Основные уравнения гидростатики в поле земного тяготения

Равновесие жидкости в поле земного тяготения

В качестве объемной силы в поле земного тяготения выступает сила тяжести. Полное ускорение объемных сил равно ускорению свободного падения g = 9,81 м/c 2 .

В выбранной системе координат проекции единичной объемной силы на оси Ox, Oy и Oz будут следующими:

.

Знак «минус» в ускорении свободного падения соответствует направлению силы тяжести в отрицательную сторону оси Oz.

Подставляя значения X, Y, Z в уравнение поверхности уровня, получим

,

где с – произвольная постоянная.

Таким образом, поверхностью уровня (поверхность равного дав­ления) в однородной покоящейся жидкости будет любая горизонтальная плоскость, в том числе и свободная поверхность, независимо от формы сосуда или водоема. Горизонтальной плоскостью будет также граница раздела двух несмешивающихся жидкостей (рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 – Поверхность равного давления

Давление в точке А равно давлению в точке В, так как обе точки лежат на одной и той же поверхности уровня (поверхности равного давления).

2.5Основное уравнение гидростатики

Рассмотрим случай равновесия жидкости, когда на неё действует одна сила тяжести, и получим уравнение, позволяющее находить гидростатическое давление в любой точке рассматриваемого объёма жидкости. Пусть жидкость находится в сосуде (рисунок 2.5) и на её свободную поверхность действует давление р₀. Найдём гидростатическое давление р в произвольно взятой точке М, расположенной на глубине h.

Выделим около точки М элементарную горизонтальную площадку dS и построим на ней вертикальный цилиндрический объём высотой h. Рассмотрим условия равновесия указанного объёма жидкости, выделенного из общего объёма. Давление жидкости на нижнее основание цилиндра теперь будет внешним и направлено по нормали внутрь объёма, т.е. вверх.

Рисунок 2.5 – Схема для вывода основного уравнения гидростатики

Запишем сумму сил, действующих на рассматриваемый объём в проекции на вертикаль

.

Последний член уравнения представляет собой вес жидкости в указанном объёме. Сократив выражение на dS и перегруппировав члены, найдём

Полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики; по нему можно подсчитывать давление в любой точке покоящейся жидкости.

2.6Закон Паскаля и его технические применение

Из основного уравнения гидростатики видно, что на сколько увеличивается давление на свободной поверхности р₀, на столько же увеличивается и абсолютное давление в точке жидкости, т. е.внешнее давление р₀, приложенное к жидкости в замкнутом сосуде, передается внутри жидкости во все точки без изменения. В этом и заключается закон Паскаля. На его использовании основано действие простейших гидравлических машин: гидравлических прессов, домкратов, подъемников, аккумуляторов, мультипликаторов (повышающих давления) и др.

Гидравлический пресс (рисунок 2.6, а) является одной из наиболее распространенных гидравлических машин и применяется для обработки материалов давлением. Если к поршню площадью S₁, двигающемуся в малом цилиндре А, приложить силу Р₁, то жидкость получит добавочное давление p₁ = P₁/ S₁.

Рисунок 2.6 — Гидравлический пресс (а), гидравлический аккумулятор (б).

По закону Паскаля это давление распространится во всей жидкости без изменения и передастся на поршень большей площади S₂, двигающийся внутри цилиндра В. Величина усилия, с которым поршень в цилиндре В будет двигаться вверх, составит

Таким образом, сила Р₂ во столько раз больше силы Р₁, во сколько раз площадь поршня в цилиндре В больше площади поршня в цилиндре А. В действительности вследствие трения в цилиндрах сила Р₂ будет несколько меньше. Влияние трения учитывается введением в формулу коэффициента полезного действия .

Давление рабочей жидкости (обычно это масло) в гидравлических прессах создается насосом и составляет 20. 30 МПа (200. 300 кгс/см 2 ). Однако в отдельных случаях, например для синтеза алмазов, оно достигает 450 МПа (4500 кгс/см 2 ). Наиболее мощные гидравлические прессы для объемной штамповки развивают усилие 735 МН (примерно 75 000 т).

На принципе гидравлического пресса основано устройство гидравлических домкратов и подъемников, используемых для подъема грузов.

