектора электрической индукции через нее равняется нулю, а поток вектора напряженности > 0 . Какой вывод можно сделать из данной задачи?

Рисунок 2 . Замкнутая поверхность с захватом части пластины изотропного диэлектрика

Из условия имеем, что поток вектора электрического смещения Φ D через замкнутую поверхность равняется нулю, то есть:

Если использовать теорему Остроградского-Гаусса, то значение Φ D – это суммарный свободный заряд, находящийся внутри заданной поверхности. Следует, что внутри такой поверхности отсутствуют свободные заряды:

Φ D = ∫ S D → · d S → = Q = 0 .

Имеем, что поток вектора напряженности не равен нулю, но он считается как сумма свободных и связанных зарядов. Отсюда вывод – диэлектрик содержит связанный заряды.

Ответ: свободные заряды отсутствуют, а связанные есть, причем с положительной их суммой.

Вектор электрической индукции

Допустим, что одно вещество имеет диэлектрическую проницаемость равную $<\varepsilon >_1$, а вторая $<\varepsilon >_2$, тогда нормальная составляющая вектора напряженности электростатического поля ($E_n$) уменьшается во столько раз, во сколько увеличивается диэлектрическая проницаемость среды:

где $E_$ — нормальная компонента напряженности поля в веществе 1; $E_$ — нормальная составляющая электростатического поля во втором веществе. Отметим, что при переходе из одного вещества в другое тангенциальная компонента вектора напряженности ($E_<\tau >$) изменяется без скачка. Говорят, что на границе двух веществ происходит «преломление» силовых линий поля.

Для сохранения всех преимуществ, которые дает теорема Остроградского — Гаусса при рассмотрении электростатического поля в вакууме, в веществе вводят физическую величину, которая не испытывает скачка при переходе из одного вещества в другое с разными $\varepsilon $.

Так как при переходе из вакуума в вещество с диэлектрической проницаемостью равной $\varepsilon $ число силовых линий уменьшается в $\varepsilon $ раз, то векторная величина, равная:

будет оставаться неизменной при переходе из одного вещества в другое.

Определение вектора электрической индукции

Векторная величина, обозначаемая $\overline$, равная:

где $\overline

$ — вектор поляризации.

Выражение (3) является наиболее общим определение вектора электрической индукции (вектора электрического смещения). Для большинства диэлектриков (исключением являются, например, сегнетоэлектрики) вектор поляризации пропорционален напряженности поля:

В таком случае от формулы (3) мы приходим к определению вектора электрической индукции вида (2).

Название «вектор индукции» указывает на связь вектора $\overline$ и явления электризации по влиянию (явление электростатической индукции).

Физический смысл вектора электрической индукции

Допустим, что в веществе, с диэлектрической проницаемостью равной $\varepsilon $ имеется очень тонкий вакуумный зазор, грани которого перпендикулярны направлению поля в точке рассмотрения (рис.1). В эту щель помещают точечный единичный положительный пробный заряд. Сила, с которой поле будет оказывать действие на этот пробный заряд, равна $\overline.$

И так, вектор электрической индукции — это сила, которая действует на точечный единичный положительный заряд, находящийся в бесконечно узком зазоре, грани которого перпендикулярны направлению поля.

Силовые линии вектора $\overline$ начинаются и заканчиваются на свободных зарядах. Величина $\overline$ не зависит от диэлектрической проницаемости вещества.

В некоторых источниках вектор электрической индукции называют формальным, так как он равен сумме физических величин, относящихся к разным объектам к полю и к веществу (см формулу (3), где $\overline$ — характеристика электрического поля; $\overline

$ — характеристика вещества). Тогда говорят, что вектор электрической индукции не имеет физического смысла.

Теорема Гаусса — Остроградского для поля в диэлектрике

Поток вектора электрической индукции равен алгебраической сумме свободных зарядов, которые находятся внутри рассматриваемой замкнутой поверхности:

По теореме (5) поток вектора $\overline$ через любую замкнутую поверхность равен нулю, если внутри данной поверхности нет свободных зарядов. Заряды, находящиеся вне рассматриваемой поверхности на поток вектора $\overline$, не влияют.

Примеры задач с решением

Задание. Чему равен вектор поляризации в некоторой точке однородного изотропного диэлектрика, если известен вектор электрической индукции в этой точке ($\overline$)? Диэлектрическая проницаемость вещества равна $\varepsilon $.