Гидравлический аккумулятор (рисунок 2.6, б) состоит из рабочего цилиндра 1, в котором движется массивный плунжер 2 площадью сечения S₁. К плунжеру при помощи коромысла 3 подвешены грузы 4. В рабочий цилиндр 1 по трубопроводу 5 подается вода или масло. Под действием давления жидкости плунжер 2 в цилиндре движется вверх. Если обозначим вес плунжера с грузами G, а высоту поднятия h, то запас потенциальной энергии аккумулятора составит Gh. Открытием крана на трубопроводе 6 (при закрытом кране трубопровода 5) сжатая в аккумуляторе жидкость может быть направлена к рабочей машине (например, гидравлическому домкрату, подъемнику и т. п.), где за счет запаса потенциальной энергии будет совершена полезная работа.

Давление жидкости, необходимое для зарядки аккумулятора, должно быть

а рабочее давление при разрядке

где η р_атм. Простейшим прибором жидкостного типа для измерения величины гидростатического давления является пьезометр, который представляет собой стеклянную трубку небольшого диаметра, открытую с одного конца и вторым концом присоединенную к сосуду, в котором необходимо измерить давление (рисунок 2.7).

Рисунок 2.7 – Схема к определению избыточного давления

Давление р₀, определенное с учетом атмосферного давления, называется абсолютным давлением .

Давление р₀, действующее на свободной поверхности жидкости в сосуде, превышает атмосферное давление на величину .Это давление называется избыточным давлением

Недостаток до атмосферного давления называется вакуумметрическим давлением

или .

Взаимосвязь между абсолютным, избыточным и вакуумметрическим давлением изображена на рисунке 2.8.

Рисунок 2.8 — Взаимосвязь между давлением:

а) – абсолютным и избыточным; б) абсолютным и вакуумметрическим

2.8Приборы для измерения давления

Для измерения давления жидкости или газа применяются различные приборы:

ü манометры — для измерения избыточного (или манометрического) давления,

ü вакуумметры — для измерения вакуума,

ü дифференциальные манометры — для измерения разности (перепада) давлений в двух точках (например, в двух сосудах).

Эти приборы могут быть:

Наиболее широкое распространение получили жидкостные и пружинные приборы.

Рисунок 2.9 — Пьезометр

Жидкостный манометр (рисунок 2.9) — пьезометр представляет собой стеклянную трубку, нижний конец которой соединен с точкой, где измеряется давление, а верхний открыт и сообщается с атмосферой. Если давление на свободной поверхности жидкости в закрытом сосуде больше атмосферного, то уровень в пьезометрической трубке поднимется на высоту h_р, называемую пьезометрической высотой. Ее измерение производится по установленной строго вертикально линейной шкале. Высоту столба жидкости в пьезометре h_p можно найти из условия равновесия жидкости. Абсолютное давление в точке А (точка подключения пьезометра к сосуду) со стороны жидкости в пьезометре может быть выражено следующим образом

Таким образом, по высоте столба жидкости в пьезометре с открытым верхним концом можно определить величину избыточного давления в сосуде на уровне точки подключения.

Для точки A, находящейся под свободной поверхностью в сосуде на глубине h абсолютное давление равно

где р₀ — давление на свободной поверхности в сосуде.

На основании второго свойства гидростатического давления в точке А давления со стороны жидкости в сосуде и в пьезометре равны. Тогда обозначив h_p — h=h₀ (рисунок 2.9), получим

.

Из этого выражения следует, что разность высот уровней в пьезометре и сосуде характеризует избыточное давление на свободной поверхности жидкости в сосуде.

Если в сосуде абсолютное давление над свободной поверхностью будет равно атмосферному (сосуд открытый), то уровень в пьезометре установится на той же высоте, что и в сосуде, и h_p=h. Это явление, называемое законом сообщающихся сосудов, используется для измерения уровня жидкости в сосудах при помощи уровнемеров или водомерных стекол.

Для измерения небольших давлений (не более 0,15. 0,20 ати) применяются пьезометры, наполненные водой, для больших давлений, но не свыше 2,0. 2,5 ати (0,2. 0,25 МПа) — пьезометры, наполненные ртутью, так называемые ртутные манометры.

Рисунок 2.10 — Микроманометр с наклонной шкалой (а), пружинный манометр (б)

Для увеличения точности при измерении малых давлений используется наклонный микроманометр (рисунок 2.10, а). По его шкале вместо величины h_p отсчитывается значительно большая величина , что уменьшает относительную ошибку, возможную при измерении малых величин. Угол наклона манометрической трубки α можно изменять, при этом уменьшение угла наклона способствует увеличению точности измерений.

Для измерений значительных величин избыточных давлений в жидкостях или газах в практике используются металлические манометры. В пружинном манометре (рисунок 2.10, б) жидкость или газ поступает через штуцер 1 в изогнутую медную или стальную полую трубку-пружину 2. Под действием избыточного давления трубка-пружина стремится разогнуться. Движение ее конца при помощи пластинки 3 передается на зубчатку, приводящую в движение стрелку 4, отклонение которой показывает на шкале прибора величину избыточного (манометрического) давления.

Рисунок 2.11 — Вакуумметр (а), дифференциальный U-образный манометр (б)

Для измерения вакуума применяется обратный пьезометр или вакуумметр (рисунок 2.11, а), представляющий собой трубку 1, соединенную с областью вакуума (сосуд 2). Нижний конец трубки опускается в сосуд 3, заполненный жидкостью, свободная поверхность которой находится под атмосферным давлением.

Для точки А, находящейся в жидкости в трубке 1 на уровне свободной поверхности в сосуде 3, можно записать, используя основное уравнение гидростатики и второе свойство гидростатического давления, следующее равенство

откуда следует, что вакуумметрическая высота, т. е. высота поднятия жидкости в вакуумметре (рисунок 2.11, а), составит

.

Для измерения вакуума применяются и металлические вакуумметры, устройство которых аналогично металлическим манометрам. Кроме того, в технике используются мановакуумметры — приборы, одна часть шкалы которых показывает манометрическое (избыточное) давление, а другая — вакуум.

Для измерения перепада (разности) давлений в двух точках используются дифференциальные манометры, простейшим из которых является U-образный манометр (рисунок 2.11, б). Разность давлений Δр в сосудах А и В с одной и той же жидкостью (плотностью ρ), находящихся на одинаковой высоте (или в двух трубопроводах, а также в двух сечениях одного трубопровода, отстоящих друг от друга на некотором расстоянии), определяется по разности уровней h рабочей жидкости (плотностью ρ_р) в обоих коленах дифманометра и вычисляется по зависимости

При больших разностях давлений в качестве рабочей жидкости применяется ртуть, при небольших — масло, спирт и др.

2.9Силы давления жидкости на плоскую стенку

Используем основное уравнение гидростатики для определения полной силы давления жидкости на плоскую стенку, наклонную к горизонту под некоторым углом α (рисунок 2.12). Вычислим силу F, действующую со стороны жидкости на некоторый участок рассматриваемой стенки, ограниченный произвольным контуром и имеющий площадь, равную S.

Выразим элементарную силу давления, приложенную к бесконечно малой площадке dS

,

где р₀ — давление на свободной поверхности; h — глубина расположения площадки dS.

Рисунок 2.12 – Схема для определения силы давления жидкости на плоскую стенку

Для получения полной силы F проинтегрируем полученное выражение по всей площади S

,

где y— координата площадки dS.

Последний интеграл представляет собой статический момент площадки S относительно оси OX и равен произведению этой площади на координату её центра тяжести (точка C), т.е.

,

где — статический момент площади S относительно линии пересечения свободной поверхности жидкости с плоскостью стенки (OX).

,

где h_c — глубина расположения центра тяжести площади S.

,

Т.е. полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на гидростатическое давление p_c в центре тяжести этой площади.

В общем случае давление р₀ существенно отличается от атмосферного, поэтому полную силу давления можно найти как

,

где F₀ — сила от внешнего давления;

F_ж — сила давления от веса жидкости.

Положение центра давления. Центр давления силы F₀ будет совпадать с центром тяжести фигуры, т.к. поверхностное давление, передаваясь через жидкость, равномерно распределяется по рассматриваемой площадке.

Избыточное давление распределяется неравномерно по площадке фигуры, поэтому центр давления F_ж будет лежать ниже центра тяжести.

Центр давления F_ж ,

где J_c — момент инерции площади S относительно центральной оси параллельной оси OX;

y_с – координата центра тяжести фигуры.

Глубина погружения центра тяжести площади фигуры

.

Равнодействующая сила (полная сила давления) является геометрической суммой сил F₀ и F_ж. Следовательно, точка приложения этой силы будет лежать между центром тяжести и центром давления точкой .