Решение. За основу решения задачи примем определение вектора электрического смещения вида:

Выразим вектор поляризации из (1.1):

Так как по условию рассматриваемый диэлектрик является однородным и изотропным, то:

\[\overline=\varepsilon <\varepsilon >_0\overline\ \left(1.3\right),\]

Подставим правую часть формулы (1.4) вместо $\overline$ в уравнение (1.2), имеем:

Ответ. $\overline

=\left(1-\frac<1><\varepsilon >\right)\overline$

Задание. Между двумя бесконечными заряженными пластинами, несущими одинаковые по величине, но противоположные по модулю заряды поместили пластину из диэлектрика. Пластина сторонних зарядов не имеет. Каков поток вектора электрической индукции через поверхность, которая изображена на рис.2?

Решение. В соответствии с теоремой Гаусса поток вектора электрической индукции равен алгебраической сумме свободных зарядов, которые находятся внутри выделенной замкнутой поверхности (рис.2). Так как по условию задачи свободных зарядов между пластинами и в диэлектрике нет, то поток вектора $\overline$ будет равен нулю:

Ответ. $\oint\nolimits_S<\overlined\overline=0\ >$

Материальное уравнение для векторов электрического поля

Вы будете перенаправлены на Автор24

Теорема Остроградского — Гаусса

Одним из фундаментальных уравнений электростатики является теорема Остроградского — Гаусса:

«Поток вектора электрического смещения ($Ф_D$) (электрической индукции) через замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов ($q_i$), которые находятся внутри этой поверхности)».

Математическая форма записи интегральной форме этой теоремы для электрического поля в диэлектрике выглядит следующим образом (система СИ):

где $D_n$ — нормальная составляющая вектора электрического смещения, $dS$ — элемент поверхности, через которую ищется поток вектора $\overrightarrow$.

В дифференциальном виде эта же теорема выглядит следующим образом:

где $\rho $ — объемная плотность свободных зарядов. Выражения (1) и (2) справедливы не только в электростатике, они выполняются и для переменных полей. Уравнения (1) и (2) являются составной частью системы фундаментальных уравнений Максвелла для электродинамики.

В вакууме поле можно охарактеризовать одним вектором напряженности уравнения (1) или (2) записываются для него и их достаточно. В таком случае, если к ним добавляется теорема о циркуляции вектора напряженности:

где $\overrightarrow$ — вектор напряженности электрического поля, $d\overrightarrow$ — элемент перемещения вдоль контура L. Интеграл в левой части уравнения (3) есть циркуляция вектора напряженности по контуру L. Характерным свойством электростатического поля является то, что циркуляция его вектора напряжённости по любому замкнутому контуру равна нулю.

В вакууме уравнения (1 или 2) и (3) образуют полную систему уравнений электростатики. В веществе этих уравнений не достаточно, так как необходимо описать поведение самой среды в электрическом поле. Следовательно, к выше названным уравнениям электростатики добавляют еще одно векторное уравнение, которое называют материальным уравнением. Оно связывает вектор напряженности поля ($\overrightarrow$) и вектор электрического смещения ($\overrightarrow$) или вектор напряженности поля и вектор поляризации ($\overrightarrow

$).

В основном, способ получения такого уравнения содержится уже в определении $\overrightarrow

$. Так как если нам известна атомная структура вещества, то можно рассчитать, как смещаются электроны и атомные ядра под воздействием электрического поля. Значит, можно вычислить вектор поляризации и таким образом получить нужное нам уравнение. Однако если идти данным путем, то в зависимости от конкретных условий могут получаться весьма разные соотношения, что неудобно.

Опыты показали, что для большого класса диэлектриков и широкого круга явлений связь между векторами поляризации ($\overrightarrow

$) и напряженности ($\overrightarrow$) линейна и однородна, то есть:

\[\overrightarrow

=\varkappa <\varepsilon >_0\overrightarrow\ \left(4\right),\]

где $\varkappa $ — диэлектрическая восприимчивость (безразмерная величина), уравнение записано в системе СИ. Такая связь между векторами $\overrightarrow

$ и $\overrightarrow$ объясняется тем, что напряженности макроскопических полей невелики в сравнении с напряженностями внутри молекул и атомов. Уравнение выполняется, если диэлектрик изотропен. В таком случае векторы напряженности и поляризуемости коллинеарные. Коэффициент $\varkappa \ $зависит от плотности диэлектрика и температуры.

В анизотропных диэлектриках направление вектора напряженности и вектора поляризации не совпадают. И их связь устанавливается в виде:

где индексы i,j — нумеруют компоненты по осям декартовой системы координат ($i=x,\ y,z;j=x,\ y,z$), $<\varkappa >_$ — тензор диэлектрической восприимчивости.