Дата добавления: 2015-04-19 ; просмотров: 3958 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Курс лекций для специальности 140104 «Промышленная теплоэнергетика» москва 2011

Главная > Контрольные вопросы

Контрольные вопросы

1. Дайте определение гидростатики как научной части дисцип­ли­ны «Прикладная МЖГ».

2. Перечислите силы, действующие на рассматриваемый объем жид­кости.

3. Дайте определение гидростатического давления.

4. Какова размерность давления?

5. В каких единицах измеряется давление?

6. Сформулируйте основную теорему гидростатики.

7. Сформулируйте основное условие равновесия жидкости.

8. Раскройте физический смысл проекций X , Y , Z .

9. Раскройте физический смысл потенциала сил.

2.7. Поверхность уровня

Поверхность, точки которой имеют одинаковые значения данной функции, называется поверхностью уровня (рис. 2.4). К поверх­ности равного уровня относятся:

– поверхности равного давления;

– изотермические поверхности (поверхности равной температуры);

– поверхности равной плотности и т.д.

В гидравлике рассматриваются поверхности равного давления.

Принимая p = const ( dp = 0) в основном уравнении гидростати­ки (2.21), c учетом того, что для жидкости r ¹ 0, получим:

. (2.25)

Уравнение (2.25) является дифференциальным уравнением поверхности уровня (здесь X , Y , Z являются функциями координат).

Поверхности уровня обладают следующими свойствами:

Первое свойство поверхности уровня заключается в том, что две различные поверхности уровня не пересекаются между собой.

Докажем это от обратного.

Допустим, что поверхности уровня пересекаются. Тогда во всех точках линии пересечения этих поверхностей давление одно­вре­менно должно быть равно р 1 и р 2 , что противоречит основной тео­реме гидростатики, в которой доказывается, что гидростатическое давление р одинаково по всем направлениям.

Следовательно, две различные поверхности уровня не пересе­ка­ют­ся.

Второе свойство – внешние массовые (объемные силы) направ­лены по нормали к поверхности уровня (см. рис. 2.4).

Известно, что уравнение работы dA силы R на пути ds имеет вид:

,

где R x , R y и R z –проекции силы по координатным осям Ox , Oy и Oz .

,

где dm – элементарная масса;

X , Y , Z – проекции ускорения силы R по тем же координатным осям.

.

Но для поверхности уровня

.

Поэтому работа силы R (внешней объемной силы ) равна нулю.

Следовательно, для поверхности уровня

,

Это возможно лишь при cos = 0, т.е. внешняя сила должна быть нормальна к поверхности уровня, ( = 90°).

2.8. Равновесие жидкости в поле земного тяготения

В качестве объемной силы в поле земного тяготения выступает сила тяжести.

Полное ускорения объемных сил равно ускорению свободного падения: g = 9,81 м/c 2 .

В выбранной системе координат проекции единичной объемной силы на оси Ox , Oy и Oz будут следующими:

.

Знак «минус» в ускорении свободного падения соответствует направлению силы тяжести в отрицательную сторону оси Oz .

Подставляя значения X , Y , Z в уравнение поверхности уровня (2.25), получим

(2.26)

, (2.27)

где с –произвольная постоянная.

Уравнение (3.3) является уравнением семейства горизонтальных плоскостей.

Таким образом, поверхностью уровня (поверхность равного дав­ления) в однородной покоящейся жидкости будет любая горизон­тальная плоскость, в том числе и свободная поверхность, неза­висимо от формы сосуда или водоема. Горизонтальной плоскостью будет также граница раздела двух несмешивающихся жидкостей (рис. 2.5).

Так, давление в точке А равно давлению в точке В , так как обе точки лежат на одной и той же поверхности уровня (поверхности равного давления).

2.9. Основное уравнения равновесия жидкости
в поле земного тяготения. Закон Паскаля

Воспользуемся основным дифференциальным уравнением гид­ро­статики (2.21):

.

Учитывая, что при действии силы тяжести на выделенный объем жидкости X = 0; Y = 0; Z = – g , получим

(2.28)

.

Принимая  = const для несжимаемой жидкости, после интегри­ро­вания получим

. (2.29)

Постоянную интегрирования найдем из граничных условий. Для свободной поверхности жидкости (рис. 2.6) имеем:

.

давление на свободной поверхности жидкости, обычно
р 0 = р атм .

. (2.30)

Решая совместно уравнения (2.29) и (2.30), получаем

. (2.31)

Уравнение (2.31) называется основным уравнением равновесия жидкости в поле тяготения.

Обычно уравнение (2.31) записывается в форме

. (2.32)

В уравнении (2.31)  g представляет собой силу, с которой поле земного тяготения действует на массу жидкости в объеме 1 м 3 , т.е. представляет собой вес, отнесенный к единице объема.

Слагаемые уравнения (2.31) выражены в единицах длины.

Так, z и z 0 представляют собой высоту расположения точек над координатной плоскостью ( yOx ).

Другие составляющие уравнения (2.31) по своему физическому смыслу отличаются от высот z и z 0 , так как они зависят от р (при
 = const) и называются высотами гидростатического давления.

Величина Н  = z + постоянная для всех частиц жидкости, т.к. является координатой некоторой горизонтальной плоскости ( xOy ). Она расположена выше плоскости свободной поверхности жидкости на величину  h :

. (2.33)

Из уравнения (2.31) получим:

. (2.34)

Величина h представляет собой глубину погружения данной точ­ки под уровень свободной поверхности жидкости (см. рис. 2.6).

Разность давлений р – р 0 представляет собой избыточное дав­ле­ние р изб :

, (2.35)

где р –полное или абсолютное давление;

р 0 –давление на свободной поверхности жидкости:

.

Соотношение между указанными выше давлениями можно пред­ставить в виде схемы (рис. 2.7).

Абсолютное давление всегда положительная величина:

. (2.36)

Здесь р 0 = р атм на свободной поверхности жидкости.

Если р 0 р атм , то

. (2.37)

Рассмотрим жидкость, покоящуюся в открытом резервуаре (рис. 2.8).

Пусть требуется определить давление в точке А на уровне z .

Применим основное уравнение равновесия (2.31) к точке А и к точке В , расположенным на свободной поверхности жидкости на уровне z 0 .

Из уравнения (2.31) имеем

.

, (2.38)

где z 0 – z = h –глубина погружения точки А под свободной по­верхностью.

Тогда . (2.39)

Величину  р h называют весовым давлением, так как оно об­ус­ловлено влиянием весомости самой жидкости, нахо­дя­щейся под си­ловым воздействием поля тяготения.

Согласно структуре формулы это давление избыточное, т.к.
p 0 – давление на свободной поверхности покоящейся жидкости.

Рассмотрим графическое представление и энергетическую сущ­ность основного уравнения гидростатики.

Графическое изображение абсолютного и избыточного давления представлено на рис. 2.9 в координатах z и .

Треугольником OAB выражает закон изменения абсолютного давления, а два треугольника с общей вершиной в точке G символи­зируют закон изменения избыточного давления.

Причем нижний треугольник BGE выражает , а верхний .

При условии, что отрицательное избыточное давление называют вакуумом, а – вакууметрической высотой.

Очевидно, что максимальное значение вакуума устанавливается на высоте H  , где абсолютное давление равно нулю.

Энергетическую сущность основного уравнения гидростатики лег­ко представить, если выразить его в единицах работы (или энер­гии).

Для этого следует умножить уравнение на единицу, придавая ей размерность силы (1Н), тогда все члены уравнения будут выражены в единицах энергии (работы), т.е. в Дж.

Так как жидкость находится в равновесии, то она обладает только потенциальной энергией.

В нашем случае имеем:

, Дж – потенциальная энергия, определяемая гидроста­ти­ческим давлением;

z , Дж –энергия положения (данная масса жидкости рас­­по­ло­жена на высоте z от плоскости срав­нения);

H  = ( + z ) , Дж –полный запас потенциальной энергии.

(Отнесенный к массе, вес которой равен 1Н, т.е. к массе

).

Из основного уравнения равновесия (2.32)

видно, что при изменении внешнего давления р 0 на давление во всех точках данной жидкости, находящейся в рав­но­весии, изменится на то же значение  р 0 .

Таким образом, жидкость обладает свойством передавать дав­ление.

Это свойство жидкости положено в основу закона Паскаля, ко­торый формулируется cледующим образом: давление, которое воз­ни­кает на граничной поверхности жидкости, находящейся в равно­весии, передается всем частицам этой жидкости по всем направ­лениям без изменения передаваемого давления.

На законе Паскаля основан принцип действия различных гид­рав­лических устройств, с помощью которых давление передается на расстояние.

К таким устройствам относятся: гидравлические прессы, гид­ро­подъемники, гидродомкраты, гидравлические аккумуляторы, гид­равлические тормозные системы, гидромультипликаторы и др.