По определению, вектор $\overrightarrow\$ равен:

Следовательно, для изотропного диэлектрика используем (4), запишем:

\[\overrightarrow=<\varepsilon >_0\overrightarrow+\varkappa <\varepsilon >_0\overrightarrow=\left(1+\varkappa \right)<\varepsilon >_0\overrightarrow=\varepsilon <\varepsilon >_0\overrightarrow\left(7\right),\]

Материальные уравнения для векторов электрического поля

\[\overrightarrow=\varepsilon <\varepsilon >_0\overrightarrow,\] \[\overrightarrow

=\varkappa <\varepsilon >_0\overrightarrow\ \left(8\right).\]

называют материальными уравнениями для векторов электрического поля.

Эти соотношения, несмотря на их значимость, являются приближенными и не относятся к фундаментальным, так как область применения их ограничена. Существуют вещества, к которым уравнения (8) не применимы. Например, ионные кристаллы могут быть поляризованы в отсутствии внешнего поля. Поведение же, например, электретов (веществ, которые длительное время сохраняют состояние поляризации в отсутствии электрического поля) можно охарактеризовать вектором поляризации, который с вектором напряженности связан уравнением:

где $\overrightarrow$ и $\varkappa $ не зависят от напряженности поля.

Задание: Бесконечная пластина из однородного, изотропного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью$\ \varepsilon $ заряжена равномерно сторонними зарядами, объемная плотность распределения этого заряда равна $\rho $. Толщина пластины 2а. Найдите поляризованность диэлектрика как функцию х (рис.1). Вне пластины диэлектрическую проницаемость среды считать равной единице.

Для бесконечной пластины диэлектрика напряженность поля зависит от одной координаты (в нашем случае — x). Допустим, что ось X направлена перпендикулярно к плоскости пластины и ее начало совпадает с центром слоя диэлектрика. Напряженность бесконечной пластины легко находится из теоремы Остроградского — Гаусса. Выберем в качестве поверхности, поток через которую будем искать прямой цилиндр, ось которого параллельна оси X (рис.1)площадь основания равна $S$. В таком случае поток вектора напряженности для точек внутри пластины ($\ при\ |x| \[Ф_E=E\cdot S=\frac<\varepsilon <\varepsilon >_0>=\frac<\rho Sx><\varepsilon <\varepsilon >_0>\ \left(1.1\right),\]

где x — высота цилиндра для внутренности пластины она изменяется от $-a

напряженность поля равна:

Силовые линии, создаваемые полем пластины, направлены вдоль оси X.

Зная, что диэлектрик изотропный, используем связь напряженности и вектора поляризации, учитываем, что вне плоскости связанных зарядов нет:

\[\overrightarrow

=\varkappa <\varepsilon >_0\overrightarrow\ \left(1.5\right).\]

Найдем модуль вектора поляризации:

где $\varepsilon =1+\varkappa ,\ \to \varkappa =\varepsilon -1$. По направлению вектор поляризации будет совпадать с вектором напряженности.

Готовые работы на аналогичную тему

Задание: На рис. 2 изображена картина линий вектора $\overrightarrow\ $при переходе их одного диэлектрика ($<\varepsilon >_1$) в другой $(<\varepsilon >_2)$. Какая из диэлектрических проницаемостей среды больше?

Рассмотрим, как ведут себя силовые линии при прохождении через границу раздела двух диэлектриков. В том случае, если на границе нет свободных зарядов, то должны выполняться граничные условия:

Для тангенциальной составляющей напряженности поля:

и нормальной составляющей:

Если использовать функции углов, которые показаны на рис. 1, то получим:

\[E_1sin\alpha =E_2sin\beta \ \left(2.3\right).\] \[<<\varepsilon >_1E>_1cos\alpha =<\varepsilon >_2E_2cos\beta \left(2.4\right).\]

Зная связь между напряженностью и вектором смещения для изотропного диэлектрика:

\[\overrightarrow=\varepsilon <\varepsilon >_0\overrightarrow\ \left(2.5\right),\]

Разделим (2.6) на (2.7), получим:

Из уравнения (2.8) видно, что при переходе через границу из диэлектрика с меньшей диэлектрической проницаемостью в диэлектрик с большей проницаемостью угол увеличивается, то есть силовая линия удаляется от нормали. Значит, для нашего случая $<\varepsilon >_2><\varepsilon >_1$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 04 12 2021