В качестве примера рассмотрим работу гидравлического пресса.

Гидравлический пресс применяют для получения больших сжи­мающих усилий, что необходимо, например, для деформации ме­тал­лов при обработке давлением (прессование, ковка, штамповка), при испытании различных материалов, уплотнении рыхлых мате­риалов, в технологических процессах по обезвоживанию осадков и т.д.

Принципиальная схема пресса представлена на рис 2.10.

К поршню площадью F приложена сила Р 1 , которая передается жидкости, создавая давление р 1 :

.

По закону Паскаля давление передается на поршень площадью F 2 , создавая полезную силу, под действием которой прессуется материал:

.

(2.40)

. (2.41)

Из формулы (2.41) видно, что отношение усилий на малом и большом поршнях пропорционально квадрату отношения диаметров поршней.

Например, если диаметр большого поршня в десять раз больше диаметра малого поршня, то полезное усилие на большом поршне будет в 100 раз больше, чем на малом.

Примеры

Пример 1 . Определить усилие, которое развивает гидрав­ли­чес­кий пресс, имеющий d 2 = 250 мм, d 1 = 25 мм, a = 1м и b = 0,1м, если усилие, приложенное к рукоятке рычага рабочим, N = 200 H, а КПД равен 0,8.

Решение: Сила P 2 определяется по формуле

кН.

Пример 2 . Гидромультипликатор (рис 2.11) служит для повыше­ния давления р 1 , передаваемого насосом или аккумулятором давле­ния.

Определить давление р 2 при следующих данных: G = 300 кг,
D = 125 мм, р 1 = 10 кг/см 2 , d = 50 мм. Силами трения в уплотне­ни­ях пренебречь.

Решение : Из условия равновесия цилиндра 2 имеем

.

.

Пример 3. Определить h вак и построить эпюры вакуумет­ричес­кого и абсолютного давлений на стенку водяного вакууметра, если р абс = 0,8510 5 Па, а в нижнем резервуаре вода.

м.

Эпюры вакууметрического и абсолютного давлений построены на рис. 2.12.

Пример 4 . Определить показания жидкостного манометра, при­соединенного к резервуару с водой, на глубине h = 1 м, если по по­ка­-заниям пружинного манометра давление р м = 0,2510 5 Па (рис. 2.13).

Решение : Так как пружинный манометр показывает 0,2510 5 Па, то

Па.

В сечении 1-1 р л = р п , но при этом

.

;

м.

Контрольные вопросы

1. Что называется поверхностью уровня (поверхностью равного давления)?

2. Перечислите свойства поверхности уровня.

3. Что представляет собой поверхность уровня в поле сил тяго­тения?

4. Раскрыть физический смысл членов, входящих в основное дифференциальное уравнение гидростатики.

5. Раскрыть физический смысл членов, входящих в основное интегральное уравнение равновесия.

6. Что называется полным (абсолютным) давлением (показать схематически)?

7. Что называется избыточным давлением и вакуумом?

8. Что называется пьезометрическим и гидростатическим напо­ром?

9. Раскрыть энергетическую сущность основного уравнения гид­ро­статики.

10. Сформулируйте закон Паскаля.

11. Какие гидравлические устройства основаны на законе Пас­каля?

2.10. Относительное равновесие жидкости
в поле сил тяготения

Относительным равновесием жидкости называется такое со­сто­яние, при котором каждая ее частица сохраняет свое положение от­носительно твердой стенки движущегося сосуда.

При относительном равновесии надо решить две задачи.

1. Определить форму поверхности уровня.

2. Установить характер распределения давления.

Решение этих задач основано на дифференциальных уравнениях равновесия (2.21) и (2.25).

При относительном равновесии следует учитывать силы инерции, дополняющие систему массовых сил, действующих в жидкости, находящейся в состоянии абсолютного покоя.

Рассмотрим некоторые частные случаи такого равновесия.

1-й случай. Равноускоренное движение по вертикали. Вначале определим форму поверхности уровня.

Имеем общее дифференциальное уравнение:

.

При равноускоренном движении по вертикали внешними объем­ными силами будут сила тяжести и сила инерции (рис. 2.14).

Их проекции или проекции ускорений X = 0; Y = 0; Z = (– g  j ) (при спуске (+ j ) и при подъеме (– j )).

Уравнение поверхности уровня имеет вид

. (2.42)

Отсюда следует, что если g  j , то dz = 0, а потому

. (2.43)

Выражение (2.43) представляет собой уравнение семейства гори­зон­тальных плоскостей, как при подъеме, так и при спуске поверх­ности уровня.

Гидростатическое давление изменяется только по высоте.

Если g = j , то в уравнении (2.42) (– g + j ) = 0, а потому dz может равняться нулю. Если dz  0, то поверхность уровня может иметь любую форму (рис. 2.15), z  const.

Закон распределения давления находим из основного диффе­ренциального уравнения (2.21):

.

С учетом того, что X = 0; Y = 0; Z = ( – g  j ), уравнение (2.44) преобразуется к виду:

. (2.44)

При равноускоренном движении (спуске) ( – g + j ) можно записать

, (2.45)

а при равноускоренном подъеме ( – g – j )

. (2.46)

Из уравнений (2.45) и (2.46) следует, что связь между p и z ли­нейная, как и при абсолютном равновесии.

Анализ уравнений (2.45) и (2.46) показывает, что произведение можно рассматривать как условный вес, отнесенный к единице объема жидкости. Обозначим его   , тогда при спуске и при j g , жидкость оказывается как бы более лег­кой, а при j = g получим и, следовательно,   = 0, по­это­му жид­кость стала невесомой (см. рис. 2.15).

При равноускоренном подъеме , т.е. жид­кость становится как бы тяжелее.

2-й случай. Вращательное движение относительно вертикальной оси (рис. 2.16).

РАВНОВЕСИЕ ЖИДКОСТИ

Действующие силы и равновесное состояние жидкости.Рассмотрим некоторый объем жидкости рис.2.2.1

Рассматриваемый объем жидкости находится в состоянии относительного равновесия. В этом случае выделенная точка М также находится в состоянии равновесия. Такое состояние предполагает равновесное состояние сил, воздействующих на выделенный объем.

Рис. 2.2.1.

На выделенный объем действуют внешние силы – поверхностные и объемные силы. Объемные силы – это внешние силы пропорциональные объему и плотности вещества. Поверхностные силы – силы, действующие в границах выделенного объема. Условие равновесия предполагает присутствие нормальной составляющей N и касательной составляющей K. Касательная составляющая К для условия относительного равновесия должна бать равна нулю. Таким образом, условие относительного равновесия в рассматриваемом случае предполагает равенство поверхностных и объемных сил.

Поверхностные силы. Поверхностные силы определяют так называемое поверхностное «напряжение». Поверхностное напряжение определяется выражением:

, (11)

где Р — действующая поверхностная сила, — площадь взаимодействия поверхностной силы.

Объемные силы. Объемные силы (массовые силы) определяются воздействие внешних сил. Для них можно записать:

(12)

Основная теорема гидростатики.Основная теорема гидростатики устанавливает то, что гидростатическое давление (р) в данной точке не зависит от его направления, т.е.:

, (13)

.где давления по направлению осей координат x,y,z и произвольному направлению i.

Рассмотрим некоторый элементарный объем жидкости (рис.2.2.2.) при условии, что он находится в состоянии равновесия.

В этом случае можно состояние равновесия выразить в виде трех уравнений проекций действующих сил и трех уравнений моментов:

и

и

и

При уменьшении граней выделенного объема в пределе до нуля система действующих сил превратится в систему сил, проходящих через точку, а система уравнений моментов теряет смысл.

Проекции этих сил на оси x, y, z можно представить в виде:

,

Где угол между нормальным направлением силы и соответствующей осью координат, а углы между составляющей равнодействующих массовых сил и осями координат.

;

и .

Проводя подобные рассуждения, относительно проекций сил на другие оси координат, и осуществляя соответствующие преобразования, получим:

—

—

Или, проведя соответствующие преобразования окончательно, получим:

Учитывая, что последняя составляющая в данной системе уравнений, представляет величину высшего порядка малости, можем записать:

Что и требовалось доказать.

В данном случае было доказано равнозначность гидростатического давления в точке по любому направлению, однако не следует забывать, что давление является функцией координат и времени.

Основной закон гидростатики.Выделим в объеме некоторую элементарную площадку . Данная площадка сверху нагружена столбом жидкости высотою , где высота столба жидкости (воздуха) над свободной поверхностью жидкости.

Рис.2.2.3.

Предполагая, что жидкость находится в состоянии относительного покоя. Выделим элементарный объем рис.2.2.3.

Условие равновесия выделенного элементарного объема предполагает равенство массовых и поверхностных сил. В проекциях на оси x, y, z можем записать:

(19)

(19 а)

Система уравнений (19 а) описывает относительное равновесное состояние жидкости (система уравнений равновесного состояния жидкости-Эйлера).

Сложение правых и левых частей уравнения позволяет получить уравнение:

(20)

Уравнение (20) представляет собой основное уравнение гидростатики.

Уравнение поверхности уровня. Поверхность уровня представляет поверхность равного давления. Поверхность уровня предполагает или

В этом случае уравнении (20) примет вид:

(21)

Уравнение (21) представляет уравнение поверхности уровня.

Поверхность уровня обладает определенными свойствами:

1. Поверхности уровня не пересекаются.

2. Направление объемных сил нормально к поверхности уровня.

Равновесие жидкости в поле земного тяготения.Рассматривая уравнение (20) для случая работы его в поле земного тяготения, т.е. X=0, Y=0, а Z=-g (см. рис. 2.2.3). В данном случае уравнение (20) примет вид

(22)

Проводя интегрирование уравнения (22) окончательно получим

(23)

Где величина гидростатического давления столба воздуха над выделенной поверхностью; -высота столба воздуха; — высота столба жидкости над выделенной поверхности.

Окончательно уравнение (23) примет вид:

(23 а)

Сила давления жидкости на плоские поверхности. Определим силу давления P_н на произвольную наклонную площадь (рис.2.2.3). В данном случае величина P_н определяется из соотношения:

, (24)

Проекции силы P_н на оси xyz можно определить из выражений:

(25)

Где углы пространственной ориентации силы P_н

и осей координат xyz.

Центр давления. Центром давления называется точка приложения силы давления в столбе жидкости на расчетную площадку. Центр давления характеризуется координатами xyz, а для плоскости двумя координатами. В этом случае положение центра давления можно определить из выражения

, (26)

Где расстояние от поверхности уровня жидкости до точки приложения силы давления;

момент инерции площадки относительно рассматриваемой оси, проходящей через центр тяжести площадки;

расстояние от поверхности уровня жидкости до центра тяжести площадки;

угол ориентации площадки .

Для рассматриваемого случая, величина, т.е. центр давления всегда ниже центра тяжести рассматриваемой площадки. Исключение составляет частный случай, когда площадка, расположена горизонтально, в плоскости xoy. В этом случае центр давления совпадает с центром тяжести площадки. Расстояние между центром тяжести и центром давления принимается как эксцентриситетом приложения силы давления и центром тяжести.

Давление жидкости на криволинейные поверхности.Рассмотрим криволинейную поверхность (рис.2.2.4).

Так как поверхность пластины криволинейная, то силы dR образуют систему не параллельных сил. Такую систему можно привести к главному вектору R. В общем случае можем записать:

(27)

,

где углы пространственной ориентации силы R

и осей координат x y z.

Сумма проекций элементарных сил может быть выражена в виде равнодействующей силы R;

(28)

,

Сила R по величине будет рана;

, (29)

Решение уравнений (28) можно представить в виде:

(30)

,

где — глубина погружения центра тяжести площадок, соответственно .

Закон Архимеда. Погрузим тело произвольной формы (рис. 2.2.5) в жидкость. Определим величину сил воздействующих на рассматриваемое тело. На рассматриваемое тело действуют поверхностные и массовые силы. Проекции рассматриваемых сил приведены на рис. 2.2.5.

P_x, P_y, P_z –проекции поверхностных сил соответственно на оси координат x,y,z. Учитывая, что данная система находится поле сил земного тяготения, массовая сила, действующая на погруженное тело, составит

где h_н и h_в глубина погружения нижней и верхней граней тела, γ_т=ρg удельный вес погруженного тела, площадь грани нормальной к оси z.

В случае нахождения рассматриваемого тела в состоянии равновесия сумма поверхностных и массовых сил должна быть равна нулю.

, (32)

где G – сумма проекций массовых сил, R- сумма проекций поверхностных сил.

Подставляя в уравнение (32) составляющие получим

Из анализа уравнения (34) следует, что в случае равенства удельного веса тела и воды тело находится в состоянии покоя. При условии γ_в >γ_т тело должно всплыть, а при условии γ_в